2027年春季高考数学冲刺模拟卷01（上海专用）2027年春季高考数学

2027年春季高考数学冲刺模拟卷01 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共 12 题，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分，共 54 分） 1．（2026·上海松江·阶段检测）若集合，，则________． 2．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 3．（2026·上海·三模）不等式的解集为______． 4．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 5．（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 6．（2026·上海黄浦·二模）已知，且，则的值为______． 7．（2026·上海嘉定·二模）已知是等差数列，，，则___________． 8．（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 9．（2026·上海·模拟预测）现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到、两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件： ①系统的特征值之和的绝对值与系统的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）； ②系统中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块． 符合条件的分配方案共有________种． 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 11．（2025·上海春考）关于x的方程的解集为__________． 12．（2026·上海春考）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 二、选择题（本大题共 4 题，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，共 18 分）每题有且只有一个正确选项． 13．（2026·上海静安·阶段检测）已知，则是不等式有解的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 14．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 15．（2026·上海虹口·三模）设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 16．（2026·上海长宁·二模）对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 三、解答题（本大题共 5 题，第 17—19 题每题 14 分，第 20—21 题每题 18 分，共 78 分） 17．（2026·上海春考）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 18．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 19．（2026·上海黄浦·二模）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 20．（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 21．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027年春季高考数学冲刺模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分） 1．______________________________ 2．______________________________ 3．______________________________ 4．______________________________ 5．______________________________ 6．______________________________ 7．______________________________ 8．______________________________ 9．______________________________ 10．______________________________ 11．______________________________ 12．______________________________ 二、选择题（第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，共18分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年春季高考数学冲刺模拟卷01 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 一、填空题（本大题共 12 题，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分，共 54 分） 1. 2. 3. 4. 5.7 6. 7.1011 8. 9.55 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共 4 题，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，共 18 分） 13 14 15 16 A B D C 三、解答题（本大题共 5 题，第 17—19 题每题 14 分，第 20—21 题每题 18 分，共 78 分） 17．【解】（1）过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形,　………………2分 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，,　………………4分 故和平面所成角为.　………………6分 （2）由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和,　………………12分 即:　………………14分 18．【解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即，　………………6分 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以，　………………9分 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以，　………………12分 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以.　………………14分 19．【解】（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，，　………………2分 由全概率公式可得，　………………5分 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． （2）由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为．　………………8分 （3）由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为，　………………11分 所以X的数学期望，方差．　………………14分 20．【解】（1）由题可知，， ， 所以椭圆的离心率为；　………………4分 （2） 如图，设， ， 又， 是第一象限上的点， ，即解得，　………………7分 ， 由椭圆的定义知，.　………………10分 （3）由椭圆的定义知． ，设， 对于每一个固定的设点到的距离为， 利用点到直线距离公式有， 由辅助角公式得， 是第一象限内的一点， ，注意到， 是第一象限的角，　………………14分 设， 当时为在固定下的最小值， 由题意知对于有解， ， 两边平方可得， 要求的最小值，即求的最大值， ，当时取到．　………………18分 21．【解】（1）当时，， 其定义域为，且. 令，则，　………………3分 所以在上单调递增，所以在上是增函数， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增.　………………5分 因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为. 当（从右侧趋于）时，； 当时，且的增长速度比快很多，所以. 由存在零点知的图象与直线有交点， 由上知，即实数的取值范围是.　………………8分 （2）令， 则，令， 则. 因为，，所以，所以，即在上单调递增，　………………11分 所以. （i）当，即时，，在上单调递增， 所以，即，满足题意； （ii）当，即时，，， 若，则，在上单调递减， 所以，即，不满足题意； 若，则，使得，当时，，单调递减， 所以，即，不满足题意.　………………14分 综上，实数的取值范围是.　………………18分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年春季高考数学冲刺模拟卷01 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共 12 题，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分，共 54 分） 1．（2026·上海松江·阶段检测）若集合，，则________． 【答案】 【详解】由题得，， 又， 所以． 2．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】复数z满足， 则+3i， 则， 则. 3．（2026·上海·三模）不等式的解集为______． 【答案】 【详解】原不等式等价于，即，解得，所求解集为． 4．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 5．（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 【答案】7 【详解】因为在中，是的中点，所以，所以. 又，所以，所以. 所以，. 6．（2026·上海黄浦·二模）已知，且，则的值为______． 【答案】 【详解】因为，即， 且，可知角为第四象限角， 所以. 7．（2026·上海嘉定·二模）已知是等差数列，，，则___________． 【答案】1011 【详解】设等差数列的公差为，依题意，， 则. 8．（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． 9．（2026·上海·模拟预测）现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到、两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件： ①系统的特征值之和的绝对值与系统的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）； ②系统中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块． 符合条件的分配方案共有________种． 【答案】55 【详解】由题意知，8个模块总特征值为：. 设系统的特征值之和为，则系统的特征值之和为， 由条件①知，，解得. 设系统中有个向左模块，结合条件②可得，或. 当时，则系统中有1个向左模块，3个向右模块，方案数：； 当时，则系统中有2个向左模块，4个向右模块，方案数：； 所以总方案数为：. 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知正三棱柱的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个正三棱柱的体积为__________． 【答案】 【详解】如图所示，作出的外接圆圆心，连接. 正中，，由正弦定理可得，. 又正三棱柱的外接球体积为，. 在中，. 所以正三棱柱的高. 所以正三棱柱的体积. 11．（2025·上海春考）关于x的方程的解集为__________． 【答案】 【详解】. 当时，令得； 当时，恒成立； 当时，令得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 12．（2026·上海春考）已知椭圆与椭圆相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则_____________. 【答案】 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，代入椭圆中， 得，又，故， 故答案为： 二、选择题（本大题共 4 题，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，共 18 分）每题有且只有一个正确选项． 13．（2026·上海静安·阶段检测）已知，则是不等式有解的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】A 【详解】若不等式有解，则判别式，解得或， 充分性验证:若，则或必然成立，故充分性成立， 必要性验证:若或,取，则不成立，故必要性不成立， 综上，是不等式有解的充分不必要条件. 14．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 【答案】B 【详解】对于①：若是奇函数且在区间上严格增， 则在区间上严格增，可知在定义域R上严格增， 因为，则，可得； 若是偶函数且在区间上严格增，且， 则，且，， 可得，所以； 综上所述：①正确； 对于②：例如， 可知对任意的，， 但，，所以既不是奇函数也不是偶函数， 故②错误. 15．（2026·上海虹口·三模）设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线）， 此时，不满足，因此充分性不成立； 若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面， 不一定满足，因此必要性不成立， 综上，“”是“”的既非充分又非必要条件. 16．（2026·上海长宁·二模）对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【详解】因为，又，所以， 从而有，所以、互相独立，充分性成立； 当、互相独立时，则，所以，必要性成立. 综上，“”是“、互相独立”的充要条件. 三、解答题（本大题共 5 题，第 17—19 题每题 14 分，第 20—21 题每题 18 分，共 78 分） 17．（2026·上海春考）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 连接、交于,连接、交于, 如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且, 所以四边形为平行四边形,所以， 因为平面,平面，所以平面. 体积为 【详解】（1）过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形,　………………2分 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，,　………………4分 故和平面所成角为.　………………6分 （2）由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和,　………………12分 即:　………………14分 18．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即，　………………6分 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以，　………………9分 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以，　………………12分 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以.　………………14分 19．（2026·上海黄浦·二模）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 【答案】(1)0.7(2)(3)；； 【详解】（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，，　………………2分 由全概率公式可得，　………………5分 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． （2）由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为．　………………8分 （3）由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为，　………………11分 所以X的数学期望，方差．　………………14分 20．（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题可知，， ， 所以椭圆的离心率为；　………………4分 （2） 如图，设， ， 又， 是第一象限上的点， ，即解得，　………………7分 ， 由椭圆的定义知，.　………………10分 （3）由椭圆的定义知． ，设， 对于每一个固定的设点到的距离为， 利用点到直线距离公式有， 由辅助角公式得， 是第一象限内的一点， ，注意到， 是第一象限的角，　………………14分 设， 当时为在固定下的最小值， 由题意知对于有解， ， 两边平方可得， 要求的最小值，即求的最大值， ，当时取到．　………………18分 21．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；实数的取值范围是 (2) 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且. 令，则，　………………3分 所以在上单调递增，所以在上是增函数， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增.　………………5分 因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为. 当（从右侧趋于）时，； 当时，且的增长速度比快很多，所以. 由存在零点知的图象与直线有交点， 由上知，即实数的取值范围是.　………………8分 （2）令， 则，令， 则. 因为，，所以，所以，即在上单调递增，　………………11分 所以. （i）当，即时，，在上单调递增， 所以，即，满足题意； （ii）当，即时，，， 若，则，在上单调递减， 所以，即，不满足题意； 若，则，使得，当时，，单调递减， 所以，即，不满足题意.　………………14分 综上，实数的取值范围是.　………………18分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $