精品解析：甘肃白银市靖远县部分学校2026-2027学年高二上学期期中质量检测数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】复数，对应复平面的点的坐标为，横、纵坐标均为负的点位于第三象限. 2. 已知直线：与直线：垂直，则（ ） A. B. 2 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系列出关于m的方程，求解方程即可得出答案. 【详解】因为直线：与直线：垂直， 所以，解得. 3. 在等比数列中，，且，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，再由公比的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为数列为等比数列，则，所以， 则. 4. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心距与两圆半径之间的关系判断即可. 【详解】圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 圆心距为， 因为， 所以两圆相交. 5. 在数列中，，，则（ ） A. 7 B. 3 C. 5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推公式可得数列是周期为的数列，即可得到结果. 【详解】由，，可得， ， ， 即， 数列是周期为的数列， 则. 6. 一束光线从点处射出，经过轴反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点关于y轴对称点为， 光线从点处射出，经过轴反射后经过点， 作关于轴对称点，直线即为入射光线. 则，由点斜式方程可得出，整理得. 7. 已知数列满足，，则满足的最小整数的值为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】利用累加法及裂项相消法求出通项公式，代入求解即可. 【详解】由题可得，所以， ， ，， 上式累加得，即， 所以，解得，又， 所以满足的最小整数的值为. 8. 某脐橙基地对一批脐橙的单果净重（单位：g）进行了抽样统计，将数据按，，，，分为5组，作出频率分布直方图，如图所示．已知样本中单果净重不低于的数量是单果净重低于的数量的4倍．若将这批脐橙按单果净重降序排列，将前20%的脐橙划分为大果，则估计大果的单果净重的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用各组纵轴乘组距得已知频率，设第一组频率为，由"不低于是低于的4倍"列方程解出各频率；再按"降序累计频率到"确定分界点，在第四组内按比例插值求最小净重. 【详解】设五个组距均为，各组频率分别为（对应）. 由题给纵轴（频率/组距）可得，， . 设第一组频率为，则. “净重不低于”即第四、五组，频率为； “净重低于”即第一组，频率为. 由题意，解得，于是. 所以、，第四组的高度为，与图相符. “按净重降序、前为大果”即从往下累计频率到的位置即为大果净重的最小值： 第五组频率，尚差；再从第四组内取. 第四组总频率、组距，对应宽度， 所以大果最小净重为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆的方程为，点，，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 点在圆的内部 D. 点在圆的外部 【答案】ACD 【解析】 【详解】将圆的方程化为标准方程， 对于A，圆心的坐标为，故A正确； 对于B，圆的半径为，故B错误； 对于C，将点代入圆的方程得，所以点在圆的内部，故C正确； 对于D，将点代入圆的方程得，所以点在圆的外部，故D正确． 10. 已知函数的最小正周期为，若的图象关于直线对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由对称轴条件写出，再用代入消去，得到与整数的关系，最后取使且与选项相符的值. 【详解】由得最小正周期. 若的图象关于直线对称，则是的对称轴，必有（）. 把代入得，即， 所以，其中且. 当时；当时；其余整数对应与选项不符， 所以的值可能为或. 11. 设数列的前项和为，若对于任意的正整数，存在正整数，使得，则称为“封闭数列”，下列结论正确的是（） A. 若，则为“封闭数列” B. 若，则不存在常数，使得为“封闭数列” C. 若和均为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” D. 若为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” 【答案】AB 【解析】 【分析】A.验证等差数列的前项和可表示为数列的某一项，利用连续整数乘积为偶数保证为正整数；B.代入=1，2，3建立方程，利用2的幂次的奇偶性推出矛盾，证明不存在满足条件的常数；C.构造两个均为封闭数列的等差数列，验证其和数列存在前项和无法对应数列项的反例；D.以已知的封闭数列为基础，验证其前项和组成的数列存在前项和无法对应数列项的反例. 【详解】选项A，若，则是首项为3、公差为3的等差数列，其前项和， 令，解得， 由于与是连续正整数，乘积必为偶数，因此恒为正整数，满足封闭数列的定义，A正确； 选项B，若，则其前项和， 若为封闭数列，则对任意正整数，存在正整数使得，即， 当时，，得，恒成立， 当时，，即（为正整数）， 当时，，两边除以2得（为正整数）， 将代入上式，得 ， 等式右侧1是奇数；左侧是两个2的正整数次幂相减，因，故是偶数，也必为偶数， 偶数减偶数结果为偶数，不可能等于奇数1，等式无正整数解， 因此不存在常数使得为封闭数列，B正确； 选项C，举反例，设，其前项和，令（正整数），满足，故是封闭数列， 设，其前项和，令（为正整数），满足，故是封闭数列， 两数列之和，其前项和， 令，得，当时，，不是正整数， 不满足封闭数列定义，因此不一定是封闭数列，C错误； 选项D，举反例，取选项A中的封闭数列，其前项和， 设的前项和为，， 所以， 若是封闭数列，则对任意，存在正整数使得， 即 ， 当时，右侧，即，无正整数解， 不满足封闭数列定义，因此不一定是封闭数列，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线在轴上的截距为______． 【答案】2 【解析】 【详解】令 ，解得 ，故直线在轴上的截距为2. 13. 若数列满足，且，则______，的前20项和为______． 【答案】 ①. ②. 2100 【解析】 【分析】用累乘法把相邻两项的比连乘，中间项两两约去得；再由等差数列的求和公式求前项和. 【详解】由及， 用累乘法得. 所以的前项和为. 14. 已知动点到坐标原点的距离为3，且不在第四象限，记动点的轨迹为．若直线与有两个公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图象，由圆心到直线的距离列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意可知，的轨迹是圆，方程为（不在第四象限），如图所示， 由图可知，当时，直线与的轨迹有两个公共点. 当时，原点到直线的距离， 解得. 综上所述，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：，：． （1）若，求的值； （2）若的倾斜角为，求的值； （3）证明：无论取何值，恒过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明：将的方程转化为， 因为，直线方程恒成立， 所以需满足，解得， 所以无论取何值，恒过定点． 【解析】 【分析】（1）两直线平行可得两直线系数需满足，解方程再检验，排除两直线重合的情况即可得解； （2）根据倾斜角和斜率的关系，得到直线的斜率，再结合直线一般式的斜率表达式列方程求； （3）处理直线恒过定点问题，采用参数分离法，将含参数的项和不含参数的项分别合并，令参数的系数以及剩余部分同时为，联立方程组求出定点坐标，证明该点与取值无关． 【小问1详解】 因为，所以，解得， 经检验，当时，：，与平行， 故； 【小问2详解】 若的倾斜角为，则的斜率为， 所以，解得； 【小问3详解】 略 16. 设的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）设，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形正弦定理和余弦定理把角化边，得到，再利用余弦定理求，结合特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）利用余弦定理得到关于的方程，求出符合条件的，再结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 再根据余弦定理得，化简得， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 由，整理得，解得或（舍去）， 故的面积． 17. 已知等差数列的公差为2，且是与的等差中项． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并指出是的第几项． 【答案】（1） （2），是的第项 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质计算得到公差，计算得到等差数列通项； （2）根据错位相减法计算得到，结合条件得到结果；. 【小问1详解】 因为是与的等差中项，所以，即， 所以，解得． 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）可知． ， ， 两式相减，得 ， 故．因为， 所以是的第项． 18. 已知点，，动点满足，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）求与圆的公共弦所在直线的方程； （3）若，证明：上恰有2个点到直线的距离为1． 【答案】（1）（或） （2）（或） （3）证明：的圆心为，半径， 圆心到直线的距离． 因为，所以，则， 即， 所以上恰有2个点到直线的距离为1． 【解析】 【分析】（1）设，由坐标化化简得解；（2）将两圆方程相减得解. （3）求出圆心到直线的距离与半径比较得解； 【小问1详解】 设点．由，得， 两边平方得，整理得， 则的方程为（或）． 【小问2详解】 由，得， 所以与圆的公共弦所在直线的方程为（或）． 【小问3详解】 略 19. 如图，在矩形中，为边上的中点，，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，直线与半圆相切，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，如此无限继续下去，记矩形的面积为． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过直线与半圆相切，得到，即可求； （2）连接，通过，结合直线与半圆相切，得到，进而得到，即可求； （3）结合两角差的正切公式和裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 如图1，连接，则， 在矩形中，直线与半圆相切， 所以，，故． 【小问2详解】 如图2，连接，由题意可得：， 在矩形中，直线与半圆相切， 所以，． 由，得，所以， ，又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，故． 【小问3详解】 由（2）得，所以， 由，得， 所以数列的前项和： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知直线：与直线：垂直，则（ ） A. B. 2 C. 8 D. 3. 在等比数列中，，且，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 4. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 在数列中，，，则（ ） A. 7 B. 3 C. 5 D. 2 6. 一束光线从点处射出，经过轴反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则满足的最小整数的值为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 8. 某脐橙基地对一批脐橙的单果净重（单位：g）进行了抽样统计，将数据按，，，，分为5组，作出频率分布直方图，如图所示．已知样本中单果净重不低于的数量是单果净重低于的数量的4倍．若将这批脐橙按单果净重降序排列，将前20%的脐橙划分为大果，则估计大果的单果净重的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆的方程为，点，，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 点在圆的内部 D. 点在圆的外部 10. 已知函数的最小正周期为，若的图象关于直线对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 设数列的前项和为，若对于任意的正整数，存在正整数，使得，则称为“封闭数列”，下列结论正确的是（） A. 若，则为“封闭数列” B. 若，则不存在常数，使得为“封闭数列” C. 若和均为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” D. 若为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线在轴上的截距为______． 13. 若数列满足，且，则______，的前20项和为______． 14. 已知动点到坐标原点的距离为3，且不在第四象限，记动点的轨迹为．若直线与有两个公共点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：，：． （1）若，求的值； （2）若的倾斜角为，求的值； （3）证明：无论取何值，恒过定点． 16. 设的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）设，，求的面积． 17. 已知等差数列的公差为2，且是与的等差中项． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和，并指出是的第几项． 18. 已知点，，动点满足，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）求与圆的公共弦所在直线的方程； （3）若，证明：上恰有2个点到直线的距离为1． 19. 如图，在矩形中，为边上的中点，，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，直线与半圆相切，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，如此无限继续下去，记矩形的面积为． （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $