专题34.1 随机事件与概率（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题34.1 随机事件与概率 知识点一、概率的相关概念 2 知识点二、概率的计算方法 2 【题型1 事件的分类】 3 【题型2 判断事情发生的可能性大小】 5 【题型3 改变条件使事件发生的可能性相同】 6 【题型4 列举随机实验所有结果】 8 【题型5 判断试验结果是否是等可能的】 11 【题型6 概率的意义理解】 13 【题型7 判断几个事件的概率大小关系】 15 【题型8 根据概率公式计算概率】 16 【题型9 根据概率作判断】 18 【题型10 已知概率求数量】 21 【题型11 几何概率】 23 【探究式学习】 25 【课后检测】 26 【复盘笔记】 38 知识点一、概率的相关概念 1、确定事件与随机事件 类别 定义 举例 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出红球. 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出白球. 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）. 在一个装有红球和白球的袋子中摸球，摸出白球. 2、概率的定义 概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A). 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时,P(A)=0；当事件A为随机事件时， 0＜P(A)＜1. 【注意事项】 （1）概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事件不发生，只是发生的可能性小； （2）在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行计算. 知识点二、概率的计算方法 1.公式法 概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即. 用求概率时，试验需满足的条件： （1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； （2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 2.列举法 定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 用列举法求概率的前提：（1）所有可能出现的结果是有限个；（2）每个结果出现的可能性相等. 3.列表法 定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 4.画树状图法 定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 5.用频率估计概率 一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值. 【题型1 事件的分类】 【例1】小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 【答案】B 【分析】先计算不放回抽取两根竹签的数字和的取值范围，再根据随机事件的定义判断各选项． 【详解】解：不放回抽取两根竹签，数字和的最小值为，最大值为， ∵ 数字和小于3一定不发生， ∴ A是不可能事件，故A不符合题意； ∵ 数字和等于3可能发生，也可能不发生， ∴ B是随机事件，故B符合题意； ∵ 数字和等于8、大于8均一定不发生， ∴ C、D是不可能事件，故C、D不符合题意． 【变式1-1】从正方形的四个顶点中，任取三个顶点连成三角形．把“这个三角形是等边三角形”记作事件M，下列判断正确的是（     ） A．事件M是不可能事件 B．事件M是必然事件 C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为 【答案】A 【详解】解：正方形的四条边长度相等，对角线长度大于边长.从四个顶点中任取三个连成三角形， 任意一个三角形的三边都包含两条正方形的边和一条对角线，三边长度不可能全部相等，即不可能是等边三角形， ∴事件是不可能事件． 【变式1-2】如图，电路图上有3个开关A，B，C和1个小灯泡．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（     ） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．闭合3个开关 D．不闭合开关 【答案】B 【分析】观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个，则小灯泡一定发光，从而可得答案． 【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路， 只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意； 只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意； 只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意； 不闭合开关，小灯泡发光是不可能事件，所以D不符合题意． 【变式1-3】下列事件中，不是必然事件的是（     ） A．直径所对的圆周角相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．相等的弧所对的弦相等 D．旋转后的图形与原来图形的对应线段相等 【答案】B 【分析】根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、直径所对的圆周角是直角，相等，故A是必然事件，不符合题意； B、只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故B是随机事件，符合题意； C、等弧所对的弦相等，故C是必然事件，不符合题意； D、旋转后的图形与原来图形的对应线段相等，故D是必然事件，不符合题意． 【题型2 判断事情发生的可能性大小】 【例2】欢欢和园园抛豆子玩游戏，每人都有3颗豆子，每局每人可以随机抛出1-3颗（且抛出1-3颗豆子的可能性相同），如果两人抛出的豆子数的和是奇数则欢欢赢，如果和是偶数则是园园赢．那么两人谁赢的可能性大（  ） A．欢欢大 B．园园大 C．两人一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】需列举两人抛豆的所有等可能结果，统计和为奇、偶的结果数，比较赢的可能性大小． 【详解】解：两人抛出的豆子数均有、、共种等可能情况，所有组合共种且等可能，对应和的奇偶性如下： 和为偶，和为奇，和为偶， 和为奇，和为偶，和为奇， 和为偶，和为奇，和为偶． ∵和为奇数的结果有种，和为偶数的结果有种． 又∵， ∴ 园园赢的可能性大． 【变式2-1】下列事件发生的概率为的是（     ） A．随意掷一枚质地均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上 B．今年冬天南宁会下雪 C．随意掷两枚质地均匀的标有数字的骰子，朝上面的点数之和为 D．一个转盘被均匀地分成个扇形，分别涂上红、白、黄、白的颜色，转动转盘，指针停在红色区域 【答案】C 【分析】找出不可能发生的事件即为概率为的事件． 【详解】解：对于选项A、B、D中的事件均有可能发生，概率不为，不符合题意； 对于选项C：每枚骰子朝上面的点数最小为，两枚骰子点数之和最小为，不可能为，概率为，符合题意． 【变式2-2】在，，，，这五个数中，将其中的任意两个数相加，和是偶数的可能性是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两数和为偶数的奇偶性特征，分别计算总情况数与符合条件的情况数，进而求解可能性． 【详解】解：在，，，，中奇数有个，偶数有个， 从个数中任取个数的情况为：、、、、、、、、、， 共有种等可能结果，其中和是偶数有种情况， 因此，和是偶数的可能性为． 【变式2-3】数学课上，老师与同学们做“掷骰子”试验，并依次记录了不同试验次数时某事件发生的频率，绘制了如下统计图．下列选项可能是这个事件的是（     ） A．朝上点数小于3 B．朝上点数小于2 C．朝上点数是奇数 D．朝上点数不小于3 【答案】A 【分析】根据统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，说明该事件发生的概率约为，分别计算各选项事件的概率即可得出答案． 【详解】解：由折线统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近， 该事件发生的概率约为， A、朝上点数小于的情况有两种，其概率为，符合题意； B、朝上点数小于的情况有一种，其概率为，不符合题意； C、朝上点数是奇数的情况有三种，其概率为，不符合题意； D、朝上点数不小于的情况有四种，其概率为，不符合题意． 【题型3 改变条件使事件发生的可能性相同】 【例3】一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，熟知摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总数是解题的关键．要使摸到红球的概率为，需添加后袋子中红球总数等于黄球总数，据此验证各选项即可． 【详解】要使摸到红球的概率为，需满足添加后红球总数等于黄球总数 ∵原袋中有个红球，个黄球 ∴逐一验证选项： A、添加个黄球后，黄球数为，与红球数相等，符合要求，故不符合题意； B、添加个红球后，红球数为，黄球数为，，不符合要求，故符合题意； C、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意； D、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意． 故选：B． 【变式3-1】一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 【变式3-2】有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【分析】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 【变式3-3】一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 【题型4 列举随机实验所有结果】 【例4】众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性的数量，解题的关键是根据八纲的意义可知每纲为二元对立且每纲独立，利用乘法即可得出病症的种类． 【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态， ∴每纲有种可能， ∴病症的种类共有：（种）， 即共有种病症． 故选：B． 【变式4-1】大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（   ） A．张老师抽中轮空票的概率为 B．夏老师抽中批阅题的概率为 C．刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为 D．已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为 【答案】C 【分析】先理清所有等可能的抽签结果，再结合具体情况具体分析事件概率即可． 【详解】解：依题得，共有七种抽签结果：填空题、题、题、题、题、题、轮空， 张老师抽中轮空票的概率为，选项错误； 夏老师抽中批阅题的概率为，选项错误； 刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，求王老师批阅题，常老师轮空的概率， 即在王老师批阅题的前提下，常老师轮空，概率应计算为，选项正确； 已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，还剩下五种抽签结果， 则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为，选项错误 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是列举随机实验的所有可能结果、根据概率公式计算概率，解题关键是理清所有等可能的抽签结果． 【变式4-2】无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【分析】本题主要考查了列举法求随机事件所有出现的结果等知识点，利用已知条件，通过分类求解即可，熟练掌握用列举法求随机事件所有出现的结果是解决此题的关键． 【详解】解：设无人机三种颜色为A，B，C， 由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同， ∴可画树状图如下， ∴共有12种． 故选：A． 【变式4-3】如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系． 【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量， 1个“ ”的质量等于2个“○”的质量． 右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中， 共有4种情况： （1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时： 左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时； （2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时： 左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时； （3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时： 左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时； （4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时： 左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值． 【题型5 判断试验结果是否是等可能的】 【例5】掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上刻有1到6的点数，下面说法错误的是（     ） A．掷出点数1和点数6的概率相同 B．掷出点数大于5是随机事件 C．掷出点数7是不可能事件 D．掷出大于3的点数与小于3的点数的可能性相同 【答案】D 【分析】利用事件的分类与等可能事件概率的计算，根据骰子的点数特征，逐一分析选项即可得到错误结论． 【详解】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数为1到6，共6种等可能的结果． 选项A：∵掷出点数1和点数6都只有1种情况，概率均为，∴说法正确，不符合题意； 选项B：∵点数大于5只有点数6这一种情况，可能发生也可能不发生，是随机事件，∴说法正确，不符合题意； 选项C：∵骰子最大点数为6，不可能掷出点数7，∴掷出点数7是不可能事件，说法正确，不符合题意； 选项D：∵大于3的点数有4，5，6，共3种结果，概率为，小于3的点数有1，2，共2种结果，概率为，，∴二者可能性不同，说法错误，符合题意． 【变式5-1】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 【变式5-2】下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 【变式5-3】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 【题型6 概率的意义理解】 【例6】下列说法正确的是（   ） A．一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏一定会中奖 B．了解某班同学的身高情况适合用全面调查 C．数据2、3、4、2、3的众数是2 D．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是，，则甲组数据更稳定 【答案】B 【分析】根据概率意义、调查方式选择、众数定义、方差性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．中奖率反映的是每次抽奖中奖的可能性大小，做100次游戏也不一定会中奖，即选项A错误； B．一个班的同学数量较少，全面调查可以得到准确的身高数据，适合用全面调查，即选项B正确； C．数据2、3、4、2、3中，2和3都出现2次，众数是2和3，即选项C错误； D．当平均数相同时，方差越小数据越稳定，又，即乙组数据更稳定，故选项D错误． 【变式6-1】下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【答案】C 【分析】根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可． 【详解】A选项：不一定，属随机事件，不符合题意； B选项：不一定，摸出白球的概率为 ，不符合题意； C选项：朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等，均为，符合题意； D选项：不一定，属随机事件，不符合题意． 【变式6-2】下列说法正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币次必有次正面朝上 B．在，，，，，这组数据中，中位数和众数都是 C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定 D．五个数据，，，，，都加后方差不变 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义、中位数与众数的定义、方差的性质，需逐个分析选项判断正误． 【详解】解：∵抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上概率为，但连续抛次是随机事件，不是必有次正面朝上，∴A错误． ∵将数据，，，，，排序为，，，，，，中位数为，众数为，∴B错误． ∵方差越小，数据越稳定，，∴乙组成绩更稳定，C错误． ∵一组数据中每个数据都加上相同的数，数据的波动程度不变，方差不变，∴D正确． 故选：D． 【变式6-3】下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【答案】B 【分析】本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，方差的概念是解题的关键． 根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解． 【详解】解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意； B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意； C、∵， ∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ； D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 【题型7 判断几个事件的概率大小关系】 【例7】盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（     ） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小 【答案】B 【分析】计算各颜色球被摸出的概率，逐一判断选项正误. 【详解】解：∵总球数为10，其中红球6个，黄球3个，黑球1个， ∴摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， 摸出黑球的概率为， ∵ ， ∴ 摸出红球的可能性最大，摸出黑球的可能性最小， A、摸球为随机事件，可能摸到红球，也可能摸到其他颜色的球，并非一定是红球，故A错误； B、摸出红球的可能性最大，故B正确； C、盒中有黑球，因此有可能摸到黑球，并非不可能，故C错误； D、 摸出黑球的可能性最小，并非红球，故D错误. 【变式7-1】下列事件中，概率最大的是（     ） A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 【答案】C 【分析】优先判断事件类型，必然事件概率为，大于所有随机事件的概率，可快速求解． 【详解】解：A、投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上概率为； B、投掷飞镖一次，命中靶心是随机事件，概率小于； C、从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球为必然事件，概率为； D、玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀”的概率为； 故概率最大的是C． 【变式7-2】某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【答案】A 【分析】本题主要考查概率的基本意义，通过比较不同礼品对应小球的数量，最有可能领取的礼品对应小球数量最多的那种，因为概率与数量成正比． 【详解】解：∵小球总数为，过桥米线小球数为，鲜花饼为，普洱茶为，宣威火腿为， ∴过桥米线的小球数量最多，概率最大，为． 故选：A． 【变式7-3】一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（   ） A．抽到的牌的数字为5 B．抽到的牌的花色为黑桃 C．抽到的牌是大王或小王 D．抽到的牌是J或Q或K 【答案】B 【分析】本题考查求概率，分别求出各选项中的概率进行判断即可． 【详解】解：抽到的牌的数字为5的概率为；抽到的牌的花色为黑桃的概率为；抽到的牌是大王或小王的概率为，抽到的牌是J或Q或K的概率为， ∵； 故概率最大的是选项B． 故选B． 【点睛】概率比较直接基于有利事件数与总事件数的比值，简单直观． 【题型8 根据概率公式计算概率】 【例8】如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知符合题意的涂法有2种， 则概率为． 【变式8-1】如图，已知和3张都标注一个条件的卡片①②③．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判定的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合概率公式求解即可． 【详解】解：若，则； 若，则 而 则； 若，则无法判定， 故从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能的结果，其中能判定的结果有2种， 能判定的概率为． 【变式8-2】甲、乙、丙、丁四位同学参加校乒乓球单打比赛，通过抽签来确定对手，甲、乙两位同学恰好抽到同一组对打的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可从甲的对手的所有等可能情况入手分析，避免重复计数分组结果，简化计算． 【详解】解：甲的对手有乙、丙、丁共3种等可能的结果，其中甲与乙同组的结果有1种，故甲、乙恰好同组对打的概率为． 【变式8-3】有长度分别是的四条线段，任取其中的3条，恰好能构成三角形的概率是（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先列出任取3条线段的所有等可能结果，再根据三角形三边关系找出能构成三角形的结果数，最后根据概率公式计算概率。 【详解】解：∵从长度为四条线段中任取3条，共有4种等可能的结果，分别为： 根据三角形任意两边之和大于第三边判断，只有这一组满足三边关系，符合条件的结果共1种. ∴恰好能构成三角形的概率是． 【题型9 根据概率作判断】 【例9】不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 【变式9-1】下列说法正确的有（   ）个. ①正方体的表面积与它的棱长成正比例. ②圆锥的体积一定，底面积与高成反比例. ③任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数. ④假分数的倒数一定是真分数. ⑤把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里.至少取出5个球，可以保证取到两个颜色相同的球. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正比例关系和反比例关系，正方形的表面积，圆锥的体积，真分数和假分数等知识内容，如果乘积一定则是反比例关系，如果是比值一定则是正比例关系，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵ 正方体的表面积等于棱长乘棱长乘， ∴正方体的表面积与它的棱长不成正比例，故①不符合题意； ∵圆锥的体积=底面积×高 ∴圆锥的体积一定，底面积与高成反比例， 故②符合题意； 任意三个不同的自然数，其中至少有2个不是偶数就是奇数；偶数+偶数=偶数；奇数+奇数=偶数； ∴任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数． 故③符合题意； 根据真分数、假分数及倒数的意义可知，真分数倒数的分母一定小于分子，即真分数的倒数一定为假分数；当假分数的分母等于分子时，则其倒数的分子与分母也相等，即还是假分数，如的倒数还是． ∴假分数的倒数不一定是真分数，故假分数的倒数一定是真分数是错误的． 故④不符合题意； 把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里，至少取出5个球，可以保证取到两个颜色相同的球， ∴⑤符合题意； 故选：C 【变式9-2】将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 【变式9-3】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 【答案】B 【分析】本题考查的是求频率； 先分别求解各选项事件出现的频率，再结合题干信息可得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2的频率为； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球的频率为； C、转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数的频率为； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃的频率为； 由图可知当试验次数很多时，频率稳定在， ∴B符合题意， 故选：B． 【题型10 已知概率求数量】 【例10】承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【答案】B 【分析】明确标记均匀分布后，标记鱼在总体中的占比等于重捕样本中标记鱼的占比，据此列方程求解即可． 【详解】设池塘里总共有条鱼． ∵标记鱼均匀分布后，总体中标记鱼的占比等于重捕样本中标记鱼的占比， ∴ 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计池塘里有鱼1600条． 【变式10-1】一个不透明的袋子里装有红球和白球共10个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在附近，可得白球出现的概率为，进而即可求解． 【详解】解：由频率分布图可知，随着试验次数增加，白球出现的频率稳定在附近， ∴白球出现的概率为， ∵总球数为10个， ∴白球的个数为（个）． 【变式10-2】在如图所示的“扫雷”游戏中，与数字“m”相邻的8个空格中隐藏着m个“雷”，若随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据概率公式直接求解即可 【详解】解：∵与数字“m”相邻的8个空格中隐藏着m个“雷”，若随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是， ∴ 【变式10-3】一只不透明的袋子中，装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查古典概型的概率计算，利用概率公式“摸到某颜色球的概率=该颜色球的个数÷球的总个数”求解即可． 【详解】解：设红球的个数为，则袋子中球的总个数为． ∵ 摸到白球的概率为， ∴ ， 解得 ． 红球的个数为4． 【题型11 几何概率】 【例11】如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出整个图案的面积，再求出落在阴影区域内的总概率，最后根据几何概率公式可得答案． 【详解】解：∵最大圆的半径为1， ∴整个图案的面积为， ∵经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，， ∴落在阴影区域内的总概率为， ∴阴影区域的总面积为． 【变式11-1】如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】随着试验总次数不断增加，点落在不规则图案内的频率逐渐稳定在0.3附近，用稳定的频率估计概率，再结合长方形总面积，即可求出不规则图案的估计面积． 【详解】解：由频率折线图可知，随着试验次数增多，点落在不规则图案内的频率稳定在0.3左右，因此可估计点落在阴影不规则图案内的概率． 已知长方形总面积为，设不规则图案面积为，根据几何概型： ， 计算得： ． 【变式11-2】一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个灰色小三角形的面积为，表示出相关图形的面积，最后利用简单概率公式求解． 【详解】解：设每个灰色小三角形的面积为，灰色区域的面积为，则每个小正方形的面积为，大正方形的面积为， ∴小球停在灰色区域的概率是． 【变式11-3】某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】小球停留在某区域的概率 阴影区域的面积 大正方形的总面积． 【详解】解： 根据七巧板的构造规律，对整个大正方形面积拆分后可得： 图中阴影平行四边形的面积，占整个大正方形面积的， 因此小球最终停留在阴影区域的概率是． 【探究式学习】 1．探究不同情境，回答下面问题． (1)下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？（填入题后括号内） ①校运会上，某班一位女同学的100米跑成绩是15秒11（ 事件）． ②人在地球上所受的重力比在月球上小（ 事件）． ③一个四边形的四个内角的和等于（ 事件）． (2)写出一个随机事件． 【答案】(1)①随机；②不可能；③必然 (2)明天会下雨（答案不唯一） 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据概念判断即可． 【详解】（1）解：①校运会上，某班一位女同学的100米跑成绩是15秒11（随机事件）； ②人在地球上所受的重力比在月球上小（不可能事件）； ③一个四边形的四个内角的和等于（必然事件） （2）解：明天会下雨或者本次测验成绩得99分（答案不唯一） 2．在某次实验操作备考练习中，王老师为本班学生准备了三个实验项目：A．测量物质密度；B．探究凸透镜成像；．探究某种盐的性质．并准备了如图所示的转盘，转盘被平均分成面积相等的三个扇形，分别标上A、B、C，规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指的实验项目（若指针停在等分线上，则重新转动转盘）． (1)小明转动一次转盘，正好选中实验“A．测量物质密度”的概率是 ； (2)请你用列表或画树状图的方法求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，两人都没选中实验“．探究某种盐的性质”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中正好选中实验“．测量物质密度”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两人都没选中实验“．探究某种盐的性质”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中正好选中实验“．测量物质密度”的结果有1种， ∴好选中实验“．测量物质密度”的概率是． 故答案为：． （2）画树状图如下： 由图可知共有9种等可能的结果，其中两人都没选中实验“C．探究某种盐的性质”的结果有4种， 两人都没选中实验“C．探究某种盐的性质”的概率为． 【课后检测】 1．下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放天气预报 B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球 C．今年的除夕夜会下雪 D．任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有6次 【答案】B 【详解】解：A．打开电视机，正在播放天气预报，是随机事件，不符合题意． B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球，是不可能事件，符合题意． C．今年的除夕夜会下雪，是随机事件，不符合题意． D．任意抛掷一枚硬币次，正面朝上有次，是随机事件，不符合题意． 2．“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设太极图的总面积为． 太极图是中心对称图形，黑色部分与白色部分面积相等． 白色部分的面积为． 此点取自白色部分的概率． 3．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】先从确定的数学结论入手判断必然事件，再验证其余选项． 【详解】解：A．年全年有天，故2025面全年有367天是不可能事件，不符合题意； B．任意三角形的内角和为，是必然事件，符合题意； C．下个月芒市是否下雨具有不确定性，是随机事件，不符合题意； D．射击运动员射击一次是否命中靶心具有不确定性，是随机事件，不符合题意． 4．下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 【答案】C 【分析】根据事件发生的确定性，判断各选项的事件类型． 【详解】解：A.袋中只装有红球，不可能摸出黄球，为不可能事件； B.抛出的篮球一定会下落，为必然事件； C.抛掷质地均匀的骰子，可能掷出~的任意点数，掷出点数是可能发生也可能不发生，为随机事件； D.正数一定大于负数，为必然事件． 5．下列说法正确的是（     ） A．概率为0的事件可能发生 B．相等的圆心角对应的弧不一定相等 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．要满足分式的值为0，分子为0即可 【答案】B 【详解】解：A选项，概率为的事件是不可能事件，一定不发生，故A错误． B选项，只有在同圆或等圆中，相等的圆心角对应的弧才相等，缺少该前提时弧不一定相等，故B正确． C选项，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，仅垂直于半径不满足判定条件，故C错误． D选项，分式的值为需满足分子为且分母不为，仅分子为不成立，故D错误． 6．如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① 【答案】B 【分析】指针落在阴影区域内的可能性是：，比较灰色部分的面积即可． 【详解】解：由图可知：①“指针落在灰色区域内”的可能性为；②“指针落在灰色区域内”的可能性为；③“指针落在灰色区域内”的可能性为； 因为， 所以指针落在灰色区域内的可能性从大到小的顺序为：②①③． 7．下列说法正确的是（     ） A．神舟十九号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查 B．“清明时节雨纷纷”是随机事件 C．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定 D．某市一周内每天最高气温（单位：）分别为：20，21，20，19，22，18，19，则中位数为19 【答案】B 【分析】逐一结合统计基础概念判断各选项即可，用到调查方式选择、随机事件定义、方差的意义、中位数计算等初中统计知识． 【详解】解：对于A选项：∵神舟飞船零件检查对精度要求极高，需检查所有零件， ∴应选择全面调查，A错误，不符合题意； 对于B选项：∵随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，清明时节不一定会降雨， ∴“清明时节雨纷纷”是随机事件，B正确，符合题意； 对于C选项：∵平均分相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定， ∴方差较大的同学成绩更不稳定，C错误，不符合题意； 对于D选项：将数据从小到大排序为，共7个数据，中位数为排序后第4个数据，即中位数为， ∴D错误，不符合题意． 8．2026年福建省城市足球联赛共有10支球队，赛程9轮，每轮5对球队对阵，随机抽到两支球队恰好是第三轮中对阵一对的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算从10支球队中随机抽取2支的所有可能情况数，再得到第三轮中符合条件的对阵情况数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵从10支球队中随机选2支，总的情况数为 种， 又∵第三轮共有5对对阵，符合条件的情况数为5种， ∴所求概率 ． 9．袋中有4个红球、3个蓝球、2个黄球．从袋中不放回地随机摸出2个球，摸出的两个球颜色不同的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列表法先得出所有可能得出的结果数，再得出两个球颜色不同的等可能的结果数，最后，再代入概率公式计算概率即可． 【详解】解：设红球分别为，，，，蓝球分别为，，，黄球分别为，， 根据题意列表如下： 根据表格可知，共有72种等可能的结果数，其中摸出的两个球颜色不同的等可能的结果数共有52种， 故摸出两个球颜色不同的概率为． 10．把一副去掉大小王的扑克牌洗匀后背面朝上，从中随机摸一张牌，记下花色（黑桃、红桃、梅花、方块）后放回，洗匀后再随机摸一张牌，则摸到两张牌花色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记四种花色黑桃、红桃、梅花、方块分别为，根据题意画出树状图求解，即可解题． 【详解】解：记四种花色黑桃、红桃、梅花、方块分别为， 根据题意画树状图如下： 由树状图可知共有种情况，其中摸到两次花色相同的情况有种， ∴摸到两张牌花色相同的概率为． 11．在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 【答案】 【分析】先判断出5个数中无理数的个数，再根据概率公式计算抽到无理数的概率． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数； ∴5个数中，无理数共有2个，所有等可能的抽取结果共5种， ∴抽到无理数的概率为． 12．有五张正面分别标有数字，0，，2，8的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将五张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，以其正面数字作为的值，则点在第二象限的概率是________． 【答案】/ 【分析】根据第二象限点的坐标特征，本题横坐标已经满足第二象限要求，只需找出满足的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于，已知点为，横坐标，已经满足条件， ∴只要，点就在第二象限， ∵总共有种等可能的的取值结果，其中满足的结果有，，，共种， ∴所求概率． 13．从形状、大小相同的9张数字卡片中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有__________（用“”连接）． 【答案】 【详解】解：中，偶数有2，4，6，8共4个，小于6的数有1，2，3，4，5共5个，不小于9的数只有9，共1个， ∵， 故发生的可能性从大到小排列为. 14．从，0，1，2中任取一个数作为m，使得二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是___________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据二次函数与轴有两个不同交点的条件找出符合要求的的个数，最后计算概率． 【详解】解：从，，，中任取一个数，共有种等可能的结果． 二次函数的图象与轴有两个不同交点，需满足根的判别式． 对于，，，， 可得：， 令，即， 解得． 在给出的个数中，满足的数为，，共种符合条件的结果． 因此所求概率为． 15．为了解学生运动的情况，学校随机抽查了部分学生周末运动时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有______人；请将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中，“小时”部分所对的扇形圆心角度数为______； (3)该校共有学生800人，从全校随机抽取一名学生．事件周末运动时间为小时的学生；事件周末运动时间不高于小时的学生，事件______（填“”或“”）可能性大． 【答案】(1)100，补充条形统计图如图所示： (2) (3)② 【分析】（1）根据运动时间1小时的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出运动时间为1.5小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）用“1.5小时”部分所对的扇形所占的百分比乘以即可求得答案； （3）由样本估计总体，分别求得各自在样本中的可能性大小，再比较大小即可得出正确的答案． 【详解】（1）解：本次调查的学生有（人）， 运动1.5小时的学生有（人）， 补全的条形统计图如图，图略； （2）解：， 答：“小时”部分所对的扇形圆心角度数为； （3）解：“抽到周末运动时间为1.5小时的学生”的可能性为； “抽到周末运动时间不高于1小时的学生”的可能性为， ∵， ∴“抽到周末运动时间不高于1小时的学生”的可能性大． 16．在一个不透明的口袋中装有除颜色外无其他差别的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下事件是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出1个球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有1个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 【分析】（1）口袋存在白球，但不是全部都是白球，结果不确定，属于随机事件． （2）非红球总数只有5个，抽取6个球，不可能全部不是红球，故此事件必然发生． （3）蓝球数量不足5个，无法拿出5个蓝球，故此事件不可能发生． 