3.2-3.3综合检测题-2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册

综合检测题（3.2--3.3） 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】设出点A，B，C的坐标，利用直线AB，AC，BC斜率的关系建立等式即可得解. 【详解】依题意设，则直线AB，AC，BC斜率分别为： ， 因，则，即， 则，因F(1，0)在直线AB上，则，而， 有，即，点A在直线上， 又是等腰三角形，点F，点D关于直线对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4. 故选：B 2．已知为坐标原点，抛物线，，若与交于点和点，且与的准线交于点，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】抛物线与的准线分别为，交于点， 而与的准线交于点，则，由，解得或， 即，所以. 3．已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线C的渐近线方程为 C．若，则的面积为 D．曲线的离心率为 【答案】D 【分析】设，由题可得，可得双曲线方程，进而判断ACD，然后利用双曲线的定义及三角形的面积公式可判断C. 【详解】由，可得， 设，则，即， ∴，设， 则，，所以，即， 又，， 所以， ∴，即，故A错误； 所以双曲线，， 双曲线C的渐近线方程为，离心率为，故B错误，D正确； 若，则， 所以，的面积为1，故C错误. 故选：D. 4．设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，其中，，求得，且有，，利用两角和的正切公式可求得的值，进而可求得的值，即可得出该双曲线的渐近线的方程. 【详解】易知点、，设点，其中，，且， ，且， ，，所以，， ， 因为， 所以，，则， 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 5．已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程. 【详解】因为，，所以，动点满足， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为，则有，，， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 6．已知抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若是等边三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的焦点、准线方程，由已知求出点的坐标，进而求出即可求解得答案. 【详解】依题意，抛物线的焦点，准线方程为， 即直线，不妨令点在第二象限， 由是等边三角形，得直线的方程为， 于是点， 显然点在双曲线的渐近线上，则， 又，解得，， 所以双曲线的方程为. 故选：C 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且.若为坐标原点，直线与双曲线的另一个交点为，点是双曲线的左顶点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出半焦距，再根据双曲线的定义求出，从而得到的坐标，根据双曲线关于原点对称可求的坐标，计算出的坐标后可求它们的数量积. 【详解】因为，故，所以， 故，所以即. 又，， 所以. 故选C. 【点睛】本题考查双曲线基本量的求法，注意可根据双曲线的定义来求基本量，也可以假设出双曲线的标准方程，根据题设条件得到关于基本量的方程组，解方程组后可求基本量，而数量积的计算，可以利用它们的坐标来计算. 8．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意确定抛物线，分直线平行于轴时和不平行于轴时，分别求，即可得解. 【详解】根据题意，抛物线的焦点到其准线的距离为2， 即，则抛物线，焦点， 当直线平行于轴时，，， 当直线不平行于轴时， 设直线，， 联立方程组，得，， 则， 又，所以的最小值为4. 故选：B 二、多选题 9．已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（    ） A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点P的横坐标为±1 D．△PF1F2的面积为 【答案】ACD 【分析】A选项结合渐近线的公式即可求出结果；B选项确定圆心半径即可求出结果；C选项设出点P(x0，y0)，解方程组即可求出结果；D结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知F1F2＝， 所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上， 不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上， 所以由解得|x0|＝1， 则点P的横坐标为±1，故C正确； 由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确． 故选：ACD. 10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D. 【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与相切，故B正确； 设点，所以， 所以，故C正确； 如图过点作准线，交于点，，， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 11．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（    ） A．双曲线的实轴长为2 B．双曲线的一条渐近线方程为 C． D．双曲线的焦距为4 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解. 【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故， 实半轴长为1，实轴长为，A正确； 因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确； 由于可能在的不同分支上，则有，C错误； 焦距为正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为______. 【答案】2 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,， 圆 的圆心 , 半径为2， 双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ， 可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有 ， 可得 ， 即 . 故答案为：2. 13．已知双曲线 的右顶点为， 若以点为圆心， 以 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【分析】首先取的中点，连接．则，根据已知条件得到，从而得到，再求离心率即可. 【详解】如图所示： 取的中点，连接．则． 由知，， 又因为点到渐近线的距离， 所以，即， 又，代入化简得，即， 解得或（舍去），故． 故答案为： 14．已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为____，直线MN的方程为____. 【答案】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 四、解答题 15．已知抛物线与直线相交于A、B两点． (1)求证：； (2)当的面积等于时，求k的值． 【答案】(1) 证明：由方程与联立，消去后，整理得． 由题意易知，且， 设，由韦达定理，， 在抛物线上，， 则，. ∴． (2) 【分析】（1）根据题意，将证明转化为证即可； （2）根据题意，由利用面积建立关于k的方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）    设直线与轴交于N，又显然，令，则，即， 又， ，且， 则，解得. 16．已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若直线与双曲线交于两点（在左支上，在右支上），求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，以为直径的圆过原点，求双曲线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两条渐近线的斜率之积，求出，进而根据，求出； （2）直曲联立，根据，利用韦达定理求解即可； （3）利用韦达定理，借助，列方程求解即可. 【详解】（1）双曲线，渐近线斜率之积， 故，，故离心率； （2） 直线与交于、两点，在左支、在右支，即， 联立，得， 即，需两根异号：， 因分子恒负，故，所以 （3） 当时，方程化为， 则， 以为直径的圆过原点， 又， 故， 即，得，，， 故双曲线的方程为. 17．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上. （1）求E的方程： （2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用，再代入，联立即得解； （2）设l的方程为：，，，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解 【详解】（1）由已知可得， ∴，解得① 又∵点在E上， ∴② 由① ②可得，. ∴双曲线E的方程为. （2）过点的直线l斜率显然存在， 设l的方程为：，，， 将l的方程代入双曲线E的方程并整理得， 依题意，且， 所以且， 因此，可得，. ∴ . 18．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N. (1)求抛物线C的方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设O为原点，，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)定值为2 【分析】(1)将点P的坐标代入即可求出抛物线C的方程. (2)设出直线l方程，联立直线l与抛物线C的方程，借助判别式即可计算得解. (3)利用给定的向量关系，用点M，N的纵坐标表示和，结合(2)的信息并借助韦达定理即可计算作答. 【详解】（1）因点在抛物线上，则，解得， 所以抛物线C的方程为. （2）令直线的斜率为k，则直线方程为：， 由消去y并整理得：， 因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，则，解得且， 又直线PA，PB与轴相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线不能过点(1，-2)， 否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此， 综上得：，且， 所以直线的斜率的取值范围. （3）设点，，，而，则，同理， 设，由(2)知， 直线方程：，即，则， 令，得，同理， 于是得 ， 所以为定值2. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19．已知在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转得到点，则满足公式. (1)将点绕坐标原点O逆时针旋转60°得到点Q，求点Q的坐标； (2)已知反比例函数，点和点， （ⅰ）请证明反比例函数的图象是双曲线，并求该双曲线的实轴长和离心率： （ⅱ）若点M是反比例函数的图象上任意一点，求的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）若为上任意点，显然点、都在的图象上， 所以都是的对称轴，而轴是的两条渐近线， 将的图象顺时针旋转，设旋转后图象上的任意点， 所以旋转前的对应点为，即， 所以，可得， 所以旋转后对应曲线方程为，故反比例函数的图象是双曲线，得证， 双曲线中，则，离心率为，即实轴长为4，离心率为； （ii）. 【分析】（1）根据题设的坐标转换公式求点Q的坐标； （2）（i）根据的性质知都是的对称轴，而轴是的两条渐近线，将的图象顺时针旋转，设旋转后图象上的任意点，结合转换公式用表示出旋转前的点坐标，代入，即可证，进而写出长轴长和离心率；（ii）根据（i）所得双曲线，将、、都转换到标准双曲线所在直角坐标系中，结合双曲线的定义求距离和的最小值. 【详解】（1）由题设，点绕坐标原点O逆时针旋转60°，则， 所以； （2）（i）略 （ii）同（i）分析，将旋转成曲线，其中， 则，对应点分别为，， 将代入双曲线方程，有，即在双曲线右侧之外， 显然是双曲线的右焦点，是双曲线的左焦点， 要使最小，在双曲线的右支上，此时， 所以，则，当且仅当共线时取等号， 故最小. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测题（3.2--3.3） 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（    ） A． B．4 C． D．3 2．已知为坐标原点，抛物线，，若与交于点和点，且与的准线交于点，则（    ） A． B． C．4 D． 3．已知双曲线与直线交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为，曲线C的左、右焦点分别为．若，则下列说法正确的是（    ） A． B．双曲线C的渐近线方程为 C．若，则的面积为 D．曲线的离心率为 4．设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点F是双曲线的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若是等边三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且.若为坐标原点，直线与双曲线的另一个交点为，点是双曲线的左顶点，则（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 9．已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（    ） A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点P的横坐标为±1 D．△PF1F2的面积为 10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 11．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（    ） A．双曲线的实轴长为2 B．双曲线的一条渐近线方程为 C． D．双曲线的焦距为4 三、填空题 12．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为______. 13．已知双曲线 的右顶点为， 若以点为圆心， 以 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线的离心率为_______． 14．已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为____，直线MN的方程为____. 四、解答题 15．已知抛物线与直线相交于A、B两点． (1)求证：； (2)当的面积等于时，求k的值． 16．已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求双曲线的离心率； (2)若直线与双曲线交于两点（在左支上，在右支上），求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，以为直径的圆过原点，求双曲线的方程. 17．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上. （1）求E的方程： （2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和. 18．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N. (1)求抛物线C的方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设O为原点，，求证：为定值. 19．已知在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转得到点，则满足公式. (1)将点绕坐标原点O逆时针旋转60°得到点Q，求点Q的坐标； (2)已知反比例函数，点和点， （ⅰ）请证明反比例函数的图象是双曲线，并求该双曲线的实轴长和离心率： （ⅱ）若点M是反比例函数的图象上任意一点，求的最小值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $