专题34.2 用列举法求概率（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题34.2 用列举法求概率 知识点一、概率基础公式 2 知识点二、列举法适用条件 2 知识点三、直接列举法（枚举法） 2 知识点四、列表法 2 知识点五、画树状图法 2 知识点六、放回试验 vs 不放回试验 2 知识点七、常见易错点 3 【题型1 几何概率】 3 【题型2 列举法求概率】 6 【题型3 列表法或树状图求概率】 8 【题型4 游戏的公平性】 11 【题型5 利用概率计算随机事件发生的平均次数】 14 【题型6 概率在转盘抽奖中的应用】 16 【题型7 概率在比赛中的应用】 19 【题型8 概率的其他应用】 23 【探究式学习】 27 【课后检测】 31 【复盘笔记】 41 知识点一、概率基础公式 一般地，如果在一次试验中，有(n)种等可能的结果，事件(A)包含其中的(m)种结果，那么事件(A)发生的概率： ，；必然事件P=1，不可能事件P=0。 知识点二、列举法适用条件 一次试验中，所有可能出现的结果数目有限，且各种结果发生的可能性相等，可以使用列举法求概率。 知识点三、直接列举法（枚举法） 适合试验结果数量较少的情况，把所有可能结果一一罗列，数出总结果数n与符合事件的结果数m，代入公式计算。 注意：区分有序、无序，防止重复或遗漏。 知识点四、列表法 适用：一次试验包含两个因素，结果较多，直接列举容易混乱。 步骤： 1. 分清两个试验要素，横向、纵向分别列出所有情况； 2. 列出表格，写出全部等可能结果； 3. 统计总结果数与事件包含结果； 4. 代入概率公式求值。 提示：放回、不放回试验表格结果不一样，审题重点。 知识点五、画树状图法 适用：一次试验有2个或更多因素（3个及以上优先树状图）。 步骤： 1. 按试验顺序分层画出分支； 2. 顺着分支写出每一种等可能结果； 3. 计数，计算概率。 知识点六、放回试验 vs 不放回试验 1. 放回：取出一个，记录后放回去，再次抽取，前后两次可选对象不变，结果允许重复； 2. 不放回：取出后不再放回，下一次总数减少，不会出现重复抽取同一对象。 知识点七、常见易错点 1. 不是等可能的结果，不能直接用； 2. 列表、树状图容易混淆有序与无序，漏解、重复计数； 3. 审题忽略“放回/不放回”条件，直接套用模型导致答案错误； 4. 列举时只看事件，没有写出全部等可能结果。 【题型1 几何概率】 【例1】如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，连接，随机在内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的面积为，由和，得出，进而得到，由推出，结合证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得出，因此，接着根据、，判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线平分面积的性质，得到，即，最后用阴影区域的面积除以的总面积，即可求出针扎到阴影区域内的概率． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴P（针扎到阴影区域内）． 【变式1-1】如图，倒马井位于徐州市泉山区夹河街西侧，其井壁外壁为正八边形，内壁为圆形，且圆与四边形各边均相切．若雨滴落在井口区域各点的机会相等，则雨滴落在圆形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，进一步可得，如图，令正八边形的中心为点O，连接，，交于点P，设，再进一步求解即可． 【详解】解：∵多边形为正八边形， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形， 如图，令正八边形的中心为点O，连接，，交于点P，设， ，， ， ， ∴P（雨滴落在圆形区域内）． 【变式1-2】从正方形四个顶点及其中心这五个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查古典概型的概率计算，先求出任取个点的总情况数，再找出满足距离条件的情况数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设正方形的四个顶点为，中心为， 从这个点中任取个点，一共有种不同的取法：， 其中这个点的距离不小于该正方形边长的取法共有种： 所求概率 ． 故选：A． 【变式1-3】二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在白色阴影的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（   ） . A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，几何概率，解题的关键是掌握大量重复试验下频率的稳定值即为概率值． 根据大量重复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右， ∴点落在黑色阴影的概率为0.6， ∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6， ∵二维码打印在面积为的正方形纸片上， ∴黑色阴影的面积为． 【题型2 列举法求概率】 【例2】如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举随机闭合两个开关的所有可能情况，分析每种情况下的电路通断及灯泡发光情况，利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中能让两个灯泡同时发光的情况为同时闭合，，有种情况， ∴能让两个灯泡同时发光的概率为． 【变式2-1】现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明确颜色都变化即两种溶液均能使酚酞变红，通过作树状图得到所有等可能结果，结合概率公式求解即可． 【详解】解：将蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，其中能使酚酞溶液变色的是，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中颜色恰好都发生变化的结果有2种， ∴所求概率为． 【变式2-2】有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字，，，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为的概率为，那么第四个小球上的数字是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先计算所有等可能结果数，结合概率得出和为的结果数，再分类讨论第四个球的数字，即可得出答案． 【详解】解：设第四个小球上的数字为，画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能结果， ∵两人摸得数字之和为8的概率为， ∴和为的结果有（种）， ∵其中三个小球上面分别标有数字，，，仅两次都摸到标的球时和为，对应种结果， ∴要使和为的结果有种时，需， 当时，和为的结果有种，不符合题意， 当时，和为的结果有种，符合题意， 当时，和为的结果有种，符合题意， ∴第四个小球上的数字是或． 【变式2-3】甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中个小球上恰好有个元音字母的结果有种， 则个小球上恰好有个元音字母的概率是． 【题型3 列表法或树状图求概率】 【例3】色光三原色（）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正确地画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【详解】 由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种， ∴将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为． 【变式3-1】如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意列表列举所有等可能结果，再根据事件概率的计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： E F G H A B C D 共有16种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的等可能结果分别是，，，，共4种，所以两人恰好选中同一根绳子的概率是． 【变式3-2】如图，转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为平面直角坐标系中点M的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，认为指向左侧扇形的数字，则点M落在直线下方的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用画树状图或列表，把点M的坐标的16种情况都表示出来，再找出落在直线y=x下方的点的数量，根据概率公式计算即可． 【详解】解：设点， 由题意，列表为 1 2 3 4 1 2 3 4 由表可得，点M共有16种等可能情况，其中点M落在直线下方的有，，，，，共6种情况， 所以点M落在直线下方的概率为． 【变式3-3】小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，两人选择的数字不能重复，然后两人各转动一次转盘（如图，转盘被分成5个面积相等的扇形），选择的数等于两人转得的数字之和的人为获胜者．如果两人选择的数都不等于转得的数字之和，那么就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，则为了获胜应选择的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，判断即可得解． 【详解】解：列表可得： 小新 小颖 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中出现的次数最多，为次，即选择获胜的概率最大， 故如果你是游戏者，你获胜选择的数是． 【题型4 游戏的公平性】 【例4】为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子最适当的位置是在的（     ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【答案】C 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质进行分析即可作答． 【详解】解：要使游戏公平，需凳子到三个顶点的距离相等． ∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴凳子应放在三边垂直平分线的交点处． 【变式4-1】用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 【变式4-2】甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（  ）    A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答． 【详解】列表如下：    总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种， 指针指向的数的和为正数的概率为：； 指针指向的数的和为非正数的概率为：； ∵，概率相同， ∴甲、乙获胜的概率相同， 即游戏对二人公平， 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式4-3】有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】A 【分析】利用列表法分别求出各选项中各自情况情况数即可得出答案． 【详解】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意； 取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意； 取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意； 取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键． 【题型5 利用概率计算随机事件发生的平均次数】 【例5】工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 (1)表格中m的值为_____，n的值为_____． (2)任抽一件该产品是合格品的频率稳定在_____，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为_____． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】(1)475，0.95 (2)0.95，0.05 (3)估计要在他奖金中扣除42元材料损失费 【分析】（1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解； （2）观察表格数据可知，随着抽取件数的增加，合格的频率稳定在0.95左右，可得不合格品的概率为0.05； （3）用每件不合格产品扣除的费用乘以被抽检出不合格产品的数量，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， ∴估计该产品合格的概率为0.95， ∴估计该产品不合格的概率为． （3）解：（元） 答：估计要在他奖金中扣除42元材料损失费． 【变式5-1】在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 【变式5-2】为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 【答案】（1）10；35；（2）；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8，甲好． 【分析】（1）根据题意可求a+b=45，由的估计值为0.70，则解方程求出b，再求a即可； （2）根据样例给定的方法求即可； （3）由甲离子中位数5.96.3，甲离子众数6.06.3，从甲离子方差看甲离子方差1.381.8做决策即可． 【详解】解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45， 因为的估计值为0.70， 则， 解得b=35，a=45-b=45-35=10， 故答案为：10；35； （2）； （3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.96.3，甲好，甲离子众数6.06.3，甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方差1.381.8说明甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好． 【点睛】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数据，平均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键． 【变式5-3】王铮擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，王铮左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．规则如下：连续掷硬币三次，若两次正面朝上，一次正面朝下，则入足球阵营；若两次反面朝上，一次反面朝下，则入篮球阵营． (1)用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果； (2)这个规则对两个球队是否公平?为什么? 【答案】(1)画树状图如图． (2)公平．理由如下： ∵两次正面朝上，一次正面朝下有3种结果，概率为；两次反面朝上，一次反面朝下有3种结果，概率为， ∴P（去足球队）（去篮球队）． ∴这个规则对两个球队公平． 【分析】（1）根据题意画树状图即可； （2）分别求出去两个球队的概率，即可解答； 【详解】（1）略 （2）略 【题型6 概率在转盘抽奖中的应用】 【例6】用力旋转如图所示的甲、乙两个转盘的指针，想一想，哪个转盘的指针停下后指向深绿色的概率比较大？再用重复试验的方法检验一下自己的想法是否正确． 【答案】这两个转盘的指针停下后指向深绿色的概率相同 【分析】分别计算出两个转盘指针停下后指向深绿色的概率，即可得结论． 【详解】解：∵甲转盘等分成6个扇形，其中深绿色区域占3份， ∴指针停下后指向深绿色的概率为， ∵乙转盘等分成2个扇形，其中深绿色区域占1份， ∴指针停下后指向深绿色的概率为， ∵， ∴这两个转盘的指针停下后指向深绿色的概率同样大． 【变式6-1】小明在一次数学活动课上制作了一个质地均匀的抽奖转盘，如图所示，盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字，，分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为______． 【答案】 【分析】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：有个，共有种情况， 故转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为． 【变式6-2】如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 【变式6-3】2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 【题型7 概率在比赛中的应用】 【例7】两人用一枚质地均匀的骰子做游戏，游戏规则如下：每人从中任意选择一个数，然后两人各掷一次骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．做若干次游戏，你有哪些经验？ 【答案】优先选择数字7，获胜概率最高，数字越接近7，获胜概率越高，越远离7，获胜概率越低． 【分析】列举两人掷骰子点数之和的所有等可能结果，统计每个和的出现次数，比较各数对应的获胜概率，总结选择规律． 【详解】解：∵单次掷一枚骰子，点数有共6种等可能结果， ∴两人各掷一次骰子，共有种等可能的结果． 统计不同点数和对应的结果数： 和为2：1种； 和为3：2种； 和为4：3种； 和为5：4种； 和为6：5种； 和为7：6种； 和为8：5种； 和为9：4种； 和为10：3种； 和为11：2种； 和为12：1种； ∴选择数字7的获胜概率为，是所有数字中最高的，且数字越靠近7，对应获胜概率越高，越远离7，获胜概率越低． 【变式7-1】为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】(1)500， (2)40； (3)解：此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）． 又∵， 此规则不合理． 【分析】（1）利用“总数量部分数量对应百分比”，即可解答；利用“圆心角的度数”，即可得出答案； （2）根据题意先求出“B”等级的人数，据此即可补全条形统计图；进一步得出“B”等级所占百分比，即可得出m的值； （3）根据题意画出树状图，得出所有可能出现的结果，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，总人数为：（人）， “D”等级所占圆心角的度数为． （2）解：由题意得，“B”等级的人数为：（人）， ∴“B”等级所占百分比为：，   ∴； 图略． （3）略 【变式7-2】某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【答案】不公平，理由如下： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，质数有2，3，5，7；被5整除的数有5，10， ∴小丽去的概率为，小华去的概率为． ∵， ∴这个游戏不公平． 游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 【分析】分别计算小丽去的概率和小华去的概率，若概率相等则公平，若概率不相等则不公平；要修改游戏规则达到对双方公平的目的，则应使小丽去的概率和小华去的概率相等． 【详解】解：游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，奇数有1，3，5，7，9；偶数有2， 4， 6， 8， 10； ∴小丽去的概率为，小华去的概率为， ∴游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去，才能对双方公平． 【变式7-3】现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1 、2、3、4、5、6． (1)小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率． (2)你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由． (3)目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析； (3)见解析 【分析】（1）根据求出的6个取值对应的值，再根据甲获胜的情况求出概率即可； （2）由甲获胜的概率小于乙获胜的概率分析即可； （3）三个人同时玩的公平游戏，即三个人获胜的概率相等，据此设计游戏即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 当时，， 其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜， 甲获胜的概率为． （2）解：不公平， 理由：由（1）可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率明显小于乙获胜的概率，所以游戏不公平； （3）解：规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜． 【题型8 概率的其他应用】 【例8】小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘等分，分别标上至九个数字，随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动． (1)转盘转到奇数的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． (3)请你利用这个转盘，设计一个新的对双方都公平的游戏规则． 【答案】(1)； (2)不公平，由题意可知，共有 9 种等可能的结果，其中转到偶数的结果有种，即，，，转盘转到偶数的概率是，由（1）可知，转盘转到奇数的概率是， ，所以这个游戏不公平； (3)新的对双方都公平的游戏规则为：若转到的数大于，小明去参加活动；若转到的数小于，小强去参加活动(若转到的数是时重转)． 【分析】（1）根据转盘能转到种等可能的结果，其中转到奇数的结果有种，即可解答； （2）利用概率公式计算出小明和小强去参加活动的概率，再比较判断； （3）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，通过修改游戏规则，使得对双方都公平． 【详解】（1）解：由题意可知，共有种等可能的结果，其中转到奇数的结果有种，即，，，，， 转盘转到奇数的概率是； （2）略 （3）新的对双方都公平的游戏规则为：若转到的数大于，小明去参加活动；若转到的数小于，小强去参加活动(若转到的数是时重转)； 理由如下： 转到的数大于的结果有种，转到的数小于的结果有种， 小明去参加活动的概率，小强去参加活动的概率， 小明去参加活动的概率等于小强去参加活动的概率， 所以这个新的游戏规则对双方都公平． 【变式8-1】在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． (1)用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； (2)求出获奖的概率； (3)如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？ 【答案】(1)解：列表如下，共有种等可能的结果数； 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (2) (3)元 【分析】（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可； （2）先找出两次都摸白球的结果数，再根据概率公式计算即可； （3）将摊主的收入减去送出奖品的金额，即可得到摊主的盈利情况． 【详解】（1）共有种等可能的结果数，表略； （2）解：由（1）可得，共有36种等可能的结果数，其中前后两次摸得的都是白球的结果数为9， 所以获奖的概率为； （3）解：（元）， 答：摊主可能会从这些人身上赚走元． 【变式8-2】的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【答案】A 【分析】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【详解】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 【变式8-3】商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1)； (2)选择方案一较为实惠． 【分析】本题主要考查了画树状图求某个事件发生的概率、根据概率选择方案． 画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况，一次抽奖获得折优惠的概率； 根据概率可知，如果选择方案二，顾客大概率可能只省元，如果选择方案一，顾客一定可以省元，选择方案一较为实惠． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况， 一次抽奖获得折优惠的概率； （2）解：如果先择方案二，则顾客打折的概率为， 打折的概率为， 打折的概率为， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 打折的概率是， 如果选择方案二，顾客大约可以省元， 如果选择方案一，顾客一定可以省元， 选择方案一较为实惠． 【探究式学习】 1．某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查： 【调查内容】 关于项目式学习活动的调查问卷问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选） ①绘制校园平面地图  ②读书长廊地面铺设设计  ③测量校园内旗杆高度 ④制定旅游最优路线  ⑤体育运动与心率的关系探究 问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选） A．查阅文献  B．上网查询  C．同伴合作  D．寻求指导  E．专业咨询问题 问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？ 【数据处理】 信息1：将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 信息2：将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表． 解决困难的方式 A B C D E 选择人数 32 41 33 35 28 信息3：问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济． 【分析应用】 根据调查信息，解答下列问题： (1)求参与调查的学生总数，并补全条形统计图； (2)若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数； (3)甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率． 【决策建议】 (4)假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议． 【答案】(1)参与调查的学生总数为50人，补全条形统计图如下： (2)采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410人 (3)两人恰好选择同一领域的概率为 (4)优先开设学生选择人数较多的主题②“读书长廊地面铺设设计”和主题④“制定旅游最优路线”，活动中多分组鼓励学生同伴合作探究．（言之有理即可） 【分析】（1）由图可知，主题①的人数为5人，对应占比为，据此即可求解参与调查的总人数，由主题⑤的占比为可得主题⑤的人数，再利用总数减去已知的人数可得主题③的人数，即可补全条形统计图； （2）根据采用“上网查询”的方式解决困难的占比即可求解； （3）通过列表可得一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况，即可求解； （4）根据抽查结果可知，选择主题②和主题④的占比更多，据此可以给出建议． 【详解】（1）解：参与调查的学生总数为（人）， 选择项目⑤的学生人数为(人)，选择项目③的学生人数为（人），补全条形统计图略． （2）解：（人）， ∴采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410人． （3）解：设分别用表示科技、交通、经济三个领域， 列表如下： A B C A B C 由表可得，一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况， ∴两人恰好选择同一领域的概率为． （4）略 2．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慈结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．八年级数学组组织了一项关于冬至节气包饺子及饺子馅成本探究的实践活动，现将八（5）班的学生作品进行评比，分为四个等级，并将评比结果绘制成以下两幅尚不完整的统计图： 请根据图中的信息解答下列问题： (1)补全两个统计图； (2)请求出等级所在扇形圆心角的度数； (3)现准备从等级的4人中随机抽取两人去参加比赛，小明和小丽都被抽到的概率是多少？ 【答案】(1) 补全统计图如下： (2) (3) 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，扇形统计图与条形统计图信息相关联，正确读懂统计图和熟知概率公式是解题的关键． （1）用A等级的人数除以其人数占比可得参与调查的人数，再求出C等级的人数和其人数占比，最后补全统计图即可； （2）用360度乘以C等级的人数占比即可得到答案； （3）画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小明和小丽都被抽到的结果数，最后依据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴一共调查了40人， ∴C等级的人数为（人）， ∴C等级的人数占比为 （2）解：等级所在扇形圆心角的度数为； （3）解：用E、F分别表示小明和小丽，G、H分别表示另外的两人，画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明和小丽都被抽到的结果数有2种， ∴小明和小丽都被抽到的概率为． 【课后检测】 1．学校要举办一场运动会，小文和小锋报名参加跳远比赛，预赛分，，三组进行，则小文和小锋恰好分到同一个组的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得两人恰好在同一组的概率． 【详解】解：如下图所示： 由图可得，共有9种等可能的结果，而小文和小锋恰好分在同一组的情况有三种， ∴小文和小锋恰好分到同一个组的概率为． 2．为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：两种方法： ①根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． ②用列表法，如下表所示： 第一名第二名 甲 乙 丙 甲 —— （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） —— （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） —— 由上表可知，所有可能出现的结果共有6种，并且它们出现的可能性相等，甲、乙同时被抽中（记为事件A）的结果有2种， ∴． 3．河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：记灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药分别为A、B、C、D， 由题意，列表如下． A B C D A － B － C － D － 由表可知共有12种等可能的结果，其中选中灵宝苹果和信阳毛尖的结果有2种， 则P（恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖）． 4．不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查放回试验的概率计算，可通过列表法得到所有等可能结果，再结合概率公式计算所求概率． 【详解】解：记白球为白，红球为红，根据题意列出所有可能结果如下： 白 红 白 （白，白） （红，白） 红 （白，红） （红，红） ∵ 一共有种等可能的结果，其中两次摸出都是白球的结果有种． ∴ 两次摸出都是白球的概率为． 5．粤剧是国家级非物质文化遗产，因写意象征，深受大众喜欢，正面印有粤剧经典剧目人物的四张卡片如图所示，它们除了正面外完全相同．把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用列表法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把昭君出塞卡片记为，帝女花卡片记为，紫钗记卡片记为，花木兰卡片记为， 树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率为：． 6．将分别标有“最”“美”“广”“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列出表格如下： 最 美 广 西 最 （最，美） （最，广） （最，西） 美 （美，最） （美，广） （美，西） 广 （广，最） （广，美） （广，西） 西 （西，最） （西，美） （西，广） 由表可知，一共有12种情况，两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的有2种情况， ∴两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的概率. 7．三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是． 8．围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子3个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出所有等可能的结果，再找出满足条件的结果，结合概率公式即可求解． 【详解】解：记3个黑子分别为黑1，黑2，黑3，1个白子为白，列表如下： 黑1 黑2 黑3 白 黑1 黑1，黑2 黑1，黑3 黑1，白 黑2 黑2，黑1 黑2，黑3 黑2，白 黑3 黑3，黑1 黑3，黑2 黑3，白 白 白，黑1 白，黑2 白，黑3 由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出1个黑子和1个白子的结果有6种， 摸出1个黑子和1个白子的概率为． 9．掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 【答案】D 【分析】通过列表法计算各选项概率即可得解． 【详解】解：列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能结果共有种，点数之和为的结果只有种， ∴点数之和为2的概率为． 对各选项逐一验证：当时，共种，，排除A； 当时，共种，，排除B； 当时，共种，，排除C； 当时，共种，，与点数和为2的概率相等． ∴． 10．如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数量，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种， 甲、乙两人座位相邻的概率为． 11．从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 【答案】 【分析】先计算小明和小华选车的所有等可能结果数，再计算两人同坐一辆车的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记三辆车分别为1， 2， 3， 根据题意画树状图得： 共有9种等可能的结果，其中两人同坐一辆车的结果数为3， ∴所求概率为 ． 12．一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 【答案】 【分析】先列表得到所有等可能的结果，再得出两次摸到的都是黑球的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：记两个红球分别为A，B，黑球为C，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的都是黑球的结果有1种， ∴两次摸到的都是黑球的概率为． 13．如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 【答案】 【分析】利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： 共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种， ∴能让灯泡发光的概率为． 14．现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为，，2，6，将四张卡片正面向下洗匀． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是_________； (2)随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为非负数的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，其中卡片上的实数是正数的结果有2种， 故. （2）解：由题意画出树状图如下： 共16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上实数之和为非负数的结果有10种， ∴. 15．一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率．（“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示） 【答案】抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率为 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的情况有种， ∴抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率为． 16．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； (2)请补全条形统计图，由图可知m的值为______； (3)初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】(1)500；210 (2)补全条形统计图为： (3)甲、乙同时被选中的概率为 【分析】（1）用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数； （2）根据C等级人数补全条形统计图；用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出甲、乙同时被选中的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：（名）， 所以该校初三共500名学生， 比赛成绩等级为C级的学生人数为（名）； （2）解：图略， D等级人数所占的百分比为， 所以； （3）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果数为2种， 所以甲、乙同时被选中的概率为． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题34.2 用列举法求概率 知识点一、概率基础公式 2 知识点二、列举法适用条件 2 知识点三、直接列举法（枚举法） 2 知识点四、列表法 2 知识点五、画树状图法 2 知识点六、放回试验 vs 不放回试验 2 知识点七、常见易错点 3 【题型1 几何概率】 3 【题型2 列举法求概率】 4 【题型3 列表法或树状图求概率】 4 【题型4 游戏的公平性】 5 【题型5 利用概率计算随机事件发生的平均次数】 6 【题型6 概率在转盘抽奖中的应用】 8 【题型7 概率在比赛中的应用】 9 【题型8 概率的其他应用】 11 【探究式学习】 12 【课后检测】 15 【复盘笔记】 18 知识点一、概率基础公式 一般地，如果在一次试验中，有(n)种等可能的结果，事件(A)包含其中的(m)种结果，那么事件(A)发生的概率： ，；必然事件P=1，不可能事件P=0。 知识点二、列举法适用条件 一次试验中，所有可能出现的结果数目有限，且各种结果发生的可能性相等，可以使用列举法求概率。 知识点三、直接列举法（枚举法） 适合试验结果数量较少的情况，把所有可能结果一一罗列，数出总结果数n与符合事件的结果数m，代入公式计算。 注意：区分有序、无序，防止重复或遗漏。 知识点四、列表法 适用：一次试验包含两个因素，结果较多，直接列举容易混乱。 步骤： 1. 分清两个试验要素，横向、纵向分别列出所有情况； 2. 列出表格，写出全部等可能结果； 3. 统计总结果数与事件包含结果； 4. 代入概率公式求值。 提示：放回、不放回试验表格结果不一样，审题重点。 知识点五、画树状图法 适用：一次试验有2个或更多因素（3个及以上优先树状图）。 步骤： 1. 按试验顺序分层画出分支； 2. 顺着分支写出每一种等可能结果； 3. 计数，计算概率。 知识点六、放回试验 vs 不放回试验 1. 放回：取出一个，记录后放回去，再次抽取，前后两次可选对象不变，结果允许重复； 2. 不放回：取出后不再放回，下一次总数减少，不会出现重复抽取同一对象。 知识点七、常见易错点 1. 不是等可能的结果，不能直接用； 2. 列表、树状图容易混淆有序与无序，漏解、重复计数； 3. 审题忽略“放回/不放回”条件，直接套用模型导致答案错误； 4. 列举时只看事件，没有写出全部等可能结果。 【题型1 几何概率】 【例1】如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，连接，随机在内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，倒马井位于徐州市泉山区夹河街西侧，其井壁外壁为正八边形，内壁为圆形，且圆与四边形各边均相切．若雨滴落在井口区域各点的机会相等，则雨滴落在圆形区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】从正方形四个顶点及其中心这五个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在白色阴影的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（   ） . A． B． C． D． 【题型2 列举法求概率】 【例2】如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字，，，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个小球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为的概率为，那么第四个小球上的数字是（     ） A． B． C．或 D． 【变式2-3】甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（     ） A． B． C． D． 【题型3 列表法或树状图求概率】 【例3】色光三原色（）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为平面直角坐标系中点M的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，认为指向左侧扇形的数字，则点M落在直线下方的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，两人选择的数字不能重复，然后两人各转动一次转盘（如图，转盘被分成5个面积相等的扇形），选择的数等于两人转得的数字之和的人为获胜者．如果两人选择的数都不等于转得的数字之和，那么就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，则为了获胜应选择的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型4 游戏的公平性】 【例4】为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子最适当的位置是在的（     ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【变式4-1】用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（  ）    A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测 【变式4-3】有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【题型5 利用概率计算随机事件发生的平均次数】 【例5】工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 (1)表格中m的值为_____，n的值为_____． (2)任抽一件该产品是合格品的频率稳定在_____，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为_____． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【变式5-1】在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【变式5-2】为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比． 按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：        离子残留百分比 分组 给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12 给服乙离子白鼠（只数） 5 a 15 b 20 15 （注：表中表示实验数据的范围为） 若记为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到的估计值为0.70． （1）_______；_______． （2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值． （3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．          离子残留百分比 分组 中位数 众数 方差 给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38 给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8 【变式5-3】王铮擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，王铮左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．规则如下：连续掷硬币三次，若两次正面朝上，一次正面朝下，则入足球阵营；若两次反面朝上，一次反面朝下，则入篮球阵营． (1)用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果； (2)这个规则对两个球队是否公平?为什么? 【题型6 概率在转盘抽奖中的应用】 【例6】用力旋转如图所示的甲、乙两个转盘的指针，想一想，哪个转盘的指针停下后指向深绿色的概率比较大？再用重复试验的方法检验一下自己的想法是否正确． 【变式6-1】小明在一次数学活动课上制作了一个质地均匀的抽奖转盘，如图所示，盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字，，分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为______． 【变式6-2】如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【变式6-3】2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【题型7 概率在比赛中的应用】 【例7】两人用一枚质地均匀的骰子做游戏，游戏规则如下：每人从中任意选择一个数，然后两人各掷一次骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负．做若干次游戏，你有哪些经验？ 【变式7-1】为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【变式7-2】某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【变式7-3】现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1 、2、3、4、5、6． (1)小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率． (2)你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由． (3)目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏． 【题型8 概率的其他应用】 【例8】小明和小强都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个转盘等分，分别标上至九个数字，随意转动一次转盘，若转到奇数，小明去参加活动；若转到偶数，小强去参加活动． (1)转盘转到奇数的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． (3)请你利用这个转盘，设计一个新的对双方都公平的游戏规则． 【变式8-1】在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． (1)用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； (2)求出获奖的概率； (3)如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？ 【变式8-2】的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【变式8-3】商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【探究式学习】 1．某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查： 【调查内容】 关于项目式学习活动的调查问卷问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选） ①绘制校园平面地图  ②读书长廊地面铺设设计  ③测量校园内旗杆高度 ④制定旅游最优路线  ⑤体育运动与心率的关系探究 问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选） A．查阅文献  B．上网查询  C．同伴合作  D．寻求指导  E．专业咨询问题 问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？ 【数据处理】 信息1：将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 信息2：将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表． 解决困难的方式 A B C D E 选择人数 32 41 33 35 28 信息3：问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济． 【分析应用】 根据调查信息，解答下列问题： (1)求参与调查的学生总数，并补全条形统计图； (2)若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数； (3)甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率． 【决策建议】 (4)假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议． 2．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慈结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．八年级数学组组织了一项关于冬至节气包饺子及饺子馅成本探究的实践活动，现将八（5）班的学生作品进行评比，分为四个等级，并将评比结果绘制成以下两幅尚不完整的统计图： 请根据图中的信息解答下列问题： (1)补全两个统计图； (2)请求出等级所在扇形圆心角的度数； (3)现准备从等级的4人中随机抽取两人去参加比赛，小明和小丽都被抽到的概率是多少？ 【课后检测】 1．学校要举办一场运动会，小文和小锋报名参加跳远比赛，预赛分，，三组进行，则小文和小锋恰好分到同一个组的概率是（     ） A． B． C． D． 2．为激发学生对科技的浓厚兴趣，弘扬科学精神，某校开展了“机器人科普讲座”活动，需要两名志愿者维持秩序，准备从甲、乙、丙三人中随机抽取，则甲、乙同时被抽中的概率为（     ） A． B． C． D． 3．河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 4．不透明袋子中有1个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是白球的概率是（     ） A． B． C． D． 5．粤剧是国家级非物质文化遗产，因写意象征，深受大众喜欢，正面印有粤剧经典剧目人物的四张卡片如图所示，它们除了正面外完全相同．把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（     ） A． B． C． D． 6．将分别标有“最”“美”“广”“西”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“广西”的概率是（     ） A． B． C． D． 7．三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 8．围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子3个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（     ） A． B． C． D． 9．掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 10．如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 11．从地前往地有三辆车可以选择，则小明和小华同坐一辆车的概率_______． 12．一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 13．如图，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________________________． 14．现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个实数，分别为，，2，6，将四张卡片正面向下洗匀． (1)随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是_________； (2)随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数．请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上实数之和为非负数的概率． 15．一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“丽”“清”“远”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“清”、1张为“远”的概率．（“美”“丽”“清”“远”四张卡片分别用A、B、C、D表示） 16．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； (2)请补全条形统计图，由图可知m的值为______； (3)初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 41 页 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $