34.1 随机事件与概率（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十四章 随机事件的概率 34.1 随机事件与概率 课标要点 1.通过实例感受简单随机现象，能识别必然事件、不可能事件、随机事件。 2.了解概率的意义，知道可以用概率刻画随机事件发生可能性的大小。 3.能在等可能试验中，利用古典概型公式计算简单随机事件的概率。 4.了解概率取值范围，理解P=0对应不可能事件，P=1对应必然事件。 学习重难点 重点： 1.区分必然事件、不可能事件、随机事件。 2.理解概率的定义，运用古典概型公式计算简单事件的概率。 难点： 1.判断一个试验是否属于等可能试验，识别不是等可能的误区。 2.理解概率只是对可能性大小的刻画，概率大不代表一定发生、概率小不代表一定不发生。 知识点 事件的分类 在一定条件下，对某种现象进行观察或试验，其结果称为事件。按结果是否确定，事件分为确定性事件与随机事件两类。 1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。例如「太阳从东方升起」「标准大气压下，水加热到 100 ℃ 沸腾」「任意画一个三角形，其内角和是 180°」。 1. 不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件。例如「掷一枚骰子，向上一面的点数是 7」「在只装红球的袋中摸出白球」「两个负数相加得正数」。 1. 确定性事件：必然事件与不可能事件统称为确定性事件，其发生与否事先就能确定。 1. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。例如「掷一枚硬币，正面朝上」「明天会下雨」「投篮一次命中」。 用集合的观点看，若把「一定发生」记为必然、把「一定不发生」记为不可能，则随机事件恰好落在两者之间，其发生带有偶然性。 事件类型 发生与否 典型例子 概率取值（后续学习） 必然事件 一定发生 三角形内角和为 180° 不可能事件 一定不发生 骰子掷出 7 点 随机事件 可能发生也可能不发生 掷硬币正面朝上 特别提醒 1.「一定条件」是判断的前提，条件改变，事件类型可能随之改变。例如「水沸腾」在标准大气压下是必然事件，在高原低气压环境下加热到 90 ℃ 也可能沸腾，条件不明确时不能简单下结论。 2.判断事件类型要看「是否一定发生」，而不是看「是否已经发生」或「是否经常发生」。某事件这一次没有发生，并不说明它不是必然事件；某事件经常发生，也不等于必然事件。 3.「可能性大」与「必然发生」是两回事。随机事件的可能性有大小之分，但无论可能性多大，都不能断言一定发生。 4.不要把「随机事件」与「发生次数少的事件」混为一谈，随机事件的关键特征是结果事先不能确定。 随学随练 1．下列事件为必然事件的是（    ） A．购买两张彩票，一定中奖 B．太阳东升西落 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．三角形三个内角和小于 【答案】B 【详解】解：A、C选项的事件均可能发生也可能不发生，是随机事件． B．太阳东升西落是必然发生的，是必然事件． D．三角形三个内角和为，故三个内角和小于是不可能事件． 2．下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放天气预报 B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球 C．今年的除夕夜会下雪 D．任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有6次 【答案】B 【详解】解：A．打开电视机，正在播放天气预报，是随机事件，不符合题意． B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球，是不可能事件，符合题意． C．今年的除夕夜会下雪，是随机事件，不符合题意． D．任意抛掷一枚硬币次，正面朝上有次，是随机事件，不符合题意． 3．下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 【答案】C 【分析】根据事件发生的确定性，判断各选项的事件类型． 【详解】解：A.袋中只装有红球，不可能摸出黄球，为不可能事件； B.抛出的篮球一定会下落，为必然事件； C.抛掷质地均匀的骰子，可能掷出~的任意点数，掷出点数是可能发生也可能不发生，为随机事件； D.正数一定大于负数，为必然事件． 知识点 随机事件发生的可能性有大小 随机事件虽然结果不确定，但不同随机事件发生的可能性往往不同，可以用「可能性大」「可能性小」作定性比较。 1. 比较依据：在相同条件下，某结果在全部可能结果中所占的比例越大，该事件发生的可能性越大。 1. 典型情境：袋中装有 5 个红球、1 个白球，除颜色外完全相同，任意摸出一个球，「摸到红球」的可能性比「摸到白球」大；掷一枚质地均匀的骰子，「点数大于 4」的可能性比「点数是 6」大。 1. 定性排序：必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件的可能性介于二者之间。 特别提醒 1.比较可能性大小必须在「相同条件、同一试验」下进行，条件不同不能直接比较。 2.「可能性大」只是定性描述，不能等同于具体数值；要把可能性大小量化，需要引入概率。 3.摸球、抽签等问题中，若各球除颜色外完全相同，则每个球被摸到的机会相等，这是比较可能性的隐含前提；球的大小、质地不同则不满足该前提。 随学随练 1．下列成语所反映事件中，发生的可能性最大的是（     ） A．竹篮打水 B．水中捞月 C．守株待兔 D．水涨船高 【答案】D 【分析】必然事件发生的可能性最大，只需找出对应必然事件的选项． 【详解】解：竹篮打水、水中捞月均为不可能事件，发生可能性为； 守株待兔是随机事件，发生可能性介于与之间； 水涨船高是必然事件，发生可能性为； 故水涨船高发生的可能性最大，答案为D． 2．欢欢和园园抛豆子玩游戏，每人都有3颗豆子，每局每人可以随机抛出1-3颗（且抛出1-3颗豆子的可能性相同），如果两人抛出的豆子数的和是奇数则欢欢赢，如果和是偶数则是园园赢．那么两人谁赢的可能性大（  ） A．欢欢大 B．园园大 C．两人一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】需列举两人抛豆的所有等可能结果，统计和为奇、偶的结果数，比较赢的可能性大小． 【详解】解：两人抛出的豆子数均有、、共种等可能情况，所有组合共种且等可能，对应和的奇偶性如下： 和为偶，和为奇，和为偶， 和为奇，和为偶，和为奇， 和为偶，和为奇，和为偶． ∵和为奇数的结果有种，和为偶数的结果有种． 又∵， ∴ 园园赢的可能性大． 3．同时掷两枚质地均匀的骰子，将朝上的两个点数相加，则“点数之和”出现可能性最大的是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意列出点数之和为5，6，7，8的结果数，然后比较即可得出答案， 【详解】解：点数之和为5的结果有，共4种， 点数之和为6的结果有，共5种， 点数之和为7的结果有，共6种， 点数之和为8的结果有，共5种． ∵， ∴点数之和为7的出现可能性最大． 知识点 概率的意义 一般地，对于一个随机事件 ，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 发生的概率，记作 。 1. 取值范围：任何事件 的概率都满足 。 1. 必然事件的概率为 1，即 ；不可能事件的概率为 0，即 。 1. 事件发生的可能性越大，其概率越接近 1；可能性越小，其概率越接近 0。 1. 概率是事件本身的属性，由试验条件决定，不因某一次试验结果而改变。 特别提醒 1.概率是「可能性大小」的数值刻画，不是「一定发生」的保证。概率为 0.99 的事件仍可能不发生，概率为 0.01 的事件仍可能发生。 2.概率不等于频率。频率是试验结果统计出来的比值，随试验次数变化；概率是确定的数值，频率在大量重复试验下稳定于概率附近。 3.概率不能理解为「几次试验中发生的次数」。例如某事件概率为 ，并不意味着做 6 次试验恰好发生 1 次。 4.概率的取值范围是闭区间 ，写成百分数时为 ，不会出现大于 1 或小于 0 的概率。 。 随学随练 1．盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（     ） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小 【答案】B 【分析】计算各颜色球被摸出的概率，逐一判断选项正误. 【详解】解：∵总球数为10，其中红球6个，黄球3个，黑球1个， ∴摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， 摸出黑球的概率为， ∵ ， ∴ 摸出红球的可能性最大，摸出黑球的可能性最小， A、摸球为随机事件，可能摸到红球，也可能摸到其他颜色的球，并非一定是红球，故A错误； B、摸出红球的可能性最大，故B正确； C、盒中有黑球，因此有可能摸到黑球，并非不可能，故C错误； D、 摸出黑球的可能性最小，并非红球，故D错误. 2．下列说法正确的是（     ） A．概率为0的事件可能发生 B．相等的圆心角对应的弧不一定相等 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．要满足分式的值为0，分子为0即可 【答案】B 【详解】解：A选项，概率为的事件是不可能事件，一定不发生，故A错误． B选项，只有在同圆或等圆中，相等的圆心角对应的弧才相等，缺少该前提时弧不一定相等，故B正确． C选项，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，仅垂直于半径不满足判定条件，故C错误． D选项，分式的值为需满足分子为且分母不为，仅分子为不成立，故D错误． 3．下列事件中，概率最大的是（     ） A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 【答案】C 【分析】优先判断事件类型，必然事件概率为，大于所有随机事件的概率，可快速求解． 【详解】解：A、投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上概率为； B、投掷飞镖一次，命中靶心是随机事件，概率小于； C、从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球为必然事件，概率为； D、玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀”的概率为； 故概率最大的是C． 4．下列说法中，正确的是（） A．2033年1月27日杭州会下雪是随机事件 B．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 C．概率很小的事情不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 【答案】A 【分析】根据必然事件随机事件概率的概念，必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：A选项2033年1月27日杭州下雪可能发生也可能不发生，是随机事件，此选项正确． B选项发生可能性非常大的事件不一定必然发生，不属于必然事件，此选项错误． C选项概率很小的事件也有可能发生，不是不可能发生，此选项错误． D选项投掷质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是随机的，不一定是500次，此选项错误． 拓展概率是长期趋势下的稳定值，区分概率与单次结果 核心探究：概率描述的是随机事件在大量重复试验下可能性的稳定大小，不控制单次试验的结果。 规律总结：P(A)接近 1，只是发生的机会大，单次未必发生；P(A)接近 0，只是发生机会很小，单次仍有可能发生；概率不能用来预判某一次确定结果。 探究延伸：可结合实例理解，如中奖率，买一张不是一定不中奖；命中率 0.9，下一次也可能投失。 破除确定性思维，建立随机观念，能用概率思维理性看待生活中的抽奖、预报等随机现象。 活学活用 1．下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 【答案】C 【分析】根据事件的类型及概率的意义找到正确选项即可． 【详解】A选项：不一定，属随机事件，不符合题意； B选项：不一定，摸出白球的概率为 ，不符合题意； C选项：朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等，均为，符合题意； D选项：不一定，属随机事件，不符合题意． 2．在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为；若用其它物体代替只要此物体只能出现这两种情况且概率为即可． 【详解】A、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为，能作替代物，故不符合题意； B、两张扑克牌张黑桃，张红桃，两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为，与抛硬币一样，故不符合题意； C、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意； D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考． 3．下列说法正确的是（    ） A．367人中至少有2人生日相同 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨 D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中 【答案】A 【分析】根据概率的含义和随机事件的定义即可得出答案． 【详解】解：A. 一年有365天，则367人中至少有两人生日相同，故该选项正确； B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，故该选项错误； C.天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，故该选项错误； D.某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，故该选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了概率的含义，关键是要牢记概率表示事件发生的可能性大小． 题型 判断事件的类型 解题贴士 先读懂语句描述，结合实际情境分析事件能否确定发生；一定发生是必然事件，一定不发生是不可能事件，有可能发生也有可能不发生的是随机事件，注意区分客观事实与主观猜想。 ▌例1下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】先从确定的数学结论入手判断必然事件，再验证其余选项． 【详解】解：A．年全年有天，故2025面全年有367天是不可能事件，不符合题意； B．任意三角形的内角和为，是必然事件，符合题意； C．下个月芒市是否下雨具有不确定性，是随机事件，不符合题意； D．射击运动员射击一次是否命中靶心具有不确定性，是随机事件，不符合题意． ▌对点练1-1．．“走在路上遇到同班同学”，这个事件是（     ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【答案】A 【详解】解：走在路上遇到同班同学，可能发生也可能不发生，属于随机事件． ▌对点练1-2“成语”承载着丰富的历史和文化内涵．①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨，上述成语描述的场景为不可能事件的是________．（填序号） 【答案】① 【分析】根据不可能事件的定义，即在一定条件下，一定不会发生的事件，逐一判断即可． 【详解】解：①水中捞月，月亮在天空中，水中只有月亮的倒影，不可能捞到月亮，因此是不可能事件； ②守株待兔，存在兔子偶然撞到树的可能，只是发生概率较小，因此是随机事件； ③百步穿杨，形容射箭技术高超，存在射中目标的可能，因此是随机事件． ▌对点练1-“据今晚的天气预报，泰山区明天的最高气温是28摄氏度”这一事件是_____．（填随机事件、必然事件或不可能事件） 【答案】随机事件 【详解】解：“据今晚的天气预报，泰山区明天的最高气温是28摄氏度”这一事件可能发生，也可能不发生， 因此该事件是随机事件. 题型 比较随机事件发生可能性大小解题贴士 在同一试验中，先统计各事件包含的等可能结果数量，包含结果越多，发生可能性越大；若试验结果不等可能，则不能单纯依靠结果个数比较。 ▌例1下列四个随机事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一个质地均匀的骰子，朝上的点数是3 C．从52张扑克牌（无大小王）中随机抽一张，抽到红桃 D．从1~10这10个整数中随机抽一个，抽到数字6 【答案】D 【分析】分别计算四个选项中事件发生的概率，概率越小，发生可能性越小，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：A、抛质地均匀的硬币共有2种等可能结果，正面朝上为1种，∴； B、掷质地均匀的骰子共有6种等可能结果，朝上点数为3是1种，∴； C、52张无大小王的扑克牌中红桃共13张，抽牌共有52种等可能结果，抽到红桃是13种，∴； D、1~10共10个整数，抽数共有10种等可能结果，抽到6是1种，∴， ， 最小， 选项事件发生的可能性最小． ▌对点练1-1在下列事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．在平原地区用普通水壶烧开水时，水沸腾的温度为 B．一位专业射击运动员在无风条件下射靶，一次命中10环 C．太原市1月15日的最高温度为 D．用长为，，三根木棒做成一个三角形 【答案】D 【分析】结合生活实际，以及三角形三边关系判断各事件类型，即可比较得到可能性最小的事件． 【详解】解：∵ A选项中，水沸腾温度为是随机事件，可能性大于1， B选项中，专业射击运动员无风条件下一次命中10环是随机事件，可能性大于1， C选项中，太原市1月15日最高温度为是随机事件，可能性大于1， D选项中，根据，则这三根木棒不能组成三角形，该事件是不可能事件，发生可能性为0， ∴ 发生可能性最小的是D． ▌对点练1-2袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中个红球，个蓝球，从中任意摸一个，摸到___________球的可能性大． 【答案】蓝 【分析】当所有球除颜色外其余均相同时，摸到某种球的可能性大小由该种球的数量决定，数量越多，摸到的可能性越大，只需比较两种颜色球的数量即可判断结果． 【详解】解：由题意可得，袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中红球个，蓝球个， 比较两种球的数量得， 蓝球的数量多于红球的数量， 因此摸到蓝球的可能性大． 题型判断试验是否满足等可能性 解题贴士 先看试验结果是否有限，再判断每一个结果出现的机会是否均等；只有同时满足结果有限、机会均等两个条件，才符合古典概型的等可能要求。 ▌例1抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． ▌对点练1-1下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． ▌对点练1-2用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【答案】B 【分析】本题主要考查了模拟实验，正确理解模拟实验的意义是解题关键．根据模拟实验的意义以及模拟实验的方法分别判断，即可解题． 【详解】解：A、试验次数多与试验次数少所得的规律不一定相同，故此选项错误； B、试验次数越多，所得数据越接近真实值，此选项正确； C、试验次数越少，所得数据不可能越接近真实值，故此选项错误； D、抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会不相同，故此选项错误； 故选：B． ▌对点练1-3在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 【答案】B 【分析】看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【详解】解：A、一只小球，不能出现两种情况，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； B、两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃），符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项正确； C、一个啤酒瓶盖，只有压平的瓶盖才可以，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； D、尖朝上的概率＞面朝上的概率，不能做替代物，故此选项错误； 故选B． 【点睛】考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考. 题型 概率意义辨析题 解题贴士 概率刻画的是大量重复试验下事件发生可能性的稳定大小，概率大不代表本次一定发生，概率很小也不代表一定不会发生，不能用概率预判单次试验结果。 ▌例1根据天气预报，某市明天下大雨的概率是．下列说法正确的是（     ） A．该市明天将有的地区下大雨 B．该市明天将有的时间下大雨 C．该市明天下大雨的可能性较大 D．该市明天肯定会下大雨 【答案】C 【详解】解：根据概率的定义，概率是衡量随机事件发生可能性大小的量，不代表地区、时间的占比，也不代表事件一定发生， ∵该市明天下大雨的概率是，且， ∴该市明天下大雨的可能性较大， A选项将概率理解为地区占比，错误；B选项将概率理解为时间占比，错误；D选项认为概率意味着一定下雨，错误，因此只有C正确． ▌对点练1-1下列说法正确的是（   ） A．一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏一定会中奖 B．了解某班同学的身高情况适合用全面调查 C．数据2、3、4、2、3的众数是2 D．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是，，则甲组数据更稳定 【答案】B 【分析】根据概率意义、调查方式选择、众数定义、方差性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．中奖率反映的是每次抽奖中奖的可能性大小，做100次游戏也不一定会中奖，即选项A错误； B．一个班的同学数量较少，全面调查可以得到准确的身高数据，适合用全面调查，即选项B正确； C．数据2、3、4、2、3中，2和3都出现2次，众数是2和3，即选项C错误； D．当平均数相同时，方差越小数据越稳定，又，即乙组数据更稳定，故选项D错误． ▌对点练1-2关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B．中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C．小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D．据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． 【答案】D 【详解】解：A、射击运动员射击中靶与不中靶不是等可能事件，不满足等可能事件概率的计算条件，击中靶的概率不是，故A错误； B、卫星发射成功概率为0.95仅表示发射成功的可能性大小，不代表发射100颗一定有95颗成功，故B错误； C、抛掷均匀硬币是独立随机事件，每次抛掷正面朝上的概率均为，前两次结果不影响下一次结果，再抛一次不一定是反面朝上，故C错误； D、是全国范围智能算力占比的整体统计结果，反映整体的趋势，单个企业的智能算力占比受具体情况影响，可能远高于或远低于该数值，符合概率意义，故D正确． ▌对点练1-3小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是 _____（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 根据小明分别扔硬币4次，正面朝上的不一定有2次，即可解答． 【详解】解：小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是错， 故答案为：错． 题型 直接求概率 解题贴士 确认试验属于等可能试验，先算出全部等可能结果总数，再找出符合事件要求的结果数，代入公式P(A)=计算，最后化简分数。 ▌例1一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：袋子中装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，总球数为． 随机摸出一个球是红球的概率为． ▌对点练1-1如图所示是一条线段，的长为5厘米，的长为1厘米，假设可以随意在线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】概率所求情况数与总情况数之比，先确定线段的长在线段的长度中所占的比例，根据此比例即可解答． 【详解】解：的长为5厘米，的长为1厘米， ∴随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为． ▌对点练1-2在4张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，4，从中任意抽出一张，抽出标有数字为4的卡片的概率为________． 【答案】 /0.25 【分析】根据概率公式，用所求情况数除以总等可能情况数即可计算结果． 【详解】解：一共有4种等可能的抽卡片结果，其中抽出标有数字为4的卡片的结果只有1种， ∴抽出标有数字为4的卡片的概率为． ▌对点练1-32026年暑假期间，小鸣从《奥德赛》《空枪》《八仙》《牛来》四部影片中随机选一部观看，则他恰好选到《奥德赛》的概率为________． 【答案】 【分析】四部影片被选中的可能性相等，总共有种等可能结果，选中目标影片只有种结果，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从四部影片中随机选一部，所有等可能的结果共种，恰好选到《奥德赛》的结果只有种， ∴所求概率为． 题型 根据概率求数量 解题贴士 设未知量，依据概率公式列出方程，结合已知概率、总数量列式求解，算出结果后要检验，保证数量为符合实际的非负整数。 ▌例1从某班学生中随机选一名学生是女生的概率是，则该班女生与男生的人数比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率得出女生与全班学生的比例，进而即可求解． 【详解】解：从某班学生中随机选一名学生是女生的概率是， 该班女生人数占总人数的， 该班男生人数占总人数的， 该班女生与男生的人数比是．   ▌对点练1-1一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】先根据八宝粽及其概率求出肉粽和八宝粽的总个数，再用肉粽和八宝粽的总个数减去八宝粽的个数即可得到肉粽的个数． 【详解】解：由题意可得，肉粽和八宝粽的总个数为：（个） ∴肉粽的个数为（个）． ▌对点练1-2围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是_________个． 【答案】 8 【分析】已知盒中黑色棋子的数量，以及任意摸出一个棋子摸到黑色棋子的概率，通过概率的基本计算关系可求出盒中棋子的总个数． 【详解】解：根据初中概率的基本定义，摸到黑色棋子的概率等于黑色棋子的数量除以盒中棋子的总数量， ∵已知黑色棋子有2个，摸到黑色棋子的概率为， ∴盒中棋子总数量=黑色棋子数量÷摸到黑色棋子的概率， 代入数值计算得． ▌对点练1-3已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是__________． 【答案】8 【分析】根据概率的意义，用罚球总次数乘以单次罚球投中的概率，即可估计出投中的次数. 【详解】由题意可知，罚球总次数为，单次罚球投中的概率为， 因此估计投中的次数为：. 题型 几何概率的计算 解题贴士 几何概率以区域度量（长度、面积、体积）代替基本结果个数，先求出全部区域度量和事件对应区域度量，再用两者的比值计算概率，注意找准有效区域。 ▌例1如图，一个圆形飞镖盘被等分成8个扇形，若每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定阴影部分扇形个数与总扇形个数的比值即可求解． 【详解】解：∵ 圆形飞镖盘被等分成8个扇形，其中阴影部分占3个扇形 ， ∴ 恰好扎中阴影部分的概率是． ▌对点练1-1“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设太极图的总面积为． 太极图是中心对称图形，黑色部分与白色部分面积相等． 白色部分的面积为． 此点取自白色部分的概率． ▌对点练1-2如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 【答案】 【分析】它最终停留在黑砖上的概率是黑色区域的面积与总面积的比值，解答即可． 【详解】解：设每块小正方形的面积为1，则总面积为12，黑砖的面积为6， 故它最终停留在黑砖上的概率是． ▌对点练1-3一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 【答案】 【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 即蚂蚁停在阴影部分的概率为． 基础通关 1．下列事件是必然事件的是（     ） A．投掷一枚硬币，正面朝上 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．买一张彩票，一定会中奖 D．任意一个三角形都有外接圆 【答案】D 【详解】解：A、投掷一枚硬币，结果可能为正面朝上或者反面朝上，是可能事件，故A错误； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是可能事件，故B错误； C、买彩票中奖是可能事件，故C错误； D、 根据三个不共线的点，可以唯一确定一个圆，所以每一个三角形都有唯一确定的外接圆，是必然事件，故D正确． 2．下列事件属于随机事件的是（     ） A．太阳从东方升起 B．标准大气压下水在沸腾 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．三角形内角和为 【答案】C 【详解】解：A、B、太阳从东方升起、标准大气压下水在沸腾是必然事件； D、三角形内角和为，故三角形内角和为是不可能事件； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件． 3．下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【答案】D 【分析】直接对各选项的可能性进行分析，判断说法的正误． 【详解】解：A． 掷一次骰子，朝上一面的点数最小为，必然大于，是必然事件，不符合题意； B． 从装有个白球的袋中摸出红球，是不可能事件，不符合题意； C．明天太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意； D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，可能命中环，也可能不命中，是不确定事件，符合题意． 4．下列说法正确的是（     ） A．“宇航员在月球上所受的重力比在地球上小”是不可能事件 B．“今天是周一，明天是周三”是随机事件 C．“将三个球放进两个盒子里，其中必有一个盒子中有两个球”是必然事件 D．“若x是任意实数，则”是随机事件 【答案】C 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，逐一判断各选项的事件类型． 【详解】解：∵ 宇航员在月球上所受重力比地球上小是必然发生的， ∴ A中事件是必然事件，A错误． ∵ 今天是周一时，明天一定是周二， ∴ “明天是周三”是不可能事件，B错误． ∵ 三个球放进两个盒子，至少有一个盒子中有两个球是必然发生的， ∴ C中事件是必然事件，C正确． ∵ 对任意实数，， ∴是不可能事件，D错误． 5．下列说法错误的是（    ） A．随机事件的概率介于0与1之间 B．“明天降雨的概率是”表示明天有一半的时间降雨 C．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天 D．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或黄灯 【答案】B 【分析】以概率的意义为核心突破口，判断各选项正误． 【详解】解：A．随机事件的概率介于至之间，说法正确． B．“明天降雨的概率是”表示明天降雨的可能性为，并非有一半时间降雨，说法错误． C．一年最多有天，名学生中至少有两人的生日是同一天，说法正确． D．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯、绿灯或黄灯，说法正确． 6．下列说法正确的是（     ） A．任何数的0次幂都等于1 B．某彩票中奖率是，买100张彩票一定有一张中奖 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【详解】解：A、的次幂没有意义，不是，故A错误； B、中奖率是指中奖的可能性，买张彩票是随机事件，不一定有一张中奖，故B错误； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误； D、在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故D正确． 7．某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【答案】A 【分析】本题主要考查概率的基本意义，通过比较不同礼品对应小球的数量，最有可能领取的礼品对应小球数量最多的那种，因为概率与数量成正比． 【详解】解：∵小球总数为，过桥米线小球数为，鲜花饼为，普洱茶为，宣威火腿为， ∴过桥米线的小球数量最多，概率最大，为． 故选：A． 8．不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：从袋子中随机取出1个球，有种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种， ∴． 9．一个不透明盒子中装有除颜色外其他都相同的20颗蓝色幸运星，颗红色幸运星和15颗黄色幸运星（已搅匀），若小明在盒子中随机摸出一颗幸运星，则摸到红色幸运星的概率为______． 【答案】 【详解】解：∵盒子中装有20颗蓝色幸运星，35颗红色幸运星，15颗黄色幸运星， ∴盒中幸运星的总数量为颗， ∵随机摸出1颗幸运星时，所有等可能的结果共70种， 其中摸到红色幸运星的结果有35种， ∴摸到红色幸运星的概率为． 10．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____． 【答案】 【分析】观察图形，确定总格子数和黑色区域格子数，利用概率公式计算即可． 【详解】解： ∵游戏板总共有9个相同的小正方形，其中黑色区域占据了其中4个小正方形， ∴击中黑色区域的概率是． 11．“七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为________．（标点不计） 【答案】 【分析】先统计去掉标点后的总汉字数，再统计其中数词的个数，根据概率公式计算结果． 【详解】解：去掉标点后，这句诗词共有汉字：七、八、个、星、天、外、两、三、点、雨、山、前，总个数为， 其中属于数词的是七、八、两、三，总个数为， 数词出现的概率为． 12．有一个正方体，其中个面涂成红色，个面涂成黄色，剩下的面涂成绿色，将其抛出，黄色面朝上的可能性是________． 【答案】 【分析】正方体抛出后每个面朝上的可能性相等，用黄色面的数量除以总面数，即可得到所求可能性． 【详解】解：∵正方体共有个面，其中黄色面的数量为，每个面朝上的可能性相等， ∴黄色面朝上的可能性为 ． 13．事件“一个三角形三个内角的和小于”属于__________事件． 【答案】不可能 【分析】根据三角形三个内角的和等于，即可求解． 【详解】解：事件“一个三角形三个内角的和小于”属于不可能事件． 14．从拼音“”的所有字母中随机抽取一个字母，抽到字母“z”的概率为_________． 【答案】 【分析】共计有8个字母，只含有1个字母“z”，直接用简单的概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意：抽到字母“z”的概率为：． 15．中国象棋是起源于中国的传统棋类益智游戏，共有32枚棋子，其中马有4枚，将所有棋子背面朝上打乱，从中随机抽取一枚棋子，抽到马的概率为________． 【答案】 【详解】解：抽到马的概率为． 素养提升 1．如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知符合题意的涂法有2种， 则概率为． 2．甲、乙、丙、丁四位同学参加校乒乓球单打比赛，通过抽签来确定对手，甲、乙两位同学恰好抽到同一组对打的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可从甲的对手的所有等可能情况入手分析，避免重复计数分组结果，简化计算． 【详解】解：甲的对手有乙、丙、丁共3种等可能的结果，其中甲与乙同组的结果有1种，故甲、乙恰好同组对打的概率为． 3．下列事件发生的概率为的是（     ） A．随意掷一枚质地均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上 B．今年冬天南宁会下雪 C．随意掷两枚质地均匀的标有数字的骰子，朝上面的点数之和为 D．一个转盘被均匀地分成个扇形，分别涂上红、白、黄、白的颜色，转动转盘，指针停在红色区域 【答案】C 【分析】找出不可能发生的事件即为概率为的事件． 【详解】解：对于选项A、B、D中的事件均有可能发生，概率不为，不符合题意； 对于选项C：每枚骰子朝上面的点数最小为，两枚骰子点数之和最小为，不可能为，概率为，符合题意． 4．小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 【答案】B 【分析】先计算不放回抽取两根竹签的数字和的取值范围，再根据随机事件的定义判断各选项． 【详解】解：不放回抽取两根竹签，数字和的最小值为，最大值为， ∵ 数字和小于3一定不发生， ∴ A是不可能事件，故A不符合题意； ∵ 数字和等于3可能发生，也可能不发生， ∴ B是随机事件，故B符合题意； ∵ 数字和等于8、大于8均一定不发生， ∴ C、D是不可能事件，故C、D不符合题意． 5．从正方形的四个顶点中，任取三个顶点连成三角形．把“这个三角形是等边三角形”记作事件M，下列判断正确的是（     ） A．事件M是不可能事件 B．事件M是必然事件 C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为 【答案】A 【详解】解：正方形的四条边长度相等，对角线长度大于边长.从四个顶点中任取三个连成三角形， 任意一个三角形的三边都包含两条正方形的边和一条对角线，三边长度不可能全部相等，即不可能是等边三角形， ∴事件是不可能事件． 6．在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 【答案】 【分析】先判断出5个数中无理数的个数，再根据概率公式计算抽到无理数的概率． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数； ∴5个数中，无理数共有2个，所有等可能的抽取结果共5种， ∴抽到无理数的概率为． 7．有五张正面分别标有数字，0，，2，8的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将五张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，以其正面数字作为的值，则点在第二象限的概率是________． 【答案】/ 【分析】根据第二象限点的坐标特征，本题横坐标已经满足第二象限要求，只需找出满足的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于，已知点为，横坐标，已经满足条件， ∴只要，点就在第二象限， ∵总共有种等可能的的取值结果，其中满足的结果有，，，共种， ∴所求概率． 8．从，0，1，2中任取一个数作为m，使得二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是___________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据二次函数与轴有两个不同交点的条件找出符合要求的的个数，最后计算概率． 【详解】解：从，，，中任取一个数，共有种等可能的结果． 二次函数的图象与轴有两个不同交点，需满足根的判别式． 对于，，，， 可得：， 令，即， 解得． 在给出的个数中，满足的数为，，共种符合条件的结果． 因此所求概率为． 9．在一个不透明的口袋中装有除颜色外无其他差别的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下事件是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出1个球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有1个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 【分析】（1）口袋存在白球，但不是全部都是白球，结果不确定，属于随机事件． （2）非红球总数只有5个，抽取6个球，不可能全部不是红球，故此事件必然发生． （3）蓝球数量不足5个，无法拿出5个蓝球，故此事件不可能发生． 【详解】（1）解：口袋里有白球，也有红球、蓝球．取一个球，可能拿到白球，也可能拿不到． 所以这是随机事件； （2）解：蓝球加白球一共只有个，就算把全部蓝球、白球都取出，最多拿出5个不是红球的球，取第6个一定是红球，这件事一定发生，所以是必然事件； （3）解：口袋中蓝球只有3个，最多只能取出3个蓝球，不可能取出5个蓝球，这件事一定不会发生，所以是不可能事件． 10．一枚质地均匀的正八面体骰子的八个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8．投掷这枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果． (1)掷得“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (2)掷得的数不是“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (3)掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ 【答案】(1)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字为“7”出现的可能性为． (2)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字不为“7”出现的可能性为． (3)；这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字小于或等于“6”出现的可能性为． 【分析】（1）（2）（3）先确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，再利用概率公式求概率，然后根据概率的意义即可解答． 【详解】（1）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中7的结果数为1， ∴掷得“7”的概率是，这个数值表示：投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字为“7”出现的可能性为． （2）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中不是7的结果数为7， ∴掷得的数不是“7”的概率是，这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字不为“7”出现的可能性为． （3）解：在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，共有8种等可能结果，其中小于或等于“6”的结果数为6， ∴掷得的数小于或等于“6”的概率是，这个数值表示投掷这枚正八面体骰子，朝上面所标数字小于或等于“6”出现的可能性为． 迁移创新 1．探究： （1）请仔细观察，写出第个等式； （2）若，，，分别表示上述第2~5个等式的值，从，，，中随意抽出一个数，求该数能被8整除的概率； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据已知规律写出即可； （2）根据题意可得、，， ，据此得到能被8整除的概率即可； （3）写出第1001个等式，将这些等式相加，整理即可得出答案． 【详解】解：（1）第个等式为； （2）由题意、，， ．其中，，能被8整除， ∴P（能被8整除）； （3） ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，简单的概率的计算，理解题意，找到的关系是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十四章 随机事件的概率 34.1 随机事件与概率 课标要点 1.通过实例感受简单随机现象，能识别必然事件、不可能事件、随机事件。 2.了解概率的意义，知道可以用概率刻画随机事件发生可能性的大小。 3.能在等可能试验中，利用古典概型公式计算简单随机事件的概率。 4.了解概率取值范围，理解P=0对应不可能事件，P=1对应必然事件。 学习重难点 重点： 1.区分必然事件、不可能事件、随机事件。 2.理解概率的定义，运用古典概型公式计算简单事件的概率。 难点： 1.判断一个试验是否属于等可能试验，识别不是等可能的误区。 2.理解概率只是对可能性大小的刻画，概率大不代表一定发生、概率小不代表一定不发生。 知识点 事件的分类 在一定条件下，对某种现象进行观察或试验，其结果称为事件。按结果是否确定，事件分为确定性事件与随机事件两类。 1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。例如「太阳从东方升起」「标准大气压下，水加热到 100 ℃ 沸腾」「任意画一个三角形，其内角和是 180°」。 1. 不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件。例如「掷一枚骰子，向上一面的点数是 7」「在只装红球的袋中摸出白球」「两个负数相加得正数」。 1. 确定性事件：必然事件与不可能事件统称为确定性事件，其发生与否事先就能确定。 1. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。例如「掷一枚硬币，正面朝上」「明天会下雨」「投篮一次命中」。 用集合的观点看，若把「一定发生」记为必然、把「一定不发生」记为不可能，则随机事件恰好落在两者之间，其发生带有偶然性。 事件类型 发生与否 典型例子 概率取值（后续学习） 必然事件 一定发生 三角形内角和为 180° 不可能事件 一定不发生 骰子掷出 7 点 随机事件 可能发生也可能不发生 掷硬币正面朝上 特别提醒 1.「一定条件」是判断的前提，条件改变，事件类型可能随之改变。例如「水沸腾」在标准大气压下是必然事件，在高原低气压环境下加热到 90 ℃ 也可能沸腾，条件不明确时不能简单下结论。 2.判断事件类型要看「是否一定发生」，而不是看「是否已经发生」或「是否经常发生」。某事件这一次没有发生，并不说明它不是必然事件；某事件经常发生，也不等于必然事件。 3.「可能性大」与「必然发生」是两回事。随机事件的可能性有大小之分，但无论可能性多大，都不能断言一定发生。 4.不要把「随机事件」与「发生次数少的事件」混为一谈，随机事件的关键特征是结果事先不能确定。 随学随练 1．下列事件为必然事件的是（    ） A．购买两张彩票，一定中奖 B．太阳东升西落 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．三角形三个内角和小于 2．下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放天气预报 B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球 C．今年的除夕夜会下雪 D．任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有6次 3．下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 知识点 随机事件发生的可能性有大小 随机事件虽然结果不确定，但不同随机事件发生的可能性往往不同，可以用「可能性大」「可能性小」作定性比较。 1. 比较依据：在相同条件下，某结果在全部可能结果中所占的比例越大，该事件发生的可能性越大。 1. 典型情境：袋中装有 5 个红球、1 个白球，除颜色外完全相同，任意摸出一个球，「摸到红球」的可能性比「摸到白球」大；掷一枚质地均匀的骰子，「点数大于 4」的可能性比「点数是 6」大。 1. 定性排序：必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件的可能性介于二者之间。 特别提醒 1.比较可能性大小必须在「相同条件、同一试验」下进行，条件不同不能直接比较。 2.「可能性大」只是定性描述，不能等同于具体数值；要把可能性大小量化，需要引入概率。 3.摸球、抽签等问题中，若各球除颜色外完全相同，则每个球被摸到的机会相等，这是比较可能性的隐含前提；球的大小、质地不同则不满足该前提。 随学随练 1．下列成语所反映事件中，发生的可能性最大的是（     ） A．竹篮打水 B．水中捞月 C．守株待兔 D．水涨船高 2．欢欢和园园抛豆子玩游戏，每人都有3颗豆子，每局每人可以随机抛出1-3颗（且抛出1-3颗豆子的可能性相同），如果两人抛出的豆子数的和是奇数则欢欢赢，如果和是偶数则是园园赢．那么两人谁赢的可能性大（  ） A．欢欢大 B．园园大 C．两人一样大 D．无法确定 3．同时掷两枚质地均匀的骰子，将朝上的两个点数相加，则“点数之和”出现可能性最大的是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 知识点 概率的意义 一般地，对于一个随机事件 ，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 发生的概率，记作 。 1. 取值范围：任何事件 的概率都满足 。 1. 必然事件的概率为 1，即 ；不可能事件的概率为 0，即 。 1. 事件发生的可能性越大，其概率越接近 1；可能性越小，其概率越接近 0。 1. 概率是事件本身的属性，由试验条件决定，不因某一次试验结果而改变。 特别提醒 1.概率是「可能性大小」的数值刻画，不是「一定发生」的保证。概率为 0.99 的事件仍可能不发生，概率为 0.01 的事件仍可能发生。 2.概率不等于频率。频率是试验结果统计出来的比值，随试验次数变化；概率是确定的数值，频率在大量重复试验下稳定于概率附近。 3.概率不能理解为「几次试验中发生的次数」。例如某事件概率为 ，并不意味着做 6 次试验恰好发生 1 次。 4.概率的取值范围是闭区间 ，写成百分数时为 ，不会出现大于 1 或小于 0 的概率。 。 随学随练 1．盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（     ） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小 2．下列说法正确的是（     ） A．概率为0的事件可能发生 B．相等的圆心角对应的弧不一定相等 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．要满足分式的值为0，分子为0即可 3．下列事件中，概率最大的是（     ） A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 4．下列说法中，正确的是（） A．2033年1月27日杭州会下雪是随机事件 B．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 C．概率很小的事情不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 拓展概率是长期趋势下的稳定值，区分概率与单次结果 核心探究：概率描述的是随机事件在大量重复试验下可能性的稳定大小，不控制单次试验的结果。 规律总结：P(A)接近 1，只是发生的机会大，单次未必发生；P(A)接近 0，只是发生机会很小，单次仍有可能发生；概率不能用来预判某一次确定结果。 探究延伸：可结合实例理解，如中奖率，买一张不是一定不中奖；命中率 0.9，下一次也可能投失。 破除确定性思维，建立随机观念，能用概率思维理性看待生活中的抽奖、预报等随机现象。 活学活用 1．下列说法中正确的是（    ） A．抛掷质地均匀的硬币100次，必然有50次正面朝上 B．在不透明的口袋中装有1只红球、5只白球（除颜色外其余都相同）搅匀后从中任意摸出一个球，摸出的一定是白球 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数为奇数与朝上的点数为偶数的概率相等 D．某种福利彩票中奖的概率是，买100张该种彩票一定能中奖 2．在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 3．下列说法正确的是（    ） A．367人中至少有2人生日相同 B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是 C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨 D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中 题型 判断事件的类型 解题贴士 先读懂语句描述，结合实际情境分析事件能否确定发生；一定发生是必然事件，一定不发生是不可能事件，有可能发生也有可能不发生的是随机事件，注意区分客观事实与主观猜想。 ▌例1下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．年全年有天 B．任意一个三角形，其内角和是 C．下个月，芒市将下一场雨 D．射击运动员射击一次，命中靶心 ▌对点练1-1．．“走在路上遇到同班同学”，这个事件是（     ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 ▌对点练1-2“成语”承载着丰富的历史和文化内涵．①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨，上述成语描述的场景为不可能事件的是________．（填序号） ▌对点练1-“据今晚的天气预报，泰山区明天的最高气温是28摄氏度”这一事件是_____．（填随机事件、必然事件或不可能事件） 题型 比较随机事件发生可能性大小解题贴士 在同一试验中，先统计各事件包含的等可能结果数量，包含结果越多，发生可能性越大；若试验结果不等可能，则不能单纯依靠结果个数比较。 ▌例1下列四个随机事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一个质地均匀的骰子，朝上的点数是3 C．从52张扑克牌（无大小王）中随机抽一张，抽到红桃 D．从1~10这10个整数中随机抽一个，抽到数字6 ▌对点练1-1在下列事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．在平原地区用普通水壶烧开水时，水沸腾的温度为 B．一位专业射击运动员在无风条件下射靶，一次命中10环 C．太原市1月15日的最高温度为 D．用长为，，三根木棒做成一个三角形 ▌对点练1-2袋中有个除颜色外其余均相同的球，其中个红球，个蓝球，从中任意摸一个，摸到___________球的可能性大． 题型判断试验是否满足等可能性 解题贴士 先看试验结果是否有限，再判断每一个结果出现的机会是否均等；只有同时满足结果有限、机会均等两个条件，才符合古典概型的等可能要求。 ▌例1抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 ▌对点练1-1下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 ▌对点练1-2用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 ▌对点练1-3在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 题型 概率意义辨析题 解题贴士 概率刻画的是大量重复试验下事件发生可能性的稳定大小，概率大不代表本次一定发生，概率很小也不代表一定不会发生，不能用概率预判单次试验结果。 ▌例1根据天气预报，某市明天下大雨的概率是．下列说法正确的是（     ） A．该市明天将有的地区下大雨 B．该市明天将有的时间下大雨 C．该市明天下大雨的可能性较大 D．该市明天肯定会下大雨 ▌对点练1-1下列说法正确的是（   ） A．一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏一定会中奖 B．了解某班同学的身高情况适合用全面调查 C．数据2、3、4、2、3的众数是2 D．甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是，，则甲组数据更稳定 ▌对点练1-2关于概率意义的理解，下列说法正确的是（   ） A．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是． B．中国星网星座计划中，某批次卫星发射成功概率为0.95，则发射100颗该批次卫星，一定会有95颗成功入轨． C．小明做了2次抛掷均匀硬币的试验，结果两次正面朝上，他认为再抛一次一定是反面朝上． D．据行业报告，2026年我国智能算力占比有望突破，但对于某一家具体企业而言，其智能算力占比可能远高于或远低于这一数值． ▌对点练1-3小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是 _____（填“对”或“错”）． 题型 直接求概率 解题贴士 确认试验属于等可能试验，先算出全部等可能结果总数，再找出符合事件要求的结果数，代入公式P(A)=计算，最后化简分数。 ▌例1一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图所示是一条线段，的长为5厘米，的长为1厘米，假设可以随意在线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2在4张完全相同的卡片上分别写上数字1，2，3，4，从中任意抽出一张，抽出标有数字为4的卡片的概率为________． ▌对点练1-32026年暑假期间，小鸣从《奥德赛》《空枪》《八仙》《牛来》四部影片中随机选一部观看，则他恰好选到《奥德赛》的概率为________． 题型 根据概率求数量 解题贴士 设未知量，依据概率公式列出方程，结合已知概率、总数量列式求解，算出结果后要检验，保证数量为符合实际的非负整数。 ▌例1从某班学生中随机选一名学生是女生的概率是，则该班女生与男生的人数比是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 ▌对点练1-2围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是_________个． ▌对点练1-3已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是__________． 题型 几何概率的计算 解题贴士 几何概率以区域度量（长度、面积、体积）代替基本结果个数，先求出全部区域度量和事件对应区域度量，再用两者的比值计算概率，注意找准有效区域。 ▌例1如图，一个圆形飞镖盘被等分成8个扇形，若每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则随机投掷一次飞镖，恰好扎中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（      ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． ▌对点练1-3一只蚂蚁在如图所示边长为2的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为______． 基础通关 1．下列事件是必然事件的是（     ） A．投掷一枚硬币，正面朝上 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．买一张彩票，一定会中奖 D．任意一个三角形都有外接圆 2．下列事件属于随机事件的是（     ） A．太阳从东方升起 B．标准大气压下水在沸腾 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．三角形内角和为 3．下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 4．下列说法正确的是（     ） A．“宇航员在月球上所受的重力比在地球上小”是不可能事件 B．“今天是周一，明天是周三”是随机事件 C．“将三个球放进两个盒子里，其中必有一个盒子中有两个球”是必然事件 D．“若x是任意实数，则”是随机事件 5．下列说法错误的是（    ） A．随机事件的概率介于0与1之间 B．“明天降雨的概率是”表示明天有一半的时间降雨 C．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天 D．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或黄灯 6．下列说法正确的是（     ） A．任何数的0次幂都等于1 B．某彩票中奖率是，买100张彩票一定有一张中奖 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 7．某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 8．不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（     ） A．1 B． C． D． 9．一个不透明盒子中装有除颜色外其他都相同的20颗蓝色幸运星，颗红色幸运星和15颗黄色幸运星（已搅匀），若小明在盒子中随机摸出一颗幸运星，则摸到红色幸运星的概率为______． 10．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____． 11．“七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为________．（标点不计） 12．有一个正方体，其中个面涂成红色，个面涂成黄色，剩下的面涂成绿色，将其抛出，黄色面朝上的可能性是________． 13．事件“一个三角形三个内角的和小于”属于__________事件． 14．从拼音“”的所有字母中随机抽取一个字母，抽到字母“z”的概率为_________． 15．中国象棋是起源于中国的传统棋类益智游戏，共有32枚棋子，其中马有4枚，将所有棋子背面朝上打乱，从中随机抽取一枚棋子，抽到马的概率为________． 素养提升 1．如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 2．甲、乙、丙、丁四位同学参加校乒乓球单打比赛，通过抽签来确定对手，甲、乙两位同学恰好抽到同一组对打的概率是（     ） A． B． C． D． 3．下列事件发生的概率为的是（     ） A．随意掷一枚质地均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上 B．今年冬天南宁会下雪 C．随意掷两枚质地均匀的标有数字的骰子，朝上面的点数之和为 D．一个转盘被均匀地分成个扇形，分别涂上红、白、黄、白的颜色，转动转盘，指针停在红色区域 4．小木筒内装有四根相同的竹签，竹签上分别标有数字1，2，3，4．从小木筒中随机抽取一根竹签后，再从剩余的竹签里抽取一根，则下列事件为随机事件的是（      ） A．两根竹签的数字之和小于3 B．两根竹签的数字之和等于3 C．两根竹签的数字之和等于8 D．两根竹签的数字之和大于8 5．从正方形的四个顶点中，任取三个顶点连成三角形．把“这个三角形是等边三角形”记作事件M，下列判断正确的是（     ） A．事件M是不可能事件 B．事件M是必然事件 C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为 6．在张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是________． 7．有五张正面分别标有数字，0，，2，8的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将五张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，以其正面数字作为的值，则点在第二象限的概率是________． 8．从，0，1，2中任取一个数作为m，使得二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是___________． 9．在一个不透明的口袋中装有除颜色外无其他差别的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下事件是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出1个球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有1个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球． 10．一枚质地均匀的正八面体骰子的八个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8．投掷这枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果． (1)掷得“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (2)掷得的数不是“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ (3)掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？ 迁移创新 1．探究： （1）请仔细观察，写出第个等式； （2）若，，，分别表示上述第2~5个等式的值，从，，，中随意抽出一个数，求该数能被8整除的概率； （3）计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $