浙江省嘉兴市2026-2027学年第一学期高三教学质量检测数学试卷

2026学年第一学期高三教学质量检测 数学试题卷 (2026.11) 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试题卷和答题纸上规定的位置. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知z= 2+1,则1zF 1-i A.⑤ B.5 C.vio D.10 2 4 2 4 2.已知随机变量X~N(2,o2),若P(X>4)=0.1,则P(0<X<2)= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 3.己知A={x|ax2+2x+1=0,aeR},则“a=1”是“集合A中只有一个元素”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知公差不为0的等差数列{a,}的前n项和为S,若a1,4,a,成等比数列，则= A.3 B. 5 2 C. 5-3 D. 3-2 5.已知0<a<2,则2。+的最小值为 A. B 9-2 D. 2 高三教学质量检测数学试题卷第1页（共6页） 6.环保部门要求排放的废水pH值不低于6，其中pH=-lg[H】,[H]表示溶液中氢离子 的浓度，单位是摩尔/升.某工厂产生的废水pH值为3.7，若处理过程中废水体积不变，加 入碱性物质后，废水中的旧+]变为原来的】，则实数m的最小值约为 m 参考数据：lg2≈0.3 A.200 B.400 C.500 D.1000 7.己知正四面体P-ABC的棱长为2，点E为棱PA的中点，点F为棱PB上靠近点P的 四等分点，点Q为棱PC上靠近点P的三等分点.若平面EFQ与直线AB交于点T,则三 棱锥P-FQT的体积为 A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 16 12 12 16 8.已知函数)=n2-x+2x,则不等式fBx+f0-x)>4的解集为 A.0 B.2 12 D.( 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知双曲线C:-y2 =1的左、右焦点分别为F,F2,点P在C上，则 412 A.双曲线C的离心率e=2 B.双曲线C的渐近线方程为y=士 -x 3 C.若|PF=8,则|PF=4或|PF=12 D.当k∈(-√3，V3)时，直线y=x+1与C有两个交点 10.一个箱子内装有大小形状完全相同的10个球，其中红色、黄色、蓝色球各3个，白 色球1个.小明从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件A为“这2个球中恰有 1个白球”，事件B为“这2个球中至少有1个白球”，事件C为“这2个球为不同颜色 的球”，则 A.P(8)=19 100 B.P(C)=18 25 C.P D.P(BIC)- 高三教学质量检测数学试题卷第2页（共6页） 11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中A,B均为锐角，且满足 a2+b2=2c,△ABC的外接圆半径为1.记△ABC内切圆的半径为r,则 A.C为钝角 B.c=2 C.若A=3B,则sin?A=2+2 D.r的最大值为2-√2 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知(x+9)6的展开式中x4的系数为12，则实数a= 13.已知A(3,0),B(0,4),点P在圆x2+y2=1上运动，则1PA2+1PBP的最大值为 14.已知平面向量a,b,c满足a=V6,1b上22，|a+b=4,且(c-a)(c-b)=5, 则bc的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知f(x)=2cos2x+2W√3 sinxcosx. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=0,且满足ccos B=bsinC, c=2,求△ABC的面积. 高三教学质量检测数学试题卷第3页（共6页） 16.(15分) 己知0为坐标原点，点4(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，过点A的直线1与C交 于点B(异于点A),与x轴交于点E. (1)若直线1的斜率为2，求|AB|: (2)若点D满足AB=2BD,且△ODE的面积为1，求直线l的方程. 17.(15分) 如图1，在平面四边形PBCD中，BC1CD,∠PBD=号BC=2,BD=4,PB=3, 点A在PB边上，且AD⊥BP,现将△PAD沿AD翻折至△P'AD(如图2). B (图1) (图2) (I)当平面P'AD⊥平面ABCD时，求证：BD⊥PC; (2)若四棱锥P'-ABCD的外接球球心在平面ABCD内，求P'C与平面ABCD所成 角的正弦值. 高三教学质量检测数学试题卷第4页（共6页） 18.(17分) 已知数列6，}的前n项和S,满足[，数列6，}满足=1， b+l=2bn+2”,neN*. (1)求数列{an},色n}的通项公式： 2品c-会 (i)求cn的最大值： (i)若s,,m均为正整数，s,1el81,3m之2，使得k,-cs2,求实数p 的取值范围。 高三教学质量检测数学试题卷第5页（共6页) 19.(17分) 已知函数y=f(x)在其定义域上是增函数. (1)若y=f(x)满足∫：{1,2,3}→1,2,3,4,5,6，且f(3)=6时，求满足条件 的f(x)的个数. (2)若y=f(x)满足f:{1,2,3,.,n}→{1,2,3，.，m}(常数m,n∈N,且m>n), 求随机变量f(n)的数学期望E(f(n)》: (3)若y=f(x)满足f:N*→N,f)=1,且3a≥2，a∈N,f(x+1)-f(x)≤(x+1)2, 令g)=+D,求证：g)在N上不是增函数. f(x) 高三教学质量检测数学试题卷第6页（共6页） 2026学年第一学期高三教学质量检测 数学参考答案(2026.11) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1~8 CDAB DABB 8.【解折由题意可知函数7凶的定义域为02故0<3x<2.0<-x<2,所以0<x<号 由fw)=,-1-1+2=-2 -2 -+2≤- -+2=0, 2-x x +22-)+2- 2 可知f(x)在(0,2)上单调递减， 因为f2-刘=1m2x+4-2x=-n2-2+4-2x=4-f0闭，即f0-x+f)=4, “2-x 所以f(x)的图象关于点(1,2)中心对称， 故f(3x)+f(1-x)>4可变形为f(3x)>4-f(1-x)=f1+x),由单调性可知3x<1+x, 所以x<分综上所述，0<x<分故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.ACD 10.ABD 11.BC 11.【解析】设△ABC的外接圆半径为R, 若C为钝角，则2c=a2+b2<c2,故c>2,与c≤2R=2矛盾.故A错误； 若C为锐角，由a2+b=2c=2c,则qR+b条三c,即sn24+sinB=sinC 由A+B>号，得A>号-B,m4>sm吗-8)=cos8, 故sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1,矛盾.故C为直角. 由a2+b2=c2=2c可得c=2,故B正确： 若A=3B则1级B=,得snA=仁co2414V +之_2+5，故C正确： 8 2 24 由S=1ab=a+b+2)r可得r=a6 ,由a2+b2=4，得(a+b)2=4+2ab, a+b+2 高三教学质量检测数学参考答案第1页（共9页） 2-4 ah=a+-4☆at=528+=22,则r2=24-2s- 2 故D错误. 综上所述，选BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.37 14.25 2 14.【解析】令OA=a,OB=b,OC=c, 由于|a-b2+|a+bP=20a2+lb),所以1a-b=25. 设AB的中点为D,由题意： 在△OAB中，IOA非V6,IOB=22,IAB卡23， |OD=2,由极化恒等式可知： (c-a)-(c-b)=CA.CB=CDP-IDBP=CDP-3=5, 故|CD=2√2，所以点C在以D为圆心，半径为r=2VN2的圆上运动， 所以bc=OB.OC=OB.(OD+DC)=OB.OD+OB.DC, 在AOBD中，c0s∠D0B=4+8-3=9 2x2x2W28√2 故O丽.0D-丽OD-os∠D08-号，而O丽-d-OHDC1eo0gOiH7c8 所以6≤号+8空，当且仅当0丽与C共线同向时取等号， 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 已知f(x)=2cos2x+2W3 sinxcosx. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=0,且满足ccos B=bsinC, c=2,求△ABC的面积. 高三教学质量检测数学参考答案第2页（共9页） 【解析】(1) f(x)=2cos2x+2v3sinxcosx cos2x+1+3sin2x =2(5os2x+ 2sin2x)+1=2sin(2x+)+1, 令2x+元∈-+2,5+2l,keZ,解得：xe买+ka,天+k,keZ, 6 3 6 即函数f)的单调递增区间为买+m,”+k,keZ: (2)f0=2sin(2A++1=0,解得：A=或A=5 6 2 6 因为cosB=bsinC,即C=。,又由正弦定理可得：。。b sin C cos B sinC sin B 故snB=cosB,得：B=年所以A=子 所以△ABC为等腰直角三角形，故b=c=2, 1 所以S=bc=1x2x2=2. 2 2 16.(15分) 己知O为坐标原点，点A(1,2)在抛物线C:y2=2Px(p>0)上，过点A的直线1与C交 于点B(异于点A),与x轴交于点E. (1)若直线1的斜率为2，求|AB|: (2)若点D满足AB=2BD,且△ODE的面积为1，求直线1的方程. 【解析】(1)点A1,2)在抛物线y2=2px上，解得p=2,所以抛物线方程C:y2=4x, 又因为直线1的斜率为2，所以1的方程为y=2x, 联立方程 y=4x可得x4=1，g=0，所以 y=2x |AB卡V1+k2|xA-xB=5: (2)设直线1的方程为：x-1=m(y-2),所以E(1-2m,0), 直线1与抛物线方程联立，： 高三教学质量检测数学参考答案第3页（共9页） y2=4x 。可得：y2-4my+8m-4=0, x-1=m(y-2) △=16m2-4(8m-4)>0→m≠1， yyB=8m-4,所以yB=4m-2, 因为AB=2BD,(xB-x4yB-y)=2(xD-xByD-yB), 即-y⅓=200-g,所以03-1=6m-4, soe=210E1plyo上号l0-2m6m-49H6m2-7m+21, 1 解得m=1（舍)或m=二， 6 所以直线1的方程为：6x-y-4=0. 17.(15分) 如图1，在平面四边形PBCD中，BC1CD,∠PBD=行，BC=2,BD=4,PB=3, 点A在PB边上，且AD⊥BP,现将△PAD沿AD翻折至△PAD(如图2). D B (图1) (图2) (1)当平面PAD⊥平面ABCD时，求证：BD⊥P'C; (2)若四棱锥P'-ABCD的外接球球心在平面ABCD内，求P'C与平面ABCD所成 角的正弦值. ）证：在平面四边形PBCD中，∠PBD三，ADLAB, 高三教学质量检测数学参考答案第4页（共9页） 解得AD=2V3,AB=2,故AP=1, 【方法一】由于AB=BC=2,∠BAD=∠BCD=,所以△BAD兰BCD,放∠ABD=∠CBD, 所以在等腰△ABC中，可得：AC⊥BD, 当平面P'AD⊥平面ABCD时，由于PA⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PA⊥ 平面ABCD,故P'A⊥BD,AC∩AP'=A,所以BD⊥平面P'AC,故BD⊥P'C: 【方法二】当平面P'AD⊥平面ABCD时， 由于P'A⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以P'A⊥平面ABCD, 如图建系，由题意可知：A(0,0,0),B(2,0,0),C3√3,0)，D(0,2V3,0),P'(0,0,1), 所以BD=(-2,2W3,0),P'C=(3,V3,-1),由BD.P'C=-2×3+2V3×V3=0, 所以BD⊥P'C. (2)【方法一】过点P'作PH⊥AB于H,则P'H⊥平面ABCD, 如图建系，由题意可知： A(0,0,0),B(2,0,0),C(3W3,0),D(0,2V3,0),P'(cos0,0,sin0), 在平面四边形ABCD中，由于∠B4D=∠BCD=受，所以BD的中点为四边形ABCD的外 接圆圆心01，√3,0)， 且半径r=OB=2,由于四棱锥P'-ABCD的外接球 球心在平面ABCD内， 所以点O即为四棱锥P'-ABCD的外接球球心， 故10P'V(cos0-1)2+3+sin20=-2,解得 0-分做0=骨所以P5,元=原5，-9. 5 平面A8CD的法向量n=(O,0,,所以sim9cosP元，n上P,mL-三 _V30 IP'CIIn 10 20 【方法二】在平面四边形ABCD中，由于∠BAD=∠BCD=汇，所以BD的中点为四边形 高三教学质量检测数学参考答案第5页（共9页） ABCD的外接圆圆心O,且半径r=OB=2, 由于四棱锥P'-ABCD的外接球球心在平面ABCD内，所以点O即为四棱锥P'-ABCD的 外接球球心，因为点P在球上，所以BP⊥PD. 因为AD⊥AP,AD⊥AB,AP'∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,BP'⊥AD, 又PD∩AD=D,所以BP'⊥平面P'AD,故BP'⊥PA. 过点P作P'H⊥AB于H,则P'H⊥平面ABCD,所以∠PCH即为所求线面角， 在直角△P'AB中，P'A=1,AB=2,AH=AB=, 2 在ABCH中，阴-，CB=2∠CBH-行，由余被定理可得C1 37 2 3 tan∠P'CH= PH 2 .v3 CHV37√37 所以sin∠PCH=y3o 20 18.(17分) 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn= n(n+1) 2 ，数列也n}满足6=1， bm+l=2bn+2”,n∈N. (1)求数列{an},色n}的通项公式： (2)记c,=8 (i)求cn的最大值： (i)若s,,m均为正整数，s,1el8,3m之2，使得c,-c≤P,求实数p 的取值范围. 【解析】(1)数列{an}其前n项和满足Sm 当n=1时，a1=S1=1: 高三教学质量检测数学参考答案第6页（共9页） 当22时，=8-s=[-[2”=a+-- 综上所述：an=n3,n∈N; 而数列bn}满足bn+1=2bn+2”, 所以会=一会-片合}是-个首项为宁公为曲等类数列， 所以会=方十a-0=分故6，=n:2,neN: 2”22 (2)(i)cn=g4=n2 b,2’n∈N*, c1-6,=a+2=-2+2n+1 2”2= 2 当n≤2时，cn+1-cn>0,当n≥3时，Cn1-Cn<0, 所以C1<c2<C3>c4>C5>…, 9 故(cn)max=C=4 (i)由(i)可知(e,)nn=mincs}=min,2}=2' 1、1 故，e间k-6l=是分子3m22,使得品子 7 令y=n 2=-=21x-c-lIn2,h)-2-1n2, 雪xE02马时，w>0,h单调递增：当xE(+四时，h④)<0，a)单调递 In2 减： 由于2=i2>0,ke)=ln2>0,k0=hg>0,M)=n 9 49 64 <0, 8 9 ①当m≤6时，h(m)>0，即lncm>0，且h(m)min=h(6)=ln 则p2 7 7,9 4 -In min 48 高三教学质量检测数学参考答案第7页（共9页） 7 ②当m≥7时，h(m)<0,即lncm<0,且h(m)max=h(7)=2ln 则ps(c 7.7 7.9 综上所述：pe(-o2gU8+o) 19.(17分) 已知函数y=f(x)在其定义域上是增函数， (1)若y=f(x)满足f:{1,2,3}→(1,2,3,4,5,6}，且f3)=6时，求满足条件 的f(x)的个数. (2)若y=f(x)满足f:{1,2,3,,n}-→1,2,3，，m}(常数m,n∈N*,且m>n), 求随机变量f(n)的数学期望E(f(n): (3)若y=f(x)满足f:N*→N,fI)=1,且3a≥2，a∈N,f(x+1)-f(x)≤(x+1), 令g)=+D,求证：g)在N上不是增函数. f(x) 【解析】(1)因为函数y=f(x)是增函数，所以满足条件的函数f(x)的个数为C?-10: (2)由题意P(Um=k)=C,其中n≤ksm, (k-1) ! 则P(U=k)-C盟_“m-t- n. nlk-p_nC坠， C CM 所认uon-2ow-小-2g2si六+c+cat+c =2(+Ca+Ca2+…+C）=刀Ca时=mtD C n+1 (3)反证法：假设g(x)在N*上是增函数， 因为/0=1，且f)为单调递增函数，所以设f2=1>1,所以g=f只=4， f(1) 由假设g(n)>g(n-1)>g(n-2)>…>g(I)=t, 高三教学质量检测数学参考答案第8页（共9页） 由g0=2,8g2)=fg，g6)=fA, …,gm-D=fma≥2， fa) f(2) f(3) f(n-1) 累乘可得：f0m)=g(n-1)g(n-2)…g()·f)>t"-, 又f(n)=(f(n)-f(n-1)+(f(n-1)-f(n-2)+…+(f(2)-f()+f(I) ≤n+(n-1)+…+2a+1a≤na+1, 因此na+'>t"对于neN且n≥2恒成立， 对n1>t"两边取对数，得nna>lnt”-,化简可得： lnn、lnt (*) n-1a+1 下证：lnn≤Vn-1(n≥2)，令x)=lnx-Vx-1(x≥2)， 则=1-1=--1- x 2vx-1 2xvx-1 所以当x∈I2,+o)时，h(x)单调递减， 所以M=nx-xi≤2<0，所以m<-,结合（)>a+T' 解得：n<a++1,即m≥++1且meN时（)式不成立，产生矛盾， (int)2 (int)2 所以假设不成立，故g(x)在N上不是增函数. 部分试题改编来源： T6必修一 P134例4 T13选择性必修一 P98习题T12 T18选择性必修二 P34练习T5 高三教学质量检测数学参考答案第9页（共9页）