精品解析：上海市施湾中学2026学年第一学期九年级期中阶段质量检测数学试卷

2026学年第一学期期中质量（阶段）检测 九年级数学学科 （时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 下列函数中，二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） A. B. C. D. 4. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（ ） A. 以点为顶点的三角形 B. 以点为顶点的三角形 C. 以点为顶点的三角形 D. 以点为顶点的三角形 6. 如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边于点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值； 下列说法中，正确的是( ) A. ①、②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①、②均错误 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7. 如果，那么代数式的值是______． 8. 如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是________． 9. 如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移4个单位，那么所得新抛物线的表达式是________． 10. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 11. 如图，已知在中，点在边上，，那么_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 13. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 14. 如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 15. 如图，中，、分别平分、，点M、N分别在边、上．过点O的线段．如果，，，那么___________． 16. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 17. 如图，的两条直角边，，，点沿从向运动，速度是秒，同时，点沿从向运动，速度为秒．动点到达点时运动终止．连接、、．设运动的时间为秒，在运动过程中，当时，则的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，满分82分） （第18、20题每题10分，第21题承题12分，第23题13分，第24题15分） 18. 如图，． （1）直接填空；的值为______，的值为______； （2）若，求和的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，抛物线经过、两点，点在轴上，连接．、分别是、上的一点，且，若，， （1）求证：； （2）求点的坐标． 20. 已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． （1）若时，求点，的坐标及线段长． （2）若，求的值及抛物线的对称轴． 21. 已知：如图1，梯形，， （1）若延长，交于点，过点的一条直线交、于点、（如图2），则线段、、、之间必有如下比例式：（结论1），请证明此结论； （2）简单模仿： 若连接、交于点，过点的一条直线交、于点、（如图3），请直接写出线段、、、之间必成立的比例式：________（结论2） （3）拓展应用： 请仅用一把无刻度的直尺在图1中画一条直线（直线与梯形上下底的交点分别为点和点），该直线把梯形的面积平分，并说明理由．（保留作图痕迹，无需作法，说理时如有需要可直接引用上述结论） 22. 已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． （1）求证：； （2）求证：点是线段的黄金分割点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． （1）求：、的值； （2）将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求：的值． 24. 如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． （1）求的长（用含t的代数式表示）； （2）求点E落在区域（含边界）内的时长； （3）连接，当与相似时，求t的值； （4）当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中质量（阶段）检测 九年级数学学科 （时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 下列函数中，二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知抛物线的图像如图所示，那么下列各式中，不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A. ∵抛物线开口向下， ∴， ∴A成立，不符合题意； B. ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C. ∵抛物线交y轴正半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D. ∵抛物线过， ∴， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 3. 根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一元二次方程一个解的范围． 利用和所对应的的值可判断关于的方程的一个解的范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴关于的方程的一个解的范围是． 故选：B． 4. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 5. 如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（ ） A. 以点为顶点的三角形 B. 以点为顶点的三角形 C. 以点为顶点的三角形 D. 以点为顶点的三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 6. 如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边于点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值； 下列说法中，正确的是( ) A. ①、②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①、②均错误 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据题意以及正方形的性质分别求得，，进而求得四边形、的周长，即可求解． 【详解】解：依题意，，设，则， 是等腰直角三角形，则，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，则 同理可得，， ∴四边形的周长 四边形的周长 故①正确，②错误 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7. 如果，那么代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例关系和代数式的求值，通过比例关系变形代数式后代入求值，即可解题． 【详解】解：由 ，得 ． 所以 ． 故答案为 ． 8. 如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线顶点为最高点时开口向下，据此结合二次项系数的符号要求列不等式求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点， ∴， 解得． 9. 如果将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移4个单位，那么所得新抛物线的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，对原抛物线的表达式依次进行平移变换即可． 【详解】解：将抛物线先向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到新抛物线的表达式为： ． 10. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是_____米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 11. 如图，已知在中，点在边上，，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先求出，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O， ∴， ∵， ∴，即． 13. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得，分别证明和，可求出，，，从而可求出结论． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为1，则，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 同理可得，则， 得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段． 设，则可得出，的面积之比，由平行线分线段成比例定理可得，进而得出，再将的值代入，即可得出答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，又，， ∴， ∴解方程并检验得：，（舍）， ∴． 15. 如图，中，、分别平分、，点M、N分别在边、上．过点O的线段．如果，，，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例，根据题意得，，得，得，设，，列比例方程求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵、分别平分、，， ∴，， ∴，，， ∴； 设，， ∵，，，则，，， 解得， ∴， 故答案为． 16. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 17. 如图，的两条直角边，，，点沿从向运动，速度是秒，同时，点沿从向运动，速度为秒．动点到达点时运动终止．连接、、．设运动的时间为秒，在运动过程中，当时，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，根据勾股定理求出，由题意可得，，则，证明，求出，，则，再证明，得到，即，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于， 的两条直角边，，， ， ， 由题意可得，， ， ，， ， ，即， ，， ， ， ，， ， ， ，即， ． 三、解答题（本大题共7小题，满分82分） （第18、20题每题10分，第21题承题12分，第23题13分，第24题15分） 18. 如图，． （1）直接填空；的值为______，的值为______； （2）若，求和的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，抛物线经过、两点，点在轴上，连接．、分别是、上的一点，且，若，， （1）求证：； （2）求点的坐标． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵抛物线经过、两点， 令，则；令，解得：，， ，， ，， ， ， 又，， ， ，， ，， ， 又，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，得到，，进而证明，得到，即可得证； （2）利用勾股定理得出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ， 由（1）可知，， ， ． 20. 已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． （1）若时，求点，的坐标及线段长． （2）若，求的值及抛物线的对称轴． 【答案】（1），， （2），对称轴 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及求二次函数与坐标轴的交点坐标，及求出两交点间的距离．解决本题的关键是熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点坐标． （1）令，则，可得，解得，，即可得出答案； （2）令，则，可得，解得，，再求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； 【小问2详解】 解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 21. 已知：如图1，梯形，， （1）若延长，交于点，过点的一条直线交、于点、（如图2），则线段、、、之间必有如下比例式：（结论1），请证明此结论； （2）简单模仿： 若连接、交于点，过点的一条直线交、于点、（如图3），请直接写出线段、、、之间必成立的比例式：________（结论2） （3）拓展应用： 请仅用一把无刻度的直尺在图1中画一条直线（直线与梯形上下底的交点分别为点和点），该直线把梯形的面积平分，并说明理由．（保留作图痕迹，无需作法，说理时如有需要可直接引用上述结论） 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）解：连接，交于点，延长，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，则即为所求，如图： 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 设梯形的高为，则梯形和梯形的高为， ∵ ∴， ∴平分梯形的面积． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定与性质可得出答案； （3）连接，交于点，延长，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，则即为所求，证明，，根据梯形的面积公式得到，可得答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 22. 已知：如图，在梯形中，，连接，是等边三角形，，与交于点，． （1）求证：； （2）求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】（1） 证明：如图所示， ∵为等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴, ∵，且， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴为等边三角形，即， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据为等边三角形，，得到,由，得到,,由，得到,结合，得到，由相似三角形的判定方法即可求解； （2）根据题意可得为等边三角形，即，由为等边三角形，得到，根据，得到，即，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）． （1）求：、的值； （2）将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求：的值． 【答案】（1）， （2）①5；② 【解析】 【分析】（1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可； （2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； ②根据，可知在的垂直平分线上，从而求出点坐标，进而求出所在直线表达式，从而求得点坐标，最后根据在平移后的抛物线上求出的值即可． 【小问1详解】 解：设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式可得： ， 解得：，， 的表达式为：， 将点的坐标代入抛物线解析式得：， ， 将抛物线解析式改写成顶点式：， 点在直线上， ， 解得：或4， 当时，顶点和重合，不符合题意； ，． 【小问2详解】 解：①由（1）知，，抛物线解析式为：， ，原抛物线的对称轴直线为：， 平移后的抛物线解析式为：， 当时，， ， 设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式得：， 解得：， 的表达式为：， ， ； ②由平移的性质可知，， ， 在的垂直平分线上， ， 设所在直线的表达式为：， 代入，的坐标得：， 解得：， 的表达式为：， ， 由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：， 将点代入平移后的抛物线得：， 解得：， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、把二次函数的一般式化成顶点式、二次函数图象的平移、三角形的面积等，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． （1）求的长（用含t的代数式表示）； （2）求点E落在区域（含边界）内的时长； （3）连接，当与相似时，求t的值； （4）当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】（1） （2）秒 （3）的值为或1 （4）1或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）找到临界位置，当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内，再此时证明，可知，据此列出方程即可求解； （3）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （4）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； 【小问2详解】 由勾股定理可知，， 当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内， 此时，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， ∴， ∴，即：，解得：， 即：点落在区域（含边界）内的时长为秒； 【小问3详解】 由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，，即：，解得：； 当时，，即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； 【小问4详解】 ， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即：点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $