33.2 三视图（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十三章 投影与视图 33.2 三视图 课标要点 1.通过实例了解视图的意义，理解三视图的概念，掌握三视图 “长对正、高平齐、宽相等” 的基本规律。 2.能画出简单几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）及其简单组合体的三视图。 3.能根据三视图描述、想象对应的几何体或实物原型。 4.经历从立体到平面、平面到立体的转化过程，发展空间观念，能利用视图解决简单的实际问题。 学习重难点 重点： 1.三视图的概念，三视图之间 “长对正、高平齐、宽相等” 的关系。 2.画简单几何体、简单组合体的三视图；识别常见几何体的三视图。 难点： 1.理解 “宽相等”，画图时准确把握几何体左右、前后的宽度，规范虚线（看不见的轮廓线）的使用。 2.由三视图逆向还原、想象立体图形，实现平面视图到立体实物的转化。 3.画含有遮挡部分的组合体三视图，区分看得见轮廓（实线）与看不见轮廓（虚线）。 知识点 常见几何体的三视图 几何体 主视图 俯视图 左视图 圆柱（竖放） 长方形 圆 长方形 圆锥（竖放） 等腰三角形 圆及圆心 等腰三角形 球 圆 圆 圆 直三棱柱（竖放） 长方形 三角形 长方形 直四棱柱（竖放） 长方形 四边形 长方形 正四棱锥 等腰三角形 正方形及对角线 等腰三角形 特别提醒 圆柱、圆锥的俯视图中，圆心（或圆锥顶点）必须画出，它表示的是顶点或轴线的位置，漏画即错。球的三视图都是圆，且三个圆的半径相等，这是球区别于其他旋转体的显著特征。 随学随练 1．如图，该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．下列立体图形的俯视图为圆的是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 知识点 由三视图还原几何体 由三视图还原几何体，通常按"看俯视图定底面、看主视图与左视图定高度与形状"的顺序进行：俯视图反映底面的形状和长、宽，主视图反映长与高，左视图反映宽与高。三者结合即可确定几何体的形状与尺寸。 特别提醒 还原时最容易出错的是把俯视图的"宽"误当成主视图的"宽"。俯视图的上下方向对应物体的前后方向，与主视图的左右方向（长）不是同一维度，必须借助"宽相等"在左视图中找到对应尺寸。 随学随练 1．如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 3．如图是一个几何体的三种视图，则这个几何体为（     ） A． B． C． D． 知识点 三视图与表面积、体积计算 视图给出了几何体的全部尺寸信息，解题步骤为：先由三视图判断几何体的形状（可能是单一几何体，也可能是柱、锥、球的组合），再从各视图读出所需尺寸，最后代入公式计算。组合体需分别计算各部分再相加，注意重合面不计入表面积。 几何体 侧面积 全面积 体积 圆柱 圆锥 球 — 特别提醒 圆锥的母线长 不等于高 ，二者满足 ；由三视图读出的往往是底面直径与高，须先化为半径，再用勾股定理求母线，这是计算圆锥侧面积时最常见的失分点。 随学随练 1．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，可知这个几何体的侧面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 3．如图是一个几何体的三种视图． (1)写出这个几何体的名称：_______； (2)画出它的一种表面展开图； (3)若主视图的高为，俯视图中三角形的边长都为，求该几何体的侧面积． 拓展 轮廓线虚实的本质规律 —— 正投影下遮挡关系的通用判断 核心探究：实线、虚线不是人为规定，而是正投影的自然结果。 · 规律总结：沿着观察方向，轮廓线在观察视线前方、无遮挡→实线；轮廓线在几何体内部、被前面的面遮挡→虚线； · 探究延伸：同一个几何体，换观察方向，虚实线会发生变化；组合体、挖切型几何体（圆柱打孔、正方体切角）最容易忽略虚线。判断口诀：先定观察方向，再看轮廓在前还是在后； · 素养落点：理解三视图源于正投影，不是死记画图规则，回归投影本质，实现知识迁移，后续学习工程识图也适用。 活学活用 1．如图所示的几何体，其左视图是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 题型 识别简单几何体的三视图 解题贴士 先分清观察方向，牢记主、俯、左视图分别从前、上、左三个方向正投影得到，对照几何体特征排除明显不符的图形，重点区分圆柱、圆锥、球等易混淆几何体的视图。 ▌例1如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，该几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图所示，该几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-3如图所示的几何体，其左视图为（     ） A． B． C． D． 题型 绘制简单几何体及组合体的三视图解题贴士 严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等”，固定视图位置，看得见的轮廓画实线，被遮挡看不见的轮廓画虚线，先画主视图，再配套画出俯视图和左视图。 ▌例1画出该几何体的三种视图． ▌对点练1-1画出如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图． ▌对点练1-2画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图． ▌对点练1-3如图是一块钢材的示意图，请画出它的三视图． 题型根据三视图还原几何体 解题贴士 以俯视图为基础确定底层布局，结合主视图看高度、左视图看前后，分层想象，逐步拼接，对照三个视图反复校验，避免遗漏局部结构。 ▌例1从三个方向看某几何体，得到的图形如图所示，则该几何体为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1图中的三种视图所对应的几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 ▌对点练1-2某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 ▌对点练1-3一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 题型 已知三视图求侧面积或表面积 解题贴士 以俯视图为基础确定底层布局，结合主视图看高度、左视图看前后，分层想象，逐步拼接，对照三个视图反复校验，避免遗漏局部结构。 ▌例1如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（     ） A．4π B．60π C．15π D．8π ▌对点练1-2某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． ▌对点练1-3赵飞制作的一个模型的三视图如图所示（单位∶）． (1)请描述这个模型的形状； (2)如果用油漆涂这个模型，每千克油漆可以涂，需要油漆多少千克？ 题型 已知三视图求体积 解题贴士 依托三视图获取几何体的底面积与高，先判断几何体类型，套用对应体积公式，组合体可拆分成基础几何体分别求体积再求和。 ▌例1如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为______． ▌对点练1-3一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：） (1)它可以近似看成由常见几何体________和_______组成的． (2)求它的体积（，，结果保留）． 题型 求小正方体个数 解题贴士 借助俯视图标记底层方块，结合主视图、左视图确定每一列、每一行位置上方块的层数，逐个位置标注数量后相加，做到不重不漏。 ▌例1一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，下图是从三个不同方向看到的三视图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 ▌对点练1-1如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 ▌对点练1-2一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（     ）． A． B． C． D． ▌对点练1-3用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小立方体的个数，则__________． 题型 求立方块的最值 解题贴士 俯视图确定固定底座，主视图和左视图限定每处位置层数上限，求最多就在允许范围内摆满，求最少优先保证满足视图要求，其余位置只保留必要方块。 ▌例1由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 ▌对点练1-1将几个完全相同的正方体，堆放在桌面上，从上面看到的图形是图1，从正面和侧面看到的图形都是图2，这些正方体至少有（     ）个． A．6 B．8 C．9 D．7 ▌对点练1-2一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． ▌对点练1-3用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使它从左面和从上面看到的形状图如图所示．这样的几何体有多种情况，它最多需要_________个小立方块，最少需要________个小立方块． 基础通关 1．如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示济南章丘城子崖出土的蛋壳黑陶高柄杯，是龙山文化珍品，胎薄如蛋壳，工艺精湛．关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 3．如图，这是一个蒙古包的几何体，则该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 5．从正面看如图所示的几何体，所得的形状图是（     ） A． B． C． D． 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 7．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 8．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，如果左视图面积为5，则俯视图的面积为（     ） A．4 B． C．7 D． 9．如图，这是一个几何体的三视图，则该几何体为________． 10．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体是_____________． 11．填写如图直六棱柱的三个视图的名称______，______，______． 12．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为______． 13．如图，这是由6个大小相同的小立方块搭建的几何体，请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 14．把图中的几何体与它们对应的三视图用线连接起来． 15．如图是一个物体的三视图，试描述这个物体的形状．现实生活中什么样的物体像这种几何体? 素养提升 1．如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 2．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 4．如图，这是由一些小正方体搭成的几何体从正面看和上面看得到的形状图，若要搭成该几何体的正方体的个数最多是_________． 5．如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的数据，计算这个直四棱柱的表面积为__________． 6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是______． 7．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加_______块小正方体． 8．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为1，求这个几何体的表面积． 9．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题： (1)求这个立体图形的体积； (2)求这个立体图形的表面积． 10．某几何体的三视图如图所示． (1)该几何体是________； (2)求该几何体的表面积（结果保留π）； (3)求该几何体的体积（结果保留π）． 迁移创新 1．【问题情境】 小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔． 【操作探究】 (1)图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______________（填序号）． (2)小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体． ①请计算出这个几何体的体积； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加_______________个正方体纸盒． 2．【问题情境】 乐乐所在的数学实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔． 【操作探究】 (1)乐乐准备制作一个无盖的正方体形纸盒，图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？______（填序号）； (2)图2是乐乐的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“祝”字相对的字是______； (3)乐乐把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四个角各剪去一个边长为a cm（a<5）的小正方形，折成无盖长方体形纸盒．用含a的代数式表示这个纸盒的容积为______． (4)乐乐所在的数学实践小组把折叠成的6个无盖长方体纸盒摆成如图3的立体图形，请分别画出这个立体图形从正面看和上面看的形状图． 3．一透明的敞口正方体容器中装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图①，液面刚好过棱，并与棱'交于点，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②． 解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ； (2)求液体的体积．[参考算法：直棱柱体积底面积高] 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十三章 投影与视图 33.2 三视图 课标要点 1.通过实例了解视图的意义，理解三视图的概念，掌握三视图 “长对正、高平齐、宽相等” 的基本规律。 2.能画出简单几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）及其简单组合体的三视图。 3.能根据三视图描述、想象对应的几何体或实物原型。 4.经历从立体到平面、平面到立体的转化过程，发展空间观念，能利用视图解决简单的实际问题。 学习重难点 重点： 1.三视图的概念，三视图之间 “长对正、高平齐、宽相等” 的关系。 2.画简单几何体、简单组合体的三视图；识别常见几何体的三视图。 难点： 1.理解 “宽相等”，画图时准确把握几何体左右、前后的宽度，规范虚线（看不见的轮廓线）的使用。 2.由三视图逆向还原、想象立体图形，实现平面视图到立体实物的转化。 3.画含有遮挡部分的组合体三视图，区分看得见轮廓（实线）与看不见轮廓（虚线）。 知识点 常见几何体的三视图 几何体 主视图 俯视图 左视图 圆柱（竖放） 长方形 圆 长方形 圆锥（竖放） 等腰三角形 圆及圆心 等腰三角形 球 圆 圆 圆 直三棱柱（竖放） 长方形 三角形 长方形 直四棱柱（竖放） 长方形 四边形 长方形 正四棱锥 等腰三角形 正方形及对角线 等腰三角形 特别提醒 圆柱、圆锥的俯视图中，圆心（或圆锥顶点）必须画出，它表示的是顶点或轴线的位置，漏画即错。球的三视图都是圆，且三个圆的半径相等，这是球区别于其他旋转体的显著特征。 随学随练 1．如图，该几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主视图是从物体正面观察得到的平面图形，看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线． 【详解】解：从正面观察该几何体，外轮廓是矩形，棱位于几何体后方，被前面的面遮挡，不可见，不可见的棱在主视图中应画成虚线， 所以主视图是中间有一条竖直虚线的矩形：． 2．下列立体图形的俯视图为圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各个几何体的俯视图的形状进行判断即可． 【详解】解：选项中只有球的俯视图是圆． 3．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：的主视图是． 知识点 由三视图还原几何体 由三视图还原几何体，通常按"看俯视图定底面、看主视图与左视图定高度与形状"的顺序进行：俯视图反映底面的形状和长、宽，主视图反映长与高，左视图反映宽与高。三者结合即可确定几何体的形状与尺寸。 特别提醒 还原时最容易出错的是把俯视图的"宽"误当成主视图的"宽"。俯视图的上下方向对应物体的前后方向，与主视图的左右方向（长）不是同一维度，必须借助"宽相等"在左视图中找到对应尺寸。 随学随练 1．如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，即可解答． 【详解】解：∵主视图是直角三角形， 故A，C，D选项不合题意， 故选项B符合题意． 3．如图是一个几何体的三种视图，则这个几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：由三视图可知，几何体的底面是一个长方体，上面是一个圆锥，即 知识点 三视图与表面积、体积计算 视图给出了几何体的全部尺寸信息，解题步骤为：先由三视图判断几何体的形状（可能是单一几何体，也可能是柱、锥、球的组合），再从各视图读出所需尺寸，最后代入公式计算。组合体需分别计算各部分再相加，注意重合面不计入表面积。 几何体 侧面积 全面积 体积 圆柱 圆锥 球 — 特别提醒 圆锥的母线长 不等于高 ，二者满足 ；由三视图读出的往往是底面直径与高，须先化为半径，再用勾股定理求母线，这是计算圆锥侧面积时最常见的失分点。 随学随练 1．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，可知这个几何体的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三视图判断几何体是截去圆柱的柱体，算出剩余曲面侧面积，再加上两个切面长方形的面积，合并得到该几何体侧面积． 【详解】由题图中的三视图知， 该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱被沿高的方向切掉一个圆柱的柱体， 所以其侧面积为． 2．如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】B 【分析】先由三视图得该几何体为长方体，再利用表面积求得长方体的高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为长方体，它的长是6，宽是2，设高为h， ∵这个几何体的表面积是72， ∴，解得， ∴它的体积是． 3．如图是一个几何体的三种视图． (1)写出这个几何体的名称：_______； (2)画出它的一种表面展开图； (3)若主视图的高为，俯视图中三角形的边长都为，求该几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)该几何体的表面展开图如图．（答案不唯一） (3)该几何体的侧面积为 【分析】（1）根据三视图进行判断即可； （2）根据（1）判断的几何体画出展开图即可； （3）其侧面由3个长方形组成，根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由主视图和左视图可得该几何体为柱体，由俯视图是三角形可判断该几何体为三棱柱． （2）略 （3）解：． 答：该几何体的侧面积为． 拓展 轮廓线虚实的本质规律 —— 正投影下遮挡关系的通用判断 核心探究：实线、虚线不是人为规定，而是正投影的自然结果。 · 规律总结：沿着观察方向，轮廓线在观察视线前方、无遮挡→实线；轮廓线在几何体内部、被前面的面遮挡→虚线； · 探究延伸：同一个几何体，换观察方向，虚实线会发生变化；组合体、挖切型几何体（圆柱打孔、正方体切角）最容易忽略虚线。判断口诀：先定观察方向，再看轮廓在前还是在后； · 素养落点：理解三视图源于正投影，不是死记画图规则，回归投影本质，实现知识迁移，后续学习工程识图也适用。 活学活用 1．如图所示的几何体，其左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左面看几何体得出平面图形，即为几何体的左视图，进行分析，即可作答． 【详解】解：观察几何体，得出几何体中间有个圆柱体的结构， 从左面看几何体，得出平面图形为， 几何体的左视图是． 2．如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该几何体的左视图为一个长方形，长方形的中间有2条横向的虚线． 3．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察几何体可知，该几何体的主视图是 ， 题型 识别简单几何体的三视图 解题贴士 先分清观察方向，牢记主、俯、左视图分别从前、上、左三个方向正投影得到，对照几何体特征排除明显不符的图形，重点区分圆柱、圆锥、球等易混淆几何体的视图。 ▌例1如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从上面看，是一个矩形． ▌对点练1-1．如图，该几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该几何体的主视图为： ▌对点练1-2如图所示，该几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：该几何体的左视图为： ▌对点练1-3如图所示的几何体，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】左视图是从几何体的左侧向右侧正投影得到的视图，看得见的轮廓线用实线表示，被遮挡、看不见的轮廓线用虚线表示．根据几何体的左视图画法即可得出答案． 【详解】 解：这个几何体的左视图为 题型 绘制简单几何体及组合体的三视图解题贴士 严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等”，固定视图位置，看得见的轮廓画实线，被遮挡看不见的轮廓画虚线，先画主视图，再配套画出俯视图和左视图。 ▌例1画出该几何体的三种视图． 【答案】该几何体的三种视图如答图 【分析】从正面、左面、上面分别观察几何体，并按照看得见的轮廓画实线，看不见的轮廓画虚线的标准画出三种视图． 【详解】略． ▌对点练1-1画出如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】如图， 【详解】略 ▌对点练1-2画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】 如图所示，即为所求， 【分析】根据三视图的定义作图即可． 【详解】略 ▌对点练1-3如图是一块钢材的示意图，请画出它的三视图． 【答案】 【详解】略 题型根据三视图还原几何体 解题贴士 以俯视图为基础确定底层布局，结合主视图看高度、左视图看前后，分层想象，逐步拼接，对照三个视图反复校验，避免遗漏局部结构。 ▌例1从三个方向看某几何体，得到的图形如图所示，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据从三个方向看几何体所得图形找出相应几何体即可． 【详解】解：从三个方向看某几何体，得到的图形如图所示，则该几何体为圆柱体， C选项符合题意． ▌对点练1-1图中的三种视图所对应的几何体是（     ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】由三视图判断几何体．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，结合常见几何体的三视图可得到结论． 【详解】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为三角形，可得为棱柱体．所以这个几何体是三棱柱 ． ▌对点练1-2某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【答案】A 【分析】根据常见几何体的三视图可得出答案． 【详解】解：根据主视图和俯视图是长方形可知，该几何体是柱体，左视图判断几何体的底面形状是圆，说明几何体是圆柱． ▌对点练1-3一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，结合各选项中的几何体可得答案． 【详解】解：由三视图可判断，这个几何体是 ． 故选项C符合题意 ． 题型 已知三视图求侧面积或表面积 解题贴士 以俯视图为基础确定底层布局，结合主视图看高度、左视图看前后，分层想象，逐步拼接，对照三个视图反复校验，避免遗漏局部结构。 ▌例1如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用表面积等于侧面积加底面积即可得到答案. 【详解】解：根据三视图可得：这个几何体为圆锥， ∵直径为，圆锥母线长为， ∴圆锥的表面积. ▌对点练1-1某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（     ） A．4π B．60π C．15π D．8π 【答案】A 【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是圆锥． 圆锥的高，底面直径为，因此底面半径． 根据勾股定理，圆锥的母线长​． 圆锥侧面积公式为，代入数据得：， 对应选项A． ▌对点练1-2某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 【答案】 【分析】主视图以及左视图都是一个矩形，俯视图为一个圆形，则可得出该几何体是一个圆柱，再计算出面积即可． 【详解】解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径为，高h为， 则底面半径， ∵每个茶叶罐所需铁皮的面积即为该圆柱体的表面积， ∴ ， 故制作每个茶叶罐所需铁皮的面积为． ▌对点练1-3赵飞制作的一个模型的三视图如图所示（单位∶）． (1)请描述这个模型的形状； (2)如果用油漆涂这个模型，每千克油漆可以涂，需要油漆多少千克？ 【答案】(1)此模型由两个长方体组成：上面是一个小长方体，下面是一个大长方体 (2)千克 【分析】（1）由三视图可判断该模型的形状； （2）先求出表面积，再求出需要的质量. 【详解】（1）解：此模型由两个长方体组成：上面是一个小长方体，下面是一个大长方体； （2）解：此模型的表面积为 ， 故需要油漆（千克） 题型 已知三视图求体积 解题贴士 依托三视图获取几何体的底面积与高，先判断几何体类型，套用对应体积公式，组合体可拆分成基础几何体分别求体积再求和。 ▌例1如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱． 【详解】解：依题意可求出该几何体的体积为． ▌对点练1-1如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解高，再由圆锥的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为圆锥，如图， 由题意得， ∴ ∴， ∴这个几何体的体积为． ▌对点练1-2如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为______． 【答案】 【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可． 本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数据确定圆柱的底面直径和高是解本题的关键． 【详解】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成， 圆柱底面直径为，高为，长方体的长为，宽为，高为， 故该几何体的体积为：． 故答案为：． ▌对点练1-3一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：） (1)它可以近似看成由常见几何体________和_______组成的． (2)求它的体积（，，结果保留）． 【答案】(1)圆柱；圆锥 (2) 【分析】（1）根据三视图判断几何体的组成； （2）根据圆柱和圆锥的体积公式分别计算出圆柱、圆锥的体积，再将两者相加得到“粮仓”的体积． 【详解】（1）解：根据所给三视图，可以判断“粮仓”近似由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱在下，圆锥在上． （2）解：由题意可知，圆柱的底面直径为，高为，圆锥的底面直径为，高为（）， （）， （）， （）． 答：它的体积为． 题型 求小正方体个数 解题贴士 借助俯视图标记底层方块，结合主视图、左视图确定每一列、每一行位置上方块的层数，逐个位置标注数量后相加，做到不重不漏。 ▌例1一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，下图是从三个不同方向看到的三视图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：组合体的俯视图正方形个数分布情况如下：     则正方体的个数为               ▌对点练1-1如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据主视图和左视图，把各个位置小方块的个数标在俯视图上，根据各个位置小正方体的个数计算出组成这个几何体的小正方体的个数． 【详解】解：如下图所示，把各个位置小方块的个数标在俯视图上， 组成这个几何体的小正方体的个数是个． ▌对点练1-2一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱数量． 【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示： 由俯视图知，货物底部有6个货箱，上面一层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8个货箱； 要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两个货箱，中间一列最多可以搬走两个货箱，故最多可以取走4箱货物 ． ▌对点练1-3用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小立方体的个数，则__________． 【答案】5 【分析】本题考查了三视图；由主视图可得，俯视图中最右边一个正方形处有3个小立方体，中间一列两个正方形处各有1个小立方体，即可求出的值． 【详解】解：∵由主视图可得，俯视图中最右边一个正方形处有3个小立方体，中间一列两个正方形处各有1个小立方体， ∴， ∴． 故答案为：5． 题型 求立方块的最值 解题贴士 俯视图确定固定底座，主视图和左视图限定每处位置层数上限，求最多就在允许范围内摆满，求最少优先保证满足视图要求，其余位置只保留必要方块。 ▌例1由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】先根据俯视图确定底层小正方体的数量，因为俯视图的每个方格对应底层一个小正方体的位置，所以底层小正方体个数等于俯视图中方格的总数．再根据主视图确定第二层小正方体的最少数量，主视图中显示有两层，且每列都有两层，所以如果要让总个数最少，那么每一列只需在底层对应的位置中选一个位置放置第二层的小正方体即可．最后将底层小正方体数量和第二层最少的小正方体数量相加，得到总的最少小正方体个数． 【详解】解：俯视图有3个正方形，说明这个几何体的底层一定有3个小正方体，这是由从上方观察到的底面布局决定的． 主视图显示几何体的左右两列都有2层高，说明俯视图的左列位置、右列位置，都至少要有1个小正方体叠在底层的上方，来满足“两层高”的要求． 计算最少总数：底层3个 + 上层至少2个位置各叠1个的最小情况（右列底层2个位置至少1个叠第二层，左列底层1个位置必须叠第二层），总和为． ∴组成几何体的小正方体最少有5个． ▌对点练1-1将几个完全相同的正方体，堆放在桌面上，从上面看到的图形是图1，从正面和侧面看到的图形都是图2，这些正方体至少有（     ）个． A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】D 【详解】解：根据题意，标注正方体最少的情况如下： ∴这些正方体至少有个 ▌对点练1-2一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 【答案】 6 【分析】由从上面看到的形状图可知底层小立方块的分布及数量；由从左面看到的形状图可知立体图形的层数及前后排的最高层数；综合两层信息计算最少数量． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，该立体图形底层共有5个小立方块，分为前后两排，其中后排3个，前排2个． 由从左面看到的形状图可知，该立体图形共有两层，且前后两排中，有一排最高为1层，另一排最高为2层 要使小立方块数量最少，则最高为1层的那排所有位置均为1层，最高为2层的那排中仅有1个位置为2层，其余为1层． 最少数量为 （个） 故填：6． ▌对点练1-3用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使它从左面和从上面看到的形状图如图所示．这样的几何体有多种情况，它最多需要_________个小立方块，最少需要________个小立方块． 【答案】 【分析】根据题意画出从上面看最多和最少的情形即可得到答案． 【详解】解：根据左视图和俯视图可得小立方块最多时，如图所示，图中的数字表示该位置上小立方块的个数． ∴它最多需要个小立方块； 根据左视图和俯视图可得小立方块最少时，即第一层为，，的组合，第二层为，的组合，第三层为，，如图所示（图不唯一）， ∴它最少需要个小立方块； 基础通关 1．如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：这个几何体的主视图为． 2．如图所示济南章丘城子崖出土的蛋壳黑陶高柄杯，是龙山文化珍品，胎薄如蛋壳，工艺精湛．关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】A 【详解】解：主视图与左视图相同，与俯视图不相同，故A正确，B，C，D错误． 3．如图，这是一个蒙古包的几何体，则该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图中蒙古包的几何体下半部分是圆柱、上半部分是圆锥， 从上面看，圆柱的俯视图是圆，圆锥的俯视图是一个圆，且圆心处有一个点，组合后就是一个圆，且圆心处有一个点的图形，选项C符合题意． 4．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图的定义，从正面观察几何体，确定看到的平面图形形状及可见轮廓线． 【详解】解：从正面观察该几何体，下层是长方体，主视图为长方形，上层左侧竖直，右侧为斜面，主视图上部轮廓为直角梯形；上下层交界处有一条可见的水平线段； 综合可得，主视图由下方的长方形和上方的直角梯形组成，且中间有横线分隔，对比各选项，B选项符合题意． 5．从正面看如图所示的几何体，所得的形状图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正面观察几何体时，看到的形状是由哪些部分组成的，求解即可． 【详解】解：从正面看：左列：有2 层， 右列：只有1 层， 如图所示： 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由三视图可得，该几何体为． 7．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的对应关系：主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；左视图反映物体的高和宽，即可求解. 【详解】解：根据题意，得，，. 8．如图所示的几何体是由4个相同的小正方体搭成的，如果左视图面积为5，则俯视图的面积为（     ） A．4 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：该几何体的左视图是由个小正方形组成，俯视图是由三个小正方形组成， ∵左视图面积为5， ∴每个正方形的面积为， ∴俯视图的面积为． 9．如图，这是一个几何体的三视图，则该几何体为________． 【答案】三棱柱 【分析】根据三视图的形状，底面视图为三角形，另外两个视图是矩形，对照常见立体图形的三视图特征判断几何体． 【详解】解：由俯视图是三角形，主视图、左视图都是矩形，可得该几何体是三棱柱． 10．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体是_____________． 【答案】正六棱柱 【分析】根据正六棱柱的三视图即可求解． 【详解】解：由三视图可得，该几何体为正六棱柱． 11．填写如图直六棱柱的三个视图的名称______，______，______． 【答案】 俯视图 左视图 主视图 【分析】由三视图的概念填空即可． 【详解】略． 12．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为______． 【答案】 【分析】首先得到此几何体为圆锥，再根据圆锥全面积等于侧面积加底面积求解即可． 【详解】解：根据三视图得，此几何体为圆锥， ∵直径为，母线长为， ∴半径为， ∴这个几何体的全面积为． 13．如图，这是由6个大小相同的小立方块搭建的几何体，请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【答案】如图所示， 【分析】从正面观察该几何体，我们可以看到有三列小立方块：最左边一列有2层小立方块，中间一列有2层小立方块，最右边一列有1层小立方块； 从左面观察该几何体，能看到有两列小立方块：左边一列有2层小立方块，右边一列有1层小立方块； 从上面观察该几何体，会看到有三列小立方块：最左边一列有1个小立方块，中间一列有2个小立方块，最右边一列有1个小立方块． 【详解】略 14．把图中的几何体与它们对应的三视图用线连接起来． 【答案】几何体与它们对应的三视图连线如图所示： 【分析】根据几何体的组成与形状，与它们对应的三视图连线即可． 【详解】解：第一个几何体（圆柱+半球）： 主视图和左视图：下部为矩形（圆柱），上部为半圆（半球），整体呈“上圆下矩”， 俯视图：圆形（圆柱与半球底面重合投影），对应第四个三视图； 第二个几何体（圆锥+半球）： 主视图和左视图：下部为三角形（圆锥），上部为半圆（半球），整体呈“上圆下三角”， 俯视图：圆形（圆锥底面与半球底面重合），对应第一个三视图； 第三个几何体（长方体+圆柱）： 主视图和左视图：上下两个矩形，上小下大（圆柱在长方体正上方）， 俯视图：大正方形内含一个圆（圆柱底面投影于长方体顶面中心），对应第二个三视图； 第四个几何体（大长方体+左上角放置的小长方体）： 主视图：下大矩形，上小矩形偏左， 左视图：下大矩形，上小矩形偏左， 俯视图：大正方形内含小正方形，位于左上角，对应第三个三视图． 15．如图是一个物体的三视图，试描述这个物体的形状．现实生活中什么样的物体像这种几何体? 【答案】物体的形状为横放的空心圆柱，现实生活中有烟囱、水管等 【详解】解：由三视图知，这个物体是一个横放的空心圆柱，现实生活中像这种几何体的物体有：烟囱、水管等． 素养提升 1．如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主视图是从正面看到的图形，据此解答． 【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形． 2．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下 则搭成这个几何体的小正方体的个数是（个）． 3．如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵该几何体从上方看是一个被竖线分割的矩形； ∴分割的竖线是可见的棱，需画成实线； 结合选项特征，匹配的正确答案为选项C． 4．如图，这是由一些小正方体搭成的几何体从正面看和上面看得到的形状图，若要搭成该几何体的正方体的个数最多是_________． 【答案】16 【分析】根据从正面看和上面看得到的形状图分别画出最多的图形即得答案． 【详解】解：根据题意：如图，若要搭成该几何体的正方体的个数最多是16个， 5．如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的数据，计算这个直四棱柱的表面积为__________． 【答案】240 【分析】根据所给的主视图及左视图，可得等腰梯形的两底是2和8，高为4，棱柱的侧棱为10，然后利用勾股定理求出等腰梯形的腰，再计算表面积即可． 【详解】解：由题意可知，等腰梯形的上底是2，下底是，高是4，棱柱的侧棱为10， 如图，设底面为等腰梯形，过点作于点，则， 由题意得，，， ∴在中，， ∴直四棱柱的表面积为． 6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是______． 【答案】/ 【分析】由三视图可得该几何体的高为8，上下底面是一个半径为4的圆的四分之三的柱体，进而可求得表面积． 【详解】解：由题意，这个几何体的表面积是 ． 7．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加_______块小正方体． 【答案】(1)解：如图所示， (2)2 【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）要保持主视图和左视图不变，可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加块小正方体． 【详解】（1）略 （2）解：∵要保持主视图和左视图不变， ∴可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加块小正方体，即最多可以再添加块小正方体． 8．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为1，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：表面积为：． 9．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题： (1)求这个立体图形的体积； (2)求这个立体图形的表面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：还原立体图形为： 这个立体图形的体积为． （2）解：下面的长方体表面积为， 上面的长方体表面积为， 两个长方体重合部分面积为, 这个立体图形的表面积为． 10．某几何体的三视图如图所示． (1)该几何体是________； (2)求该几何体的表面积（结果保留π）； (3)求该几何体的体积（结果保留π）． 【答案】(1)圆柱 (2) (3) 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体是圆柱； （2）解：该几何体的表面积为； （3）解：该几何体的体积为． 迁移创新 1．【问题情境】 小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔． 【操作探究】 (1)图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______________（填序号）． (2)小圣所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图2所示的几何体． ①请计算出这个几何体的体积； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加_______________个正方体纸盒． 【答案】(1)①③④ (2)①；②3 【分析】（1）根据正方体表面展开图的特征逐项进行判断即可； （2）①先根据图象得出无盖正方体纸盒的个数，再用一个无盖正方体纸盒的体积乘以个数即可得到答案； ②先得出左视图和俯视图，再根据三视图的性质作答即可． 【详解】（1）解：无盖正方体形纸盒应该由5个面，但图②中经折叠后有两个面重复，因此图②中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图①③④均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒， 故答案为：①③④． （2）①解：由图象可知共有6个无盖正方体纸盒， 由题意得无盖正方体纸盒的棱长都为， 故这个几何体的体积为； ②解：由图得左视图和俯视图分别为： 故保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，可放置的正方体纸盒为虚线所示的正方体纸盒： 共3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正方体的折叠问题及简单图形的三视图，能够根据图形进行抽象概括是解题的关键． 2．【问题情境】 乐乐所在的数学实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔． 【操作探究】 (1)乐乐准备制作一个无盖的正方体形纸盒，图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？______（填序号）； (2)图2是乐乐的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“祝”字相对的字是______； (3)乐乐把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四个角各剪去一个边长为a cm（a<5）的小正方形，折成无盖长方体形纸盒．用含a的代数式表示这个纸盒的容积为______． (4)乐乐所在的数学实践小组把折叠成的6个无盖长方体纸盒摆成如图3的立体图形，请分别画出这个立体图形从正面看和上面看的形状图． 【答案】(1)①③④ (2)好 (3) (4)见解析 【分析】（1）根据正方体展开图的特点求解即可； （2）根据正方体展开图的特点求解即可； （3）根据题意画出图形，然后根据长方体体积公式求解即可； （4）根据三视图的作图方法求解即可． 【详解】（1）解：根据正方体展开图的特点可知，①③④三幅图经过折叠能围成无盖正方体形纸盒， 故答案为：①③④； （2）解：由题意得：“祝”对应“好”，“您”对应“年”， 故答案为：好； （3）解：如图所示，由题意得可知四边形ABCD是边长为10cm的正方形，四边形AEGH是边长为acm的正方形， ∴把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四个角各剪去一个边长为a cm（a<5）的小正方形，折成无盖长方体形纸盒的容积 故答案为：； （4）解：如图所示，即为所求； 【点睛】本题主要考查了正方体展开图的特点，三视图，长方体体积，整式的乘法以及完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键． 3．一透明的敞口正方体容器中装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图①，液面刚好过棱，并与棱'交于点，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②． 解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ； (2)求液体的体积．[参考算法：直棱柱体积底面积高] 【答案】(1)平行； (2) 【分析】本题主要考查了棱柱体积的计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是关键． （1）根据水面与水平面平行可以得到与平行，利用勾股定理即可求得的长； （2）液体正好是一个以是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积． 【详解】（1）解：∵液体的形状为直三棱柱， ∴， 由三视图可得，， ∵正方体容器， ∴， 根据勾股定理得：． 故答案为：平行；； （2）解： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $