抛物线拓展内容与二级结论 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

抛物线拓展内容与二级结论 01 学习目标 1．能默写焦半径四式，并说明 的来历（到焦点距离换成到准线距离），会用“见焦点换准线”处理 的最小值。 2．记住通径 与“最短焦点弦”的因果：，取等当 对称轴。 3．能独立推出焦点弦三大定值、、，并会由 求。 4．会用两套算法算焦点弦长（坐标式 与角度式），会算 面积并求最小值。 5．掌握点差法的分型公式（ 与），会在用之前检验“弦是否存在”。 6．会用点切线 与切点弦同形公式，知道“两切线垂直 ⟺ 交点在准线上 ⟺ 切点弦过焦点”。 7．能说出阿基米德三角形的三条性质（交点在准线、、切线与对称轴的夹角关系）与抛物线的光学性质。 8．综合题中能自觉完成“设线—联立—韦达—消参”四步，并把结论当作验算工具而非唯一依据。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·焦半径四式与通径、最短焦点弦 ·焦点弦三大定值与弦长的两套算法 ·中点弦的分型公式与存在性检验 ·点切线与切点弦；阿基米德三角形与光学性质 ·结论的适用前提：、开口方向、弦是否过焦点 ·同一个量在“坐标式”与“角度式”之间来回换算 ·点差法算出 后忘记验证 ·把“切点弦”当成“切线”：前者是直线方程，后者才过切点 03 目录 ·01 学习目标｜02 重点 · 难点 ·03 目录｜04 知识结构图（八组结论） ·05 结论总表：焦半径 · 通径 · 焦点弦 · 中点弦 · 切线 · 阿基米德三角形 · 定值 ·06 适用条件与易错警示（用结论前的三道检查） ·类型一 ~ 类型八：结论清单 / 推导要点 / 适用条件 / 易错提醒 + 各 5 题 ·07 方法对照总表｜08 答案速查｜最后三句话 04 知识结构图 ① 类型一 · 焦半径与焦准距 见焦点换准线，x₀+p/2 一步到位 八组结论 四 十 变 式 ⑤ 类型五 · 中点弦点差法 k=p/y₀，先验 y₀²＜2px₀ ② 类型二 · 通径与最短弦 通径 2p 是所有焦点弦的下界 ⑥ 类型六 · 切线与切点弦 y₀y=p(x+x₀)，外部点同形 ③ 类型三 · 焦点弦三大定值 y₁y₂=−p²，x₁x₂=p²/4，倒数和 2/p ⑦ 类型七 · 阿基米德三角形 焦点弦的两切线交于准线 ④ 类型四 · 弦长两算与面积 x₁+x₂+p 与 2p/sin²θ 两条路 ⑧ 类型八 · 定值最值综合 定点 (n,0) ⇒ y₁y₂=−2pn 看图口诀：焦点弦四件事——弦长、倒数和、两根之积、面积；中点弦一句话——点差法除以中点坐标，先验存在；切线两件事——点在线上用，点在外部用同一个式子当切点弦；阿基米德三角形一件事——焦点弦的两条切线必交于准线。 05 结论总表 统一约定：以下全部以（）为准， 在抛物线上， 为过焦点 的弦，、， 为 的倾斜角。换成另外三种开口时，只需把 与 对调、把 的正负号跟着开口走。 结论组 核心公式 适用前提 一 焦半径 开口向右；向左改 二 通径 通径，端点 弦过焦点且 对称轴 三 焦点弦定值 ；； 弦必须过焦点，否则全不成立 四 弦长与面积 过焦点； 是倾斜角不是斜率 五 中点弦 ； 型 在内部： 六 切线 线上点：；外部点切点弦同形 点在线上／点在外部（） 七 阿基米德 两切线交于：焦点弦时 在准线、、两切线互相垂直 两切点连线过焦点 八 定点定值 过 的弦：、； 过 弦过 轴上定点； 为原点 七条最容易被追问的推导 ·焦半径：（用了）。 ·焦点弦定值：设，代入得，故、；再由。 ·倒数和：、，通分后分子、分母，故和为。 ·角度式：。 ·面积：。 ·中点弦：。 ·定点： 代入得，故、，联立垂直条件即解出。 06 用结论前的三道检查 检查一：开口对不对 先看清方程是 还是。平方项定对称轴，一次项的符号定开口：凡是含 的焦半径式，只适用于 型；含 的只适用于 型。开口朝负方向时，把 前的加号改成减号、把 写到前面。 ：；： ：；： 检查二：弦过不过焦点 三大定值、、 与 全部以“过焦点”为前提。若弦过的是 轴上的普通点，则换成、、（设）。把 与 混用，是这类题最常见的丢分点。 检查三：点在内还是在外 对： 在内部（焦点所在一侧）， 在曲线上， 在外部。三件事都依赖它：中点弦是否存在（必须在内部）、能否从该点作两条切线（必须在外部）、 的最小值是否等于（ 在内部时成立）。最省事的判据：把焦点坐标代进去，永远落在“内部”。 八条高频错误（按出错率排序） ·把 当成： 的焦点是，不是。 ·焦点弦长忘加：。 · 写成： 是倾斜角。 · 丢了负号：它是，而 才是正的。 ·点差法公式记反： 型是，分母是纵坐标。 ·点差法不验：中点在外部的弦根本不存在。 ·切线公式用在曲线外的点，或把切点弦当切线。 ·面积忘、忘取绝对值： 必须加绝对值。 使用方法：每道题动笔前用 10 秒走一遍三道检查，再决定套哪条结论；做完后用另一条路径（联立或特殊位置）验算一次。结论是加速器，不是拐杖。 类型一 焦半径与焦准距 模型特征 题干出现“抛物线上一点到焦点的距离”“ 求点坐标”“ 的最小值”“焦点到准线的距离”。这类题只有一个核心动作：把“到焦点的距离”翻译成“到准线的距离”，剩下的就是一次方程或一条垂线。 通法三步 ①定型：平方项定对称轴、一次项符号定开口，据此从四式中选一支，别拿错。 ②代换：（向右）；向左用；上下开口把 换成。 ③收口：求坐标就解 得，再代回方程得（两解）；求最值就过 作准线的垂线，最小值。 核心结论 ：；： ：；： 的最小值是，在顶点取到； 有三种来源——焦点到准线的距离、焦点到顶点的 2 倍、通径的一半；由 反求时，纵坐标必为两解。 易错提醒 ·负号型翻符号： 上，不是。 ·把 当焦准距再乘 2：已知“焦点到准线距离为 6”就是，不是。 ·反求坐标只写一个解： 给出 两个对称点。 ·求最值不检查取等：垂足没落在抛物线上（即 不在内部）时，最小值不等于。 例题精练 1．抛物线 上一点 到焦点的距离为 8，则 到 轴的距离为（ ） A．3 B． C． D．6 答案 C 由 得，故，解得；而 到 轴的距离正是（因 在 轴右侧）。 2．抛物线 上一点 的纵坐标为，则（ ） A．1 B．7 C．9 D．5 答案 D 开口向下，，用第四式：。也可验证：准线， 到准线距离。 3．已知抛物线的焦点到准线的距离为 6，则抛物线上一点到焦点距离的最小值为（ ） A．3 B．6 C．12 D． 答案 A “焦点到准线的距离”就是，故；最小焦半径在顶点取到，值为。注意不是 本身。 4．抛物线 上一点 到焦点的距离为 4，则 的横坐标为（ ） A． B．3 C．4 D． 答案 A ，，得；代回，点 确实存在。 5．抛物线 的焦点为，， 在抛物线上，则 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D． 答案 B ，（准线）。先验 在内部：✓。于是，过 作准线的垂线，垂线与抛物线的交点即取等点，最小值。 本类小结 五道题共用一句翻译：到焦点 到准线。第 2 题专治“负号型写错”，第 3 题专治“把 与 混为一谈”，第 5 题的关键是先确认 在内部——否则最小值要另算。 类型二 通径与最短焦点弦 模型特征 题干出现“通径”“过焦点且垂直于对称轴的弦”“所有焦点弦中最短的一条”“通径长为 求”。本质是把“垂直”这个特殊位置单独拎出来：它同时给出最短弦长、最简端点坐标和一个现成的定值。 通法三步 ①认位置：通径是 这条竖直线截得的弦，端点横坐标都是。 ②代端点：把 代入 得，故端点为、。 ③用最短性：，等号当且仅当，所以“最短焦点弦”就是通径。 核心结论 通径长，端点，半通径 通径端点到焦点的距离都等于（因为）；通径两端点与顶点 围成的三角形面积（底、高）。 通径是所有焦点弦中唯一最短的一条； 越大开口越宽，同一横坐标处的弦长也越大（）。 易错提醒 ·把通径写成：通径是，半通径才是。 ·端点纵坐标写成：代入 得，不是。 ·“最短弦”结论只在焦点弦范围内成立；不过焦点的弦可以比 更短，不能乱用。 ·由通径长反求时忘记除以 2：通径 10 则，焦点到准线距离是 5，不是 10。 例题精练 1．抛物线 的通径长为（ ） A．12 B．6 C．24 D．3 答案 A 通径长，而本题，直接读出 12，不必先求。若问“半通径”才是。 2．抛物线 的焦点到通径端点的距离为（ ） A．2 B．8 C．4 D． 答案 C ，通径端点，焦点，距离为。也可用焦半径：。 3．已知抛物线的通径长为 10，则它的焦点到准线的距离为（ ） A．10 B．20 C． D．5 答案 D 通径，故，而焦点到准线的距离正是，为 5。这是“通径与焦准距差一个 2”的标准考法。 4．过抛物线 焦点的所有弦中，最短弦长为（ ） A．6 B．3 C．12 D． 答案 A 最短焦点弦即通径，长。本题，故最短弦长为 6；它对应的弦垂直于对称轴，端点。 5．抛物线 的通径端点与顶点 围成三角形的面积为（ ） A．1 B．4 C．2 D．8 答案 C ，通径端点、，底长、高为顶点到该竖直线 的距离 1，故。 本类小结 通径的价值在于“一个特殊位置，三重身份”：最短焦点弦、最简端点、现成的面积与焦半径。第 2、3 题都在考“通径 与焦准距 差一个 2”，第 5 题说明通径端点围出的三角形面积恰为。 类型三 焦点弦三大定值 模型特征 题干出现“过焦点的直线交抛物线于、 两点”，随后问、、、，或问“以 为直径的圆”。只要弦过焦点，这些量就与弦的位置无关——这是抛物线最“划算”的一组结论。 通法三步 ①设线：过 的弦写成（含竖直线，不丢情形）。 ②联立：代入 得，于是、。 ③换算：；再用 把倒数和化成对称式。 核心结论 ； ； 若记、，则，等价于——已知一个就能求另一个。 几何版：以 为直径的圆与准线相切；设、 是、 在准线上的射影，则；弦中点纵坐标。 易错提醒 ·弦不过焦点时套用三大定值：此时、，全部换掉。 · 丢负号：它是； 才是正值。 ·用 漏掉竖直线情形，导致“通径”这一支没算（其实 时结论照样成立）。 ·把 记成，量纲都不对。 例题精练 1．过抛物线 的焦点作弦，、，则（ ） A．1 B．2 C．4 D． 答案 A ，由定值。与弦的倾斜程度无关，取通径验算：、，积为 1。 2．过抛物线 的焦点作弦，则（ ） A．16 B． C． D．8 答案 B ，。推导：设，代入得，韦达给出常数项。 3．过抛物线 的焦点作弦，若，则（ ） A．2 B．1 C． D． 答案 C ，由 得，故。也可用：，同解。 4．过抛物线 的焦点作弦，若，则（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 答案 A ，由。也可先由 得，再算。 5．以过抛物线焦点的弦 为直径的圆，与准线的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 答案 C 设 为 中点，则圆半径为； 到准线的距离等于、 到准线距离的平均值，即，距离恰等于半径，故相切。切点就是 与准线垂线的垂足。 本类小结 三大定值是“一设一联”的产物，弦越特殊越好算：需要验算时一律取通径。第 3、4 题分别从“倒数和”与“乘积”两条通道求，两式本质等价；第 5 题把定值翻译成几何语言——圆心到准线的距离等于半径。 类型四 焦点弦长两算与面积 模型特征 题干给“倾斜角为 的焦点弦”“斜率为 1 的焦点弦”“弦长为 16 求倾斜角”，或问“ 面积的最小值”。同一根弦有两种算法：坐标式看横坐标之和，角度式看，选对了几乎不用解方程。 通法三步 ①看条件选式：给 用坐标式；给倾斜角或斜率用角度式。 ②算分段：、（ 是沿倾斜角方向的那个交点）。 ③算面积：，最小在。 核心结论 ； 还有一条常用的桥：；弦中点横坐标。 时三种写法同时退化为通径。 易错提醒 ·把倾斜角当斜率： 里的 是角，不是；写 必错（正确的是）。 · 时 不存在，只能用角度式，别硬代斜率。 ·面积忘，或忘 的绝对值。 ·把 与 混用： 是一段，不是全长。 例题精练 1．过抛物线 的焦点作倾斜角为 的弦，则（ ） A．4 B． C．8 D．16 答案 C ，，。用斜率式核对：，。 2．过抛物线 的焦点作斜率为 1 的弦，则（ ） A．4 B． C．2 D．8 答案 A ，斜率 1 对应，，。若用斜率式：，一致。 3．过抛物线 的焦点的弦 长为 16，则 的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 答案 B ，由 得，故 或，选项中只有。注意 时弦长才是 8。 4．过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的弦， 在 轴上方，则（ ） A． B． C． D．4 答案 D ， 是沿 方向的交点，；对应点。另一段，两段之和 正是。 5．抛物线 的焦点为，过 的弦为，则 面积的最小值为（ ） A．9 B． C．3 D．18 答案 B ，，，故，当（通径）时取等。也可算：，此时。 本类小结 两根弦一样长，但“给角度”的题一律走角度式，可以完全不联立；只有给 时才回到坐标式。第 4 题是本节最容易错的一题：、 对应的是 与 两段，谁在分子上取决于交点在哪个方向。 类型五 中点弦与点差法 模型特征 题干给“弦 的中点为”要求斜率或直线方程，或反过来“斜率为 的平行弦的中点在什么线上”，或问“这条弦是否存在”。核心工具只有点差法，但必须配一句“先验存在”。 通法三步 ①设点：、，、。 ②作差：，即，故。 ③验证：把直线代回抛物线，要求，等价于（ 在内部）；不验会算出“不存在的弦”。 核心结论 ：；： 存在条件：（对 型），即中点必须落在抛物线内部。 平行弦的推论：斜率 固定的弦，其中点都在水平线 上（且只能取抛物线内部那一段）；这一条反过来就是“给斜率求中点轨迹”的标准解法。 易错提醒 ·公式分型记反： 型除以纵坐标， 型才是除以 后乘横坐标。 ·不验存在性： 对 在外部，任何以它为中点的弦都不存在。 ·把“中点弦”当成“过中点的弦”：前者以中点为中点，条件更强。 ·直线写成 后忘记讨论竖直弦（此时，斜率不存在）。 例题精练 1．抛物线 的弦 的中点为，则 所在直线的斜率为（ ） A．1 B．3 C．2 D．6 答案 B ，。验：，中点在内部，弦确实存在。 2．抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 答案 C ，，由点斜式，得。验：代入得，；且。 3．抛物线 的弦 的中点为，则 所在直线的斜率为（ ） A．2 B．1 C．4 D． 答案 D 这是 型，，。验：，在内部；直线 回代得，，两交点、 的中点的确是。 4．抛物线 中，以 为中点的弦（ ） A．存在，斜率为 B．存在，斜率为 C．不存在 D．存在，但斜率不确定 答案 C 先算存在条件：， 在抛物线外部，以它为端点的弦不可能以它为“中点”。若硬套公式得，回代后，正好暴露矛盾——这就是必须验 的原因。 5．抛物线 中，斜率为 2 的平行弦的中点所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 答案 B ，由 反解，故所有中点都在 上（且需落在内部，即对应 的那一段）。 本类小结 点差法只有两行，但三道关口：分型、验存在、别忘竖直弦。第 4 题是本节最值得记住的一题——公式算得出，不代表弦存在；第 5 题把公式反用，得到“平行弦中点轨迹是水平线”这一常用结论。 类型六 切线方程与切点弦 模型特征 题干出现“在点 处的切线”“过点 作抛物线的两条切线”“切点弦所在直线”“两条切线互相垂直”。四句话对应同一个公式，区别只在 在线上还是线外。 通法三步 ①先定位：点在线上（）→ 直接套点切线；点在外部（）→ 同一个式子算出的却是切点弦。 ②求斜率或切点：切线斜率；已知斜率 时反解，再代回求。 ③证垂直：两切线斜率之积为⟺⟺ 交点 在准线 上。 核心结论 线上点：， 线外点：切点弦（同一形式） 切线与 轴交于，与切点横坐标关于顶点对称；顶点处（）切线是 轴，斜率不存在。 三条等价：两切线互相垂直 ⟺ 交点 在准线上 ⟺ 切点弦过焦点。这是类型七的入口。 易错提醒 ·把 当成“过外部点的切线”：它给出的是切点弦，切线要另设切点求。 ·斜率记成 或：正确是。 · 时硬代，分母为零；此时切线是 轴。 ·点在内部（）时谈“两条切线”：根本作不出来。 例题精练 1．抛物线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 答案 B 先验，点在线上。，代 得，即；斜率，一致。 2．抛物线 在点 处的切线与 轴交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案 C ，切线，即；令 得。注意与 轴的交点是，即，两者别混。 3．过点 向抛物线 作两条切线，则切点弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 答案 A 先验， 在外部，两条切线存在。套切点弦公式：，即。验：与 联立得，，确实有两个切点。 4．抛物线 的两条切线互相垂直，则它们的交点必在（ ） A． 轴上 B． 轴上 C．准线上 D．通径所在直线上 答案 C 两切线斜率分别为、，互相垂直即，等价于。而交点横坐标，正好是准线。反过来，若交点在准线上，则，两切线必垂直。 5．抛物线 在点 处的切线与 轴交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案 B 先验✓；，切线，即，令 得，交点，正是切点横坐标 3 的相反数。 本类小结 一个公式、三种用法：线上点→切线，线外点→切点弦，给斜率→反解切点。第 3 题的“外部点”判定（）与第 4 题的“垂直 ⟺ 准线”是本节两个必须记住的门槛，它们直接通向下一节的阿基米德三角形。 类型七 阿基米德三角形与光学性质 模型特征 过抛物线上两点、 分别作切线，两切线交于， 就叫阿基米德三角形。题干若在此基础上再加“ 过焦点”，就立刻多出三条结论；若问“平行光线反射后过哪一点”，那是在考光学性质——它本质仍是定义。 通法三步 ①写两切线：、，别把切点坐标与交点坐标混了。 ②解交点：两式相减得，回代得。 ③用焦点弦条件：若 过焦点，则，故；再算 即得垂直。 核心结论 焦点弦时： 在准线 上，，两切线互相垂直 另外两条常用性质： 与 中点的连线平行于对称轴（二者纵坐标相同，都是）；抛物线被弦 截出的弓形面积（阿基米德的结果）。 光学性质：平行于对称轴的光线射到抛物面，反射后都过焦点；从焦点发出的光线反射后平行于对称轴射出。切线正是入射光线与 的角平分线。 易错提醒 ·把 记成：横坐标用乘积，纵坐标用和，正好相反。 ·“ 在准线上”只对焦点弦成立；普通弦的两切线交点不在准线上。 ·弓形面积与三角形面积的比例记反：弓形是三角形的，不是。 ·把光学性质当成新定理：它可由“到焦点距离 到准线距离”直接推出，不必算反射角。 例题精练 1．过抛物线焦点的弦 的两端作切线，两切线交点 一定在（ ） A．对称轴上 B．焦点处 C．准线上 D．顶点处 答案 C 焦点弦满足，故， 落在准线 上；同时两切线斜率之积为，即互相垂直。 2．抛物线 上两点、，过这两点的两条切线交于，则 的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案 A ，两切线为 即，与 即；联立得、。用公式核对：、。 3．过抛物线焦点的弦 的两条切线交于，则直线 与 的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．成 角 答案 C 由 在准线上、 在对称轴上，且 的纵坐标是、 纵坐标的平均值，可算得，故。推论： 是以 为斜边的直角三角形。 4．从抛物线焦点发出的光线射到抛物面上，经反射后的光线（ ） A．过顶点 B．平行于对称轴 C．过准线与对称轴的交点 D．沿切线方向 答案 B 这是光学性质的另一半：焦点发出的光反射后平行于对称轴射出（探照灯、车灯把灯泡放在焦点就是这个道理）；反过来，平行入射的光反射后全部过焦点。 5．某阿基米德三角形 的面积为 9，则抛物线被弦 截出的弓形面积为（ ） A． B．6 C． D．3 答案 B 阿基米德的结果：弓形面积是三角形面积的，。这一结论对任意弦都成立，不要求过焦点。 本类小结 类型七把前面几条串起来：切线公式（类型六）→ 交点坐标 → 焦点弦定值（类型三）→ 交点在准线、。记住“横坐标用乘积、纵坐标用和”，再记住“弓形是三角形的三分之二”，这一节的两类题就都有了着落。 类型八 定值、定点与最值综合 模型特征 题干出现“直线恒过定点”“证明某式为定值”“”“面积的最小值”“若直线与抛物线有公共点，求参数范围”。这类题不再套单一结论，而是带着参数算到底，看参数能不能消掉。 通法三步 ①设线：过 轴上点 写（含竖直线）；过其它点写，并单独讨论斜率不存在。 ②联立求两根关系：对抛物线优先以 为主元（代入 只出一次式），得、，再换算。 ③消参收口：垂直用；面积用；范围用 加上“直线平行于对称轴”的单独情形。 核心结论 过 的弦：， 弦 过定点 焦点弦：， 注意 与 的区别：过焦点的弦是 的特例，此时、，正好回到三大定值。 易错提醒 ·把“过”的结论当成焦点弦结论： 与 不是一回事。 ·定值题只拿一条特殊弦算出数就“证明完毕”——大题必须对一般参数推导。 ·垂直条件写成：正确的是。 ·求参数范围只用，漏掉（直线平行于对称轴）时也只有一个交点。 ·面积忘绝对值： 可正可负，必须取。 例题精练 1．过点 的直线与抛物线 交于、，则（ ） A．8 B． C． D．4 答案 B 、，由。验证：设，代入得，常数项就是。注意本题的弦不过焦点（焦点是）。 2．抛物线 上两点、 满足，则直线 恒过定点（ ） A． B． C． D． 答案 C ，结论给出定点。推导：设 得，、；由 得（ 时、 与顶点重合，舍）。 3．抛物线 的焦点为，过 的弦为，则 面积的最小值为（ ） A．4 B．16 C．2 D．8 答案 D ，， 时取到最小值 8。此时 为通径，、，，一致。 4．直线 与抛物线 有公共点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 A 当 时， 与抛物线交于，有公共点，必须保留。当 时，代入得，由 得。合并即。 5．抛物线 上两点、 满足，则 的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 答案 C ，由垂直条件知 过定点。设，代入得，，。令， 在 处最小，此时（即 为竖直线）。 本类小结 综合题的答案往往能“秒”，但过程分在推导里：第 1、2 题考“定点公式里 的位置”，第 3 题考面积的上界如何由 控制，第 4 题考参数范围必须把 单独拎出来，第 5 题则是把垂直条件翻译成定点后再求弦长最小。 07 方法对照总表 类型 识别关键词 一句话做法 一 焦半径与焦准距 到焦点的距离；； 最小 换成到准线距离， 或 二 通径与最短弦 通径；垂直对称轴；最短焦点弦 长，端点，是焦点弦的下界 三 焦点弦三大定值 过焦点；；；倒数和 设，韦达给、、 四 弦长两算与面积 倾斜角；斜率；弦长； 面积 优先；面积 五 中点弦 弦的中点；平行弦中点轨迹；弦是否存在 点差法（ 型），先验 六 切线与切点弦 某点处切线；过外点作两切线；两切线垂直 ，线外点同形即切点弦；垂直 ⟺ 准线 七 阿基米德三角形 两切线交于； 与；反射光线 ；焦点弦时在准线且 八 定值定点最值 恒过定点；；参数范围 过：；垂直 ⟺ 过；范围看 与 08 答案速查 类型 1 2 3 4 5 一 C D A A B 二 A C D A C 三 A B C A C 四 C A B D B 五 B C D C B 六 B C A C B 七 C A C B B 八 B C D A C 表中每一行的 1–5 对应本类中的五道题，即全卷第 1–40 题。 最后三句话 一、所有二级结论只有两个源头：定义（到焦点距离 到准线距离）与一次联立（韦达定理）。记不住某条结论时，回到这两个源头，两行就能推出来。 二、用结论前一定走三道检查：开口方向、弦是否过焦点、点在内部还是外部。这三条决定了公式是 还是、是 还是、是切线还是切点弦。 三、结论是提速工具，验算是保命手段。做完用另一条路径核对（取通径验定值、回代验、代特殊点验定点），能验算的结论才是真会。 学科网（北京）股份有限公司 $ 抛物线拓展内容与二级结论 写在前面：抛物线的定义只有一句话，但由此派生出的二级结论却能撑起半张卷子。所谓“二级结论”，指的是可由定义与方程直接推出、又必须能自己推一遍才能放心使用的等式与位置关系：焦半径、通径、焦点弦三大定值、中点弦、点切线、阿基米德三角形的三条性质……它们的好处是跳过联立与韦达，一步到位；风险是记错一个符号、用错一种开口，整题连错。 所以本专题不做“结论罗列”，而是按八组结论逐组训练：每组先给结论清单与推导要点，再给适用条件与易错提醒，最后配 5 道变式题（前 2 道套结论，后 3 道考“什么时候能用、什么时候不能用”）。40 道题全部自己算过，选项互斥，正确项字母已打散。 01 学习目标 1．能默写焦半径四式，并说明 的来历（到焦点距离换成到准线距离），会用“见焦点换准线”处理 的最小值。 2．记住通径 与“最短焦点弦”的因果：，取等当 对称轴。 3．能独立推出焦点弦三大定值、、，并会由 求。 4．会用两套算法算焦点弦长（坐标式 与角度式），会算 面积并求最小值。 5．掌握点差法的分型公式（ 与），会在用之前检验“弦是否存在”。 6．会用点切线 与切点弦同形公式，知道“两切线垂直 ⟺ 交点在准线上 ⟺ 切点弦过焦点”。 7．能说出阿基米德三角形的三条性质（交点在准线、、切线与对称轴的夹角关系）与抛物线的光学性质。 8．综合题中能自觉完成“设线—联立—韦达—消参”四步，并把结论当作验算工具而非唯一依据。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·焦半径四式与通径、最短焦点弦 ·焦点弦三大定值与弦长的两套算法 ·中点弦的分型公式与存在性检验 ·点切线与切点弦；阿基米德三角形与光学性质 ·结论的适用前提：、开口方向、弦是否过焦点 ·同一个量在“坐标式”与“角度式”之间来回换算 ·点差法算出 后忘记验证 ·把“切点弦”当成“切线”：前者是直线方程，后者才过切点 03 目录 ·01 学习目标｜02 重点 · 难点 ·03 目录｜04 知识结构图（八组结论） ·05 结论总表：焦半径 · 通径 · 焦点弦 · 中点弦 · 切线 · 阿基米德三角形 · 定值 ·06 适用条件与易错警示（用结论前的三道检查） ·类型一 ~ 类型八：结论清单 / 推导要点 / 适用条件 / 易错提醒 + 各 5 题 ·07 方法对照总表｜最后三句话 04 知识结构图 ① 类型一 · 焦半径与焦准距 见焦点换准线，x₀+p/2 一步到位 八组结论 四 十 变 式 ⑤ 类型五 · 中点弦点差法 k=p/y₀，先验 y₀²＜2px₀ ② 类型二 · 通径与最短弦 通径 2p 是所有焦点弦的下界 ⑥ 类型六 · 切线与切点弦 y₀y=p(x+x₀)，外部点同形 ③ 类型三 · 焦点弦三大定值 y₁y₂=−p²，x₁x₂=p²/4，倒数和 2/p ⑦ 类型七 · 阿基米德三角形 焦点弦的两切线交于准线 ④ 类型四 · 弦长两算与面积 x₁+x₂+p 与 2p/sin²θ 两条路 ⑧ 类型八 · 定值最值综合 定点 (n,0) ⇒ y₁y₂=−2pn 看图口诀：焦点弦四件事——弦长、倒数和、两根之积、面积；中点弦一句话——点差法除以中点坐标，先验存在；切线两件事——点在线上用，点在外部用同一个式子当切点弦；阿基米德三角形一件事——焦点弦的两条切线必交于准线。 05 结论总表 统一约定：以下全部以（）为准， 在抛物线上， 为过焦点 的弦，、， 为 的倾斜角。换成另外三种开口时，只需把 与 对调、把 的正负号跟着开口走。 结论组 核心公式 适用前提 一 焦半径 开口向右；向左改 二 通径 通径，端点 弦过焦点且 对称轴 三 焦点弦定值 ；； 弦必须过焦点，否则全不成立 四 弦长与面积 过焦点； 是倾斜角不是斜率 五 中点弦 ； 型 在内部： 六 切线 线上点：；外部点切点弦同形 点在线上／点在外部（） 七 阿基米德 两切线交于：焦点弦时 在准线、、两切线互相垂直 两切点连线过焦点 八 定点定值 过 的弦：、； 过 弦过 轴上定点； 为原点 七条最容易被追问的推导 ·焦半径：（用了）。 ·焦点弦定值：设，代入得，故、；再由。 ·倒数和：、，通分后分子、分母，故和为。 ·角度式：。 ·面积：。 ·中点弦：。 ·定点： 代入得，故、，联立垂直条件即解出。 06 用结论前的三道检查 检查一：开口对不对 先看清方程是 还是。平方项定对称轴，一次项的符号定开口：凡是含 的焦半径式，只适用于 型；含 的只适用于 型。开口朝负方向时，把 前的加号改成减号、把 写到前面。 ：；： ：；： 检查二：弦过不过焦点 三大定值、、 与 全部以“过焦点”为前提。若弦过的是 轴上的普通点，则换成、、（设）。把 与 混用，是这类题最常见的丢分点。 检查三：点在内还是在外 对： 在内部（焦点所在一侧）， 在曲线上， 在外部。三件事都依赖它：中点弦是否存在（必须在内部）、能否从该点作两条切线（必须在外部）、 的最小值是否等于（ 在内部时成立）。最省事的判据：把焦点坐标代进去，永远落在“内部”。 八条高频错误（按出错率排序） ·把 当成： 的焦点是，不是。 ·焦点弦长忘加：。 · 写成： 是倾斜角。 · 丢了负号：它是，而 才是正的。 ·点差法公式记反： 型是，分母是纵坐标。 ·点差法不验：中点在外部的弦根本不存在。 ·切线公式用在曲线外的点，或把切点弦当切线。 ·面积忘、忘取绝对值： 必须加绝对值。 使用方法：每道题动笔前用 10 秒走一遍三道检查，再决定套哪条结论；做完后用另一条路径（联立或特殊位置）验算一次。结论是加速器，不是拐杖。 类型一 焦半径与焦准距 模型特征 题干出现“抛物线上一点到焦点的距离”“ 求点坐标”“ 的最小值”“焦点到准线的距离”。这类题只有一个核心动作：把“到焦点的距离”翻译成“到准线的距离”，剩下的就是一次方程或一条垂线。 通法三步 ①定型：平方项定对称轴、一次项符号定开口，据此从四式中选一支，别拿错。 ②代换：（向右）；向左用；上下开口把 换成。 ③收口：求坐标就解 得，再代回方程得（两解）；求最值就过 作准线的垂线，最小值。 核心结论 ：；： ：；： 的最小值是，在顶点取到； 有三种来源——焦点到准线的距离、焦点到顶点的 2 倍、通径的一半；由 反求时，纵坐标必为两解。 易错提醒 ·负号型翻符号： 上，不是。 ·把 当焦准距再乘 2：已知“焦点到准线距离为 6”就是，不是。 ·反求坐标只写一个解： 给出 两个对称点。 ·求最值不检查取等：垂足没落在抛物线上（即 不在内部）时，最小值不等于。 例题精练 1．抛物线 上一点 到焦点的距离为 8，则 到 轴的距离为（ ） A．3 B． C． D．6 2．抛物线 上一点 的纵坐标为，则（ ） A．1 B．7 C．9 D．5 3．已知抛物线的焦点到准线的距离为 6，则抛物线上一点到焦点距离的最小值为（ ） A．3 B．6 C．12 D． 4．抛物线 上一点 到焦点的距离为 4，则 的横坐标为（ ） A． B．3 C．4 D． 5．抛物线 的焦点为，， 在抛物线上，则 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D． 本类小结 五道题共用一句翻译：到焦点 到准线。第 2 题专治“负号型写错”，第 3 题专治“把 与 混为一谈”，第 5 题的关键是先确认 在内部——否则最小值要另算。 类型二 通径与最短焦点弦 模型特征 题干出现“通径”“过焦点且垂直于对称轴的弦”“所有焦点弦中最短的一条”“通径长为 求”。本质是把“垂直”这个特殊位置单独拎出来：它同时给出最短弦长、最简端点坐标和一个现成的定值。 通法三步 ①认位置：通径是 这条竖直线截得的弦，端点横坐标都是。 ②代端点：把 代入 得，故端点为、。 ③用最短性：，等号当且仅当，所以“最短焦点弦”就是通径。 核心结论 通径长，端点，半通径 通径端点到焦点的距离都等于（因为）；通径两端点与顶点 围成的三角形面积（底、高）。 通径是所有焦点弦中唯一最短的一条； 越大开口越宽，同一横坐标处的弦长也越大（）。 易错提醒 ·把通径写成：通径是，半通径才是。 ·端点纵坐标写成：代入 得，不是。 ·“最短弦”结论只在焦点弦范围内成立；不过焦点的弦可以比 更短，不能乱用。 ·由通径长反求时忘记除以 2：通径 10 则，焦点到准线距离是 5，不是 10。 例题精练 1．抛物线 的通径长为（ ） A．12 B．6 C．24 D．3 2．抛物线 的焦点到通径端点的距离为（ ） A．2 B．8 C．4 D． 3．已知抛物线的通径长为 10，则它的焦点到准线的距离为（ ） A．10 B．20 C． D．5 4．过抛物线 焦点的所有弦中，最短弦长为（ ） A．6 B．3 C．12 D． 5．抛物线 的通径端点与顶点 围成三角形的面积为（ ） A．1 B．4 C．2 D．8 本类小结 通径的价值在于“一个特殊位置，三重身份”：最短焦点弦、最简端点、现成的面积与焦半径。第 2、3 题都在考“通径 与焦准距 差一个 2”，第 5 题说明通径端点围出的三角形面积恰为。 类型三 焦点弦三大定值 模型特征 题干出现“过焦点的直线交抛物线于、 两点”，随后问、、、，或问“以 为直径的圆”。只要弦过焦点，这些量就与弦的位置无关——这是抛物线最“划算”的一组结论。 通法三步 ①设线：过 的弦写成（含竖直线，不丢情形）。 ②联立：代入 得，于是、。 ③换算：；再用 把倒数和化成对称式。 核心结论 ； ； 若记、，则，等价于——已知一个就能求另一个。 几何版：以 为直径的圆与准线相切；设、 是、 在准线上的射影，则；弦中点纵坐标。 易错提醒 ·弦不过焦点时套用三大定值：此时、，全部换掉。 · 丢负号：它是； 才是正值。 ·用 漏掉竖直线情形，导致“通径”这一支没算（其实 时结论照样成立）。 ·把 记成，量纲都不对。 例题精练 1．过抛物线 的焦点作弦，、，则（ ） A．1 B．2 C．4 D． 2．过抛物线 的焦点作弦，则（ ） A．16 B． C． D．8 3．过抛物线 的焦点作弦，若，则（ ） A．2 B．1 C． D． 4．过抛物线 的焦点作弦，若，则（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．以过抛物线焦点的弦 为直径的圆，与准线的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 本类小结 三大定值是“一设一联”的产物，弦越特殊越好算：需要验算时一律取通径。第 3、4 题分别从“倒数和”与“乘积”两条通道求，两式本质等价；第 5 题把定值翻译成几何语言——圆心到准线的距离等于半径。 类型四 焦点弦长两算与面积 模型特征 题干给“倾斜角为 的焦点弦”“斜率为 1 的焦点弦”“弦长为 16 求倾斜角”，或问“ 面积的最小值”。同一根弦有两种算法：坐标式看横坐标之和，角度式看，选对了几乎不用解方程。 通法三步 ①看条件选式：给 用坐标式；给倾斜角或斜率用角度式。 ②算分段：、（ 是沿倾斜角方向的那个交点）。 ③算面积：，最小在。 核心结论 ； 还有一条常用的桥：；弦中点横坐标。 时三种写法同时退化为通径。 易错提醒 ·把倾斜角当斜率： 里的 是角，不是；写 必错（正确的是）。 · 时 不存在，只能用角度式，别硬代斜率。 ·面积忘，或忘 的绝对值。 ·把 与 混用： 是一段，不是全长。 例题精练 1．过抛物线 的焦点作倾斜角为 的弦，则（ ） A．4 B． C．8 D．16 2．过抛物线 的焦点作斜率为 1 的弦，则（ ） A．4 B． C．2 D．8 3．过抛物线 的焦点的弦 长为 16，则 的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 4．过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的弦， 在 轴上方，则（ ） A． B． C． D．4 5．抛物线 的焦点为，过 的弦为，则 面积的最小值为（ ） A．9 B． C．3 D．18 本类小结 两根弦一样长，但“给角度”的题一律走角度式，可以完全不联立；只有给 时才回到坐标式。第 4 题是本节最容易错的一题：、 对应的是 与 两段，谁在分子上取决于交点在哪个方向。 类型五 中点弦与点差法 模型特征 题干给“弦 的中点为”要求斜率或直线方程，或反过来“斜率为 的平行弦的中点在什么线上”，或问“这条弦是否存在”。核心工具只有点差法，但必须配一句“先验存在”。 通法三步 ①设点：、，、。 ②作差：，即，故。 ③验证：把直线代回抛物线，要求，等价于（ 在内部）；不验会算出“不存在的弦”。 核心结论 ：；： 存在条件：（对 型），即中点必须落在抛物线内部。 平行弦的推论：斜率 固定的弦，其中点都在水平线 上（且只能取抛物线内部那一段）；这一条反过来就是“给斜率求中点轨迹”的标准解法。 易错提醒 ·公式分型记反： 型除以纵坐标， 型才是除以 后乘横坐标。 ·不验存在性： 对 在外部，任何以它为中点的弦都不存在。 ·把“中点弦”当成“过中点的弦”：前者以中点为中点，条件更强。 ·直线写成 后忘记讨论竖直弦（此时，斜率不存在）。 例题精练 1．抛物线 的弦 的中点为，则 所在直线的斜率为（ ） A．1 B．3 C．2 D．6 2．抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．抛物线 的弦 的中点为，则 所在直线的斜率为（ ） A．2 B．1 C．4 D． 4．抛物线 中，以 为中点的弦（ ） A．存在，斜率为 B．存在，斜率为 C．不存在 D．存在，但斜率不确定 5．抛物线 中，斜率为 2 的平行弦的中点所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 本类小结 点差法只有两行，但三道关口：分型、验存在、别忘竖直弦。第 4 题是本节最值得记住的一题——公式算得出，不代表弦存在；第 5 题把公式反用，得到“平行弦中点轨迹是水平线”这一常用结论。 类型六 切线方程与切点弦 模型特征 题干出现“在点 处的切线”“过点 作抛物线的两条切线”“切点弦所在直线”“两条切线互相垂直”。四句话对应同一个公式，区别只在 在线上还是线外。 通法三步 ①先定位：点在线上（）→ 直接套点切线；点在外部（）→ 同一个式子算出的却是切点弦。 ②求斜率或切点：切线斜率；已知斜率 时反解，再代回求。 ③证垂直：两切线斜率之积为⟺⟺ 交点 在准线 上。 核心结论 线上点：， 线外点：切点弦（同一形式） 切线与 轴交于，与切点横坐标关于顶点对称；顶点处（）切线是 轴，斜率不存在。 三条等价：两切线互相垂直 ⟺ 交点 在准线上 ⟺ 切点弦过焦点。这是类型七的入口。 易错提醒 ·把 当成“过外部点的切线”：它给出的是切点弦，切线要另设切点求。 ·斜率记成 或：正确是。 · 时硬代，分母为零；此时切线是 轴。 ·点在内部（）时谈“两条切线”：根本作不出来。 例题精练 1．抛物线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 2．抛物线 在点 处的切线与 轴交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．过点 向抛物线 作两条切线，则切点弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．抛物线 的两条切线互相垂直，则它们的交点必在（ ） A． 轴上 B． 轴上 C．准线上 D．通径所在直线上 5．抛物线 在点 处的切线与 轴交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 本类小结 一个公式、三种用法：线上点→切线，线外点→切点弦，给斜率→反解切点。第 3 题的“外部点”判定（）与第 4 题的“垂直 ⟺ 准线”是本节两个必须记住的门槛，它们直接通向下一节的阿基米德三角形。 类型七 阿基米德三角形与光学性质 模型特征 过抛物线上两点、 分别作切线，两切线交于， 就叫阿基米德三角形。题干若在此基础上再加“ 过焦点”，就立刻多出三条结论；若问“平行光线反射后过哪一点”，那是在考光学性质——它本质仍是定义。 通法三步 ①写两切线：、，别把切点坐标与交点坐标混了。 ②解交点：两式相减得，回代得。 ③用焦点弦条件：若 过焦点，则，故；再算 即得垂直。 核心结论 焦点弦时： 在准线 上，，两切线互相垂直 另外两条常用性质： 与 中点的连线平行于对称轴（二者纵坐标相同，都是）；抛物线被弦 截出的弓形面积（阿基米德的结果）。 光学性质：平行于对称轴的光线射到抛物面，反射后都过焦点；从焦点发出的光线反射后平行于对称轴射出。切线正是入射光线与 的角平分线。 易错提醒 ·把 记成：横坐标用乘积，纵坐标用和，正好相反。 ·“ 在准线上”只对焦点弦成立；普通弦的两切线交点不在准线上。 ·弓形面积与三角形面积的比例记反：弓形是三角形的，不是。 ·把光学性质当成新定理：它可由“到焦点距离 到准线距离”直接推出，不必算反射角。 例题精练 1．过抛物线焦点的弦 的两端作切线，两切线交点 一定在（ ） A．对称轴上 B．焦点处 C．准线上 D．顶点处 2．抛物线 上两点、，过这两点的两条切线交于，则 的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．过抛物线焦点的弦 的两条切线交于，则直线 与 的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．成 角 4．从抛物线焦点发出的光线射到抛物面上，经反射后的光线（ ） A．过顶点 B．平行于对称轴 C．过准线与对称轴的交点 D．沿切线方向 5．某阿基米德三角形 的面积为 9，则抛物线被弦 截出的弓形面积为（ ） A． B．6 C． D．3 本类小结 类型七把前面几条串起来：切线公式（类型六）→ 交点坐标 → 焦点弦定值（类型三）→ 交点在准线、。记住“横坐标用乘积、纵坐标用和”，再记住“弓形是三角形的三分之二”，这一节的两类题就都有了着落。 类型八 定值、定点与最值综合 模型特征 题干出现“直线恒过定点”“证明某式为定值”“”“面积的最小值”“若直线与抛物线有公共点，求参数范围”。这类题不再套单一结论，而是带着参数算到底，看参数能不能消掉。 通法三步 ①设线：过 轴上点 写（含竖直线）；过其它点写，并单独讨论斜率不存在。 ②联立求两根关系：对抛物线优先以 为主元（代入 只出一次式），得、，再换算。 ③消参收口：垂直用；面积用；范围用 加上“直线平行于对称轴”的单独情形。 核心结论 过 的弦：， 弦 过定点 焦点弦：， 注意 与 的区别：过焦点的弦是 的特例，此时、，正好回到三大定值。 易错提醒 ·把“过”的结论当成焦点弦结论： 与 不是一回事。 ·定值题只拿一条特殊弦算出数就“证明完毕”——大题必须对一般参数推导。 ·垂直条件写成：正确的是。 ·求参数范围只用，漏掉（直线平行于对称轴）时也只有一个交点。 ·面积忘绝对值： 可正可负，必须取。 例题精练 1．过点 的直线与抛物线 交于、，则（ ） A．8 B． C． D．4 2．抛物线 上两点、 满足，则直线 恒过定点（ ） A． B． C． D． 3．抛物线 的焦点为，过 的弦为，则 面积的最小值为（ ） A．4 B．16 C．2 D．8 4．直线 与抛物线 有公共点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．抛物线 上两点、 满足，则 的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 本类小结 综合题的答案往往能“秒”，但过程分在推导里：第 1、2 题考“定点公式里 的位置”，第 3 题考面积的上界如何由 控制，第 4 题考参数范围必须把 单独拎出来，第 5 题则是把垂直条件翻译成定点后再求弦长最小。 07 方法对照总表 类型 识别关键词 一句话做法 一 焦半径与焦准距 到焦点的距离；； 最小 换成到准线距离， 或 二 通径与最短弦 通径；垂直对称轴；最短焦点弦 长，端点，是焦点弦的下界 三 焦点弦三大定值 过焦点；；；倒数和 设，韦达给、、 四 弦长两算与面积 倾斜角；斜率；弦长； 面积 优先；面积 五 中点弦 弦的中点；平行弦中点轨迹；弦是否存在 点差法（ 型），先验 六 切线与切点弦 某点处切线；过外点作两切线；两切线垂直 ，线外点同形即切点弦；垂直 ⟺ 准线 七 阿基米德三角形 两切线交于； 与；反射光线 ；焦点弦时在准线且 八 定值定点最值 恒过定点；；参数范围 过：；垂直 ⟺ 过；范围看 与 最后三句话 一、所有二级结论只有两个源头：定义（到焦点距离 到准线距离）与一次联立（韦达定理）。记不住某条结论时，回到这两个源头，两行就能推出来。 二、用结论前一定走三道检查：开口方向、弦是否过焦点、点在内部还是外部。这三条决定了公式是 还是、是 还是、是切线还是切点弦。 三、结论是提速工具，验算是保命手段。做完用另一条路径核对（取通径验定值、回代验、代特殊点验定点），能验算的结论才是真会。 学科网（北京）股份有限公司 $