专题01 全等三角形4大经典模型与2大辅助线构造 培优讲义2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题01 全等三角形4大经典模型与2大辅助线构造 【4大经典模型】 模型1：一线三等角模型（K型全等） 全等模型 模型说明 常见模型 一线三等角模型 同一直线上依次出现三个相等角 ，两三角形共线相邻（如 、）；由外角定理“一个外角等于不相邻两内角之和”可导 ，结合 （或 、），证 。 模型解读 　　1.同一直线上三个相等角，利用外角定理“一个外角等于不相邻两内角之和”推导等角； 　　2.证明两个三角形全等后，用对应边建立线段等量关系； 　　3.常结合等腰、等边、正方形情境，或融入测量、坐标情境。 模型2：手拉手模型（共顶点旋转全等） 全等模型 模型说明 常见模型 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，即 、、；加（减）公共角得 ，用SAS证 ，得拉手线 。 模型解读 　　1.识别共顶点、两腰夹角相等的两个等腰图形； 　　2.绕公共顶点旋转后，拉手线所在三角形全等（SAS）； 　　3.利用全等性质推出对应边相等、对应角相等，解决线段与角的问题。 模型3：半角模型（角含半角旋转全等） 全等模型 模型说明 常见模型 半角模型 有公共顶点，一个角等于较大角的一半，如正方形内 ；组成较大角的两边相等（）；将半角一边的三角形旋转（或延长）构造全等，得 ，。 模型解读 　　1.识别“邻边相等、对角互补、角含半角”特征（常见于正方形、等边三角形）； 　　2.将半角两边的三角形绕顶点旋转，把分散线段合并到一条直线上； 　　3.证明旋转后形成的新三角形与半角三角形全等，得出线段和差关系。 模型4：婆罗摩笈多模型（垂直与中点综合探究） 全等模型 模型说明 常见模型 向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：、、、，N是DE的中点；倍长中线AN得 ，结论：、。 模型解读 　　1.识别共直角顶点的等腰直角三角形或正方形，出现垂直、中点； 　　2.倍长中线或延长垂线构造全等，转化线段与角度关系； 3.可结合阅读探究、旋转动态构图、项目式学习等新情境，体现素养导向。 【2大辅助线构造】 模型5：截长补短法构造辅助线（线段和差倍分问题） 全等模型 模型说明 常见模型 截长补短法 截长，在长线段上截取一段等于已知线段，如证 时在 上取 ； 补短，延长短线段，如延长 AC使 ；构造全等证线段和差倍分。 模型解读 　　1.证明一条线段等于两条线段之和，用“截长”或“补短”构造全等； 　　2.截长：在长线段上截取一段等于短线段，证明剩余部分等于另一短线段； 　　3.补短：延长短线段使延长部分等于另一短线段，再证全等。 模型6：倍长中线法构造辅助线（构造全等集中条件） 全等模型 模型说明 常见模型 倍长中线法 给出中线，如 为 中线，延长 至 使 ，（SAS），转移线段、集中条件。 模型解读 　　1.遇到中线或中点，延长中线至一倍长，构造全等三角形； 　　2.把分散条件集中到同一个三角形中，利用全等转换线段； 　　3.常结合三角形三边关系、等腰、垂直等综合考查。 【题型1】一线三等角模型 解题方法技巧 　　1.识别：一条直线上出现三个相等角，且有一组对应边相等； 　　2.判全等：用外角定理或三角形内角和等角代换，再用AAS或ASA证全等； 3.应用：由全等得对应边相等，常结合等腰、等边、正方形或测量、坐标情境。 【例题1】.（2026八年级上·全国·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）一线三垂直问题： (1)如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．则与的数量关系是________； (2)如图，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； (3)如图，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点的坐标________． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·重庆丰都·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1． (1)已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段与、的数量关系为________； (2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）在中，，D，A，E三点都在直线m上． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为___________，与的数量关系为___________． ②如图2，，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在射线上以xcm/s的速度由点E向点F的方向运动，请求出使得与全等时x的值． 【题型2】手拉手模型 解题方法技巧 　　1.识别：两个等腰三角形共顶点，两腰相等且顶角相等； 　　2.判全等：加（减）公共角得到一组对应角相等，用SAS证拉手线所在三角形全等； 3.应用：得两条拉手线相等，夹角等于顶角，常结合等边、正方形与旋转动态。 【例题2】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：如图，在和中，，连接． (1)求证：； (2)补充图形：延长交于点，连接，求． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）如图，，都是等腰三角形，，，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． ∴， 【变式题2-2】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）【问题情境】在和中，，，． (1)【初步探究】如图①，当点，，在同一条直线上时，连接，，延长交于点，则与之间有什么关系？ (2)【类比探究】如图②，当点，，不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图③，在（2）的条件下，连接并延长交于点，的大小确定吗？若确定，求出的度数；若不确定，请说明理由． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，． (1)求证：； (2)如图，延长、交于点，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 【题型3】半角模型 解题方法技巧 　　1.识别：邻边相等、对角互补、角含半角（如正方形内45°角、等边三角形外60°角、等腰直角三角形内45°角）； 　　2.构造：将半角一边的三角形旋转（或延长），把分散线段合并到一条直线，再证两次全等； 3.结论：正方形中 ，等边中 ，等腰直角中 。 【例题3】.（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，在正方形中，点分别在正方形的边上，，连接． (1)思路梳理：将绕点逆时针旋转至，如图1，使与重合，易证，可证，故，，之间的数量关系为______； (2)类比引申：如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到正方形的边的延长线上，，连接，猜想之间的数量关系并给出证明； (3)联想拓展：如图3，等腰，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中分别与线段交于点，若，，则的长为_______． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东广州·期中）（1）【思维提示】在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），点、分别在、上，且，延长至，使得，请求出线段，，之间的数量关系．小明发现根据条件可证出，可得到，，又和同学讨论发现，利用又可证出，就能解决上述问题．那么___________； （2）【拓展应用】如图2，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，请你观察（1）中的结果，猜想图2中线段，，之间的数量关系，并给出证明． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【题型4】婆罗摩笈多模型 解题方法技巧 　　1.识别：以三角形两边为腰向外作等腰直角三角形（或正方形），出现垂直、中点； 　　2.结论：两个三角形面积相等；知中点可证垂直且中线长为另一线段一半；知垂直可证中点； 　　3.辅助线：知中点倍长中线，知垂直作垂线构造一线三垂直。 【例题4】.（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）如图，是的中线，，，且，．求证： (1)EF； (2)EF 【变式题4-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）（1）如图1，，过点作于点，过点作于点，求证：； （2）如图2，，，连结，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； （3）如图3，，，连结，的面积为，的面积为，，求的值． 【变式题4-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，2，3，中，分别以，为边作和，，，，则有下列结论： ①图1中； ②如图2中，若是边上的中线，则； ③如图3中，若，则的延长线平分于点N． (1)上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； (2)能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：与均为等腰直角三角形，，连接，，若F为的中点，连接，求证：． 【题型5】辅助线构造-截长补短法 解题方法技巧 　　1.识别：证一条线段等于两线段之和（差、倍、分），常含角平分线、等腰三角形； 　　2.截长：在长线段上截一段等于短线段，证剩余等于另一短线段；补短：延长短线段至另一线段； 3.应用：构造全等（常证2次），解决线段和差倍分问题。 【例题5】.（2026八年级上·全国·专题练习）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 【变式题5-1】.（2026·内蒙古通辽·二模）已知在四边形中，，． 【问题背景】 (1)如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 (2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）综合与探究 已知，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明______；再证明______；即可得出线段、、之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． (3)在四边形中，，，E、F分别是、所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 【题型6】辅助线构造-倍长中线法 解题方法技巧 　　1.识别：题中出现中线或中点； 　　2.构造：延长中线至一倍长，构造全等，把分散条件集中到一个三角形； 　　3.应用：证线段倍分、利用三边关系求中线取值范围。 【例题6】.（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．     B． C．    D． (2)求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）按要求解答下列问题： 【发现问题】 数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 (2)如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：正确选项的序号是______． ①；②；③；④． 【问题拓展】 (3)如图3，与互补，连接、是的中点，求证：； (4)如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是_____． 【变式题6-2】.（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）基础研究： (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：___________（用字母表示）；线段的取值范围为___________ 问题解决： (2)如图，为的中点，，，． 探究OE和AB的关系并证明． 拓展应用： (3)如图3，在中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点1=、AB=DE． 求证：． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【初步探索】：如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是____________． (2)【灵活运用】：如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】：如图3，在五边形中，，，为边上的中线，求证：． 【对应练习题】 1．如图，是的中线，，垂足为E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． (1)求证:； (2)若，，求的长． 2．【问题背景】如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且． (1)【初步探索】试探究线段，，之间的数量关系． (2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 3．数学活动课上，李老师以“中点与中线”为主题设计了如下探究活动： 【问题情境】 (1)如图，在中，，，是边上的中线，延长至点，使得，连接． 求证：； 甲、乙、丙三位同学对中线的长度提出了各自的猜想： 甲：有可能等于；乙：有可能等于；丙：一定大于，且小于． 你认为正确的猜想有________（填“甲”“乙”“丙”） 【模型探究】 (2)如图，，，与互补，连接、，是的中点． 求证：； 小慧发现：当为钝角时，与虽然不全等，但它们的面积一定相等．她的说法对吗？请说明理由． 【问题拓展】 (3)在的条件下，将沿着过点的某一直线翻折，使得（如图），延长交的延长线于点，，，则的面积是________． 4．解答下列各题 【问题情景】如图①：四边形中，，．，分别是，上的点，且．试探究图中与之间的数量关系． (1)【初步思考】小明同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接． 先证明，再证明，从而得出，最后得出与之间的数量关系是_______________． (2)【探索延伸】如图②，将问题情景中条件“”改为“”，其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由． (3)【实际应用】如图③，在某次军事演习中舰艇甲在指挥中心（O）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达，处且相距70海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（处）形成的夹角的大小． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形4大经典模型与2大辅助线构造 【4大经典模型】 模型1：一线三等角模型（K型全等） 全等模型 模型说明 常见模型 一线三等角模型 同一直线上依次出现三个相等角 ，两三角形共线相邻（如 、）；由外角定理“一个外角等于不相邻两内角之和”可导 ，结合 （或 、），证 。 模型解读 　　1.同一直线上三个相等角，利用外角定理“一个外角等于不相邻两内角之和”推导等角； 　　2.证明两个三角形全等后，用对应边建立线段等量关系； 　　3.常结合等腰、等边、正方形情境，或融入测量、坐标情境。 模型2：手拉手模型（共顶点旋转全等） 全等模型 模型说明 常见模型 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，即 、、；加（减）公共角得 ，用SAS证 ，得拉手线 。 模型解读 　　1.识别共顶点、两腰夹角相等的两个等腰图形； 　　2.绕公共顶点旋转后，拉手线所在三角形全等（SAS）； 　　3.利用全等性质推出对应边相等、对应角相等，解决线段与角的问题。 模型3：半角模型（角含半角旋转全等） 全等模型 模型说明 常见模型 半角模型 有公共顶点，一个角等于较大角的一半，如正方形内 ；组成较大角的两边相等（）；将半角一边的三角形旋转（或延长）构造全等，得 ，。 模型解读 　　1.识别“邻边相等、对角互补、角含半角”特征（常见于正方形、等边三角形）； 　　2.将半角两边的三角形绕顶点旋转，把分散线段合并到一条直线上； 　　3.证明旋转后形成的新三角形与半角三角形全等，得出线段和差关系。 模型4：婆罗摩笈多模型（垂直与中点综合探究） 全等模型 模型说明 常见模型 向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：、、、，N是DE的中点；倍长中线AN得 ，结论：、。 模型解读 　　1.识别共直角顶点的等腰直角三角形或正方形，出现垂直、中点； 　　2.倍长中线或延长垂线构造全等，转化线段与角度关系； 3.可结合阅读探究、旋转动态构图、项目式学习等新情境，体现素养导向。 【2大辅助线构造】 模型5：截长补短法构造辅助线（线段和差倍分问题） 全等模型 模型说明 常见模型 截长补短法 截长，在长线段上截取一段等于已知线段，如证 时在 上取 ； 补短，延长短线段，如延长 AC使 ；构造全等证线段和差倍分。 模型解读 　　1.证明一条线段等于两条线段之和，用“截长”或“补短”构造全等； 　　2.截长：在长线段上截取一段等于短线段，证明剩余部分等于另一短线段； 　　3.补短：延长短线段使延长部分等于另一短线段，再证全等。 模型6：倍长中线法构造辅助线（构造全等集中条件） 全等模型 模型说明 常见模型 倍长中线法 给出中线，如 为 中线，延长 至 使 ，（SAS），转移线段、集中条件。 模型解读 　　1.遇到中线或中点，延长中线至一倍长，构造全等三角形； 　　2.把分散条件集中到同一个三角形中，利用全等转换线段； 　　3.常结合三角形三边关系、等腰、垂直等综合考查。 【题型1】一线三等角模型 解题方法技巧 　　1.识别：一条直线上出现三个相等角，且有一组对应边相等； 　　2.判全等：用外角定理或三角形内角和等角代换，再用AAS或ASA证全等； 3.应用：由全等得对应边相等，常结合等腰、等边、正方形或测量、坐标情境。 【例题1】.（2026八年级上·全国·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)证明：①，， ， ，， ， ∵在和中， ， ； ②， ，，； (2)证明：，， ， ， ∵在和中， ， ； ，，； (3)． 【分析】（1）①根据，，，得出，再根据即可判定；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出，，进而得到； （2）先根据，，得到，进而得出，再根据即可判定，进而得到，，最后得出； （3）运用（2）中的方法即可得出，，之间的等量关系是：． 【详解】（1）①略，②略 （2）略 （3）解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：，， ， ， ∵在和中， ， ， ，， ． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）一线三垂直问题： (1)如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．则与的数量关系是________； (2)如图，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； (3)如图，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点的坐标________． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明，则，即可解答． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． （2）略 （3）解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， 由（1）理可证，， ， ， ， ， ， ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·重庆丰都·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1． (1)已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段与、的数量关系为________； (2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【答案】(1) (2)解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3)证明：如图所示，过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴； ∵在中，是边上的高， ∴，即， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中点． 【分析】（1）由垂线的定义得到，证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （3）过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N，同理证明，，推出，再证明，得到，即可证明是的中点． 【详解】（1）解：∵直线，直线，垂足分别为点、， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 【变式题1-3】.（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）在中，，D，A，E三点都在直线m上． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为___________，与的数量关系为___________． ②如图2，，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在射线上以xcm/s的速度由点E向点F的方向运动，请求出使得与全等时x的值． 【答案】(1)①； ②，理由如下： ， ， 又， ， ， ； (2)和，与全等 【分析】（1）①通过垂直与等角关系证得，根据全等三角形的性质可得出结论； ②先证，再证，再根据全等三角形的性质进行线段的等量代换即可； （2）分，，两种情况讨论求出对应的x、t的值． 【详解】（1）解：①， ， ， 又， ， ； ②略； （2）解：假设存在x，使得与全等， ，则有和两种情况， 设运动时间为，， 当时，，即， ，即， ； 当时，，即， ，即， ， 和，与全等． 【题型2】手拉手模型 解题方法技巧 　　1.识别：两个等腰三角形共顶点，两腰相等且顶角相等； 　　2.判全等：加（减）公共角得到一组对应角相等，用SAS证拉手线所在三角形全等； 3.应用：得两条拉手线相等，夹角等于顶角，常结合等边、正方形与旋转动态。 【例题2】.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：如图，在和中，，连接． (1)求证：； (2)补充图形：延长交于点，连接，求． 【答案】(1)证明：， ， ∴． 在和中， ， ； (2)的度数为，补充图形如下： 【分析】（1）由，两边同时减去公共角，推得．结合已知、，满足两边及其夹角对应相等，即可由判定证得； （2）由全等得对应边相等、面积相等，推出对应边上的高，根据全等三角形的判定和性质可得，再由三角形内角和可得，进而求出，最后进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点A作于M，于N，设与交于点O，如图： ， ，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴在和中，， ， ， ， ∴， ∵ ， 综上所述，的度数为． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·山东日照·阶段检测）如图，，都是等腰三角形，，，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：过点O作于M，于N，如图， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分. 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）过点O作于M，于N，证明，得到，即可得到结论. 【详解】（1）略 （2）略 【变式题2-2】.（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）【问题情境】在和中，，，． (1)【初步探究】如图①，当点，，在同一条直线上时，连接，，延长交于点，则与之间有什么关系？ (2)【类比探究】如图②，当点，，不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图③，在（2）的条件下，连接并延长交于点，的大小确定吗？若确定，求出的度数；若不确定，请说明理由． 【答案】(1)，且 (2)（1）中的结论仍然成立． 理由如下： 设与相交于点，如图所示： ， ，即． 在和中， ， ． ，； 在和中，由三角形内角和定理可得， ，， ． ； 综上所述，与之间关系为，且； (3)的大小确定， 【分析】（1）由三角形全等的判定与性质得出，且，再由三角形内角和定理推出即可得证； （2）类比（1）中求解过程即可确定答案； （3）过点作，，垂足分别为，，如图所示，由全等性质得到，，结合三角形面积公式得出，最后由角平分线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ． ，； 在和中，由三角形内角和定理可得， ，， ， ； 综上所述，与之间关系为，且； （2）略 （3）解：的大小确定． 过点作，，垂足分别为，，如图所示： 由（2）知， ，． ，， ． ，， 平分． ， ， ， ． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，，，． (1)求证：； (2)如图，延长、交于点，连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，连接、，取的中点，连接交于，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2)证明：如图2所示，过点A作于点G，交的延长线于点H， ∴； 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)12 【分析】（1）证明，再证明，即可证明； （2）过点A作于点G，交的延长线于点H，证明，得到；证明，得到；证明，得到，则可证明，进而可证明； （3）延长到点Q，使得，连接，证明，得到，，则；证明，得到，，，可证明；设，则，；根据建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，延长到点Q，使得，连接， ∵点N为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； ∵ ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ， ∴； ∵， ∴可设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【题型3】半角模型 解题方法技巧 　　1.识别：邻边相等、对角互补、角含半角（如正方形内45°角、等边三角形外60°角、等腰直角三角形内45°角）； 　　2.构造：将半角一边的三角形旋转（或延长），把分散线段合并到一条直线，再证两次全等； 3.结论：正方形中 ，等边中 ，等腰直角中 。 【例题3】.（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1) 如图所示： (2) (3) 证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (4) 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【详解】（1）略 （2）解：； （3）略 （4）解：∵的周长，， ∴的周长 【变式题3-1】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，在正方形中，点分别在正方形的边上，，连接． (1)思路梳理：将绕点逆时针旋转至，如图1，使与重合，易证，可证，故，，之间的数量关系为______； (2)类比引申：如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到正方形的边的延长线上，，连接，猜想之间的数量关系并给出证明； (3)联想拓展：如图3，等腰，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中分别与线段交于点，若，，则的长为_______． 【答案】(1) (2) ，证明：如图2所示． ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴点C、D、G在一条直线上． ∴，，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴； (3) 【分析】（1）证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图1所示： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点F、D、G共线， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴，即． 故答案为：； （2）略 （3）把旋转到的位置，连接，则． ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东广州·期中）（1）【思维提示】在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），点、分别在、上，且，延长至，使得，请求出线段，，之间的数量关系．小明发现根据条件可证出，可得到，，又和同学讨论发现，利用又可证出，就能解决上述问题．那么___________； （2）【拓展应用】如图2，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，请你观察（1）中的结果，猜想图2中线段，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）； （2）解：， 证明：如图所示，延长至，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意、正确作出辅助线． （1）由题意可得，，推出，证明，得到，，结合得到，证明，得到，即可求解； （2）延长至，使得，证明，得到，，结合得到，证明，得到，即可求解． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又 ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【详解】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 【题型4】婆罗摩笈多模型 解题方法技巧 　　1.识别：以三角形两边为腰向外作等腰直角三角形（或正方形），出现垂直、中点； 　　2.结论：两个三角形面积相等；知中点可证垂直且中线长为另一线段一半；知垂直可证中点； 　　3.辅助线：知中点倍长中线，知垂直作垂线构造一线三垂直。 【例题4】.（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）如图，是的中线，，，且，．求证： (1)EF； (2)EF 【答案】(1)证明：如图所示，延长到点G，使得，连接，延长交于点H， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点G，使得，连接，延长交于点H，证明，得到，，再证明，得到，根据，得到，据此可证明； （2）由全等三角形的性质得到，据此可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题4-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)，， (2) 证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； (3)1012.5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，，， ∴， ，， ， 在与中， ， ， ，且， ， 即， ， 的值为1012.5． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）（1）如图1，，过点作于点，过点作于点，求证：； （2）如图2，，，连结，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； （3）如图3，，，连结，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】 （1）证明： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴ ． （2）证明：过作于，过作于， ∵， ∴， 同（1）可证 ， ∴， 同理得， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴点是的中点． （3）12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等的性质推导线段或面积的关系． （1）由垂直得直角，结合，转化对应角相等，用证； （2）作垂线构造全等，先证全等得线段相等，再证另一组全等得； （3）作辅助线，通过多组全等的面积相等，推出，结合和求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过作于，交于，过作于，过作于， 同（2）可证 ， ， ∴，， 由（2）知是中点，得 ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴ 【变式题4-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，2，3，中，分别以，为边作和，，，，则有下列结论： ①图1中； ②如图2中，若是边上的中线，则； ③如图3中，若，则的延长线平分于点N． (1)上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； (2)能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：与均为等腰直角三角形，，连接，，若F为的中点，连接，求证：． 【答案】(1) ①证明：如图，过点作于，过点作，交的延长线于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ②证明：如图，延长至，使得，连接， 是边上的中线， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ③证明：如图，过点作，交的延长线于，过点作于， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ，， ， ， 的延长线平分于点N； (2) 证明：如图，延长至K，使，连接， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解此题的关键． (1)①如图，由“”可证，得，由三角形的面积公式可求解，②如图，延长至，使得，连接，由“”可证，得，，由“”可证，可得，进而可得结论；③如图，过点作，交的延长线于，过点作于，先证，，可得，由“”可证，进而即可得证； (2)延长至K，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型5】辅助线构造-截长补短法 解题方法技巧 　　1.识别：证一条线段等于两线段之和（差、倍、分），常含角平分线、等腰三角形； 　　2.截长：在长线段上截一段等于短线段，证剩余等于另一短线段；补短：延长短线段至另一线段； 3.应用：构造全等（常证2次），解决线段和差倍分问题。 【例题5】.（2026八年级上·全国·专题练习）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， (3)解：结论：． 证明：如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，求出，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）在上截取，使，连接，证明，可得，再证明，然后由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 【变式题5-1】.（2026·内蒙古通辽·二模）已知在四边形中，，． 【问题背景】 (1)如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 (2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 【答案】(1) (2)．证明如下： 如图，延长到点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， (3) 【分析】（1）根据已知角度关系推出，结合、公共斜边，利用证明两个直角三角形全等，进而得到； （2） 采用截长补短作辅助线，构造全等三角形，先证，再证，通过线段等量代换，推导出； （3） 构造全等三角形，先证，再证，结合四边形内角和与角度转化，推导出与的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）如图，延长到点，使得，连接， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心为截长补短构造全等的经典几何模型，通过两次全等完成线段、角度的转化，同时结合四边形内角和进行角度推导，需灵活运用模型变式解题． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）综合与探究 已知，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明______；再证明______；即可得出线段、、之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． (3)在四边形中，，，E、F分别是、所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)或或 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段、、之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短的方法，先证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路：先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是． （2）略 （3）解：或或， 理由： ①， 如图，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②， 如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ③由（1）（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上所述，线段、、之间的数量关系为或或． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 【答案】(1)；； (2) 解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再同（1）求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，延长到点，使，连接， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； （2）略 【题型6】辅助线构造-倍长中线法 解题方法技巧 　　1.识别：题中出现中线或中点； 　　2.构造：延长中线至一倍长，构造全等，把分散条件集中到一个三角形； 　　3.应用：证线段倍分、利用三边关系求中线取值范围。 【例题6】.（26-27八年级上·广东江门·阶段检测）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．     B． C．    D． (2)求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是6 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到，然后利用证明； （2）由得到，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长交于点F，证明，得到，最后利用全等三角形的性质求解． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 又， ， 由已知和作图能得到的理由是； （2）， ， 在中，， ； （3）如下图，延长交于点F， ， ， 是的中线， ， 又， ， ， , ， ． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）按要求解答下列问题： 【发现问题】 数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 (2)如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：正确选项的序号是______． ①；②；③；④． 【问题拓展】 (3)如图3，与互补，连接、是的中点，求证：； (4)如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是_____． 【答案】(1) (2)①③ (3)证明：延长到点，使，连接． ∵ 是中点， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ，． ∴ ， ∴ ． ∵ 与互补， ∴ ． 又∵ 周角为， ∴ ， ∴ ． ∵ ，，， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ，即． (4) 【分析】（1）采用倍长中线法延长至使，证得到，结合，利用三角形三边关系求出，再换算得到． （2）倍长到使得，先证，再证，推出，，选出正确序号①③． （3）倍长到使，证明得到和平行关系，结合、互补推出，再证，得到，完成证明． （4）沿用第三问结论得到，推导出，代入、算出面积为 60，再由全等面积转化得到面积等于 60． 【详解】（1）解：延长到，使，连接． ∵ 是的中线， ∴ ． 在和中， ，∴ ． ∴ ． 在中，由三角形三边关系： ， ∵ ，， ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：延长到，使，连接． ∵ 是的中线， ∴ ． 在和中， ，∴ ． ∴ ，． ∵ ， ∴ ． ∵ 是中线， ∴ ， ∴ ． ∵ ，，，， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ，． ∵ ， ∴ ． 综上，①③正确． （3）略． （4）解：由（3）得，，，． ∵ ，与互补， ∴ ． ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 由全等转化面积可知， ∴ ． 【变式题6-2】.（26-27八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）基础研究： (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：___________（用字母表示）；线段的取值范围为___________ 问题解决： (2)如图，为的中点，，，． 探究OE和AB的关系并证明． 拓展应用： (3)如图3，在中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点1=、AB=DE． 求证：． 【答案】(1)； (2)数量关系为，位置无特殊关系， 证明： 延长到点，使，连接， 为的中点， 。 又 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ，即； (3)证明：作，交的延长线于点， ， ， ， ， 。 又 ， 。 在和中： ． 【分析】（1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）已知为的中点，看到中点可考虑倍长中线的方法，延长至，使，再证明，得到且，结合可得；再利用周角性质以及平行线同旁内角互补，结合条件，推导出，又，通过证明，得到，而，因此； （3）过点作，交的延长线于点，由平行线性质得到，结合已知，等量代换得，根据等角对等边可知，又，所以，再证明，最后由全等三角形对应边相等得到． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 所以李海证明用到的判定定理是；线段的取值范围为； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、倍长中线辅助线模型、平行线的性质、周角与补角的角度推理、等腰三角形判定等知识点；解题关键在于根据中点条件使用倍长中线构造全等三角形实现线段与角度的转移，以及通过作平行线转移等角，合理构造全等三角形． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【初步探索】：如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是____________． (2)【灵活运用】：如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】：如图3，在五边形中，，，为边上的中线，求证：． 【答案】(1)，； (2)，理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ， 即， 在和中， 延长交于，如图所示： ，即 (3)证明：延长，交于点，如图所示： ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， 【分析】（1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论； （3）延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可 【详解】（1）延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； （2）略 （3）略 【对应练习题】 1．如图，是的中线，，垂足为E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． (1)求证:； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； (2)8 【分析】（1）由中线得到，结合垂直条件得到直角，再利用对顶角相等，通过AAS证明，根据全等三角形对应边相等证得． （2）由（1）得到，结合已知，证明，得到，进行线段等量代换，求出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∴，， 由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 2．【问题背景】如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且． (1)【初步探索】试探究线段，，之间的数量关系． (2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴设，则， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，． 【分析】（1）延长到G，使，连接，先证，进而依据“”判定和全等得，，再根据，，可证明，继而依据“”判定和全等得，然后根据即可得出线段，，之间的数量关系； （2）仍然成立，延长到，使，连接，先证明，而依据“”判定和全等得，，再根据可证明，继而依据“”判定和全等得，然后根据即可得出结论. 【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下： 延长到G，使，连接， 如图1所示： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （2）略 3．数学活动课上，李老师以“中点与中线”为主题设计了如下探究活动： 【问题情境】 (1)如图，在中，，，是边上的中线，延长至点，使得，连接． 求证：； 甲、乙、丙三位同学对中线的长度提出了各自的猜想： 甲：有可能等于；乙：有可能等于；丙：一定大于，且小于． 你认为正确的猜想有________（填“甲”“乙”“丙”） 【模型探究】 (2)如图，，，与互补，连接、，是的中点． 求证：； 小慧发现：当为钝角时，与虽然不全等，但它们的面积一定相等．她的说法对吗？请说明理由． 【问题拓展】 (3)在的条件下，将沿着过点的某一直线翻折，使得（如图），延长交的延长线于点，，，则的面积是________． 【答案】(1)延长至点，使得，连接，如图， ∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴， 丙； (2)延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴； 小慧的说法正确， 过点作直线，垂足为；过点作直线，垂足为，如图， ∵， 在和中： ， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】 延长至点，使得，连接，通过“”证明即可； 由得，，即，然后由三角形三边关系即可求解； 延长到，使得，连接，证明，，再由全等三角形的性质即可求解； 过点作直线，垂足为；过点作直线，垂足为，证明，则，所以； 延长到，使得，连接，同理知，，所以，，，，，然后证明，即，所以，从而求解． 【详解】（1）解：略； ∵， ∴，，即， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴丙的猜想正确，甲、乙的错误， 故答案为：丙； （2）解：略； 略； （3）解：如图，延长到，使得，连接， ∴， 同理知，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 4．解答下列各题 【问题情景】如图①：四边形中，，．，分别是，上的点，且．试探究图中与之间的数量关系． (1)【初步思考】小明同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接． 先证明，再证明，从而得出，最后得出与之间的数量关系是_______________． (2)【探索延伸】如图②，将问题情景中条件“”改为“”，其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由． (3)【实际应用】如图③，在某次军事演习中舰艇甲在指挥中心（O）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达，处且相距70海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（处）形成的夹角的大小． 【答案】(1) (2)成立，证明如下： 延长到，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； (3) 【分析】（1）根据题干给出的条件及方法，利用全等三角形的判定和性质证明即可； （2）方法同（1）求解即可； （3）连接，延长相交于点C，根据题意得，，，确定，，然后得出题目符合探索延伸中的条件，利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：延长到，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：连接，延长相交于点C， 根据题意得，，， ∵舰艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进1小时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， 且， ∴符合探索延伸中的条件， 由题意知， 又∵ 答：此时两舰艇的位置与指挥中心(O处)形成的夹角的大小为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $