34.2 用列举法求概率（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十四章 随机事件的概率 34.2 用列举法去概率 课标要点 1.能通过列表的方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。 2.会利用列举法（直接列举、列表）计算一些简单随机事件的概率。 3.在具体情境中，体会等可能试验的特征，理解概率的意义，能用概率对简单随机现象作出初步判断。 学习重难点 重点： 1.掌握用直接列举法、列表法列举所有等可能结果，并用列举法求概率。 2.理解列举要做到不重复、不遗漏。 难点： 1.根据试验特点，正确选用合适的列举方式；当涉及两个因素时，准确构建表格列举全部等可能结果。 2.区分是否为等可能事件，准确识别试验中的所有等可能结果，避免列举出错。 知识点 直接列举法 当试验的等可能结果个数很少（一般不超过 6 个），可以按照一定顺序，把全部结果逐条写出来，再从中找出符合事件要求的结果，代入公式求概率。常用顺序：从小到大、先固定第一个再变换第二个。 特别提醒 列举要有条理，想到哪个写哪个极易出现重复或者漏写；适合单一因素或者结果极少的试验。 随学随练 1．“石头、剪刀、布”是广为流传的一种游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次出这三种手势的可能性相同，那么一次游戏中乙获胜的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：甲、乙各有3种手势，所有等可能的结果共有种． 乙获胜的情况有3种：甲出石头乙出布，甲出剪刀乙出石头，甲出布乙出剪刀． 乙获胜的概率为． 2．同时掷两枚质地均匀的骰子，将朝上的两个点数相加，则“点数之和”出现可能性最大的是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意列出点数之和为5，6，7，8的结果数，然后比较即可得出答案， 【详解】解：点数之和为5的结果有，共4种， 点数之和为6的结果有，共5种， 点数之和为7的结果有，共6种， 点数之和为8的结果有，共5种． ∵， ∴点数之和为7的出现可能性最大． 3．某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人．则选出的恰好为一男一女的概率是________． 【答案】 【分析】通过列举法统计从4名同学中选2名的所有等可能结果，再统计其中恰好为一男一女的结果数量，两类结果的比值即为所求概率． 【详解】解：设三名男生分别为A、B、C，女生为D， 从4人中任选2人的所有等可能结果为，共6种， 其中恰好为一男一女的结果为，共3种， ∴ 选出的恰好为一男一女的概率为． 4．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从口落出的概率为______． 【答案】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点处都是等可能情况，从而得到在四个出口也都是等可能情况，然后直接利用概率公式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有四个，小球最终从点落出的情况只有种情况， 所以小球最终从口落出的概率为． 知识点 列表法 当试验包含两个独立因素，每个因素有多种可能结果时，可以设计两行两列的表格，横向、纵向分别代表两个因素的所有情况，表格内每一格对应一种组合，覆盖全部等可能结果，之后统计总数与符合条件的结果。 特别提醒 重点区分放回试验和不放回试验；放回可以重复选取；不放回不能重复选取，对角线上自身配对的情况要剔除；如果是三个及以上因素，列表会非常繁琐，一般不使用。。 随学随练 1．如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意列表列举所有等可能结果，再根据事件概率的计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： E F G H A B C D 共有16种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的等可能结果分别是，，，，共4种，所以两人恰好选中同一根绳子的概率是． 2．小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，两人选择的数字不能重复，然后两人各转动一次转盘（如图，转盘被分成5个面积相等的扇形），选择的数等于两人转得的数字之和的人为获胜者．如果两人选择的数都不等于转得的数字之和，那么就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，则为了获胜应选择的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，判断即可得解． 【详解】解：列表可得： 小新 小颖 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中出现的次数最多，为次，即选择获胜的概率最大， 故如果你是游戏者，你获胜选择的数是． 3．用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查利用列表法或树状图法求概率．解题的关键在于准确列出转动转盘两次所有等可能的结果，并从中筛选出能配成紫色(即一次为红色，一次为蓝色)的结果数，最后利用概率公式进行计算． 【详解】由列举法可得： 第一次       第二次 红 蓝 白    红 （红，红） （红，蓝） （红，白） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，白） 白 （白，红） （白，蓝） （白，白） 由表可知，转动转盘两次，共有种等可能结果， 因为红色和蓝色在一起才能配成紫色，观察以上表格满足条件的结果为（蓝，红）和（红，蓝）共2种情况， 所以，转动转盘两次，转盘显示的颜色可以配成紫色的概率为． 4．一个不透明的袋子里装着分别标有汉字“魅”“力”“诸”“暨”的四张卡片，除汉字之外，卡片没有任何区别． (1)若从袋中任意抽取一张卡片，抽中写有“暨”的卡片是_____ 事件（填“不可能”“必然”或“随机”），卡片上的汉字刚好是“魅”的概率为_____ ； (2)若同时从袋中任意抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片上的汉字恰好能组成“魅力”或“诸暨”的概率． 【答案】(1) 随机； (2) 【详解】（1）解：∵袋子中有标有“暨”的卡片，任意抽取一张时，可能抽到也可能抽不到， ∴抽中写有“暨”的卡片是随机事件； ∵共有4张除汉字外完全相同的卡片，其中写有“魅”的卡片有1张， ∴抽中卡片上汉字为“魅”的概率为； （2）解：由题意，列表如下： 魅 力 诸 暨 魅 （魅，力） （魅，诸） （魅，暨） 力 （力，魅） （力，诸） （力，暨） 诸 （诸，魅） （诸，力） （诸，暨） 暨 （暨，魅） （暨，力） （暨，诸） 共有12种等可能的结果，其中符合题意的结果有4种， ∴． 知识点 树状图法 不管是两个因素，还是三个、更多因素的等可能试验，都可以用分层分支画图的方式列举：第一层代表第一个因素，每一条分支代表一种结果；从第一层每一个分支再分出第二层，代表第二个因素，依次往下。每一条从起点到末端的完整路径，就是一种等可能结果。 特别提醒 因素越多，树状图优势越明显；画图时分支对齐，方便计数；放回试验每一层分支不变，不放回试验后一层分支数量变少。 随学随练 1．如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举随机闭合两个开关的所有可能情况，分析每种情况下的电路通断及灯泡发光情况，利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中能让两个灯泡同时发光的情况为同时闭合，，有种情况， ∴能让两个灯泡同时发光的概率为． 2．现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确颜色都变化即两种溶液均能使酚酞变红，通过作树状图得到所有等可能结果，结合概率公式求解即可． 【详解】解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种， ∴所求概率为． 3．老师为帮助学生正确理解物理变化和化学变化，将四种生活现象：“滴水成冰”“酒精燃烧”“百炼成钢”“木已成舟”制作成无差别卡片，置于暗箱中摇匀，随机抽取两张卡片，其中一张为化学变化，另一张为物理变化的概率是___________． 【答案】 【分析】本题考查树状图求概率，掌握方法是关键．利用树状图把所有可能情况一一画出即可求解． 【详解】解：将“滴水成冰”、“酒精燃烧”、“百炼成钢”、“木已成舟”张卡片依次记为A，B，C，D，画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的两张卡片一张为化学变化，另一张为物理变化的结果有种， ∴从中随机抽取两张卡片，其中一张为化学变化，另一张为物理变化的概率为． 4．一个不透明的箱子里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个黑球，2个白球，从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．利用树状图或列表求下列事件发生的概率： (1)事件A：摸出1个红球，1个黑球． (2)事件B：摸出2个白球． 【答案】(1)事件A发生的概率为 (2)事件B发生的概率为 【分析】（1）根据题意画出树状图，确定事件A情况数为，即可求解； （2）根据（1）的树状图，确定事件B情况数为，即可求解． 【详解】（1）解：树状图如下： 总的情况数为25，事件A：摸出1个红球，1个黑球的情况数为4， ∴事件A发生的概率为； （2）结合上述树状图可知： 总的情况数为25，事件B：摸出2个白球的情况数为4， ∴事件B发生的概率为． 拓展列举法的通用迁移 深度归纳 直接列举、列表、树状图本质是一套通用建模工具，不是孤立题型套路。 · 本质：把随机试验拆解成若干独立步骤，分步枚举所有等可能基本事件；列表只是树状图在 “两步试验” 下的表格化简写； · 规律：只要是有限等可能试验，无论情境是摸球、转盘、掷骰子、抽签、配紫色游戏，底层流程统一：判定等可能 → 分步枚举 → 统计 m,n → 代入公式； · 进阶：当题目含有隐藏条件（比如转盘区域面积不等），第一步就要否决直接列举，不能看到 “转盘、摸球” 就套用列举法。 拓展探究：对比两步、三步随机试验，感受方法边界：列表只适合两步；三步及以上，树状图是更稳定的枚举模型，可推广到多步骤随机试验。 活学活用 1．某商场的地下停车场，现仅剩下“”“”“”“”四个依次相邻的车位．分别记这四个车位为，，，．小明和小红同时来到该地下停车场停车，两人停在相邻车位的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出树状图，列举出所有等可能的结果，进行解答，即可． 【详解】解：树状图如下： 共种等可能的结果，其中相邻的车位组合为：，，，，，，有种结果符合题意， ∴两人停在相邻车位的概率为． 2．某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， P（甲、乙两人恰好都从同一入口进入）=． 3．一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率．（“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示） 【答案】抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率为 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的情况有种， ∴抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率为． 题型 直接列举法求概率 解题贴士 先确认属于等可能试验且总结果数量较少，按照固定顺序逐一写出全部基本事件，做到不重不漏，再数出符合目标事件的结果个数，代入概率公式计算，不要凭主观猜测漏掉情况。 ▌例1同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用列举法可得同时抛掷两枚质地均匀的硬币所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反， ∴两枚硬币全部正面向上的概率是： ． 故选A． ▌对点练1-1．小夏出行时，携带三位滚轮密码锁的行李箱，但是密码锁的密码忘记了，只记得是由“3，6，9”这三个数字组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数字，一次就能打开行李箱的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 由3、6、9组成的各位数字不同的三位数有369、396、639、693、936、963，共6种等可能的结果，能打开行李箱的结果只有1种． ∴ 一次就能打开行李箱的概率为． ▌对点练1-2某市女生体育中考的国测项目，要从“50米”“立定跳远”“坐位体前屈”“仰卧起坐”四个项目中，随机抽取两项，则抽到“50米”与“坐位体前屈”两个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出从四个项目中抽取两项的所有等可能结果，再数出满足要求的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将四个项目“50米”“立定跳远”“坐位体前屈”“仰卧起坐”四个项目依次记为A、B、C、D， ∵从四个项目中随机抽取两项，所有等可能的结果为、、、、、，共种 其中抽到“50米”与“坐位体前屈”的结果只有种 ∴所求概率． ▌对点练1-32026年中国国产工具已形成规模化落地态势．小明妈妈的手机上共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明和妈妈要从中随机选择1款查阅资料，两人恰好同时选择同一款的概率是__________． 【答案】 【分析】先计算两人选择工具的所有等可能结果总数，再统计两人选择同一款的结果数，根据概率公式计算． 【详解】解：∵每款工具被小明、妈妈选择的可能性均等， ∴小明选择时有3种等可能结果，妈妈选择时也有3种等可能结果， ∴两人选择的总等可能结果数为（种）， ∵两人选择同一款的结果为都选“豆包”、都选“千问”、都选“元宝”，共3种， ∴两人恰好同时选择同一款的概率为． 题型 列表法求概率解题贴士 横向、纵向分别表示两次选取的所有可能，允许行列出现相同元素，表格内每一格都是一种等可能结果，数结果时全部格子都计入，最后统计满足条件的组合，化简得到概率。 ▌例1如图，转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为平面直角坐标系中点M的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，认为指向左侧扇形的数字，则点M落在直线下方的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用画树状图或列表，把点M的坐标的16种情况都表示出来，再找出落在直线y=x下方的点的数量，根据概率公式计算即可． 【详解】解：设点， 由题意，列表为 1 2 3 4 1 2 3 4 由表可得，点M共有16种等可能情况，其中点M落在直线下方的有，，，，，共6种情况， 所以点M落在直线下方的概率为． ▌对点练1-1小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该排座位共有五个座位， 已经售出，剩余座位为， 所有情况列表如下， C 共有6种等可能结果，其中符合题意的有，2种， 所以小亮和爸爸相邻而坐的概率是． ▌对点练1-2小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【答案】 【分析】列表或树状图将所有等可能的结果全部列举出来，用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 羊1 羊2 猴A 猴B 羊1 1，1 1，2 1，A 1，B 羊2 2，1 2，2 2，A 2，B 猴A A，1 A，2 A，A A，B 猴B B，1 B，2 B，A B，B 由列表得：共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片画面不同的有8种， 故两张抽取的卡片画面不同的概率是． ▌对点练1-3一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． (1)甲抽到标有“”的卡片的概率为______； (2)求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据随机事件概率的定义进行计算即可； （2）先利用列表法将所有可能的结果列举出来，然后筛选符合题目要求的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：甲抽卡片一共有3种等可能的情况，分别是“”、“”、“”，则抽到“”的概率为； （2）解： 一共有９种等可能的情况，其中甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的情况有3种，则甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率为． 题型树状图法求两步试验概率 解题贴士 第一层画出第一次试验所有分支，从每一条分支再分出第二次试验的全部情况，每条完整路径代表一种等可能结果，顺着路径计数，方便区分有序的先后抽取情况。 ▌例1有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字，，，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为的概率为，那么第四个小球上的数字是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先计算所有等可能结果数，结合概率得出和为的结果数，再分类讨论第四个球的数字，即可得出答案． 【详解】解：设第四个小球上的数字为，画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能结果， ∵两人摸得数字之和为8的概率为， ∴和为的结果有（种）， ∵其中三个小球上面分别标有数字，，，仅两次都摸到标的球时和为，对应种结果， ∴要使和为的结果有种时，需， 当时，和为的结果有种，不符合题意， 当时，和为的结果有种，符合题意， 当时，和为的结果有种，符合题意， ∴第四个小球上的数字是或 ▌对点练1-1学校要举办一场运动会，小文和小锋报名参加跳远比赛，预赛分，，三组进行，则小文和小锋恰好分到同一个组的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得两人恰好在同一组的概率． 【详解】解：如下图所示： 由图可得，共有9种等可能的结果，而小文和小锋恰好分在同一组的情况有三种， ∴小文和小锋恰好分到同一个组的概率为． ▌对点练1-2如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 【答案】 【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种， ∴能让灯泡发光的概率为． ▌对点练1-3年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： (1)若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； (2)若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等可能事件的概率公式计算即可． （2）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到其中选中“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数，计算即可. 【详解】（1）解：从四个舞蹈中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率为； （2）解：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个，画树状图如下： ∴共有种等可能的结果， 其中选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数有：，共种， ∴选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 题型 树状图法求三步及以上试验概率 解题贴士 按照操作先后依次分层画分支，每完成一步新增一层分支，不放回时后一层分支数量随之减少，理清每一条完整路径，适合多步骤、不适合列表的概率问题。 ▌例1甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中个小球上恰好有个元音字母的结果有种， 则个小球上恰好有个元音字母的概率是． ▌对点练1-1武汉过早文化博大精深，小明计划连续三天在“热干面”、“三鲜豆皮”、“鲜鱼糊汤粉”这三种特色美食中，每天随机选择一种作为早餐（每天的选择相互独立）．则小明这三天吃到的早餐至少有两次相同的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画树状图得到所有可能的结果数，再从中找出符合题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设三种特色美食分别为A、B、C，根据题意画树状图如下： 共有27种等可能的结果，其中三天吃到的早餐至少有两次相同的有21种， ∴小明三天吃到的早餐至少有两次相同的概率为． ▌对点练1-2天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡，使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：， ∴需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和为的情况有种， ∴天平恢复平衡的概率为． ▌对点练1-3将如图所示的一张画有花、叶、根的蒲公英图片由上至下等分为三小张，画有图案的面朝下，并打乱三小张图片的顺序．闭上眼睛，随机地取出一张，放在最上面，再随机地取出第二张放在中间，最后一张放在最下面．用重复试验或者理论分析的方法，求眼睛睁开后，上、中、下位置恰好依次是花、叶、根的概率． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图即可解答． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 共有6种等可能的结果，上、中、下位置恰好依次是花、叶、根的结果只有1种， ∴上、中、下位置恰好依次是花、叶、根的概率为． 题型 求放回型概率 解题贴士 取出元素记录后重新放回，每一次选取的可选对象不变，前后两次相互独立，不管使用列表还是树状图，都要保留重复选取的情况，保证每个基本事件等可能。 ▌例1一个不透明的盒子中装有四个分别标着“H（氢）”“O（氧）”“C（碳）”“（钙）”四种元素符号的小球，这些小球除元素符号外其他完全相同．现从盒子中随机摸出一个小球，记下小球上标记的元素符号后放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸到的小球上的元素符号可以组成“”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸到的小球上的元素符号可以组成“”的结果有2种，故所求概率为． ▌对点练1-12026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，正面印有吉祥物形象的四张卡片如图4所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回，洗匀再抽取一张，则恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用列表法或画树状图法，求概率即可． 【详解】解：用字母A，B，C，D分别代指抽到“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”，列表如下： 第一次抽取第二次抽取 A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD 由表1可知，共有16种等可能的情况，其中恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的情况有2种， 故概率为． ▌对点练1-2平顶山是豫中南地区的中心城市．平顶山境内有多处知名景区，其中尧山、二郎山、画眉谷深受游客喜爱．如图，现有3张景区的卡片，小明将卡片背面朝上放在桌面上（背面完全相同），从中随机翻开1张，记录后放回，再随机翻开1张，则两次翻开的卡片恰好是“尧山”和“二郎山”的概率为_____． 【答案】 【详解】解：设尧山为A，二郎山为B，画眉谷为C， 由题意，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次翻开的卡片恰好是“尧山”和“二郎山”的结果种， 两次翻开的卡片恰好是“尧山”和“二郎山”的概率为． ▌对点练1-3布袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，则两次摸到颜色相同的概率为_________． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有25种等可能的结果，两次摸到的球的颜色相同的有13种情况， ∴两次摸到的球的颜色相同的概率为． 题型 不放回型概率 解题贴士 取出元素不再放回，后续可选种类变少，不能出现前后选取同一个对象的组合，用列表时剔除对角线自身配对，用树状图时减少后一层分支，防止把不等可能情况计入。 ▌例1一个不透明的袋中有三张完全相同的卡片，把它们分别标上数字2，3，4．随机抽取一张卡片作为十位数，不放回，再随机抽取一张卡片作为个位数，这样组成的两位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的两位数是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，组成的两位数是偶数有4种情况， ∴组成的两位数是偶数的概率是：． ▌对点练1-12026年6月13日是“文化和自然遗产日”，某校为此举办“世遗守护人”选拔活动，准备了三张不同主题的“山西世遗”推荐卡：A．平遥古城，B．云冈石窟，C．五台山，这三张推荐卡除图案外，其他完全相同．参赛选手小明先从这三张卡中随机抽取一张进行模拟推介，记录下主题后不放回，再从剩下的两张卡中随机抽取一张作为补充素材．则小明抽取的两张推荐卡中，恰好有一张是“五台山”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用列表法得出所有等可能结果，统计符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 由表格可知，共有6种等可能的情况，其中恰好有一张是“五台山”的情况有4种， 则恰好有一张是“五台山”的概率是． ▌对点练1-2思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是_____． 【答案】 【分析】用列表法或画树状图法表示所有等可能结果，再运用概率公式计算即可． 【详解】解：分别用A，B，C表示“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，用列表法表示所有等可能结果如下， 共有6种等可能结果，其中恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”的结果有2种，即， ∴他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是 ． ▌对点练1-3已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了不放回抽样的概率计算，解题的关键是掌握列表法或树状图求概率． 利用树状图或列表法求概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共有12种，符合条件的有2种， 因此，恰好两张均摸到一等奖券的概率为， 故答案为：． 题型 列举法与游戏公平性判断解题贴士 先用列举法分别算出游戏各方获胜的概率，比较概率大小；概率相等则游戏公平，概率不相等则不公平，如果题目要求，还可以提出修改规则使双方获胜概率相等。 ▌例1小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． ▌对点练1-1小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C ▌对点练1-2小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】 不公平 【分析】先列出表格，得出摸球所有等可能结果，计算小红和小明赢的概率，比较概率大小判断游戏公平性即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） ∵所有等可能结果有9种，其中两次都摸到红球的4种，其他的有5种， ∴小红赢的概率为，小明赢的概率为， ∵， ∴游戏对双方不公平． 基础通关 1．某人经过两个十字路口，每一个路口可能会遇到红、绿、黄三种交通信号灯，可能性相同．则此人两次都遇到绿灯的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：画树状图如下： ∴经过两个十字路口共有9种等可能的结果， ∵两次都遇到绿灯的结果仅有1种， ∴所求概率为 2．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过画树状图或列表的方法求解即可． 【详解】解：设“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别记为A，B，C． 根据题意，画树状图如下∶ 由图可得，共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”（A）的结果有1种， 所以甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是． 3．河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药分别为A、B、C、D， 由题意，列表如下． A B C D A － B － C － D － 由表可知共有12种等可能的结果，其中选中灵宝苹果和信阳毛尖的结果有2种， 则P（恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖）． 4．粤剧是国家级非物质文化遗产，因写意象征，深受大众喜欢，正面印有粤剧经典剧目人物的四张卡片如图所示，它们除了正面外完全相同．把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用列表法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把昭君出塞卡片记为，帝女花卡片记为，紫钗记卡片记为，花木兰卡片记为， 树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率为：． 5．爸爸手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌，小军手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌．现两人各随机出一张牌，则爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题关键是先求出所有可能的出牌组合情况，再找出爸爸出的牌面数字比小军大的组合情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】根据题意，列表如下：     小军 爸爸 由表格可知共有9种等可能的结果，其中爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的结果有，，共种，故所求概率为． 6．圆周率π是无限不循环小数，历史上，数学家张衡，刘徽，祖冲之，阿基米德等都对π有过深入研究，其中我国数学家刘辉首创“割圆术”来确定圆周率．某校进行数学实验室的环境布置，需要两位数学家的画像，现从以上四位数学家的画像中随机选取两幅，则选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过画树状图或列表的方法得到所有等可能的情况和符合要求的情况数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将张衡，刘徽，祖冲之，阿基米德四位数学家分别记作甲，乙，丙，丁，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ∵共有12种等可能的结果，其中选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家的结果有6种结果， ∴选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家的概率． 7．某便利店设有扫码、刷卡、刷脸三种支付方式，两名顾客各自随机选择一种方式支付，则两人支付方式完全相同的概率是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用树状图求出所有等可能的结果，再找出两人支付方式完全相同的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有种支付方式，两名顾客各自独立选择支付方式， 画树状图如下， 一共有9种等可能结果，其中两人支付方式完全相同的情况共有种， ∴所求概率． 8．为感受传统文化魅力，王老师将立春、雨水、惊蛰、春分四个节气写在4张形状、大小完全相同的卡片上，背面朝上洗匀．随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张，则抽到的两张卡片中，含有“春”字的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将写有立春、雨水、惊蛰、春分四个节气的四张卡片分别标注a，b，c，d．利用列表法即可求解． 【详解】解：将写有立春、雨水、惊蛰、春分四个节气的四张卡片分别标注a，b，c，d． 由题意，列表如下： a b c d a b c d 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中王老师抽到含有“春”字的结果有10种，王老师抽到含有“春”字的概率为． 9．每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．某校在今年国际数学节策划了“折纸几何”“拓扑学魔术”和“分形艺术创作”三项动手实践活动．若小明和小亮每人随机选择参加其中一项活动，则他们恰好都选到“拓扑学魔术”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列表法得到所有等可能的结果数，再找出符合题意的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记“折纸几何”为A，“拓扑学魔术”为B，“分形艺术创作”为C 列表可得： 小明小亮 A B C A B C 共有种等可能的结果，其中他们恰好都选到活动“拓扑学魔术”的情况有种， 故他们恰好都选到活动“拓扑学魔术”的概率为． 10．某校开展“走进红色地标”研学活动，计划从“中共一大会址”、“中共二大会址”、“中共四大会址”这三个地标中随机选取两个作为参观地点，则“中共一大会址”被选中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过列表或画树状图列举出从三个地标中任选两个的所有等可能结果，再找出“中共一大会址”被选中的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】记“中共一大会址”为，“中共二大会址”为，“中共四大会址”为， 画树状图为： 由上可得，共有6种等可能结果，其中“中共一大会址”(即A)被选中的情况有4种， 故“中共一大会址”被选中的概率概率为． 11．在一个不透明的口袋中有3个除标号外完全相同的小球，它们的标号分别是2，3，4，若摸取一个小球，记下标号后放回，再随机摸取一个小球，则两次摸取的小球的标号之和为5的概率是________． 【答案】 【分析】画树状图列举出所有可能的结果和两个球号码之和为5的结果，然后利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两个球号码之和为5的结果有2种， ∴两次摸取的小球标号之和为5的概率是． 12．有张正面分别标有数字，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为，则使能被整除的概率为______． 【答案】 【分析】先画出树状图，则可得从中随机抽出两张卡片的所有等可能的结果，再找出使能被整除的结果，然后利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从中随机抽出两张卡片共有种等可能的结果，其中，使能被整除的结果有4种， 则使能被整除的概率为． 13．某校举行班级歌咏比赛，九年级1班和2班的同学从《少年中国说》、《黄河大合唱》、《歌唱祖国》和《我和我的祖国》中各随机选择一首参加比赛，则两个班恰好选择的是《少年中国说》和《我和我的祖国》的概率是________． 【答案】 【分析】根据树状图或列表法确定所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解∶设分别用A、B、C、D表示《少年中国说》、《黄河大合唱》、《歌唱祖国》和《我和我的祖国》，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中两个班选择的歌曲恰好是《少年中国说》和《我和我的祖国》(即A，D)的结果数有2种，所以概率为． 14．在一个跷跷板左边坐着一位体重为80公斤的成人，现在有三个小孩，体重分别是50公斤、40公斤和35公斤．从这三个小孩中随机选出两个坐到跷跷板右边．如果这两个小孩的总体重超过成人的体重，成人就会被翘起来．则随机选出的两个小孩能把成人翘起来的概率为____． 【答案】 【分析】先列表得出从三个小孩中随机选两个的所有等可能结果．再找出满足两个小孩总体重超过成人80公斤体重的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，三个小孩体重分别为50公斤、40公斤、35公斤，从中随机选两个，列表如下： 50 40 35 50 40 35 因此所有等可能结果共6种，符合要求的结果共4种， ∴随机选出的两个小孩能把成人翘起来的概率为． 15．不透明的袋中装有个红球，个白球，个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球再放回，再摸出一个球，两次摸出的都是白球的概率是______． 【答案】 【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个白球的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：画树状图如图：   共有个等可能的结果，两次摸出的都是白球的结果有个，  两次摸出的都是白球的概率为． 素养提升 1．色光三原色（）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正确地画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【详解】 由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种， ∴将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为． 2．将分别标有“最”“美”“广”“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列出表格如下： 最 美 广 西 最 （最，美） （最，广） （最，西） 美 （美，最） （美，广） （美，西） 广 （广，最） （广，美） （广，西） 西 （西，最） （西，美） （西，广） 由表可知，一共有12种情况，两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的有2种情况， ∴两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的概率. 3．乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：设字母A、B、C分别表示三个入口， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两人刚好从同一个入口进站的情况有种， ∴两人刚好从同一个入口进站的概率为． 4．三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是． 5．为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 【答案】 【分析】先画出树状图，列举两人选择运动的所有等可能结果，再找出两人选择同一项运动的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：记羽毛球为，滚铁环为，篮球为．根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小晴和小茵选择同一项运动的结果有种，故所求概率为． 6．如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并分别标上，2和，，8这5个数字，同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转），转动停止后，两个指针指向的数字之和为正数的概率是___________． 【答案】 【分析】先根据题意画出树状图，再根据概率的计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能性结果，其中两个指针指向的数字之和为正数的等可能结果共有2种，所以两个指针指向的数字之和为正数的概率是． 7．如图，把一个质地均匀的转盘平均分成三份，依次标上数字1，2，3，自由转动转盘两次（若指针正好指向分界线，则重新转一次），把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字记作y，则x与y的和为3的倍数的概率为________． 【答案】 【分析】画出树状图，利用概率公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，画出树状图如图： 共9种等可能的结果，其中x与y的和为3的倍数的结果有3种， ∴. 8．济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）总共有4张等可能卡片，“趵突泉”占1张，直接用符合条件数量除以总数求概率； （2）用列表法得到一共有种等可能情况，从中找出两次相同的情况有4种，再计算概率． 【详解】（1）解：一共4张卡片，“趵突泉”只有1张， 抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是； （2）解：设A：“趵突泉”，B：“大明湖”，C：“千佛山”，D：“灵岩寺”， 二 一 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的有种， 两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率为． 9．如图，A转盘分成三等份，分别标有数字，2，3，B转盘分成两等份，分别标有数字1和．先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． (1)若只转动A转盘，转盘停止后指针所指区域的数字是正数的概率为______； (2)请用列表法或画树状图法求a与b的乘积为正数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式解题． 【详解】（1）解：转动转盘可以得到种等可能结果，其中停止后指针所指区域的数字是正数的结果有种， ∴停止后指针所指区域的数字是正数的概率为； （2）解：列表得： 结果 由表格可得共有种等可能结果，其中乘积为正数的有种， ∴a与b的乘积为正数的概率为． 10．现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） (1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率． (2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：公平，理由如下： 共有8种等可能性结果，抽到数字是3的倍数的卡片有3，3，3，6共4种情况，抽到数字不是3的倍数的卡片有1，2，2，5共4种情况， （小强获得参赛名额）（小丽获得参赛名额）； 答：这个抽签方法对小强和小丽是公平的． 【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小强和小丽获得参赛名额的概率，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：（抽到数字2）． （2）略 迁移创新 1．项目化学习：单循环赛制下的积分建模与夺冠概率研究 某校举办国际象棋比赛，采用单循环赛制（每两人赛一场），每轮胜者得1分，负者得0分，和棋各得分、比赛共七轮，目前已完成六轮，六轮过后积分榜与第七轮对阵如下： 排名 选手 胜 和 负 积分 1 A 5 0 1 5 2 C 0 3 B 3 1 2 4 H 2 2 2 3 5 D 1 3 2 6 E 1 2 3 2 7 G 0 4 2 2 8 F 0 3 3 第七轮对阵 A B C H D G E F (1)选手C在前六轮中保持不败，求选手C的胜局数与和棋局数． (2)任务内容：国际象棋比赛夺冠概率的探究 任务背景：第7轮结束后，积分最高者夺冠；积分相同则胜局数多者夺冠 已知：选手A第7轮胜、和、负的概率均为； 选手C第7轮胜、和、负的概率分别为、、 项目探究方法：探究小组设计了“模拟小球”的方法，用小球编号对应比赛结果，方便分析选手A的三种结果，用编号①、②、③的3个小球分别代表“胜”“和”“负”； 选手C的三种结果，用编号④、⑤、⑥、⑦的4个小球对应，其中④、⑤代表“胜”，⑥代表“和”，⑦代表“负”．这样就可以用列表法或树状图，列出所有可能的结果进行分析． 请回答下列问题： ①选手B可能夺冠吗？请说明理由； ②用列表法或树状图法计算选手A夺冠的概率． 【答案】(1)选手C前六轮胜3局，和棋3局 (2)①选手B不可能夺冠，理由如下： 由题意得，选手B当前积分为分，第七轮对阵A，最高可能积分为（分）（胜A的情况）； 选手A当前积分为分，第七轮无论胜、和、负，最低积分为（分）（负于B的情况）， ∴B的最高积分低于A的最低积分， ∴B的积分无法超过A，不可能夺冠； ② 【分析】（1）设选手C前六轮胜局，和棋局，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）①算出选手B赢的积分和选手A输的积分，进行比较即可求解；②根据题意可知，选手A的主要竞争对手为选手C，根据题意列出所有情况，进而求解即可． 【详解】（1）解：设选手C前六轮胜局，和棋局， 根据题意得，， 解得， ∴选手C前六轮胜3局，和棋3局； （2）解：①略 ②∵其他选手（B、H、D、E、G、F）的最高积分均不超过分， ∴选手A的主要竞争对手为选手C， 列表如下： AC ① ② ③ ④ ④，① ④，② ④，③ ⑤ ⑤，① ⑤，② ⑤，③ ⑥ ⑥，① ⑥，② ⑥，③ ⑦ ⑦，① ⑦，② ⑦，③ ∵胜得1分，和得分，负得0分， ∴当A胜：（分）；当A和：（分）；当A负：（分）， 当C胜：（分）；当C和：（分）；当C负：（分）， ∵积分高者夺冠；积分相同则胜局数多者夺冠， ∴当A为③（负），C为④（胜）时和当A摸③（负），C为⑤（胜）时，C夺冠， ∴所有等可能的结果总数（种），A夺冠的结果总数：（种）， ∴． 2．小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 【答案】(1) (2)夫妇基因型均为，概率为 (3) (4) 【分析】（1）根据题意，两人无法生出基因为的孩子，即可得出结果； （2）根据单眼皮为隐性，双眼皮为显性，进而得到夫妇的基因为，列表法求出概率即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可； （4）根据题意，得到男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为，再求出男方的基因型为时，生出一个直发、单眼皮孩子的概率，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为， ∴无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子， ∴； （2）解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子， ∴孩子的基因型为， ∴夫妇的基因型均为， 列表如下： A a A a 共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种， ∴； （3）解：由题意，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种， ∴； （4）解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为， ∴男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为， 当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发， 当男方的基因型为时，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种， ∴， 又∵男方的基因型为的概率为， ∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十四章 随机事件的概率 34.2 用列举法去概率 课标要点 1.能通过列表的方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。 2.会利用列举法（直接列举、列表）计算一些简单随机事件的概率。 3.在具体情境中，体会等可能试验的特征，理解概率的意义，能用概率对简单随机现象作出初步判断。 学习重难点 重点： 1.掌握用直接列举法、列表法列举所有等可能结果，并用列举法求概率。 2.理解列举要做到不重复、不遗漏。 难点： 1.根据试验特点，正确选用合适的列举方式；当涉及两个因素时，准确构建表格列举全部等可能结果。 2.区分是否为等可能事件，准确识别试验中的所有等可能结果，避免列举出错。 知识点 直接列举法 当试验的等可能结果个数很少（一般不超过 6 个），可以按照一定顺序，把全部结果逐条写出来，再从中找出符合事件要求的结果，代入公式求概率。常用顺序：从小到大、先固定第一个再变换第二个。 特别提醒 列举要有条理，想到哪个写哪个极易出现重复或者漏写；适合单一因素或者结果极少的试验。 随学随练 1．“石头、剪刀、布”是广为流传的一种游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次出这三种手势的可能性相同，那么一次游戏中乙获胜的概率是（     ） A． B． C． D． 2．同时掷两枚质地均匀的骰子，将朝上的两个点数相加，则“点数之和”出现可能性最大的是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．某校决定从三名男生和一名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人．则选出的恰好为一男一女的概率是________． 4．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从口落出的概率为______． 知识点 列表法 当试验包含两个独立因素，每个因素有多种可能结果时，可以设计两行两列的表格，横向、纵向分别代表两个因素的所有情况，表格内每一格对应一种组合，覆盖全部等可能结果，之后统计总数与符合条件的结果。 特别提醒 重点区分放回试验和不放回试验；放回可以重复选取；不放回不能重复选取，对角线上自身配对的情况要剔除；如果是三个及以上因素，列表会非常繁琐，一般不使用。。 随学随练 1．如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 2．小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，两人选择的数字不能重复，然后两人各转动一次转盘（如图，转盘被分成5个面积相等的扇形），选择的数等于两人转得的数字之和的人为获胜者．如果两人选择的数都不等于转得的数字之和，那么就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，则为了获胜应选择的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为________． 4．一个不透明的袋子里装着分别标有汉字“魅”“力”“诸”“暨”的四张卡片，除汉字之外，卡片没有任何区别． (1)若从袋中任意抽取一张卡片，抽中写有“暨”的卡片是_____ 事件（填“不可能”“必然”或“随机”），卡片上的汉字刚好是“魅”的概率为_____ ； (2)若同时从袋中任意抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片上的汉字恰好能组成“魅力”或“诸暨”的概率． 知识点 树状图法 不管是两个因素，还是三个、更多因素的等可能试验，都可以用分层分支画图的方式列举：第一层代表第一个因素，每一条分支代表一种结果；从第一层每一个分支再分出第二层，代表第二个因素，依次往下。每一条从起点到末端的完整路径，就是一种等可能结果。 特别提醒 因素越多，树状图优势越明显；画图时分支对齐，方便计数；放回试验每一层分支不变，不放回试验后一层分支数量变少。 随学随练 1．如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 2．现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 3．老师为帮助学生正确理解物理变化和化学变化，将四种生活现象：“滴水成冰”“酒精燃烧”“百炼成钢”“木已成舟”制作成无差别卡片，置于暗箱中摇匀，随机抽取两张卡片，其中一张为化学变化，另一张为物理变化的概率是___________． 4．一个不透明的箱子里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个黑球，2个白球，从箱子里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．利用树状图或列表求下列事件发生的概率： (1)事件A：摸出1个红球，1个黑球． (2)事件B：摸出2个白球． 拓展列举法的通用迁移 深度归纳 直接列举、列表、树状图本质是一套通用建模工具，不是孤立题型套路。 · 本质：把随机试验拆解成若干独立步骤，分步枚举所有等可能基本事件；列表只是树状图在 “两步试验” 下的表格化简写； · 规律：只要是有限等可能试验，无论情境是摸球、转盘、掷骰子、抽签、配紫色游戏，底层流程统一：判定等可能 → 分步枚举 → 统计 m,n → 代入公式； · 进阶：当题目含有隐藏条件（比如转盘区域面积不等），第一步就要否决直接列举，不能看到 “转盘、摸球” 就套用列举法。 拓展探究：对比两步、三步随机试验，感受方法边界：列表只适合两步；三步及以上，树状图是更稳定的枚举模型，可推广到多步骤随机试验。 活学活用 1．某商场的地下停车场，现仅剩下“”“”“”“”四个依次相邻的车位．分别记这四个车位为，，，．小明和小红同时来到该地下停车场停车，两人停在相邻车位的概率是（     ） A． B． C． D． 2．某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 3．一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率．（“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示） 题型 直接列举法求概率 解题贴士 先确认属于等可能试验且总结果数量较少，按照固定顺序逐一写出全部基本事件，做到不重不漏，再数出符合目标事件的结果个数，代入概率公式计算，不要凭主观猜测漏掉情况。 ▌例1同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．小夏出行时，携带三位滚轮密码锁的行李箱，但是密码锁的密码忘记了，只记得是由“3，6，9”这三个数字组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数字，一次就能打开行李箱的概率为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2某市女生体育中考的国测项目，要从“50米”“立定跳远”“坐位体前屈”“仰卧起坐”四个项目中，随机抽取两项，则抽到“50米”与“坐位体前屈”两个项目的概率是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-32026年中国国产工具已形成规模化落地态势．小明妈妈的手机上共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明和妈妈要从中随机选择1款查阅资料，两人恰好同时选择同一款的概率是__________． 题型 列表法求概率解题贴士 横向、纵向分别表示两次选取的所有可能，允许行列出现相同元素，表格内每一格都是一种等可能结果，数结果时全部格子都计入，最后统计满足条件的组合，化简得到概率。 ▌例1如图，转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为平面直角坐标系中点M的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，认为指向左侧扇形的数字，则点M落在直线下方的概率为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1小亮和爸爸计划乘动车外出旅游，在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座，如图所示，若此时座和座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． ▌对点练1-3一个不透明的箱子中装着分别标有“”、“”、“”的卡片各一张，这些卡片除标写的字母外完全相同．甲从中随机抽取一张，记下结果后放回，乙再从中随机抽取一张． (1)甲抽到标有“”的卡片的概率为______； (2)求甲、乙两人抽到的卡片标有相同字母的概率． 题型树状图法求两步试验概率 解题贴士 第一层画出第一次试验所有分支，从每一条分支再分出第二次试验的全部情况，每条完整路径代表一种等可能结果，顺着路径计数，方便区分有序的先后抽取情况。 ▌例1有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字，，，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为的概率为，那么第四个小球上的数字是（     ） A． B． C．或 D． ▌对点练1-1学校要举办一场运动会，小文和小锋报名参加跳远比赛，预赛分，，三组进行，则小文和小锋恰好分到同一个组的概率是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． ▌对点练1-3年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： (1)若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； (2)若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 题型 树状图法求三步及以上试验概率 解题贴士 按照操作先后依次分层画分支，每完成一步新增一层分支，不放回时后一层分支数量随之减少，理清每一条完整路径，适合多步骤、不适合列表的概率问题。 ▌例1甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1武汉过早文化博大精深，小明计划连续三天在“热干面”、“三鲜豆皮”、“鲜鱼糊汤粉”这三种特色美食中，每天随机选择一种作为早餐（每天的选择相互独立）．则小明这三天吃到的早餐至少有两次相同的概率是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． ▌对点练1-3将如图所示的一张画有花、叶、根的蒲公英图片由上至下等分为三小张，画有图案的面朝下，并打乱三小张图片的顺序．闭上眼睛，随机地取出一张，放在最上面，再随机地取出第二张放在中间，最后一张放在最下面．用重复试验或者理论分析的方法，求眼睛睁开后，上、中、下位置恰好依次是花、叶、根的概率． 题型 求放回型概率 解题贴士 取出元素记录后重新放回，每一次选取的可选对象不变，前后两次相互独立，不管使用列表还是树状图，都要保留重复选取的情况，保证每个基本事件等可能。 ▌例1一个不透明的盒子中装有四个分别标着“H（氢）”“O（氧）”“C（碳）”“（钙）”四种元素符号的小球，这些小球除元素符号外其他完全相同．现从盒子中随机摸出一个小球，记下小球上标记的元素符号后放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸到的小球上的元素符号可以组成“”的概率是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-12026年春晚吉祥物形象为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，正面印有吉祥物形象的四张卡片如图4所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回，洗匀再抽取一张，则恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的概率为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2平顶山是豫中南地区的中心城市．平顶山境内有多处知名景区，其中尧山、二郎山、画眉谷深受游客喜爱．如图，现有3张景区的卡片，小明将卡片背面朝上放在桌面上（背面完全相同），从中随机翻开1张，记录后放回，再随机翻开1张，则两次翻开的卡片恰好是“尧山”和“二郎山”的概率为_____． ▌对点练1-3布袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再随机摸出一个球，则两次摸到颜色相同的概率为_________． 题型 不放回型概率 解题贴士 取出元素不再放回，后续可选种类变少，不能出现前后选取同一个对象的组合，用列表时剔除对角线自身配对，用树状图时减少后一层分支，防止把不等可能情况计入。 ▌例1一个不透明的袋中有三张完全相同的卡片，把它们分别标上数字2，3，4．随机抽取一张卡片作为十位数，不放回，再随机抽取一张卡片作为个位数，这样组成的两位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-12026年6月13日是“文化和自然遗产日”，某校为此举办“世遗守护人”选拔活动，准备了三张不同主题的“山西世遗”推荐卡：A．平遥古城，B．云冈石窟，C．五台山，这三张推荐卡除图案外，其他完全相同．参赛选手小明先从这三张卡中随机抽取一张进行模拟推介，记录下主题后不放回，再从剩下的两张卡中随机抽取一张作为补充素材．则小明抽取的两张推荐卡中，恰好有一张是“五台山”的概率是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是_____． ▌对点练1-3已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为______． 题型 列举法与游戏公平性判断解题贴士 先用列举法分别算出游戏各方获胜的概率，比较概率大小；概率相等则游戏公平，概率不相等则不公平，如果题目要求，还可以提出修改规则使双方获胜概率相等。 ▌例1小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 ▌对点练1-1小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 ▌对点练1-2小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 基础通关 1．某人经过两个十字路口，每一个路口可能会遇到红、绿、黄三种交通信号灯，可能性相同．则此人两次都遇到绿灯的概率是（     ） A． B． C． D． 2．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是（     ） A． B． C． D． 3．河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 4．粤剧是国家级非物质文化遗产，因写意象征，深受大众喜欢，正面印有粤剧经典剧目人物的四张卡片如图所示，它们除了正面外完全相同．把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（     ） A． B． C． D． 5．爸爸手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌，小军手中有三张牌面数字分别为，，的扑克牌．现两人各随机出一张牌，则爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的概率是（     ） A． B． C． D． 6．圆周率π是无限不循环小数，历史上，数学家张衡，刘徽，祖冲之，阿基米德等都对π有过深入研究，其中我国数学家刘辉首创“割圆术”来确定圆周率．某校进行数学实验室的环境布置，需要两位数学家的画像，现从以上四位数学家的画像中随机选取两幅，则选取的两位数学家的画像正好都是中国数学家的概率是（     ） A． B． C． D． 7．某便利店设有扫码、刷卡、刷脸三种支付方式，两名顾客各自随机选择一种方式支付，则两人支付方式完全相同的概率是（） A． B． C． D． 8．为感受传统文化魅力，王老师将立春、雨水、惊蛰、春分四个节气写在4张形状、大小完全相同的卡片上，背面朝上洗匀．随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张，则抽到的两张卡片中，含有“春”字的概率是（     ） A． B． C． D． 9．每年的3月14日为国际数学日（简称IDM），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．某校在今年国际数学节策划了“折纸几何”“拓扑学魔术”和“分形艺术创作”三项动手实践活动．若小明和小亮每人随机选择参加其中一项活动，则他们恰好都选到“拓扑学魔术”的概率是（     ） A． B． C． D． 10．某校开展“走进红色地标”研学活动，计划从“中共一大会址”、“中共二大会址”、“中共四大会址”这三个地标中随机选取两个作为参观地点，则“中共一大会址”被选中的概率是（     ） A． B． C． D． 11．在一个不透明的口袋中有3个除标号外完全相同的小球，它们的标号分别是2，3，4，若摸取一个小球，记下标号后放回，再随机摸取一个小球，则两次摸取的小球的标号之和为5的概率是________． 12．有张正面分别标有数字，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为，则使能被整除的概率为______． 13．某校举行班级歌咏比赛，九年级1班和2班的同学从《少年中国说》、《黄河大合唱》、《歌唱祖国》和《我和我的祖国》中各随机选择一首参加比赛，则两个班恰好选择的是《少年中国说》和《我和我的祖国》的概率是________． 14．在一个跷跷板左边坐着一位体重为80公斤的成人，现在有三个小孩，体重分别是50公斤、40公斤和35公斤．从这三个小孩中随机选出两个坐到跷跷板右边．如果这两个小孩的总体重超过成人的体重，成人就会被翘起来．则随机选出的两个小孩能把成人翘起来的概率为____． 15．不透明的袋中装有个红球，个白球，个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球再放回，再摸出一个球，两次摸出的都是白球的概率是______． 素养提升 1．色光三原色（）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（     ） A． B． C． D． 2．将分别标有“最”“美”“广”“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的概率是（     ） A． B． C． D． 3．乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式．小美和小好约定在某地铁站内会面，该地铁站有个入口，他们各自随机选择一个入口进站，两人刚好从同一个入口进站的概率是（     ） A． B． C． D． 4．三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 5．为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 6．如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并分别标上，2和，，8这5个数字，同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上时重转），转动停止后，两个指针指向的数字之和为正数的概率是___________． 7．如图，把一个质地均匀的转盘平均分成三份，依次标上数字1，2，3，自由转动转盘两次（若指针正好指向分界线，则重新转一次），把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字记作y，则x与y的和为3的倍数的概率为________． 8．济南有众多旅游景区，皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“趵突泉”“大明湖”“千佛山”“灵岩寺”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． (1)若从中随机抽取一张，抽到的卡片上的景区为“趵突泉”的概率是 ； (2)若从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片正面恰好是同一景区的概率． 9．如图，A转盘分成三等份，分别标有数字，2，3，B转盘分成两等份，分别标有数字1和．先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． (1)若只转动A转盘，转盘停止后指针所指区域的数字是正数的概率为______； (2)请用列表法或画树状图法求a与b的乘积为正数的概率． 10．现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） (1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率． (2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 迁移创新 1．项目化学习：单循环赛制下的积分建模与夺冠概率研究 某校举办国际象棋比赛，采用单循环赛制（每两人赛一场），每轮胜者得1分，负者得0分，和棋各得分、比赛共七轮，目前已完成六轮，六轮过后积分榜与第七轮对阵如下： 排名 选手 胜 和 负 积分 1 A 5 0 1 5 2 C 0 3 B 3 1 2 4 H 2 2 2 3 5 D 1 3 2 6 E 1 2 3 2 7 G 0 4 2 2 8 F 0 3 3 第七轮对阵 A B C H D G E F (1)选手C在前六轮中保持不败，求选手C的胜局数与和棋局数． (2)任务内容：国际象棋比赛夺冠概率的探究 任务背景：第7轮结束后，积分最高者夺冠；积分相同则胜局数多者夺冠 已知：选手A第7轮胜、和、负的概率均为； 选手C第7轮胜、和、负的概率分别为、、 项目探究方法：探究小组设计了“模拟小球”的方法，用小球编号对应比赛结果，方便分析选手A的三种结果，用编号①、②、③的3个小球分别代表“胜”“和”“负”； 选手C的三种结果，用编号④、⑤、⑥、⑦的4个小球对应，其中④、⑤代表“胜”，⑥代表“和”，⑦代表“负”．这样就可以用列表法或树状图，列出所有可能的结果进行分析． 请回答下列问题： ①选手B可能夺冠吗？请说明理由； ②用列表法或树状图法计算选手A夺冠的概率． 2．小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $