精品解析：上海市普陀区2026－2027学年九年级第一学期期中阶段学情检测数学试卷

2026学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷 （时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 1. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所求分式变形为含的形式，代入已知比值计算． 【详解】解：，即， ． 2. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 四个内角对应相等的两个四边形 B. 四条边对应成比例的两个四边形 C. 一个内角对应相等的两个菱形 D. 一条边对应相等的两个矩形 【答案】C 【解析】 【分析】相似多边形需同时满足对应角相等，对应边成比例两个条件,以此为依据判断各选项． 【详解】解：A. 四个内角对应相等的两个四边形，对应边不一定成比例，不一定相似，不符合题意； B. 四条边对应成比例的两个四边形，对应角不一定相等，不一定相似，不符合题意； C. 菱形的四条边相等，故对应边成比例， ∵菱形的一个内角对应相等， ∴所有对应内角均相等， ∴两个菱形一定相似，符合题意； D. 一条边对应相等的两个矩形，其余边长不确定，对应边不一定成比例，不一定相似． 3. 如图，在平行四边形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，那么下列线段的比中与不一定相等的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的对边平行得，得到，把换成与；再由平行四边形的对边相等把换成，逐一与各选项比对． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 而与上述各比不一定相等， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列结论中正确的是（ ） A. 抛物线与轴交点的坐标为 B. 顶点是抛物线的最低点 C. 对称轴为直线 D. 在对称轴左侧，图像上升 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线图象和性质进行逐一判断即可． 【详解】解：在抛物线中，， ， 抛物线开口向下，有最大值，顶点坐标为，对称轴为直线，故选项B和C不符合题意； 开口向下的抛物线，对称轴左侧随增大而增大，即图像上升，故选项D符合题意， 令，得， 即与轴交点为，故选项A不符合题意． 5. 已知抛物线经过点，，如果点，在该抛物线上，其中是正数，且始终成立，那么的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线与x轴的两交点确定对称轴，结合开口向上的性质，将函数值大小关系转化为点到对称轴的距离关系，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，抛物线开口向上，且， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即，化简得， 两边平方得， 展开得， 整理得，解得． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6. 在比例尺是的地图上，测得甲、乙两地的距离是2厘米，那么甲、乙两地的实际距离是________千米． 【答案】300 【解析】 【分析】设甲、乙两地的实际距离为厘米，根据比例尺的定义列方程求解，再将单位换算为千米即可得到结果． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是厘米，由比例尺的定义可得： ，解得， 甲、乙两地的实际距离厘米千米． 7. 已知抛物线经过点，那么的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】抛物线经过点，将点的坐标代入解析式即可计算得到的值． 【详解】解：∵点在抛物线上 ∴点的坐标满足抛物线的解析式 将，代入，得 即． 解得． 8. 将抛物线向左平移1个单位长度，所得新抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数平移的“左加右减”规律计算平移后的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，所得新抛物线为， 新抛物线的顶点为． 9. 抛物线与轴有________个交点． 【答案】2 【解析】 【分析】令，得到一元二次方程，求其判别式，根据一元二次方程与二次函数的关系可得解． 【详解】解：令，得， 则 方程有两个不相等的实数根， 所以抛物线与轴有2个交点． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式等知识点的理解和掌握，能根据根与系数的关系进行判断是解此题的关键． 10. 已知玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．如图，实验发现当水面高度到达点处时，此时将瓶高分为和两部分，可以敲击出音阶“”．其中点为瓶高的黄金分割点，即，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的应用，解一元二次方程，设，则，根据题意得，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵点为瓶高的黄金分割点，即， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 11. 如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．如果，，，那么的长是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，可得，代入解方程即可解答． 【详解】解：， ， ， 解得， 经检验，是方程的解． 12. 如图，在与中，，要使与一定相似，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．（只需填一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：当添加时，可通过两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似， 得到． 13. 在中，，是边上的高．如果，，那么的长是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由是斜边上的高得到三对相似三角形，先把、分别用、、表示，再由相似三角形的周长比等于相似比，把题给的周长比化为与的比，列方程求． 【详解】解：设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 同理，． ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴的长为． 14. 如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知的边长为12，高为8，且，那么矩形的面积为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】设与交于点，先得出，，再设，则，，证出，利用相似三角形的性质求出的值，据此解答即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的高，即， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴矩形的面积为． 15. 如图，在中，点、分别在边、上，，，为的中点，那么的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，证明，得到，根据为的中点，推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． 16. 如果平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．已知一个平行四边形的“中直三角形”的两条直角边之比为，且直角顶点在平行四边形的顶点上，那么这个平行四边形的较短边与较长边的比值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“中直三角形”的定义，结合直角顶点在平行四边形顶点的条件，通过坐标法结合勾股定理建立邻边长度的关系，利用直角边的比例求解短边与长边的比值． 【详解】解：如图：设平行四边形，取邻边、，为中点，为中点，不在这组邻边上的顶点为，则为“中直三角形”，由题意直角顶点为，即， 如图：建立平面直角坐标系，设，（），则；设（），则； ∴． ∵， ∴， ∵，，． ∴，整理得：，即． 将代入和的表达式，化简得：，． ∵两条直角边之比为， ∴ 或． 当时，， 代入化简后的表达式：，解得：． 将代入的表达式，得，即． 计算邻边长度：，． ∴， ∴这个平行四边形的较短边与较长边的比值为； 当时，同理可得，代入得，计算得，此时较短边为，较长边为， ∴这个平行四边形的较短边与较长边的比值为． 综上，平行四边形较短边与较长边的比值为． 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 17. 已知抛物线的顶点为，且经过点，求这个抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线的解析式，再将点代入抛物线解析式，解方程即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的表达式为， 该抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的表达式为． 18. 如图，各顶点的坐标分别为、、．在平面直角坐标系中，画出与关于原点位似的三角形，使它与的位似比为2，并写出其各顶点的坐标：点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________．（不用写画图过程，但要写出结论） 【答案】， 如图，此时与位似，对应顶点坐标为：、、； 如图，此时与位似，对应顶点坐标为：、、 【解析】 【分析】分两种情况，分别作出图形，写出对应点坐标即可． 【详解】略 19. 已知抛物线的顶点在轴的正半轴上． （1）求该抛物线的表达式； （2）已知直线l平行于轴，且与该抛物线交于、两点，点在点的左侧，如果线段的长度大于4，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，求得的值，即可解答； （2）当时，点的横坐标分别为，即可求得此时点的纵坐标，再根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点在轴上， 抛物线的对称轴为轴， ， 解得， 当时，，符合题意， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：直线平行于轴，与该抛物线交于两点，且对称轴为轴， 当时，点的横坐标分别为， 当时，， 此时点的纵坐标． 图象开口向下， 当时，． 20. 如图，在四边形中，，是、的比例中项． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）是的比例中项， ， ， ， ， ， ，即, ． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可解答； （2）推出，再根据相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 21. 如图，在中，，点在边上，过点作于点，连接、交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）证明，可得，即可得到，得到，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 在学习了课本上抛物线的性质后，小普在课外查询了抛物线的其他性质，他收集到的材料如下： 材料一：一般地，平面上到一个定点和到一条定直线（点不在直线上）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点叫作抛物线的焦点，定直线叫作抛物线的准线． 抛物线的焦点是． 材料二：如图1，抛物线有一条重要性质：从焦点射出的光线，入射到抛物线上的一点并发生反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，如图2，一束平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后，反射光线必定经过抛物线的焦点，并反射到抛物线上． 利用这个性质，既可以将平行光汇聚到焦点，也可以把焦点处光源发出的光转化为平行光． 小普准备了一支激光笔和一条用反光材料做成形如图1的抛物线的一部分． （1）以抛物线的顶点为原点，垂直于抛物线对称轴的直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（如图3），这条抛物线的表达式为． ①根据材料一，求该抛物线焦点的坐标； ②小普用激光笔射出一束平行于轴的光线，沿直线入射到抛物线上．根据材料二，反射光线经过抛物线的焦点射到抛物线上，再沿直线反射，求直线的表达式． （2）小普进一步思考：能否调整抛物线的焦点位置，实现从指定位置的平行光入射，再从另一个指定位置平行射出，以此来实现一种加密方式．设改变焦点后的抛物线表达式为，当光线沿着直线入射时，最后的反射光线沿着直线射出；当光线沿着直线入射时，最后的反射光线沿着直线射出．满足上述条件的是否存在，请说明理由． 【答案】（1）①焦点的坐标是；② （2）不存在， 改变焦点后的抛物线表达式为， 焦点的坐标是， 当时，， 当时，， 由题意可得三点共线， ， 得, 当时，， 当时，， 由题意可得三点共线， 设该直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 过、的直线表达式为， 将代入解得，，与前面矛盾， 满足条件的不存在． 【解析】 【分析】（1）①根据题意，可得结论； ②设经过焦点的光线表达式为，根据待定系数法求一次函数解析式，再将代入抛物线解析式即可解答； （2）根据两组反射的点分别求得和，相矛盾，即可证明满足条件的不存在． 【小问1详解】 解：①抛物线的表达式为， ，解得， 经检验，是方程的解， 焦点的坐标是； ②将代入，解得， 设经过焦点的光线表达式为． 光线经过， ， 解得， 经过焦点的光线的表达式为， 设交点坐标为，代入， 可得， 解得， 直线表达式为直线； 【小问2详解】 略 23. 如图，在矩形中，过边上的点作交边于点． （1）求证：； （2）连接交于点，． ①如图2，连接与交于点，如果，设，用含字母的代数式表示； ②如图3，连接交于点，如果，求的值． 【答案】（1）四边形是矩形， ， ， ， ， ． ； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，即可解答； （2）①推出，即可证明，得到，结合，可得，再证明，即可解答； ②根据面积法和角平分线的性质得到，得到，即可推出，可得，再证明和，得到， ，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①四边形是矩形， ，， 记与交于点，则，可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，连接交于点， 由（1）得，， 点到边的距离相等， ． 同高， , ， ， ， ， ， 根据三线合一可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷 （时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 1. 已知，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 四个内角对应相等的两个四边形 B. 四条边对应成比例的两个四边形 C. 一个内角对应相等的两个菱形 D. 一条边对应相等的两个矩形 3. 如图，在平行四边形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，那么下列线段的比中与不一定相等的是( ) A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列结论中正确的是（ ） A. 抛物线与轴交点的坐标为 B. 顶点是抛物线的最低点 C. 对称轴为直线 D. 在对称轴左侧，图像上升 5. 已知抛物线经过点，，如果点，在该抛物线上，其中是正数，且始终成立，那么的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6. 在比例尺是的地图上，测得甲、乙两地的距离是2厘米，那么甲、乙两地的实际距离是________千米． 7. 已知抛物线经过点，那么的值是__________． 8. 将抛物线向左平移1个单位长度，所得新抛物线的顶点坐标是__________． 9. 抛物线与轴有________个交点． 10. 已知玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．如图，实验发现当水面高度到达点处时，此时将瓶高分为和两部分，可以敲击出音阶“”．其中点为瓶高的黄金分割点，即，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为______． 11. 如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．如果，，，那么的长是__________． 12. 如图，在与中，，要使与一定相似，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．（只需填一种情况即可） 13. 在中，，是边上的高．如果，，那么的长是__________． 14. 如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知的边长为12，高为8，且，那么矩形的面积为__________． 15. 如图，在中，点、分别在边、上，，，为的中点，那么的值为__________． 16. 如果平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．已知一个平行四边形的“中直三角形”的两条直角边之比为，且直角顶点在平行四边形的顶点上，那么这个平行四边形的较短边与较长边的比值为__________． 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 17. 已知抛物线的顶点为，且经过点，求这个抛物线的表达式． 18. 如图，各顶点的坐标分别为、、．在平面直角坐标系中，画出与关于原点位似的三角形，使它与的位似比为2，并写出其各顶点的坐标：点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________．（不用写画图过程，但要写出结论） 19. 已知抛物线的顶点在轴的正半轴上． （1）求该抛物线的表达式； （2）已知直线l平行于轴，且与该抛物线交于、两点，点在点的左侧，如果线段的长度大于4，求点的纵坐标的取值范围． 20. 如图，在四边形中，，是、的比例中项． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 21. 如图，在中，，点在边上，过点作于点，连接、交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. 在学习了课本上抛物线的性质后，小普在课外查询了抛物线的其他性质，他收集到的材料如下： 材料一：一般地，平面上到一个定点和到一条定直线（点不在直线上）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点叫作抛物线的焦点，定直线叫作抛物线的准线． 抛物线的焦点是． 材料二：如图1，抛物线有一条重要性质：从焦点射出的光线，入射到抛物线上的一点并发生反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，如图2，一束平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后，反射光线必定经过抛物线的焦点，并反射到抛物线上． 利用这个性质，既可以将平行光汇聚到焦点，也可以把焦点处光源发出的光转化为平行光． 小普准备了一支激光笔和一条用反光材料做成形如图1的抛物线的一部分． （1）以抛物线的顶点为原点，垂直于抛物线对称轴的直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（如图3），这条抛物线的表达式为． ①根据材料一，求该抛物线焦点的坐标； ②小普用激光笔射出一束平行于轴的光线，沿直线入射到抛物线上．根据材料二，反射光线经过抛物线的焦点射到抛物线上，再沿直线反射，求直线的表达式． （2）小普进一步思考：能否调整抛物线的焦点位置，实现从指定位置的平行光入射，再从另一个指定位置平行射出，以此来实现一种加密方式．设改变焦点后的抛物线表达式为，当光线沿着直线入射时，最后的反射光线沿着直线射出；当光线沿着直线入射时，最后的反射光线沿着直线射出．满足上述条件的是否存在，请说明理由． 23. 如图，在矩形中，过边上的点作交边于点． （1）求证：； （2）连接交于点，． ①如图2，连接与交于点，如果，设，用含字母的代数式表示； ②如图3，连接交于点，如果，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $