专题34.3 用频率估计概率（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题34.3 用频率估计概率 知识点一、核心基本概念 2 知识点二、频率与概率的区别与联系（高频考点） 2 知识点三、用频率估计概率的适用场景 2 知识点四、概率的取值范围 3 知识点五、重点解题规律与步骤 3 知识点六、高频易错点总结 3 知识点七、核心考点口诀 3 【题型1 求某事件的频率】 4 【题型2 由频率估计概率】 5 【题型3 用频率估计概率的综合应用】 6 【题型4 频率与概率概念辨析（易错题型）】 8 【题型5 根据频率统计表分析概率（图表题型）】 9 【题型6 频率估计概率的开放与拓展探究（压轴题型）】 11 【探究式学习】 14 【课后检测】 16 【复盘笔记】 23 知识点一、核心基本概念 1. 频率的定义 在相同条件下进行 次重复试验，若事件A发生的次数为 （频数），则事件A发生的频率为：。 简单来说，频率是实际试验得出的结果，是动态变化的数值，会随试验次数的改变而波动。 2. 频率的稳定性（核心定理） 在大量重复试验中，随机事件发生的频率会呈现规律性：当试验次数足够大时，事件的频率会逐渐稳定在某一个固定常数附近，试验次数越多，频率的波动幅度越小，越接近这个固定值，这就是频率的稳定性。 3. 用频率估计概率的定义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 稳定在常数 附近，那么事件A发生的概率 。 本质：用试验频率（近似值）估计真实概率（理论值）。 知识点二、频率与概率的区别与联系（高频考点） 1. 核心区别 频率：是统计值、变量，通过实际试验得到，不唯一、可变化。试验次数不同，频率大概率不同；即使次数相同，多次试验的频率也可能存在差异。 概率：是理论值、定值，是事件本身固有的属性，唯一固定不变，与试验次数、试验操作无关。 2. 紧密联系 · 单次或少量试验中，频率与概率大概率不相等，偏差较大； · 试验次数越多，频率越接近概率，偏差越小； · 当试验次数极大时，频率无限趋近于概率，可作为概率的近似值。 知识点三、用频率估计概率的适用场景 此前学习的列表法、树状图法求概率，仅适用于所有结果有限、每种结果发生可能性相等的随机事件。而用频率估计概率可以解决所有随机事件的概率求解问题，尤其适用于两类特殊情况： 1.试验的所有可能结果无限多个，无法逐一列举； 2.试验的所有结果可能性不相等，不满足古典概型条件。 举例：抛掷不规则瓶盖、投篮命中、种子发芽、产品合格率等，只能用频率估计概率。 知识点四、概率的取值范围 根据频率与概率的关系，可推导随机事件概率的取值范围： · 任意随机事件： · 必然事件（一定发生）： · 不可能事件（一定不发生）： 知识点五、重点解题规律与步骤 1. 估算概率解题步骤 · 整理试验数据，计算每组试验的频率 ； · 观察频率变化趋势，判断频率稳定的固定数值； · 将该稳定值作为事件发生的概率近似值。 2. 已知概率估算试验次数 公式变形：已知概率 、总试验次数，可估算事件发生的频数 。常应用于统计、预估、预测类题型。 知识点六、高频易错点总结 ❌ 错误：单次试验、少量试验的频率等于概率。 ✅ 正确：只有大量重复试验的稳定频率，才能近似等于概率。 ❌ 错误：概率会随试验次数增加而变大或变小。 ✅ 正确：概率是固定值，变化的是频率，频率逐渐向概率靠拢。 ❌ 错误：所有事件都可以用树状图、列表法求概率。 ✅ 正确：不等可能、无限结果的事件，只能用频率估计概率。 ❌ 错误：频率稳定后，后续试验频率不会波动。 ✅ 正确：频率始终会小幅波动，只是整体围绕概率值稳定浮动。 知识点七、核心考点口诀 频率波动可变，概率固定不变； 次数越多越准，大量趋近真数； 不等不可列举，频率估概最优。 【题型1 求某事件的频率】 【例1】下面说法正确的是（     ） A．小军进行打靶训练，他命中100发，脱靶5发，命中率是． B．任意两个等底等高的平行四边形都可以拼成一个平行四边形． C．连续抛10次硬币，正面朝上的次数一定是5次． D．三角形的面积一定，它的底与对应的高成反比例关系． 【变式1-1】小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 【变式1-2】在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【题型2 由频率估计概率】 【例2】一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 【变式2-1】将七、八、九年级学生分为六批依次在劳动周种植南瓜种子，并分别记录一周内各批次学生代表在相同条件下（仅种子数量不同）种植的南瓜种子的发芽率情况，数据如下表．则下列说法错误的是（     ） 种植数 100 200 400 600 800 1000 发芽数 92 180 352 546 712 900 发芽率 0.92 0.90 0.88 0.91 0.89 0.90 A．如果在此条件下继续种植1000颗南瓜种子，则发芽的种子数一定为907颗 B．由此估计出该南瓜种子在此条件下发芽的概率为0.9 C．可以用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复的种植中，随着种植次数与种子种植个数的增加，南瓜种子发芽的频率会越来越稳定，因此可以用频率来估计概率 【变式2-2】下列说法合理的是（     ） A．小明做了3次投掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷1次，正面朝上的概率还是 B．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某射击运动员射击1次只有两种可能的结果，即中靶与不中靶，所以他中靶的概率是 D．小明做了3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 【变式2-3】小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是的倍数 C．从一个装有个黑球和个白球的不透明袋子中任意摸出一个球（小球除颜色外，完全相同），摸到白球 D．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃 【题型3 用频率估计概率的综合应用】 【例3】在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【变式3-1】某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【变式3-2】如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： (1)上表中的______； (2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； (3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？    【变式3-3】【综合实践】 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共30个，小明通过摸球试验来估计盒子里有多少个白球；他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 b 800 1000 3000 摸到白球的次数 62 122 171 302 481 c 1806 摸到白球的频率 a (1)表格中________，________，________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到），盒子里约有白球_____个． (3)五一期间，某风景区为了吸引游客，设置了一种游戏，游客凭景区门票参加游戏，每张票限一次．其规则如下，在一个不透明纸箱中装有红、白两种球共20个，每个球除颜色外其他都相同，游客从中随机摸出一个小球，摸到红球就可获奖（免费得到一个景点的吉祥物）．据统计，五一当天，参与这种游戏的游客共有3000人，景区一共为参与游戏的游客免费发放吉祥物1200个． ①参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率是________； ②景区为了吸引更多的游客来景区游玩，往纸箱中再放入x个与纸箱中相同样式的红球，提高游客中奖的几率，若想把中奖率提高到，请你根据上面的计算结果估算x的值是________． 【题型4 频率与概率概念辨析（易错题型）】 【例4】下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【变式4-1】明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【变式4-2】下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 【变式4-3】关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【题型5 根据频率统计表分析概率（图表题型）】 【例5】林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【变式5-1】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【变式5-2】在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 【变式5-3】在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的红、蓝两种小球共50个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数n a 128 180 302 481 599 1806 摸到红球的频率 0.66 0.64 b 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)求出a，b的值； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到红球的概率约为______（精确到0.1）； (3)盒子里约有红球______个； (4)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中红球只有2个，然后每次将球搅均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5，请你推测x可能是多少？ 【题型6 频率估计概率的开放与拓展探究（压轴题型）】 【例6】在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【变式6-1】依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（） 完好柑橘的质量n（） 柑橘完好的频率 调查：①柑橘在生产地的采购价为元/；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价（元/）与采购的总质量（）之间的关系满足． (1)可以估计柑橘完好的概率约为 （精确到）； (2)在（1）的条件下，用元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得销售） (3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/？ 【变式6-2】某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”获得的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率    (1)表中的 ， ． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是 （精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？ 【变式6-3】某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对七年级的学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目（每名同学仅选一项），根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图，如图． 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 30 x 羽毛球 y 0.20 乒乓球 36 z 跳绳 18 0.15 其他 12 0.10 请根据以图表信息解答下列问题： (1)频数分布表中的 ， ， ． (2)在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为 (3)从被调查的学生中随机抽取1名学生，求该学生喜欢球类运动的概率． 【探究式学习】 1．数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表 试验总次数 n 100 200 300 400 500 600 事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150 事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 (1)上表中 ， ； (2)根据上表，完成图2的折线统计图； (3)请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率． 2．同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（   ） A．是             B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) (2)探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) (3)拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 【课后检测】 1．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（     ） A．7 B．10 C．12 D．15 2．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日”的概率，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率（精确到）是（     ） A． B． C． D． 3．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 4．某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（     ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．某种彩票中奖的概率是，因此买张该种彩票就一定会中奖 C．抛掷一枚图钉，要么针尖朝上，要么针尖朝下，则“针尖朝上”的概率为 D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数，那么事件A发生的概率 6．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 7．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 8．从装有豆子的瓶中取出30粒豆子做上标记，然后放回瓶中充分摇匀后，再取出50粒豆子发现带标记的豆子有5粒，则估计此瓶中豆子的粒数为（     ） A．50 B．100 C．200 D．300 9．如图是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 10．为了估计椭圆的面积，小彤在长为，宽为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（     ） A． B． C． D． 11．一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 12．一个暗箱里有若干个白球，为了估计白球的个数，琳琳向箱中放入了3个黑球（它们除颜色外无其他差别），搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色并放回暗箱中，重复摸球500次，其中有60次摸到黑球，则暗箱里大约有白球________个． 13．在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出白球的次数 55 618 3032 5957 30104 59995 摸出白球的频率 0.550 0.618 0.606 0.596 0.602 0.600 根据试验所得数据，估计白球有_______个． 14．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 15．一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 16．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)根据上表中的数据，估计红球有______个． (2)现从该袋中摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球．请用树状图或列表的方法，求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 17．某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n (1)表格中 ________，________； (2)若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ (3)从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 18．某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，并参与该活动．当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数m 60 122 180 240 a 600 落在“书画”区域的频率 b (1)完成上述表格：________；________； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是________（精确到）； (3)转动该转盘一次，当转盘停止时，请你估计指针落在“手工”区域的概率． 19．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为____（精确到0.01）； (2)盒子里约有白球____个； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你求出x可能是多少？ 20．从一副52张（没有大王和小王）的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，所得的部分数据如表： 试验次数 40 80 120 160 200 出现方块的次数 11 18 a 40 49 出现方块的频率 试验次数 240 280 320 360 400 出现方块的次数 63 68 80 90 100 出现方块的频率 b (1)求a，b的值； (2)由上表估计出现方块的概率； (3)将这幅扑克牌中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张）取出，将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出1张．若摸出的这张牌的牌面数字为奇数，则甲方赢；若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢．你认为这个游戏对甲、乙双方是公平的吗？请说明理由． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题34.3 用频率估计概率 知识点一、核心基本概念 2 知识点二、频率与概率的区别与联系（高频考点） 2 知识点三、用频率估计概率的适用场景 2 知识点四、概率的取值范围 3 知识点五、重点解题规律与步骤 3 知识点六、高频易错点总结 3 知识点七、核心考点口诀 3 【题型1 求某事件的频率】 4 【题型2 由频率估计概率】 6 【题型3 用频率估计概率的综合应用】 8 【题型4 频率与概率概念辨析（易错题型）】 12 【题型5 根据频率统计表分析概率（图表题型）】 15 【题型6 频率估计概率的开放与拓展探究（压轴题型）】 18 【探究式学习】 23 【课后检测】 26 【复盘笔记】 39 知识点一、核心基本概念 1. 频率的定义 在相同条件下进行 次重复试验，若事件A发生的次数为 （频数），则事件A发生的频率为：。 简单来说，频率是实际试验得出的结果，是动态变化的数值，会随试验次数的改变而波动。 2. 频率的稳定性（核心定理） 在大量重复试验中，随机事件发生的频率会呈现规律性：当试验次数足够大时，事件的频率会逐渐稳定在某一个固定常数附近，试验次数越多，频率的波动幅度越小，越接近这个固定值，这就是频率的稳定性。 3. 用频率估计概率的定义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 稳定在常数 附近，那么事件A发生的概率 。 本质：用试验频率（近似值）估计真实概率（理论值）。 知识点二、频率与概率的区别与联系（高频考点） 1. 核心区别 频率：是统计值、变量，通过实际试验得到，不唯一、可变化。试验次数不同，频率大概率不同；即使次数相同，多次试验的频率也可能存在差异。 概率：是理论值、定值，是事件本身固有的属性，唯一固定不变，与试验次数、试验操作无关。 2. 紧密联系 · 单次或少量试验中，频率与概率大概率不相等，偏差较大； · 试验次数越多，频率越接近概率，偏差越小； · 当试验次数极大时，频率无限趋近于概率，可作为概率的近似值。 知识点三、用频率估计概率的适用场景 此前学习的列表法、树状图法求概率，仅适用于所有结果有限、每种结果发生可能性相等的随机事件。而用频率估计概率可以解决所有随机事件的概率求解问题，尤其适用于两类特殊情况： 1.试验的所有可能结果无限多个，无法逐一列举； 2.试验的所有结果可能性不相等，不满足古典概型条件。 举例：抛掷不规则瓶盖、投篮命中、种子发芽、产品合格率等，只能用频率估计概率。 知识点四、概率的取值范围 根据频率与概率的关系，可推导随机事件概率的取值范围： · 任意随机事件： · 必然事件（一定发生）： · 不可能事件（一定不发生）： 知识点五、重点解题规律与步骤 1. 估算概率解题步骤 · 整理试验数据，计算每组试验的频率 ； · 观察频率变化趋势，判断频率稳定的固定数值； · 将该稳定值作为事件发生的概率近似值。 2. 已知概率估算试验次数 公式变形：已知概率 、总试验次数，可估算事件发生的频数 。常应用于统计、预估、预测类题型。 知识点六、高频易错点总结 ❌ 错误：单次试验、少量试验的频率等于概率。 ✅ 正确：只有大量重复试验的稳定频率，才能近似等于概率。 ❌ 错误：概率会随试验次数增加而变大或变小。 ✅ 正确：概率是固定值，变化的是频率，频率逐渐向概率靠拢。 ❌ 错误：所有事件都可以用树状图、列表法求概率。 ✅ 正确：不等可能、无限结果的事件，只能用频率估计概率。 ❌ 错误：频率稳定后，后续试验频率不会波动。 ✅ 正确：频率始终会小幅波动，只是整体围绕概率值稳定浮动。 知识点七、核心考点口诀 频率波动可变，概率固定不变； 次数越多越准，大量趋近真数； 不等不可列举，频率估概最优。 【题型1 求某事件的频率】 【例1】下面说法正确的是（     ） A．小军进行打靶训练，他命中100发，脱靶5发，命中率是． B．任意两个等底等高的平行四边形都可以拼成一个平行四边形． C．连续抛10次硬币，正面朝上的次数一定是5次． D．三角形的面积一定，它的底与对应的高成反比例关系． 【答案】D 【分析】根据百分率计算、平行四边形的性质、随机事件、反比例、三角形面积公式逐一判断即可． 【详解】解：A. 总射击数为发，命中率为，与不符，故A错误； B. 等底等高的平行四边形形状不一定完全相同，无法保证拼接后为平行四边形，故B错误； C. 抛硬币正面朝上是随机事件，连续抛10次正面朝上的次数可能为5次，不是一定，故C错误； D. 设三角形面积为，底为，对应高为，则，变形得，∵一定，∴为定值，即底与对应高的乘积一定，∴二者成反比例关系，故D正确． 【变式1-1】小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 【答案】D 【分析】先得到试验结果的频率，分别计算各选项的频率，进而判断即可． 【详解】解：由统计图可知试验结果的频率逐渐稳定在左右， A．出现数字为2点朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； B．出现数字为3朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； C．出现数字为奇数的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； D．出现数字为2或4的朝上概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，符合题意． 【变式1-2】在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出所有等可能的摸球结果，找出颜色相同的结果数，计算出对应概率，多次试验的频率会稳定在概率附近，据此即可得到答案． 【详解】解：记两个红球分别为，白球为，黄球为． ∵从中一次摸出两个球，所有等可能结果为： ， ， ， ， ， ，共种等可能的结果， 其中摸到两个球颜色相同的结果只有种，即 ， ∴摸到两个颜色相同的球的概率为 ． 根据频率估计概率，多次重复试验后，频率会稳定在概率附近，因此频率最可能接近． 【点睛】 【变式1-3】某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【答案】A 【分析】根据题意，先确定所有满足观看次数5次以上的类别，再根据完播率公式计算每个符合条件类别的完播率，然后比较大小后即可解答． 【详解】解：算法要求观看次数达到5次以上才会计算完播率并推荐，四个类别的观看次数分别为18，10，14，18，均大于5，全部符合计算条件． 分别计算各类别完播率如下： 航空航天：； 科学实验：； 电影评论：； 排球技巧：； ∵， ∴航空航天类完播率最高，即平台会重点推荐航空航天类视频． 【题型2 由频率估计概率】 【例2】一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 【答案】C 【分析】利用多次试验中频率的稳定值估计摸到白球的概率，设白球个数为未知数列方程求解． 【详解】设袋子中白球有个． ∵ 摸到白球的频率逐渐稳定于， ∴ 估计摸到白球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验：得是方程的解． 【变式2-1】将七、八、九年级学生分为六批依次在劳动周种植南瓜种子，并分别记录一周内各批次学生代表在相同条件下（仅种子数量不同）种植的南瓜种子的发芽率情况，数据如下表．则下列说法错误的是（     ） 种植数 100 200 400 600 800 1000 发芽数 92 180 352 546 712 900 发芽率 0.92 0.90 0.88 0.91 0.89 0.90 A．如果在此条件下继续种植1000颗南瓜种子，则发芽的种子数一定为907颗 B．由此估计出该南瓜种子在此条件下发芽的概率为0.9 C．可以用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复的种植中，随着种植次数与种子种植个数的增加，南瓜种子发芽的频率会越来越稳定，因此可以用频率来估计概率 【答案】A 【分析】解题突破口是明确概率是频率的稳定估计值，随机事件的结果不具有必然性. 【详解】解：选项A：在此条件下种植颗南瓜种子，发芽种子数为随机事件，无法确定一定为颗，表述错误. 选项B：随着种植种子数量增加，发芽率稳定在附近，可估计该条件下种子发芽概率为，表述正确. 选项C：实验次数越多，频率越接近概率，可用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值，表述正确. 选项D：大量重复种植中，随着种植次数与种子数量增加，发芽频率会逐渐稳定，因此可用频率估计概率，表述正确. 【变式2-2】下列说法合理的是（     ） A．小明做了3次投掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷1次，正面朝上的概率还是 B．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某射击运动员射击1次只有两种可能的结果，即中靶与不中靶，所以他中靶的概率是 D．小明做了3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 【答案】A 【分析】根据概率的特征及频率估计概率的条件判断各选项即可． 【详解】解：均匀硬币正面朝上的概率为，每次投掷结果互不影响，与之前试验结果无关，故A选项说法合理． 中奖概率仅表示中奖的可能性大小，买100张彩票不一定有5张中奖，故B选项说法不合理． 射击的中靶与不中靶不是等可能事件，不能直接得出中靶概率为，故C选项说法不合理． 3次试验次数过少，不能用频率估计概率，且图钉质地不均匀，钉尖朝上与朝下不是等可能事件，故D选项说法不合理． 【变式2-3】小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是的倍数 C．从一个装有个黑球和个白球的不透明袋子中任意摸出一个球（小球除颜色外，完全相同），摸到白球 D．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃 【答案】D 【分析】先从折线图中得到试验频率的稳定值，再分别计算各选项对应随机事件的理论概率，选出和稳定频率最吻合的选项． 【详解】解：观察折线图发现，随着试验总次数不断增加，事件发生的频率逐渐稳定在附近，整体波动范围在到之间，因此可以估计该事件发生的理论概率约为． 选项，掷一枚质地均匀的硬币，只有正反两种等可能结果，反面朝上的概率为，远大于，不符合频率稳定的区间，故不符合题意； 选项，任意买一张电影票，座位号为奇数和偶数的可能性大致相等，座位号是的倍数的概率约为，不符合频率稳定的区间，故不符合题意； 选项，袋子中一共有个完全相同的小球，其中白球有个，任意摸出一球是白球的概率为，该数值大于，和统计图中频率最高不超过的特征不符，故不符合题意； 选项，一副去掉大小王的扑克牌总共有张，四种花色各有张，任意抽取一张抽到黑桃的概率为，多次重复试验时，频率会在附近小幅波动，和统计图呈现的特征完全吻合，故符合题意． 【题型3 用频率估计概率的综合应用】 【例3】在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】(1)0.6 (2)10 【详解】（1）解：根据表中数据，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； （2）解：估算盒子里原来约有白球（个）， ∵放入的x个球中白球只有1个， ∴， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 【变式3-1】某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 【变式3-2】如图所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔沙包，并记录沙包落在不规则图案上的次数（沙包扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果记录如表． 试验次数 120 240 360 480 600 720 840 960 落在不规则图案的次数 40 67 115 149 174 223 252 298 落在不规则图案内的频率 a 结合试验结果，完成下列问题： (1)上表中的______； (2)根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是______（结果精确到）； (3)请帮小明估计出不规则图案的面积大约为多少？    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据落在不规则图案内的频率落在不规则图案的次数试验次数，计算即可得出结果； （2）由频率估计概率，并结合表格分析即可得出结果； （3）先求出长方形的面积，再结合沙包落在阴影区域的概率是，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：根据试验结果，估计沙包落在阴影区域的概率是； （3）解：长方形的面积为， 故不规则图案的面积大约． 【变式3-3】【综合实践】 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共30个，小明通过摸球试验来估计盒子里有多少个白球；他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 b 800 1000 3000 摸到白球的次数 62 122 171 302 481 c 1806 摸到白球的频率 a (1)表格中________，________，________； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为________（精确到），盒子里约有白球_____个． (3)五一期间，某风景区为了吸引游客，设置了一种游戏，游客凭景区门票参加游戏，每张票限一次．其规则如下，在一个不透明纸箱中装有红、白两种球共20个，每个球除颜色外其他都相同，游客从中随机摸出一个小球，摸到红球就可获奖（免费得到一个景点的吉祥物）．据统计，五一当天，参与这种游戏的游客共有3000人，景区一共为参与游戏的游客免费发放吉祥物1200个． ①参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率是________； ②景区为了吸引更多的游客来景区游玩，往纸箱中再放入x个与纸箱中相同样式的红球，提高游客中奖的几率，若想把中奖率提高到，请你根据上面的计算结果估算x的值是________． 【答案】(1)；500，590 (2)，18 (3)①； ②10 【分析】（1）根据摸到白球的频率=摸到白球的次数除以摸球的总次数，变形计算求解即可； （2）根据试验次数最多时，摸到白球的频率稳定在，故摸到白球的概率约为，利用简单的概率公式求解即可． （3）①根据用频数除以样本容量等于频率计算即可； ②根据题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意，得，，； （2）解：根据试验次数最多时，摸到白球的频率稳定在， 故摸到白球的概率约为， 故盒子里约有白球（个）． （3）解：①参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率是； ②解：根据题意，得原来纸箱中红球的数量为：（个），往纸箱中再放入x个与纸箱中相同样式的红球，中奖率为，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故根据上面的计算结果估算x的值是10； 【题型4 频率与概率概念辨析（易错题型）】 【例4】下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【答案】B 【分析】本题考查概率与频率的基本概念，辨析各选项是否符合概率相关定义即可得出答案． 【详解】解：A选项，∵中奖概率表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票是随机事件，不一定有张中奖， ∴A错误． B选项，∵根据频率的稳定性，掷质地均匀的硬币，当试验次数增大时，正面向上的频率会稳定在概率附近， ∴B正确． C选项，∵概率很小的事件仍有可能发生，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，∴C错误． D选项，∵当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，是接近概率，并非等于概率，∴D错误． 【变式4-1】明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 【变式4-2】下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 【答案】C 【分析】根据抛硬币简单概率求法判断选项A，利用求概率的方法判断选项B，根据三角形的内角和是180°判断选项C，求出两次抛骰子的所有可能结果和点数和为偶数的结果数即可判断选项D，即可做出选择． 【详解】A、抛一枚质地均匀的硬币，出现的情况有两种一正一反，正面朝上的概率是，与抛硬币的次数无关，故原选项正确； B、随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎的共有4种等可能的结果，其中，都是男孩的有1种，所以随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为，此原选项正确， C、任意一个三角形的内角和为180°，所以任意画一个三角形内角和为360°是不可能事件，为确定性事件，不是随机事件，故原选项不正确，； D、连续投两次骰子，前后点数之和共有36种等可能的结果，其中点数之和是偶数的有18种结果，所以前后点数之和为偶数的概率是，故原选项正确， 故选择：C． 【点睛】本题考查求事件发生的概率，理解事件发生的概率的意义，会区分确定事件与随机事件，能根据所学概率知识对各个选项作出正确判断是解答的关键． 【变式4-3】关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义判断各说法的正误． 【详解】∵概率表示事件发生的可能性大小， ∴说法①正确，因为的概率表示下雨可能性很大； ∵概率是长期频率的稳定值，不保证短期结果， ∴说法②错误，因为每抛两次不一定有一次正面朝上； ∵概率为表示中奖可能性小，但并非不可能， ∴说法③错误，因为买10张彩票可能中奖； ∵随着抛掷次数的增加，频率稳定在概率附近， ∴说法④正确； 故正确的说法是①和④． 故选：B． 【题型5 根据频率统计表分析概率（图表题型）】 【例5】林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【答案】B 【详解】解：A、成活数不一定为90棵，频率具有随机性，说法错误，不符合题意； B、从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为 ，均在左右摆动，显示出稳定性，可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，说法正确，符合题意； C、随着移植的幼树总数的增加，成活率逐渐趋于并稳定于一个数值，说法错误，不符合题意； D、基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如 ），说法错误，不符合题意． 【变式5-1】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误； C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项正确； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 【变式5-2】在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用大量重复试验下频率的稳定值估计摸到红球的概率； （2）根据黑球数量与黑球的概率计算总球数，进而求得红球个数； （3）根据放入红球后的概率列方程求解的值． 【详解】（1）解：， 即随着摸球次数增大，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率估计值为； （2）解：摸到黑球的概率为， 总球数为（个）， 则红球个数为（个）； （3）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 【变式5-3】在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的红、蓝两种小球共50个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数n a 128 180 302 481 599 1806 摸到红球的频率 0.66 0.64 b 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)求出a，b的值； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到红球的概率约为______（精确到0.1）； (3)盒子里约有红球______个； (4)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中红球只有2个，然后每次将球搅均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5，请你推测x可能是多少？ 【答案】(1)66；0.6 (2)0.6 (3)30 (4)14 【分析】（1）根据频率公式进行求解即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率求数量即可； （4）根据频率估算概率，再根据概率求数量即可. 【详解】（1）解：； （2）解：由表格可知，摸到红球的概率约为； （3）解：∵摸到红球的概率约为， ∴红球有个； （4）解：∵摸到红球的频率稳定在0.5， ∴摸到红球的概率为0.5， ∴， 解得. 【题型6 频率估计概率的开放与拓展探究（压轴题型）】 【例6】在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【答案】(1) (2)游戏对双方公平，理由如下： 共有种等可能的结果，其中摸到蓝球的有种，摸到红球的有种， ∴（小明获胜）；（小亮获胜）； 又∵， ∴游戏对双方公平． 【分析】（1）大量重复试验下摸到蓝球的频率可以估计摸到蓝球的概率，据此求解； （2）确定摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，然后根据概率公式计算并比较后即可作出判断． 【详解】（1）解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多摸出蓝球的频率逐渐稳定在附近， 估计袋子中蓝球的个数是：（个）； （2）略 【变式6-1】依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（） 完好柑橘的质量n（） 柑橘完好的频率 调查：①柑橘在生产地的采购价为元/；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价（元/）与采购的总质量（）之间的关系满足． (1)可以估计柑橘完好的概率约为 （精确到）； (2)在（1）的条件下，用元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得销售） (3)若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/？ 【答案】(1) (2)元 (3)要获得元的利润，应采购的柑橘，售价应定为元/ 【分析】（1）由橘子完好的频率估计概率即可，注意精确到； （2）先求出采购总质量，根据柑橘完好率求出实际销售柑橘质量，再根据：利润总售价－成本； （3）由之间的关系及柑橘完好率列出一元二次方程，解方程即可，注意． 【详解】（1）解：随着采购量增大，柑橘完好的频率逐渐稳定在附近， 柑橘完好的概率； （2）解：依题意得元采购的柑橘的总质量（）， ∴，即售价， 又实际销售柑橘质量为（）， ∴可获得的利润是元 （3） 根据题意得 将代入上式得： 即 解得， 把代入 ∵在范围内 ∴符合题意 ∴要获得元的利润，应采购的柑橘，售价应定为元/． 【变式6-2】某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”获得的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率    (1)表中的 ， ． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是 （精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？ 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系是解题的关键． （1）根据表格中数据求出、的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”概率即可求解． 【详解】（1）表中的，， 故答案为：；； （2）大量重复试验下，抽到“闪电”的概率的估计值是； 故答案为； （3）抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， 抽到“凌云”的概率为， （个） 答：抽到“凌云”的次数是次． 【变式6-3】某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对七年级的学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目（每名同学仅选一项），根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图，如图． 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 30 x 羽毛球 y 0.20 乒乓球 36 z 跳绳 18 0.15 其他 12 0.10 请根据以图表信息解答下列问题： (1)频数分布表中的 ， ， ． (2)在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为 (3)从被调查的学生中随机抽取1名学生，求该学生喜欢球类运动的概率． 【答案】(1)0.25；24；0.3 (2) (3)0.75 【分析】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用． （1）根据乒乓球的频率和频数求出总人数，用篮球总人数总人数得到x的值，再用总人数乘以羽毛球的频率，求出的值；再用跳绳的人数除以总人数，再用跳绳的人数除以总人数，求出的值； （2）用乘以跳绳的频率即可求出对应的扇形圆心角的度数； （3）把所有球类的频率相加，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为（人）， 所以（人），，； （2）解：因为， 所以在扇形统计图中，“跳绳”所在的扇形的圆心角的度数为． 故答案为： （3）解：因为从被调查的学生中随机抽取1名学生，而且每名学生被选中的可能性是相等的，记“该学生喜欢球类运动”为事件A， 所以． 【探究式学习】 1．数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表 试验总次数 n 100 200 300 400 500 600 事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150 事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 (1)上表中 ， ； (2)根据上表，完成图2的折线统计图； (3)请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率． 【答案】(1)；75 (2) 根据题意，折线图画图如下： (3)有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4四个数据，随意拿出一张，正好是1的概率（答案不唯一） 【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可； （3）答案不唯一，只要事件的概率为即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得， 故答案为：；75． （2）略 （3）有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4四个数据，随意拿出一张，正好是1的概率． 2．同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（   ） A．是             B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) (2)探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) (3)拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 【答案】(1)①不是② (2)草地的大体面积为16平方米 (3) 【分析】此题考查了频率估计概率，据此进行解答即可． （1）①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，据此进行解答即可；②表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右，即可得到答案； （2）分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比，即可估计石子落在草地内的概率，再用长方形面积乘以概率即可； （3）利用几何概率进行解答即可． 【详解】（1）①解：当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，即不是小麦发芽的概率， 故选：B ②从表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右， ∴当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是， （2）解： 分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比如下： 一组： 二组： 三组： 四组： ∴估计石子落在草地内的概率约为0.8， ∴草地的大体面积为：（平方米）， 答：草地的大体面积为平方米． （3）解：∵圆碟的圆心如果在正方形的地砖的中心部位的范围外，则与地砖间隙相交， ∴圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是． 故答案为： 【课后检测】 1．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（     ） A．7 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【分析】利用频率与概率的关系来估算袋子中红球的个数即可． 【详解】解：由题意得红球个数约为． 2．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日”的概率，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率（精确到）是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，取大试验次数下的频率近似值精确到即可． 【详解】解：由表格数据可知，试验次数为、、时，“个人中有个人同月过生日”的频率分别为、、， 随着试验次数增加，频率逐渐稳定在附近， 估计该事件的概率（精确到）为. 3．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用大量重复试验下频率稳定于概率的规律，观察多组绿豆发芽试验的频率随试验粒数增加逐渐稳定在附近，据此估计绿豆发芽的概率约为． 【详解】解：∵ 在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值． 观察表格里绿豆发芽的频率：，，，，，，． ∵ 随着每批粒数不断增大，发芽的频率稳定在 附近， ∴ 绿豆发芽的概率大约是 ． 4．某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以大量重复试验的频率估计概率，可先计算不达标频率，再推导达标概率． 【详解】解：∵共完成次检测，其中次检测到的元件耐压不达标， ∴不达标检测的频率为， ∴可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率为． 5．下列说法正确的是（     ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．某种彩票中奖的概率是，因此买张该种彩票就一定会中奖 C．抛掷一枚图钉，要么针尖朝上，要么针尖朝下，则“针尖朝上”的概率为 D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数，那么事件A发生的概率 【答案】D 【分析】根据各选项事件发生的可能性逐项判断正误． 【详解】解：选项A： “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，不是必然事件，该说法错误，不合题意； 选项B：某种彩票中奖的概率是表示中奖的可能性大小，买100张该种彩票不一定会中奖，该说法错误，不符合题意； 选项C：抛掷一枚图钉时，针尖朝上与针尖朝下不是等可能事件，“针尖朝上”的概率不为，该说法错误，不符合题意； 选项D：在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定于某个常数，则事件A发生的概率，符合相关定义，该说法正确，符合题意． 6．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 【答案】C 【详解】解：摸到红球的频率稳定在左右， 摸到红球的概率为， 布袋中白球的个数为． 7．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得点落在投影的概率，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右， ∴点落在投影的概率约为， ∴估计玉龙投影的面积为． 8．从装有豆子的瓶中取出30粒豆子做上标记，然后放回瓶中充分摇匀后，再取出50粒豆子发现带标记的豆子有5粒，则估计此瓶中豆子的粒数为（     ） A．50 B．100 C．200 D．300 【答案】D 【分析】本题考查用样本估计总体，利用总体中标记豆子的占比与样本中标记豆子的占比相等列等式，求解即可得到估计的总粒数． 【详解】解：设此瓶中豆子的粒数为粒， ∵ 摇匀后总体中标记豆子的占比与抽取样本中标记豆子的占比相等， ∴ 可得方程 交叉相乘得 计算得 ， 解得 ， 经检验 是原方程的解，符合题意， 因此估计瓶中豆子粒数为． 9．如图是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 【答案】B 【分析】根据统计图可知，这个实验的概率大约为，逐项分析事件发生的概率，即可得出结果． 【详解】解：根据统计图可知，这个实验的概率大约为， A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上的概率为，故不符合题意； D、不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球的概率为，故不符合题意． 10．为了估计椭圆的面积，小彤在长为，宽为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为， 长方形的面积为：， 则椭圆的面积为． 11．一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】 【分析】由多次试验中频率稳定值近似等于概率，得到摸到黑球的概率，设出红球个数后根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率为， 设盒子中红球的个数为，则盒子中总球数为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为． 12．一个暗箱里有若干个白球，为了估计白球的个数，琳琳向箱中放入了3个黑球（它们除颜色外无其他差别），搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色并放回暗箱中，重复摸球500次，其中有60次摸到黑球，则暗箱里大约有白球________个． 【答案】22 【分析】利用频率估计概率，根据摸到黑球的频率等于黑球个数与总球数的比值，列方程求解即可． 【详解】解：设暗箱里大约有白球个，则暗箱中总球数为个． 用频率估计概率，可得摸到黑球的概率约为， 因此列方程得 交叉相乘化简得， 解得． 即暗箱里大约有白球个． 13．在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出白球的次数 55 618 3032 5957 30104 59995 摸出白球的频率 0.550 0.618 0.606 0.596 0.602 0.600 根据试验所得数据，估计白球有_______个． 【答案】15 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值估计概率，结合球的总数关系列方程求解即可。 【详解】解：观察表格可知，随着摸球试验次数增加，摸出白球的频率逐渐稳定在附近，因此估计摸出白球的概率为； 设袋子中白球有个，根据题意可得：， 解方程得，经检验，是原方程的解，且符合题意； 因此估计袋子中白球有个． 14．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据频率估计概率，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；故③正确，①错误； 当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数可能是；故②错误； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620；故④正确； 综上正确的是③④. 15．一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 【答案】(1) (2)12 (3)4 【分析】（1）根据当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，即可得到答案； （2）设白球估计有x个，列方程求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，所以从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为； （2）解：设白球估计有x个， 根据题意，得， 解得， 白球估计有12个； （3）解：根据题意，得， 解得 经检验是方程的解． 16．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)根据上表中的数据，估计红球有______个． (2)现从该袋中摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球．请用树状图或列表的方法，求恰好摸到1个白球，1个红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多次试验的结果可得常数，再根据多次试验的频率估计概率，求出红球的个数； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，并找到恰好摸到1个白球，1个红球的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近， ∴摸到白球的概率为， 设红球有x个， 由题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解； （2）解：画树状图得：    共有9种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况， 摸到一个白球一个红球的概率为：． 17．某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n (1)表格中 ________，________； (2)若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ (3)从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 【答案】(1)， (2)需再加入铅笔14支 (3) 【分析】（1）根据频率、频数和总数的关系求解即可； （2）根据表格数据可知，随着摸取总次数的增加，摸到限定款的频率在附近波动，可估计摸到限定款的概率约为，故设原盲盒中笔的总数为，则，求得，进而可得答案； （3）设限定款钢笔为x，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表得到所有的等可能结果数，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：设原盲盒中笔的总数为，则， 为正整数， ， ∴总数增加到20支时，需再加入铅笔（支）； （3）解：原盲盒中铅笔数量为（支）． 设限定款钢笔为 ，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表如下：                                                        共有30种等可能的结果，其中1支中性笔、1支铅笔的结果有12种， ∴摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率为． 18．某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，并参与该活动．当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数m 60 122 180 240 a 600 落在“书画”区域的频率 b (1)完成上述表格：________；________； (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是________（精确到）； (3)转动该转盘一次，当转盘停止时，请你估计指针落在“手工”区域的概率． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）根据实验次数很大时，频率的稳定值，就可以来估计获得“书画”奖品的概率； （3）根据指针落在“手工”区域的概率和指针落在“书画”区域的概率的和为1，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得； ； （2）解：根据实验次数很大时，频率将会接近，即假如转动该转盘一次，获得“书画”奖品的概率约是， （3）解：根据指针落在“手工”区域的概率和指针落在“书画”区域的概率的和为1， 故指针落在“手工”区域的概率为：． 19．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为____（精确到0.01）； (2)盒子里约有白球____个； (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你求出x可能是多少？ 【答案】(1)0.60 (2)24 (3)x可能是12 【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得； （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案； （3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近， ∴摸到白球的概率约为0.60； （2）解：∵盒子中共有40个球，摸到白球的概率约为0.6， ∴盒子里约有白球（个）； （3）解：∵加入x个球后，总球数变为，白球个数变为，且摸到白球的概率为， 故可列方程得， 解得， 答：x可能是12． 20．从一副52张（没有大王和小王）的扑克牌中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，所得的部分数据如表： 试验次数 40 80 120 160 200 出现方块的次数 11 18 a 40 49 出现方块的频率 试验次数 240 280 320 360 400 出现方块的次数 63 68 80 90 100 出现方块的频率 b (1)求a，b的值； (2)由上表估计出现方块的概率； (3)将这幅扑克牌中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张）取出，将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出1张．若摸出的这张牌的牌面数字为奇数，则甲方赢；若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢．你认为这个游戏对甲、乙双方是公平的吗？请说明理由． 【答案】(1)30， (2) (3)不公平， 在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个， 甲方赢的概率为、乙方赢的概率为， 由于， ∴这个游戏对双方不公平． 【分析】【分析】（1），； （2）由出现方块的频率稳定在了可估计概率； （3）在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个，根据概率公式求出甲乙获胜的概率，即可判断． 【详解】（1）解：， ； （2）解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率为； （3）略 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 38 页 第 1 页 共 38 页 学科网（北京）股份有限公司 $