滚动习题(六) [范围3.2～3.3](Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 本同步练习通过基础-中档-提升三级分层，覆盖圆锥曲线核心概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养数学思维与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|抛物线方程、双曲线虚轴长等单一概念|单选1直接应用焦点坐标求抛物线方程，夯实概念理解| |中档|抛物线与点位置关系、椭圆双曲线焦点综合|填空10结合抛物线光学性质，体现模型观念与应用意识| |提升|双曲线与圆综合、焦点三角形计算|解答14综合渐近线、向量垂直及弦长计算，发展推理能力与运算能力|

(时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.已知抛物线的顶点在原点,焦点坐标为(0,2),则抛物线的方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.y2=8x B.y2=4x C.x2=4y D.x2=8y 2.若双曲线y2-=1的虚轴长为2,则该双曲线的渐近线方程为(　 ) A.y=±x B.y=±x C.y=±7x D.y=±x 3.已知点M在抛物线y2=2px(p>0)上,若点M到抛物线对称轴的距离是4,到准线的距离是5,则p的值是 (　 ) A.2或4 B.4或6 C.6或8 D.2或8 4.若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线-=1(s>0,t>0)有相同的焦点F1和F2,若P是这两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是 (　 ) A.n+t B.(n+t) C.m2-s2 D.- 5.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上不同的三点,若++=0,则||+||+||= (　 ) A.9 B.6 C.4 D.3 6.如图,双曲线C:-=1(a>0,b>0),AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若双曲线C过A,B两点,且离心率为,则直线AB的方程为 (　 ) A.3x+y+7=0 B.4x+y+6=0 C.x+y+5=0 D.2x+y+3=0 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分) 7.已知F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上的一点,|AF|=2,则下列说法正确的是 (　 ) A.焦点为F(1,0) B.准线方程为y=-1 C.点A的坐标为(1,2)或(1,-2) D.以AF为直径的圆与抛物线的准线相切 8.[2026·湖北武昌实验中学高二检测] 已知等轴双曲线x2-y2=4的左、右顶点分别为A,B,P(x0,y0)为双曲线右支上任意一点(异于点B),设∠PAB=α,∠PBA=β,点P到两条渐近线的距离分别为d1,d2则下列说法正确的是(　 ) A.该双曲线的离心率e= B.的值随着x0的增大而增大 C.tan α·tan β=-1 D.d1·d2=1 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 9.双曲线C:-=1与直线l:y=-x+m(m∈R)的交点的个数为　　　　.  10.抛物线镜面有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(2,1)射入,经过抛物线上的点A反射后,再经过抛物线上的另一点B反射后,平行于入射光线射出,则|AB|=　　　　.  11.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M是双曲线左支上一点,∠F1MF2=90°,直线MF2交双曲线的另一支于点N,|MN|=2|NF2|,则双曲线的离心率为　　　　.  四、解答题(本大题共3小题,共43分) 12.(13分)(1)在平面直角坐标系中,求与双曲线-=1有公共渐近线,且经过点(-3,2)的双曲线的标准方程. (2)求经过点P(-2,-4)的抛物线的标准方程. 13.(15分)[2025·盐城七校高二期中] 已知顶点在原点O,焦点在坐标轴上的抛物线过点(3,2). (1)求拋物线的标准方程; (2)若抛物线的焦点在x轴上且与直线y=x+m交于A,B两点(A,B两点异于原点),以AB为直径的圆经过原点,求m的值. 14.(15分)已知点P(1,4),双曲线x2-=1(b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且双曲线的一条渐近线与直线AP垂直. (1)求双曲线的离心率; (2)设点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离; (3)过F2且斜率为1的直线与双曲线交于D,E两点,求线段DE的长度. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(六) 1.D　[解析] ∵抛物线的焦点坐标为(0,2),∴=2,∴p=4,又焦点在y轴正半轴上,∴抛物线的方程为x2=8y.故选D. 2.B　[解析] 由题意可得2=2,得m=7,则该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选B. 3.D　[解析] 因为点M到抛物线对称轴的距离是4,所以点M的纵坐标为±4,因为点M在抛物线上,所以由16=2px得横坐标为,又因为点M到准线的距离为5,即+=5,解得p=2或p=8.故选D. 4.A　[解析] 设c为半焦距,由题意知c2=m-n=s+t.由椭圆及双曲线的定义知两式平方相减得4|PF1|·|PF2|=4m-4s,则|PF1|·|PF2|=m-s=n+c2-(c2-t)=n+t,故选A. 5.B　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由题意知F(1,0).∵++=0,∴x1-1+x2-1+x3-1=0,即x1+x2+x3=3.根据抛物线的定义得||+||+||=x1+1+x2+1+x3+1=3+3=6.故选B. 6.D　[解析] 由题意=,则b==a,即=1,由圆的方程知M(-2,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2,又两式相减得-=0,所以kAB==·==-2,故直线AB的方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0.故选D. 7.AC　[解析] 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A正确,B错误;因为A为抛物线上的一点,|AF|=2,所以xA-(-1)=2,解得xA=1,所以=4xA=4,解得yA=±2,所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2),故C正确;不妨取A(1,2),则AF的中点坐标为(1,1),因为点(1,1)到准线x=-1的距离为2>|AF|,所以以AF为直径的圆与抛物线的准线相离,故D错误.故选AC. 8.AC　[解析] 对于A,等轴双曲线x2-y2=4的标准方程为-=1,故a=b=2,c2=a2+b2=8,∴c=2,离心率e==,故A正确;对于B,如图,在△PAB中,由正弦定理可知==,显然π-β,α均为锐角,且π-β随着x0的增大而减小,α随着x0的增大而增大,故sin(π-β)随着x0的增大而减小,sin α随着x0的增大而增大,又sin(π-β)>0,sin α>0,∴的值随着x0的增大而减小,故B错误;对于C,∵P(x0,y0)为双曲线右支上任意一点(异于点B),∴-=4,又A(-2,0),B(2,0),∴tan α·tan β=-kPAkPB=-·=-=-1,故C正确;对于D,双曲线x2-y2=4的渐近线方程为y=±x,点P到两条渐近线的距离分别为d1,d2,则d1d2=·==2,故D错误.故选AC. 9.0或1　[解析] 因为双曲线C:-=1的渐近线方程为y=±x,所以当m=0时,直线l:y=-x为双曲线C的渐近线,此时直线l与双曲线C无交点;当m≠0时,直线l与渐近线y=-x平行,此时直线l与双曲线C有一个交点.综上,双曲线C与直线l的交点个数为0或1. 10.　[解析] 由抛物线的光学性质可知直线AB经过焦点F,且直线AB的斜率存在,因为F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1),令y=1,得x=,即A,由 消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,Δ=4(k2+2)2-4k4>0,则xAxB=1,所以xB==4,所以|AB|=xA+xB+p=. 11.　[解析] 设|NF2|=n,则|MN|=2n,|MF2|=3n,由双曲线定义得|MF2|-|MF1|=2a,故|MF1|=3n-2a,由勾股定理得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即(3n-2a)2+9n2=4c2①,连接NF1,则|NF1|-|NF2|=2a,故|NF1|=2a+n,由勾股定理得|MF1|2+|MN|2=|NF1|2,即(3n-2a)2+4n2=(2a+n)2②,由②得n=a,代入①得20a2=4c2,故=. 12.解:(1)由题意设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0). 因为双曲线过点(-3,2), 所以-=λ,解得λ=, 所以所求双曲线的方程为-=,故其标准方程为-=1. (2)因为点P在第三象限,所以可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2my(m>0). 将点P(-2,-4)的坐标代入y2=-2px得16=4p,即p=4,此时抛物线的标准方程为y2=-8x; 将点P(-2,-4)的坐标代入x2=-2my得4=8m,即m=,此时抛物线的标准方程为x2=-y. 故抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=-y. 13.解:(1)当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线方程为y2=2p1x(p1>0), 则12=6p1,解得p1=2, 故抛物线方程为y2=4x; 当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线方程为x2=2p2y(p2>0), 则9=4p2,解得p2=, 故抛物线方程为x2=y. 综上,抛物线的标准方程为y2=4x或x2=y. (2)由(1)得,当抛物线焦点在x轴上时,抛物线方程为y2=4x, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由得y2-4y+4m=0, 则Δ=(-4)2-4×4m>0,解得m<1, 且y1+y2=4,y1y2=4m,x1x2=(y1-m)(y2-m)=y1y2-m(y1+y2)+m2=4m-4m+m2=m2, 又以AB为直径的圆经过原点, 所以OA⊥OB,即·=x1x2+y1y2=m2+4m=0, 解得m=-4或m=0. 当m=0时,直线y=x+m过原点,不合题意,舍去,故m=-4. 14.解:(1)根据题意,双曲线x2-=1(b>0)的左顶点为A(-1,0),故kAP==2, 则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知-=-b=-,则b2=, 所以c2=a2+b2=1+=,即c=, 所以双曲线的离心率e==. (2)由(1)得c=,故|F1F2|=2c=. 因为·=0,所以MF1⊥MF2. 设|MF1|=m,|MF2|=n,则在Rt△MF1F2中,可得m2+n2=(2c)2=5, 由双曲线的定义,可得|m-n|2=m2+n2-2mn=4a2=4,所以mn=, 则=mn=. 又=|F1F2||yM|=×|yM|=,解得|yM|=, 所以点M到x轴的距离为. (3)因为F2,所以过F2且斜率为1的直线的方程为y=x-, 将直线方程与双曲线方程联立,消去y整理得3x2-4x+6=0, 设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=2, 由弦长公式,得|DE|=·=×=, 所以线段DE的长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $