第十四章 全等三角形模型与全等辅助线构造方法 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 专题 全等模型与辅助线构造 人教版 八年级上册 一、全等三角形的概念 全等三角形:能够完全①　　 　的两个三角形.  二、全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边②　 　 　,对应角③　 　　;  (2)全等三角形的对应线段(中线、高、角平分线、中位线)都④　 ;  (3)全等三角形的周长相等,面积⑤　　 　.  旧知回顾 重合 相等 相等 相等 相等 2 三、全等三角形的判定 判定方法 文字语言 图形语言 SSS (边边边) 基本事实:三边分别相等的两个三角形全等 SAS (边角边) 基本事实:⑥             ASA (角边角) 基本事实:⑦           　　　　　　　　    两边和它们的夹角分别 相等的两个三角形全等 两角和它们的夹边分别 相等的两个三角形全等 判定方法 文字语言 图形语言 AAS (角角边) ⑧            HL (斜边、直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 两角分别相等且其中一组等角的 对边相等的两个三角形全等 模型一 平移全等 技巧： ①加减公共线段(CE),得出一组边相等(BC=EF); ②利用平行线的性质找到对应角相等. 模型梳理 高频考向探究 【典例精析】 例1：如图,点B,E,C,F在一条直上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF. 求证:∠A=∠D. 证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF. ∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SAS).∴∠A=∠D. 模型二 翻折或对称全等 技巧: ①找等角:对顶角、等腰、垂直、等角的余角等; ②找等边:公共边、中点、等腰、线段的和差等. 高频考向探究 【典例精析】 例2：如图，点B,F,C,E都在直线l上,AC∥DF,AB∥DE,AB=DE. (1)求证:BF=CE; (2)若∠A=100°,∠DEF=30°,求∠BFD的度数. 解:(1)证明:∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE. ∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF. 又∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF(AAS), ∴BC=EF, ∴BC-CF=EF-CF,即BF=CE. (2)∵△ABC≌△DEF, ∴∠D=∠A=100°. 又∵∠DEF=30°, ∴∠BFD=∠D+∠FED=130°. 模型三 旋转全等 技巧: 共顶点，旋转出等腰，加减公共角。 高频考向探究 【典例精析】 例3：如图,△ABD,△AEC都是等边三角形. 求证:BE=DC. 证明:∵△ABD,△AEC都是等边三角形, ∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠CAE=60°. ∵∠DAC=∠BAC+60°,∠BAE=∠BAC+60°, ∴∠DAC=∠BAE. 在△DAC和△BAE中, ∴△DAC≌△BAE(SAS).∴BE=DC. 模型四 一线三等角全等 一线三垂直 一线三等角 三个相等的角的顶点在同一条直线上，其中两个角的一边与该直线重合，称为一线三等角. 技巧: 根据同角的余角(补角)相等找等角，常用“ASA”或“AAS”判定全等。 高频考向探究 【典例精析】 例4：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D、E。 求证：DE=BD+CE. 若将直角变式为锐角或者钝角，结论是否成立呢？ 【典例精析】 【变式】：如图，在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=ɑ，其中ɑ为任意钝角时． 求证：DE=BD+CE 方法❶　构造平行线法 如图,在△ABC中,D是BC边的中点,过点D的直线交AB于点E,交AC的延长线于点F,且BE=CF.求证:AE=AF. 辅助线构造全等 高频考向探究 证明:如图,过点C作CG∥AB交EF于点G, ∴∠AEF=∠CGF,∠B=∠DCG. ∵D是BC边的中点,∴CD=BD. 在△CDG和△BDE中, ∴△CDG≌△BDE(ASA).∴CG=BE. 又∵BE=CF,∴CF=CG. ∴∠F=∠CGF.∴∠F=∠AEF.∴AE=AF. 高频考向探究 方法❷　倍长中线法 如图，AB=EA，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，D为BC的中点，连接AD. 求证:EF=2AD. 高频考向探究 证明: 如图,延长AD至点G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD. ∵D为BC的中点, ∴CD=BD. 在△ADC和△GDB中, ∴△ADC≌△GDB(SAS), ∴AC=GB,∠C=∠GBD. ∵AC=AF, ∴GB=AF. ∵∠BAE=∠CAF=90°, ∴∠EAF+∠BAC=180°. ∵∠ABG=∠ABC+∠GBD =∠ABC+∠C =180°-∠BAC, ∴∠ABG+∠BAC=180°, ∴∠ABG=∠EAF. 在△EAF和△ABG中, ∴△EAF≌△ABG(SAS), ∴EF=AG=2AD. 高频考向探究 如图,在△ABC中,AB=8,AC=5,AD是△ABC的中线,则AD的长的取值范围是 (　　) A.3<AD<13 B.1.5<AD<6.5 C.2.5<AD<7.5 D.10<AD<16 变式 1 B 高频考向探究 [解析]延长AD到点E,使ED=AD,连接BE,如图, 则AE=2AD. ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD. 在△ADC和△EDB中, ∴△ADC≌△EDB(SAS), ∴AC=EB. 在△ABE中,由三角形三边之间的关系,得AB-BE<AE<AB+BE,即8-5<AE<8+5, ∴3<2AD<13,∴1.5<AD<6.5. 故选B. 高频考向探究 方法❸　截长补短法 截长补短法作辅助线,适合于证明线段的和、差、倍、分等类型的题目. 截长:在长边上截取一条与某一条短边相等的线段,再证剩下的线段与另一条短边相等。 补短:通过延长某一条短边使两条短边拼合到一起。 高频考向探究 如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC. 求证:AB=AC+CD. 方法❸　截长补短法 高频考向探究 证明:方法1 如图①,在AB上截取AF,使AF=AC,连接DF. ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2. 在△AFD与△ACD中, ∴△AFD≌△ACD(SAS). ∴DF=DC,∠AFD=∠C. ∵∠C=2∠B,∠AFD=∠3+∠B, ∴∠3=∠B.∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD, ∴AB=AC+CD. 高频考向探究 方法2 如图②,延长AC到点E,使CE=DC,连接DE, ∴∠CDE=∠CED.∴∠ACB=2∠CED. 又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠CED. ∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2. 在△ABD与△AED中, ∴△ABD≌△AED(AAS).∴AB=AE. 又∵AE=AC+CE=AC+DC,∴AB=AC+DC. 高频考向探究 如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。 求证:∠BAD+∠C=180°. 变式 2 高频考向探究 证明:如图,在BC上截取EB=AB,连接DE. ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD. 在△ABD和△EBD中, ∴△ABD≌△EBD. ∴AD=DE,∠BAD=∠BED. ∵AD=DC,∴DC=DE. ∴∠DEC=∠C. ∵∠BED+∠DEC=180°, ∴∠BAD+∠C=180°. 高频考向探究 方法❹　垂线法 如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于点E，BP=AP. (1)求证:∠1+∠2=180°; (2)求线段OA，OB与OE之间的数量关系. 高频考向探究 (1)求证:∠1+∠2=180°; 解:(1)证明:过点P作PF⊥OB于点F,如图. ∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB, ∴∠OEP=∠PFB=90°,PE=PF. 在Rt△APE和Rt△BPF中, ∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL). ∴∠1=∠PBO. 又∵∠PBO+∠2=180°,∴∠1+∠2=180°. 高频考向探究 (2)求线段OA,OB与OE之间的数量关系. (2)由(1)知PE=PF,Rt△APE≌Rt△BPF, ∴AE=BF. 又∵OP=OP, ∴Rt△EOP≌Rt△FOP(HL). ∴OE=OF. ∴OA+OB=OE-AE+OF+BF=OE+OF=2OE, 即OA+OB=2OE. 高频考向探究 谢谢观看！ $