【详解】（1）解：口袋里有白球，也有红球、蓝球．取一个球，可能拿到白球，也可能拿不到． 所以这是随机事件； （2）解：蓝球加白球一共只有个，就算把全部蓝球、白球都取出，最多拿出5个不是红球的球，取第6个一定是红球，这件事一定发生，所以是必然事件； （3）解：口袋中蓝球只有3个，最多只能取出3个蓝球，不可能取出5个蓝球，这件事一定不会发生，所以是不可能事件． 17．准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示）．将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片．你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？收集拼图片活动的试验数据，检验恰好拼成原图的频率是否随试验次数的增加而趋于稳定． 【答案】猜测：抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会不大，若尝试20次，大概平均次里会有一次成功； 收集拼图片活动的试验数据如下： 实验者 试验次数（） 成功次数（） 成功的频率（） 同学A 20 4 0.20 同学B 20 5 0.25 同学C 20 3 0.15 同学D 20 4 0.20 同学E 20 6 0.25 同学F 20 2 0.10 合计 120 24 0.20 检验发现：少量试验时，各组的频率会出现波动（0.20、0.25、0.15、0.10各不相同）；把多组试验合并，总试验次数变多，总频率就接近理论值 0.2，即大量重复试验时，拼成原图的频率会逐渐稳定在 0.2 附近 【详解】略 18．一枚质地均匀的正八面体骰子的八个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8．投掷这枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果． (1)掷得“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (2)掷得的数不是“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (3)掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ 【答案】(1)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字为“7”出现的可能性为． (2)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字不为“7”出现的可能性为． (3)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字小于或等于“6”出现的可能性为． 【分析】（1）（2）（3）先确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，再利用概率公式求概率，然后根据概率的意义即可解答． 【详解】（1）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中7的结果数为1， ∴掷得“7”的概率是，这个数值表示：投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字为“7”出现的可能性为． （2）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中不是7的结果数为7， ∴掷得的数不是“7”的概率是，这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字不为“7”出现的可能性为． （3）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中小于或等于“6”的结果数为6， ∴掷得的数小于或等于“6”的概率是，这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字小于或等于“6”出现的可能性为． 19．某研究团队进行实验，实验者须从装有1个白球和3个红球的盒子中连续放回地取出2个小球（每个小球除颜色外完全相同），若这2个小球均为白色，则实验成功，反之则向盒子中再放入一个黄色小球，然后继续进行实验直到实验轮数大于n（n为正整数）时实验失败，第i轮实验实验成功的概率记为 (1)求，； (2)直接写出与i的关系（以最简形式）； (3)求证：． 【答案】(1)； (2) (3)见详解 【分析】本题考查了条件概率、递推归纳与裂项求和在复杂概率模型中的综合应用．掌握实验规则下条件概率的链式乘法计算、从特例归纳通项公式的能力，以及利用裂项技巧处理数列求和与不等式证明是解题的关键． （1）直接计算第一轮成功概率​；计算​时，需考虑第二轮实验进行的前提（第一轮失败）以及放入黄球后概率的变化，正确运用概率的乘法公式． （2）解题关键在于通过观察，，…的构成规律，归纳出一般表达式，并利用连乘积的技巧进行化简，最终得到最简分式形式． （3）本问基于第二问的通项公式进行证明，核心步骤是将​的表达式​裂项为，然后利用裂项相消法求和，化简后通过与​比较完成证明． 【详解】（1）解：第一轮开始时，盒中有1白3红，共4个球． ∵每次抽取是独立的，且每次抽到白球的概率为． ∴两次都抽到白球的概率为：． 故． 第二轮实验进行的前提是第一轮失败，第一轮失败的概率为 ​． ∵第一轮失败后，会放入一个黄球，此时盒中有1白、3红、1黄，共5个球． ∴在第二轮中，每次抽到白球的概率变为． ∴第二轮成功的概率为第一轮失败且第二轮两次抽中白球的概率： ． 故答案为：；． （2）解：∵， ， ， ， 故答案为：． （3）证明： ， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题34.1 随机事件与概率 知识点一、概率的相关概念 2 知识点二、概率的计算方法 2 【题型1 事件的分类】 3 【题型2 判断事情发生的可能性大小】 4 【题型3 改变条件使事件发生的可能性相同】 4 【题型4 列举随机实验所有结果】 5 【题型5 判断试验结果是否是等可能的】 6 【题型6 概率的意义理解】 7 【题型7 判断几个事件的概率大小关系】 7 【题型8 根据概率公式计算概率】 8 【题型9 根据概率作判断】 9 【题型10 已知概率求数量】 10 【题型11 几何概率】 10 【探究式学习】 12 【课后检测】 13 【复盘笔记】 18 知识点一、概率的相关概念 1、确定事件与随机事件 类别 定义 举例 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出红球. 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出白球. 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）. 在一个装有红球和白球的袋子中摸球，摸出白球. 2、概率的定义 概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A). 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时,P(A)=0；当事件A为随机事件时， 0＜P(A)＜1. 【注意事项】 （1）概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事件不发生，只是发生的可能性小； （2）在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行计算. 知识点二、概率的计算方法 1.公式法 概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即. 用求概率时，试验需满足的条件： （1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； （2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 2.列举法 定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 用列举法求概率的前提：（1）所有可能出现的结果是有限个；（2）每个结果出现的可能性相等. 3.列表法 定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 4.画树状图法 定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 5.用频率估计概率 一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值. 【题型1 事件的分类】 【例1】小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 【变式1-1】从正方形的四个顶点中，任取三个顶点连成三角形．把“这个三角形是等边三角形”记作事件M，下列判断正确的是（     ） A．事件M是不可能事件 B．事件M是必然事件 C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为 【变式1-2】如图，电路图上有3个开关A，B，C和1个小灯泡．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（     ） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．闭合3个开关 D．不闭合开关 【变式1-3】下列事件中，不是必然事件的是（     ） A．直径所对的圆周角相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．相等的弧所对的弦相等 D．旋转后的图形与原来图形的对应线段相等 【题型2 判断事情发生的可能性大小】 【例2】欢欢和园园抛豆子玩游戏，每人都有3颗豆子，每局每人可以随机抛出1-3颗（且抛出1-3颗豆子的可能性相同），如果两人抛出的豆子数的和是奇数则欢欢赢，如果和是偶数则是园园赢．那么两人谁赢的可能性大（  ） A．欢欢大 B．园园大 C．两人一样大 D．无法确定 【变式2-1】下列事件发生的概率为的是（     ） A．随意掷一枚质地均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上 B．今年冬天南宁会下雪 C．随意掷两枚质地均匀的标有数字的骰子，朝上面的点数之和为 D．一个转盘被均匀地分成个扇形，分别涂上红、白、黄、白的颜色，转动转盘，指针停在红色区域 【变式2-2】在，，，，这五个数中，将其中的任意两个数相加，和是偶数的可能性是（     ）． A． B． C． D． 【变式2-3】数学课上，老师与同学们做“掷骰子”试验，并依次记录了不同试验次数时某事件发生的频率，绘制了如下统计图．下列选项可能是这个事件的是（     ） A．朝上点数小于3 B．朝上点数小于2 C．朝上点数是奇数 D．朝上点数不小于3 【题型3 改变条件使事件发生的可能性相同】 【例3】一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 【变式3-1】一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【变式3-3】一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【题型4 列举随机实验所有结果】 【例4】众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（   ） A．张老师抽中轮空票的概率为 B．夏老师抽中批阅题的概率为 C．刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为 D．已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为 【变式4-2】无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【变式4-3】如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 判断试验结果是否是等可能的】 【例5】掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上刻有1到6的点数，下面说法错误的是（     ） A．掷出点数1和点数6的概率相同 B．掷出点数大于5是随机事件 C．掷出点数7是不可能事件 D．掷出大于3的点数与小于3的点数的可能性相同 【变式5-1】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【变式5-2】下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【变式5-3】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【题型6 概率的意义理解】 【例6】下列说法正确的是（   ） A．一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏一定会中奖 B．了解某班同学的身高情况适合用全面调查 C．数据2、3、4、2、3的众数是2 D．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是，，则甲组数据更稳定 【变式6-1】下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【变式6-2】下列说法正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币次必有次正面朝上 B．在，，，，，这组数据中，中位数和众数都是 C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定 D．五个数据，，，，，都加后方差不变 【变式6-3】下列说法正确的是（   ） A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件 C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖 【题型7 判断几个事件的概率大小关系】 【例7】盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（     ） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小 【变式7-1】下列事件中，概率最大的是（     ） A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 【变式7-2】某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【变式7-3】一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（   ） A．抽到的牌的数字为5 B．抽到的牌的花色为黑桃 C．抽到的牌是大王或小王 D．抽到的牌是J或Q或K 【题型8 根据概率公式计算概率】 【例8】如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，已知和3张都标注一个条件的卡片①②③．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判定的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】甲、乙、丙、丁四位同学参加校乒乓球单打比赛，通过抽签来确定对手，甲、乙两位同学恰好抽到同一组对打的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】有长度分别是的四条线段，任取其中的3条，恰好能构成三角形的概率是（     ） A． B． C． D．0 【题型9 根据概率作判断】 【例9】不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】下列说法正确的有（   ）个. ①正方体的表面积与它的棱长成正比例. ②圆锥的体积一定，底面积与高成反比例. ③任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数. ④假分数的倒数一定是真分数. ⑤把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里.至少取出5个球，可以保证取到两个颜色相同的球. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式9-3】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是2 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到红球 C．转动一个分为4等份且分别标有1，2，3，4的转盘，指针指向奇数 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，随机抽取一张，抽到黑桃 【题型10 已知概率求数量】 【例10】承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了80条鱼，并对它们进行标记，然后将这80条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．估计池塘里有鱼（     ） A．1000条 B．1600条 C．2000条 D．2500条 【变式10-1】一个不透明的袋子里装有红球和白球共10个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计白球出现的频率如图所示，则白球的个数最可能是（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式10-2】在如图所示的“扫雷”游戏中，与数字“m”相邻的8个空格中隐藏着m个“雷”，若随机点击其中一个空格，恰好点击到“雷”的概率是，则m的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-3】一只不透明的袋子中，装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型11 几何概率】 【例11】如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 【变式11-2】一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是（     ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．探究不同情境，回答下面问题． (1)下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？（填入题后括号内） ①校运会上，某班一位女同学的100米跑成绩是15秒11（ 事件）． ②人在地球上所受的重力比在月球上小（ 事件）． ③一个四边形的四个内角的和等于（ 事件）． (2)写出一个随机事件． 2．在某次实验操作备考练习中，王老师为本班学生准备了三个实验项目：A．测量物质密度；B．探究凸透镜成像；．探究某种盐的性质．并准备了如图所示的转盘，转盘被平均分成面积相等的三个扇形，分别标上A、B、C，规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指的实验项目（若指针停在等分线上，则重新转动转盘）． (1)小明转动一次转盘，正好选中实验“A．测量物质密度”的概率是 ； (2)请你用列表或画树状图的方法求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，两人都没选中实验“．探究某种盐的性质”的概率． 【课后检测】 1．下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放天气预报 B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球 C．今年的除夕夜会下雪 D．任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有6次 2．“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 3．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 4．下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 5．下列说法正确的是（     ） A．概率为0的事件可能发生 B．相等的圆心角对应的弧不一定相等 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．要满足分式的值为0，分子为0即可 6．如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① 7．下列说法正确的是（     ） A．神舟十九号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查 B．“清明时节雨纷纷”是随机事件 C．若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定 D．某市一周内每天最高气温（单位：）分别为：20，21，20，19，22，18，19，则中位数为19 8．2026年福建省城市足球联赛共有10支球队，赛程9轮，每轮5对球队对阵，随机抽到两支球队恰好是第三轮中对阵一对的概率为（     ） A． B． C． D． 9．袋中有4个红球、3个蓝球、2个黄球．从袋中不放回地随机摸出2个球，摸出的两个球颜色不同的概率是（     ） A． B． C． D． 10．把一副去掉大小王的扑克牌洗匀后背面朝上，从中随机摸一张牌，记下花色（黑桃、红桃、梅花、方块）后放回，洗匀后再随机摸一张牌，则摸到两张牌花色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 11．在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 12．有五张正面分别标有数字，0，，2，8的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将五张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，以其正面数字作为的值，则点在第二象限的概率是________． 13．从形状、大小相同的9张数字卡片中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有__________（用“”连接）． 14．从，0，1，2中任取一个数作为m，使得二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是___________． 15．为了解学生运动的情况，学校随机抽查了部分学生周末运动时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： (1)本次调查的学生有______人；请将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中，“小时”部分所对的扇形圆心角度数为______； (3)该校共有学生800人，从全校随机抽取一名学生．事件周末运动时间为小时的学生；事件周末运动时间不高于小时的学生，事件______（填“”或“”）可能性大． 16．在一个不透明的口袋中装有除颜色外无其他差别的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下事件是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出1个球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有1个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球． 17．准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示）．将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片．你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？收集拼图片活动的试验数据，检验恰好拼成原图的频率是否随试验次数的增加而趋于稳定． 18．一枚质地均匀的正八面体骰子的八个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8．投掷这枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果． (1)掷得“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (2)掷得的数不是“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (3)掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ 19．某研究团队进行实验，实验者须从装有1个白球和3个红球的盒子中连续放回地取出2个小球（每个小球除颜色外完全相同），若这2个小球均为白色，则实验成功，反之则向盒子中再放入一个黄色小球，然后继续进行实验直到实验轮数大于n（n为正整数）时实验失败，第i轮实验实验成功的概率记为 (1)求，； (2)直接写出与i的关系（以最简形式）； (3)求证：． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $