33.1 投影（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十三章 投影与视图 33.1 投影 课标要点 1.通过实例了解投影、投影面、平行投影、中心投影的概念，能区分平行投影与中心投影。 2.理解正投影的含义，掌握线段、平面图形正投影的变化规律，会画出简单平面图形的正投影。 3.感受投影与生活的联系，发展空间观念，体会从实物抽象成几何图形的转化思想。 学习重难点 重点： 识别平行投影、中心投影，理解二者的区别。 掌握正投影的概念，掌握线段、平面图形正投影的规律，能画出简单图形的正投影。 难点： 根据影子反向确定光源位置，利用中心投影、平行投影的特点解决影子相关实际问题。 判断平面图形相对于投影面不同位置时，正投影的形状、大小变化。 知识点 投影的有关概念 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做投影，这时的照射光线叫做投影线（也称投射线），投影所在的平面叫做投影面。 形成投影需要同时具备三个条件：一是要有物体，二是要有光线（光源），三是要有承接影子的平面（投影面）。三者缺一，就谈不上投影。例如，夜晚路灯下行人在地面上的影子、阳光下旗杆在地面上的影子，都是投影；而物体放在完全黑暗的房间里，即使有投影面，也不会产生投影。 投影的大小和形状由物体本身、光线方向以及投影面与物体的相对位置共同决定。同一物体在不同光线、不同投影面下，投影可能完全不同。 特别提醒 投影是“影子”，不是物体本身，也不是物体在平面上的“截面”。判断某个图形是不是投影，关键看它是否由光线照射形成、是否落在某个平面上。另外，“投影线”与“光线”是同一回事，只是名称不同，不要误认为投影线是物体边缘的轮廓线。 随学随练 1．甲、乙两个垂直于地面的建筑物高度相同，同一时刻，同一地点，甲、乙两建筑物在太阳光下的影子长度（    ） A．一样长 B．甲比乙长 C．乙比甲长 D．无法确定 2．小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（    ）． A． B． C． D． 3．如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 知识点 平行投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影。太阳光可以近似地看成平行光线，因此物体在太阳光下形成的影子，通常按平行投影来处理。 平行投影有两个基本特征：其一，同一时刻、同一地点，所有物体的投影线方向相同，因而各物体的影子方向一致；其二，同一时刻、同一地点，物体高度与其影长成比例，即“物高∶影长”为定值。这一比例关系是解决阳光下测高问题的核心依据：只要测出一根已知高度标杆的影长，再测出待测物体的影长，就可以用比例式求出物体高度。 此外，平行投影中，平行于投影面的线段，其投影与原线段平行；平行于投影面的平面图形，其投影与原图形相似。 特别提醒 太阳光“近似”平行，是数学上的理想化处理，实际太阳光并非严格平行，因此测量时应在同一时刻、同一地点进行，且尽量选在阳光斜射、影子清晰的时候。另外，“物高∶影长”为定值的前提是物体都竖直放置在同一水平面上，若物体倾斜或地面有坡度，比例关系不再成立。还要注意：平行投影下，不同物体的影子不会相交于一点（这是与中心投影的重要区别）。 随学随练 1．唐代李白在《日出行》一诗中这样写着：“日出东方隈，似从地底来．”描述的是日出的景象，意思是太阳从东方升起，好像从地底出来．如图，此时观测到海平线和太阳所成的图形是（     ） A． B． C． D． 2．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 3．宋代诗人欧阳修在《送裴如晦之吴江》中写道“鸡鸣车马驰，夜半声未已．皇皇走声利，与日争寸晷”．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，则晷针在晷面上所形成的投影属于________投影．（填“平行”或“中心”） 4．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 知识点 中心投影 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。手电筒、台灯、路灯、电影放映机发出的光，都可以近似看成由一点发出，它们形成的影子属于中心投影。 中心投影最显著的特征是：所有投影线都交于同一点，即光源所在的位置。因此，同一光源下不同物体的影子，其延长线必过光源；反过来，已知两个物体的影子，把影子端点与对应物体顶端相连，两条直线的交点就是光源位置。这是确定点光源位置的基本方法。 中心投影中，物体离光源越近，影子越大；离光源越远，影子越小。物体与投影面（如地面）的距离越大，影子也越大。当物体与投影面平行时，其投影与原图形相似，但大小一般不相等。 特别提醒 中心投影与平行投影的根本区别在于光线是否平行，判断时看“影子是否向同一方向、是否等比例”，或看“影子延长线是否交于一点”。常见错误是把灯光下的影子当作平行投影，用“物高∶影长”去计算，这是不成立的——灯光下物高与影长不成固定比例。另外，点光源在物体与投影面之间时，影子会落在光源的另一侧，作图时要注意光源、物体、影子三者的位置关系。 随学随练 1．夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 2．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（     ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 3．如图小树高，在路灯M的照射下形成投影，树与路灯的距离．则路灯高为______． 4．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 知识点 正投影及其性质 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。正投影是平行投影的特殊情形，也是画三视图的直接依据。 正投影的形状和大小，取决于物体相对于投影面的位置。以线段和平面图形为例，可归纳如下： 物体相对于投影面的位置 线段的正投影 正方形纸板的正投影 平行于投影面 与原线段等长的线段 与原正方形全等的正方形 倾斜于投影面 比原线段短的线段 矩形，长和宽都不大于原正方形的边长 垂直于投影面 一个点 一条线段 由上表可见：当物体平行于投影面时，正投影能真实反映物体的形状和大小；倾斜时形状、大小都会“缩水”；垂直于投影面时，线段退化为点，平面图形退化为线段。这正是三视图中“长对正、高平齐、宽相等”的几何来源。特别提醒 正投影一定是平行投影，但平行投影不一定是正投影，二者是“特殊与一般”的关系，不能混为一谈。作正投影时，投影线必须与投影面垂直，若光线斜射，得到的就不是正投影。另外，正投影中“平行于投影面的图形与原图形全等”只对平面图形成立，立体图形的正投影一般只是它的一个“轮廓”，不能据此认为立体图形与投影全等。 随学随练 1．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 2．当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（    ） A． B． C． D． 3．一个几何体在一个投影面上的正投影是圆，则这个几何体可以是________．（填写一种即可） 4．某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是_________（填序号）． ①矩形   ②线段   ③平行四边形   ④圆 拓展 平行投影、中心投影背后的相似模型辨析 核心归纳：平行投影对应的是平行线构造的相似三角形，中心投影对应的是以光源为位似中心的位似图形，二者虽然都可以用相似求解，但内在规律有本质区别。 平行投影中光线互相平行，形成的是 “A 字型” 平行相似，因此同一时刻、水平投影面下，物高和影长的比值恒定，和物体距离无关；而中心投影的光线交汇于点光源，属于位似变换，位似比会随着物体到光源、物体到投影面的距离改变而改变，不存在固定的物高影长比。 很多易错题的陷阱就在于不分投影类型，直接把太阳光下的比例公式套用到路灯、手电筒的影子问题中。拓展探究：当两个物体、光源、投影面都在同一平面内时，连接物体顶端与影子顶端并延长，若交于一点则为中心投影，若始终平行则为平行投影；利用这个方法既可以判断投影类型，也可以反向确定点光源的位置，还能求解物体高度、影子长度、光源高度这类综合动态问题。 拓展思考：如果投影面不是水平面（倾斜地面、竖直墙面），即使是平行投影，“物高：影长 = 定值” 的结论也不再成立，需要重新构造直角三角形分析。 活学活用 1．某校九年级（1）班同学利用可伸缩的标杆和卷尺测量物体高度，请你帮助同学们完成计算： (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，测得信号塔的影长米，求信号塔的长度； (2)如图2，同学们继续测量电线杆的高度，具体操作如下：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.5米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请结合以上测量数据，求出电线杆的高度． 2．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，、、是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知、在路灯光下的影长分别为，． (1)请画出路灯O的位置和标杆在路灯灯光下的影子； (2)求标杆的影长． 题型 区分平行投影与中心投影 解题贴士 优先观察光线特征，投影线互相平行为平行投影，投影线延长后交于一点为中心投影；也可借助影子特点辅助判断，切勿仅凭影子长短直接判定投影类型。 ▌例11．台灯照射书本所形成的影子属于______投影．(填“平行”或“中心”) ▌对点练1-1．秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系．秦腔演员在灯光下表演的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） ▌对点练1-2城固架花是中国民间刺绣工艺的一种，被誉为“立体的水墨画，民俗的活教材”．架花在台灯下的影子为______投影．（填“中心”或“平行”） ▌对点练1-3舞台上灯光流光溢彩，舞者如梦如幻，舞者在灯光照射下的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 题型 平行投影物高影长比例计算解题贴士 该比例成立的前提是同一时刻、投影面水平，列式时对应好物高与影长，尽量列出对应成比例的两组量，计算后检验结果是否符合实际。 ▌例1我市某校墙边有甲、乙两根立柱，同一时刻测得甲、乙两根立柱在太阳光下的影子的长度分别是米和米，乙立柱的高度为米，则甲立柱的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 ▌对点练1-1某校数学兴趣小组为测量学校旗杆高度，测得长为米的标杆，其影子长度为米，并测得旗杆的影子长度为6米，则旗杆的高度为（   ） A．3米 B．9米 C．12米 D．15米 ▌对点练1-2小明和小红在太阳光下行走，小明身高米，他的影长3米，小红比小明矮厘米，此刻小红的影长是___________米． ▌对点练1-3如图，阳光下树的影子落在地上（）和墙上（），此时测得，．同一时刻，测得一根长为的垂直于地面的标杆的影长为，则树的高度为_______． 题型中心投影确定光源位置 解题贴士 分别连接物体顶端和对应影子顶端得到两条光线，将两条光线延长，交点即为点光源；画图时注意线条要延伸到位，找准两组对应端点。 ▌例1下列四个选项中，图中的灯光与物体的影子是最合理的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1下列选项中灯泡与影子的位置最合理的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处． ①点光源所在的位置是____________（从，，，中选择一个）； ②若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为____________米． ▌对点练1-3如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子； (2)如果小明的身高，他的影子，且他到路灯的距离，求灯泡的高度比小明高多少米？ 题型 中心投影影长计算 解题贴士 中心投影依靠位似（相似三角形）求解，不存在固定的物高影长比值，理清物体、光源、影子三者的位置关系，找准相似三角形再列等式。 ▌例1如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺的一边长为，则投影三角形的对应边长为（  ） A． B． C． D． ▌对点练1-1一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是_________米． ▌对点练1-3如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小红的身高是米，那么路灯A离地面的高度的长为多少米？ 题型 判断线段、平面图形的正投影形状 解题贴士 抓住图形和投影面的相对位置关系，分平行、倾斜、垂直三种情况分析，平面图形垂直投影面时投影是线段，不要误判成点。 ▌例1如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 ▌对点练1-3图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 题型 画出简单平面图形的正投影 解题贴士 遵循先定点、后连线的顺序，先找出多边形每个顶点的正投影，再顺次连接投影点，注意正投影要求投影线垂直于投影面。 ▌例1如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影． (1) (2) ▌对点练1-1如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． ▌对点练1-2投影线的方向如箭头所示，画出如图所示正四棱锥的正投影． 题型 投影综合实际应用题 解题贴士 先读懂题意画出示意图，第一步先判定投影类型，选用对应的模型求解，结合现实情况检验长度结果，答题规范写明结论。 ▌例1如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 ▌对点练1-2小猫在一片废墟中玩耍时发现一只小老鼠，当小老鼠位于点A、B、E和点__时，不易被小猫发现，因为这些点位于小猫的__，如图所示． ▌对点练1-3随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据： 基础通关 1．晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（     ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 2．小志的身高和小明的身高一样，在同一路灯下比较他们的影子，则（     ） A．小明的长 B．小志的长 C．一样长 D．无法判断 3．小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 4．甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为，，，则三根木棒中最长的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 5．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 7．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 8．长3米的旗杆直立在水平面上，它的阳光下的影子长为米．此时，某棵水杉的影子长为21米，该水杉的高为（   ）米 A．35 B． C．36 D． 9．在同一路灯下，两棵高矮不等的树的高度________同时等于各自的影长．（填“可能”或“不可能”） 10．阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 11．比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子米短跑比赛，一段时间后又参加了女子米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加米接力赛的照片是___（填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 12．如图，夜晚三个身高相同的小朋友站在路灯下，___________的影子最长．（填“甲”，“乙”或“丙”） 13．下面四幅图中，能表示两棵树在同一盏路灯下的是 ．（填对应选项） A． B． C． D． 14．如果一根高4m的旗杆在太阳光下的影长为6m，与它临近的一个建筑物的影长为m，那么这个建筑物的高是多少？ 15．甲、乙两根木杆竖直地立在平地上，其中甲木杆的高度为，乙木杆的高度为．在某一时刻，甲木杆在太阳光下的影子如图所示，请你在图中画出此时乙木杆在太阳光下的影子． 素养提升 1．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 3．手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 4．如图，将木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒照射木棒，在墙面上形成投影，过点作，分别与，交于点，，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 5．教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 6．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 7．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆为，它的影长为，同一时刻旗杆的影长EF为，已知点，，，在同一水平线上，则旗杆的高度为________． 8．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 9．如图，成都公园内有一塔楼，其垂直于水平地面，有一天，小明去该公园玩耍，看到此塔，他萌生了测量其高度的想法．他观察到阳光下塔的影子落在地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为100米，坡面上的影长为20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米． (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的塔楼高度． 10．根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．    说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．    素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得．    问题解决 (1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 迁移创新 1．数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 2． 探究活动主题 物体在不同光源下的影子 情境一：阳光下的测量 如图1，广场上的景观灯与地面垂直．某日上午，身高的小陈刚好站在景观灯影子的顶端点A处，并做了标记．测量发现景观灯底座中心O，影子顶端A，小陈影子顶端M三点共线．此时小陈的影子长，且点A到景观灯底座中心O的距离． 情境二：灯光下的变化 如图2，到了晚上，小陈从做了标记的A点沿着A→O方向走了到达B点． 问题解决 （1）请根据情境一中的数据求出景观灯的高度； （2）请在图2中画出小陈站在A点和B点时，在景观灯（点P为光源）照射下形成的影子； （3）判断小陈在B点时影子的长度比在A点时影子的长度变长了还是变短了，并求出变化了多少米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十三章 投影与视图 33.1 投影 课标要点 1.通过实例了解投影、投影面、平行投影、中心投影的概念，能区分平行投影与中心投影。 2.理解正投影的含义，掌握线段、平面图形正投影的变化规律，会画出简单平面图形的正投影。 3.感受投影与生活的联系，发展空间观念，体会从实物抽象成几何图形的转化思想。 学习重难点 重点： 识别平行投影、中心投影，理解二者的区别。 掌握正投影的概念，掌握线段、平面图形正投影的规律，能画出简单图形的正投影。 难点： 根据影子反向确定光源位置，利用中心投影、平行投影的特点解决影子相关实际问题。 判断平面图形相对于投影面不同位置时，正投影的形状、大小变化。 知识点 投影的有关概念 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做投影，这时的照射光线叫做投影线（也称投射线），投影所在的平面叫做投影面。 形成投影需要同时具备三个条件：一是要有物体，二是要有光线（光源），三是要有承接影子的平面（投影面）。三者缺一，就谈不上投影。例如，夜晚路灯下行人在地面上的影子、阳光下旗杆在地面上的影子，都是投影；而物体放在完全黑暗的房间里，即使有投影面，也不会产生投影。 投影的大小和形状由物体本身、光线方向以及投影面与物体的相对位置共同决定。同一物体在不同光线、不同投影面下，投影可能完全不同。 特别提醒 投影是“影子”，不是物体本身，也不是物体在平面上的“截面”。判断某个图形是不是投影，关键看它是否由光线照射形成、是否落在某个平面上。另外，“投影线”与“光线”是同一回事，只是名称不同，不要误认为投影线是物体边缘的轮廓线。 随学随练 1．甲、乙两个垂直于地面的建筑物高度相同，同一时刻，同一地点，甲、乙两建筑物在太阳光下的影子长度（    ） A．一样长 B．甲比乙长 C．乙比甲长 D．无法确定 【答案】A 【分析】在同一时刻、同一地点，相同高度的物体，影长相等，再根据甲、乙建筑物高度相同，即可解答． 【详解】解：甲、乙两个垂直于地面的建筑物高度相同， ∴同一时刻，同一地点，甲、乙两建筑物在太阳光下的影子一样长． 2．小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵太阳光是平行光， ∴相等长度的木棍的投影应该在同一侧，且影子的长度相等，只有选项C符合． 3．如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了在太阳光下的平行投影，解答本题的关键是要抓住太阳一天中运动的方位特点来确定物体影子所处的方位．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例． 【详解】解：太阳从东边升起最后从西边落下，树的影子应该在西面开始，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动， ∴按时间先后顺序排列序号应为④②①③． 故选：B． 知识点 平行投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影。太阳光可以近似地看成平行光线，因此物体在太阳光下形成的影子，通常按平行投影来处理。 平行投影有两个基本特征：其一，同一时刻、同一地点，所有物体的投影线方向相同，因而各物体的影子方向一致；其二，同一时刻、同一地点，物体高度与其影长成比例，即“物高∶影长”为定值。这一比例关系是解决阳光下测高问题的核心依据：只要测出一根已知高度标杆的影长，再测出待测物体的影长，就可以用比例式求出物体高度。 此外，平行投影中，平行于投影面的线段，其投影与原线段平行；平行于投影面的平面图形，其投影与原图形相似。 特别提醒 太阳光“近似”平行，是数学上的理想化处理，实际太阳光并非严格平行，因此测量时应在同一时刻、同一地点进行，且尽量选在阳光斜射、影子清晰的时候。另外，“物高∶影长”为定值的前提是物体都竖直放置在同一水平面上，若物体倾斜或地面有坡度，比例关系不再成立。还要注意：平行投影下，不同物体的影子不会相交于一点（这是与中心投影的重要区别）。 随学随练 1．唐代李白在《日出行》一诗中这样写着：“日出东方隈，似从地底来．”描述的是日出的景象，意思是太阳从东方升起，好像从地底出来．如图，此时观测到海平线和太阳所成的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】海平线以下的部分是看不见的，用虚线表示，海平线以上的是看得见的，用实线表示，据此可得答案． 【详解】解：根据题意可知此时观测到海平线和太阳所成的图形是． 2．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行投影的性质：平行直线的平行投影是平行或重合的直线，矩形两组对边分别平行，故其影子（非线段时）应为平行四边形． 【详解】解∶∵太阳光线是平行光线， ∴矩形木框在地面上的影子属于平行投影． ∵矩形的两组对边分别平行， ∴根据平行投影的性质，其在地面上的影子（当不重合为一条线段时）两组对边也应分别平行，即影子应为平行四边形（包含矩形）． 当矩形木框所在平面与光线平行时，影子为一条线段． ∴A是梯形，只有一组对边平行，不可能是矩形的影子； B是线段，可能是矩形平面与光线平行时的影子； C是矩形，可能是矩形平面与地面平行时的影子； D是平行四边形，可能是矩形平面倾斜时的影子． 综上所述，矩形木框在地面上的影子不可能是A． 3．宋代诗人欧阳修在《送裴如晦之吴江》中写道“鸡鸣车马驰，夜半声未已．皇皇走声利，与日争寸晷”．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，则晷针在晷面上所形成的投影属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【分析】根据太阳光属于平行光线解答即可． 【详解】解：∵太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻， ∴晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 4．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 【答案】 【分析】设两条光线分别切皮球于点，交地面于点，由题意可得， ，过点作于点 ，根据平行线的性质，矩形的判定和性质可得，四边形是矩形 ， ，根据太阳光线与地面成的角，余角的性质，求出，利用解直角三角形进行解答，即可． 【详解】解：如图，设两条光线分别切皮球于点，交地面于点， ∴ ， 过点作于点 ， ∵太阳光线是平行的 ， ∴ ， ∵是皮球直径，光线与球相切， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴四边形是矩形 ， ∴ ， ∵太阳光线与地面成的角， ∴ ， ∴， ∴在中，， ∴， ∴皮球的直径是 ． 知识点 中心投影 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。手电筒、台灯、路灯、电影放映机发出的光，都可以近似看成由一点发出，它们形成的影子属于中心投影。 中心投影最显著的特征是：所有投影线都交于同一点，即光源所在的位置。因此，同一光源下不同物体的影子，其延长线必过光源；反过来，已知两个物体的影子，把影子端点与对应物体顶端相连，两条直线的交点就是光源位置。这是确定点光源位置的基本方法。 中心投影中，物体离光源越近，影子越大；离光源越远，影子越小。物体与投影面（如地面）的距离越大，影子也越大。当物体与投影面平行时，其投影与原图形相似，但大小一般不相等。 特别提醒 中心投影与平行投影的根本区别在于光线是否平行，判断时看“影子是否向同一方向、是否等比例”，或看“影子延长线是否交于一点”。常见错误是把灯光下的影子当作平行投影，用“物高∶影长”去计算，这是不成立的——灯光下物高与影长不成固定比例。另外，点光源在物体与投影面之间时，影子会落在光源的另一侧，作图时要注意光源、物体、影子三者的位置关系。 随学随练 1．夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 【答案】A 【分析】从路灯光源类型入手，结合投影的分类定义判断. 【详解】解：∵路灯属于点光源，点光源形成的投影为中心投影. ∴夜晚路灯下行人的影子属于中心投影. 2．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（     ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 【答案】D 【详解】在同一路灯下，由于小明和小强位置不确定，所以虽然影子一样长，但无法判断谁的身高高． 3．如图小树高，在路灯M的照射下形成投影，树与路灯的距离．则路灯高为______． 【答案】 【分析】根据 得到 ，利用相似三角形对应边成比例列出方程，代入数据求解即可. 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵，， ， ∴ ， ∴ ， ∴． 4．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【答案】 【分析】根据证明，得到，根据矩形与矩形位似得，再求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 知识点 正投影及其性质 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。正投影是平行投影的特殊情形，也是画三视图的直接依据。 正投影的形状和大小，取决于物体相对于投影面的位置。以线段和平面图形为例，可归纳如下： 物体相对于投影面的位置 线段的正投影 正方形纸板的正投影 平行于投影面 与原线段等长的线段 与原正方形全等的正方形 倾斜于投影面 比原线段短的线段 矩形，长和宽都不大于原正方形的边长 垂直于投影面 一个点 一条线段 由上表可见：当物体平行于投影面时，正投影能真实反映物体的形状和大小；倾斜时形状、大小都会“缩水”；垂直于投影面时，线段退化为点，平面图形退化为线段。这正是三视图中“长对正、高平齐、宽相等”的几何来源。特别提醒 正投影一定是平行投影，但平行投影不一定是正投影，二者是“特殊与一般”的关系，不能混为一谈。作正投影时，投影线必须与投影面垂直，若光线斜射，得到的就不是正投影。另外，正投影中“平行于投影面的图形与原图形全等”只对平面图形成立，立体图形的正投影一般只是它的一个“轮廓”，不能据此认为立体图形与投影全等。 随学随练 1．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，熟练掌握平行光线垂直于投影面时的投影为正投影是解题关键． 当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 【详解】解：当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱边在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 故选：C ． 2．当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影的性质，掌握当物体的面平行于投影面时，正投影与该面形状、大小相同是解题的关键． 当正方体的一个面平行于投影面时，其正投影即为该面本身，因此投影面积为该正方形的面积． 【详解】解：∵正方体的某个面平行于投影面， ∴该面的正投影为边长为的正方形， ∴投影面积． 故选：B． 3．一个几何体在一个投影面上的正投影是圆，则这个几何体可以是________．（填写一种即可） 【答案】球（答案不唯一） 【分析】找出一种正投影可以为圆的几何体，列举一种符合条件的即可． 【详解】解：根据正投影的性质，球从任意方向向投影面作正投影，得到的正投影都是圆，满足题目要求， 因此这个几何体可以是球． 4．某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是_________（填序号）． ①矩形   ②线段   ③平行四边形   ④圆 【答案】①②③④ 【分析】本题主要是正投影的问题，熟练掌握正投影的定义是解决本题的关键． 正投影是指图形在垂直于投影方向的平面上的投影．当图形所在平面与投影面垂直时，其正投影可能为一条线段．对于矩形、线段、平行四边形和圆，均存在某种投影方向使其正投影为线段． 【详解】解：①矩形：当矩形所在的平面与投影面垂直时，其正投影是一条线段； ②线段：除投影方向与该线段平行（此时投影为一个点）外，其正投影均为线段； ③平行四边形：当平行四边形所在的平面与投影面垂直时，其正投影是一条线段； ④圆：当圆所在平面与投影面垂直时，正投影为直径的线段． 综上所述，故所有选项均可能使正投影为一条线段． 故答案为：①②③④． 拓展 平行投影、中心投影背后的相似模型辨析 核心归纳：平行投影对应的是平行线构造的相似三角形，中心投影对应的是以光源为位似中心的位似图形，二者虽然都可以用相似求解，但内在规律有本质区别。 平行投影中光线互相平行，形成的是 “A 字型” 平行相似，因此同一时刻、水平投影面下，物高和影长的比值恒定，和物体距离无关；而中心投影的光线交汇于点光源，属于位似变换，位似比会随着物体到光源、物体到投影面的距离改变而改变，不存在固定的物高影长比。 很多易错题的陷阱就在于不分投影类型，直接把太阳光下的比例公式套用到路灯、手电筒的影子问题中。拓展探究：当两个物体、光源、投影面都在同一平面内时，连接物体顶端与影子顶端并延长，若交于一点则为中心投影，若始终平行则为平行投影；利用这个方法既可以判断投影类型，也可以反向确定点光源的位置，还能求解物体高度、影子长度、光源高度这类综合动态问题。 拓展思考：如果投影面不是水平面（倾斜地面、竖直墙面），即使是平行投影，“物高：影长 = 定值” 的结论也不再成立，需要重新构造直角三角形分析。 活学活用 1．某校九年级（1）班同学利用可伸缩的标杆和卷尺测量物体高度，请你帮助同学们完成计算： (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，测得信号塔的影长米，求信号塔的长度； (2)如图2，同学们继续测量电线杆的高度，具体操作如下：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.5米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请结合以上测量数据，求出电线杆的高度． 【答案】(1)信号塔的长度为17米 (2)电线杆的高度为6米 【分析】（1）证明，得出，再代入数据求值即可； （2）由（1）同理可证：，根据相似三角形的性质得出，再代入数据求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， 即， 解得：， 答：信号塔的长度为17米； （2）解：由（1）同理可证：， ， ， 解得：， 答：电线杆的高度为6米． 2．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，、、是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知、在路灯光下的影长分别为，． (1)请画出路灯O的位置和标杆在路灯灯光下的影子； (2)求标杆的影长． 【答案】(1)解：如图： (2)标杆的影长为 【分析】（1）连接并延长，交点即为路灯，连接交地面于，即为标杆在路灯灯光下的影子 （2）如图，为路灯的高，设，先证明,得到，再证明,得到，由此得出，结合已知可列方程解得，进而求出标杆高，，然后证明,得到，再利用比例性质求出即可． 【详解】（1）略 （2）解： ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②，   ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：标杆的影长为． 题型 区分平行投影与中心投影 解题贴士 优先观察光线特征，投影线互相平行为平行投影，投影线延长后交于一点为中心投影；也可借助影子特点辅助判断，切勿仅凭影子长短直接判定投影类型。 ▌例11．台灯照射书本所形成的影子属于______投影．(填“平行”或“中心”) 【答案】中心 【分析】平行投影的光线是平行的(例如太阳光)，中心投影的光线来自同一点光源(例如灯光)．台灯属于点光源，其光线从同一点发散，因此形成的投影为中心投影． 【详解】解：∵台灯的灯光是从点光源发出的光线，而由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影， ∴台灯照射书本所形成的影子属于中心投影． ▌对点练1-1．秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系．秦腔演员在灯光下表演的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题考查的是投影的分类，灵活运用中心投影与平行投影的定义是解题的关键．根据投影的定义可知，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，而灯光属于点光源，因此秦腔演员在灯光下表演的影子是中心投影． 【详解】解：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，灯光属于点光源，秦腔演员在灯光下的影子是由该点光源发出的光线形成的投影，因此是中心投影． 故答案为：中心． ▌对点练1-2城固架花是中国民间刺绣工艺的一种，被誉为“立体的水墨画，民俗的活教材”．架花在台灯下的影子为______投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【分析】本题考查了中心投影与平行投影的定义，结合台灯光线的特点判断投影类型，即可求解． 【详解】解：在投影的分类中，由点光源发出的光线所形成的投影称为中心投影，台灯属于点光源，其光线是从同一点发出的，因此架花在台灯下的影子为中心投影． 故答案为：中心． ▌对点练1-3舞台上灯光流光溢彩，舞者如梦如幻，舞者在灯光照射下的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题主要考查了中心投影，舞台灯属于点光源，光线呈放射状，非平行，故影子属中心投影． 【详解】解：投影分为平行投影与中心投影，平行投影的光线相互平行，如日光；中心投影的光线自一点发出，如舞台灯光．本题中灯光为点光源，光线发散，形成影子时属中心投影． 故答案为：中心． 题型 平行投影物高影长比例计算解题贴士 该比例成立的前提是同一时刻、投影面水平，列式时对应好物高与影长，尽量列出对应成比例的两组量，计算后检验结果是否符合实际。 ▌例1我市某校墙边有甲、乙两根立柱，同一时刻测得甲、乙两根立柱在太阳光下的影子的长度分别是米和米，乙立柱的高度为米，则甲立柱的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】利用同一时刻太阳光下物高与影长成正比的关系列比例式求解即可． 【详解】解：设甲立柱的高度为米． ∵同一时刻太阳光下物高与影长成正比， ∴，解得． ▌对点练1-1某校数学兴趣小组为测量学校旗杆高度，测得长为米的标杆，其影子长度为米，并测得旗杆的影子长度为6米，则旗杆的高度为（   ） A．3米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】C 【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比的性质，列比例式求解，即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵同一时刻同一地点物高与影长成正比， ∴， 解得：， 即旗杆高度为12米． ▌对点练1-2小明和小红在太阳光下行走，小明身高米，他的影长3米，小红比小明矮厘米，此刻小红的影长是___________米． 【答案】 【分析】本题考查平行投影的性质，核心是同一时刻、同一地点，太阳光下物体的高度与影长的比值为定值(由相似三角形对应边成比例推导而来)． 【详解】解：厘米米，小红的身高为米； 设小红的影长为米， ∴， 解得； 故答案为：． ▌对点练1-3如图，阳光下树的影子落在地上（）和墙上（），此时测得，．同一时刻，测得一根长为的垂直于地面的标杆的影长为，则树的高度为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行投影的特征，相似三角形的性质．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．设地面影长对应的树高为，根据同时同地物高与影长成正比，列出比例式，求出，然后加上墙上的影长即为树的高度． 【详解】解：设地面影长对应的树高为， 由题意得，， 解得， ∵墙上的影子长为， 树的高度为． 故答案为：． 题型中心投影确定光源位置 解题贴士 分别连接物体顶端和对应影子顶端得到两条光线，将两条光线延长，交点即为点光源；画图时注意线条要延伸到位，找准两组对应端点。 ▌例1下列四个选项中，图中的灯光与物体的影子是最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影，根据对应点的连线经过点光源即可判断求解，掌握中心投影的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵对应点的连线经过点光源， ∴灯光与物体的影子最合理的是， 故选：． ▌对点练1-1下列选项中灯泡与影子的位置最合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项中点光源的位置及所给物体的大致轮廓，即可得到影长的大致位置. 【详解】根据中心投影的特点可知，光线照在物体上，在其背面形成影子，因此可知A，C，D错误，B正确，故答案选择B. 【点睛】本题主要考查的是投影的知识，需明确光源、物体与影子的位置关系. ▌对点练1-2如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处． ①点光源所在的位置是____________（从，，，中选择一个）； ②若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为____________米． 【答案】 C 【分析】（1）利用甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的，一部分落在斜坡上即可得到点光源的位置； （2）延长交于点，已知点光源发出的过点的光线，，可得，根据，可得，在中，已知，可得，结合，即可求得乙杆的高度； 【详解】（1）如图所示，点即为点光源所在的位置， 故答案为：C （2）延长交于点， ∵点光源发出的过点的光线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴乙杆的高度为米． 故答案为： 【点睛】本题主要考查中心投影及勾股定理的应用，根据已知条件确定点光源的位置是解题的关键． ▌对点练1-3如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子； (2)如果小明的身高，他的影子，且他到路灯的距离，求灯泡的高度比小明高多少米？ 【答案】(1)如图，点为灯泡所在的位置，线段为小亮在灯光下形成的影子． (2)灯泡的高度比小明高． 【分析】（1）连接并延长，交于点，则点为灯泡所在的位置，连接并延长交直线于点，则线段为小亮在灯光下形成的影子； （2）可证明，，据此代入数值计算的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，可得， ， ，即， 解得， ． 答：灯泡的高度比小明高． 题型 中心投影影长计算 解题贴士 中心投影依靠位似（相似三角形）求解，不存在固定的物高影长比值，理清物体、光源、影子三者的位置关系，找准相似三角形再列等式。 ▌例1如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺的一边长为，则投影三角形的对应边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键． 根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，即可得出投影三角形的对应边长． 【详解】∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的一边长为， ∴投影三角形的对应边长为：． 故选：C． ▌对点练1-1一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比． 【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即． 已知，，则相似比为； 又，故． 故选：C． ▌对点练1-2如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是_________米． 【答案】8 【分析】设旗杆高为x，在两个小直角三角形里用勾股定理表示、，再在中利用勾股定理列方程，求出旗杆高度． 【详解】解：如图， 由题意得米，米，， 米， 设米， ，， ， ， ， ， ， ， 米，即旗杆的高度是米． ▌对点练1-3如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小红的身高是米，那么路灯A离地面的高度的长为多少米？ 【答案】路灯A离地面的高度的长为米 【分析】由题意可证明，可得，解得，，则，由（米），代入可求． 【详解】解：如图： 由题意得，， ∴， ， ∴，， 解得，， ∴， ， （米）， （米）． 题型 判断线段、平面图形的正投影形状 解题贴士 抓住图形和投影面的相对位置关系，分平行、倾斜、垂直三种情况分析，平面图形垂直投影面时投影是线段，不要误判成点。 ▌例1如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，熟练掌握平行光线垂直于投影面时的投影为正投影是解题关键． 当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 【详解】解：当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱边在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 故选：C ． ▌对点练1-1光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正投影的形状判断，掌握根据立体图形的形状和投影方向，分析正投影的形状是解题的关键． 分别分析每个立体图形在光线由上到下照射时的正投影形状，找出正投影不是圆形的图形． 【详解】解：A、球的正投影是圆形，不符合题意； B、圆柱的正投影是圆形，不符合题意； C、圆锥的正投影是圆形，不符合题意； D、正方体的正投影是正方形，不是圆形，不符合题意． 故选：D． ▌对点练1-2如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，理解正投影的定义是解题的关键． 根据“投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”判断即可． 【详解】解：如图： 当平面图形垂直于投影面时，其正投影是线段； 故选：C． ▌对点练1-3图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投影的概念，理解投影的定义，数形结合分析是关键． 根据立体图形的特点，投影的定义，数形结合分析即可． 【详解】解：圆锥体的投影是， 故选：C ． 题型 画出简单平面图形的正投影 解题贴士 遵循先定点、后连线的顺序，先找出多边形每个顶点的正投影，再顺次连接投影点，注意正投影要求投影线垂直于投影面。 ▌例1如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影． (1) (2) 【答案】(1) 解：圆柱从上向下的正投影如图； ． (2) 解：圆柱从上向下的正投影如图； ． 【分析】本题主要考查了正投影的定义，确定从上方看和从左侧看到的图形是解题的关键． （1）画出圆柱从上向下看到的图形即可； （2）画出圆柱从左向右看到的图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练1-1如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 【答案】 投影线从前向后的正投影是带有两条线的矩形，如图． 【分析】本题考查作正投影，关键是在画图时要弄清投影面及投影方向，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线． 【详解】略 ▌对点练1-2投影线的方向如箭头所示，画出如图所示正四棱锥的正投影． 【答案】 如图所示： 【详解】试题分析：根据正投影的定义结合图形的特点即可作图． 试题解析：略 点睛：此题主要考查了作正投影，关键是在画图时首先弄清投影面及投影方向，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 题型 投影综合实际应用题 解题贴士 先读懂题意画出示意图，第一步先判定投影类型，选用对应的模型求解，结合现实情况检验长度结果，答题规范写明结论。 ▌例1如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． ▌对点练1-1如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 【答案】C 【分析】根据视点，视角和盲区的定义，观察图形，选出答案． 【详解】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C. 【点睛】本题考查的是视点，视角和盲区在实际中的应用，比较基础，难度不大． ▌对点练1-2小猫在一片废墟中玩耍时发现一只小老鼠，当小老鼠位于点A、B、E和点__时，不易被小猫发现，因为这些点位于小猫的__，如图所示． 【答案】 C 盲区 【分析】根据盲区的定义，作出盲区，然后从图上找到位于盲区内的点即可求解． 【详解】分别以小猫的眼睛为端点，分别作出图上3个障碍物后的盲区，通过图示可看出位于盲区内的位置分别是：B，C，A，E． 故答案为C； 原因：这些点位于小猫的盲区． 故答案为C，盲区． 【点睛】本题考查了盲区的定义和盲区的作图．解决本题的关键是根据盲区的定义正确的画出小猫的盲区图． ▌对点练1-3随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据： 【答案】汽车从处前行米才能发现处的儿童． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用；连接，并延长交于点，证明得出，在中，求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点， 由图知：， ， ，即， ． 在中， ，即， ， ． 答：汽车从处前行米才能发现处的儿童 基础通关 1．晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（     ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】从一天中太阳高度的变化规律切入，推导纪念碑影子的长度变化. 【详解】解：从早到晚，太阳高度先变大后变小. 同一物体在太阳光下的影子长度随太阳高度增大而变短，随太阳高度减小而变长. 因此纪念碑的影子先变短后变长. 2．小志的身高和小明的身高一样，在同一路灯下比较他们的影子，则（     ） A．小明的长 B．小志的长 C．一样长 D．无法判断 【答案】D 【分析】根据影长由身高和人到路灯的距离共同决定，即可判断． 【详解】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长． 3．小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【详解】解：∵太阳光线是平行光线，矩形的对边平行， ∴矩形对边在平行投影下得到的投影仍然平行， ∴平行四边形，矩形、正方形都是特殊的平行四边形，倾斜放置或合适角度都可以得到， 当矩形纸片与光线平行放置时还可投影得到线段， 等腰梯形只有一组对边平行，不符合平行投影的性质，因此不可能是等腰梯形． 4．甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为，，，则三根木棒中最长的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】D 【分析】根据平行投影的性质，平行投影中只有同一时刻垂直于地面的物体，物高才与影长成正比，题目未给出木棒垂直放置的条件，无法确定木棒长度关系． 【详解】解：∵ 平行投影中，物高与影长成正比的前提是物体在同一时刻垂直于地面放置，本题未说明三根木棒均垂直立于地面，无法得到木棒长度和影长的确定对应关系； ∴ 无法确定三根木棒中哪根最长． 5．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面可证三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 即， ， ， ， ，． ． ， ． ． 故选∶D． 6．如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 7．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子不符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子符合题意． 故选：D． 8．长3米的旗杆直立在水平面上，它的阳光下的影子长为米．此时，某棵水杉的影子长为21米，该水杉的高为（   ）米 A．35 B． C．36 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据同一时刻，平行光线照射下，物体高度与影子长度的比值相等，列出比例式求出水杉高度． 【详解】解：设该水杉的高为米， ∵同一时刻物体高度与影子长度的比值相等， ∴， 解得：， 即该水杉的高为35米， 故选：A． 9．在同一路灯下，两棵高矮不等的树的高度________同时等于各自的影长．（填“可能”或“不可能”） 【答案】可能 【分析】同一路灯的投影为中心投影，可通过相似三角形判断是否存在符合条件的情况． 【详解】解：如图，设路灯高度为，两棵高矮不等的树高度分别为，，满足，两棵树到路灯底部的水平距离分别为，，对应影长分别为，， 根据相似三角形的性质可得 ， ， 若要求，，代入化简可得，， 例如路灯高 米：甲树高米、距灯柱 米， 乙树高 米、距灯柱 米； 此时两棵树高矮不等，但影长同时等于各自的树高． ∴ 两棵高矮不等的树的高度可能同时等于各自的影长． 10．阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【分析】本题主要考查平行投影的概念，解题关键是熟练掌握平行投影与中心投影的概念区别，根据平行投影的定义进行判断即可，平行投影是指由平行光线所形成的投影． 【详解】解：阳光发出的光线可以看成是平行光线，像这样的平行光线所形成的投影叫做平行投影，阳光照射下体育馆的影子属于平行投影． 故答案为：平行． 11．比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子米短跑比赛，一段时间后又参加了女子米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加米接力赛的照片是___（填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 【答案】甲 【分析】本题考查了平行投影，根据从早晨到傍晚，物体的影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，即可求解，熟练掌握平行投影的特征是解题的关键． 【详解】解：根据平行投影的规律，可知从早晨到傍晚，物体的影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∵比赛是在下午进行的，先参加比赛，再参加比赛， ∴甲照片是参加时照的，乙照片是参加时照的， 故答案为：甲． 12．如图，夜晚三个身高相同的小朋友站在路灯下，___________的影子最长．（填“甲”，“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】本题考查了中心投影的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 根据相同高度的物体，距离灯光越远，则影子越长解答即可． 【详解】解：由图可知，三个身高相同的小朋友站在路灯下，丙离路灯最远，则丙的影子最长． 故答案为：丙． 13．下面四幅图中，能表示两棵树在同一盏路灯下的是 ．（填对应选项） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握中心投影的定义． 根据中心投影的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线不会交于一点，不符合中心投影的特征，故A选项错误； B、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线交于一点，符合中心投影的特征，故B选项正确； C、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线是平行的，符合平行投影的特征，不是中心投影，故C选项错误； D、图中树高与影子成反比，故D选项错误． 故选：B． 14．如果一根高4m的旗杆在太阳光下的影长为6m，与它临近的一个建筑物的影长为m，那么这个建筑物的高是多少？ 【答案】 这个建筑物的高为m 【分析】同一时刻、同一地点，太阳光线可以看作是平行的，因此不同物体的高度与其对应的影长之比是相等的． 【详解】解：设这个建筑物高m，依题意可得： ， 答：这个建筑物高m． 15．甲、乙两根木杆竖直地立在平地上，其中甲木杆的高度为，乙木杆的高度为．在某一时刻，甲木杆在太阳光下的影子如图所示，请你在图中画出此时乙木杆在太阳光下的影子． 【答案】 【分析】同一时刻太阳光下的光线是互相平行的，先根据甲木杆确定光线方向，再利用平行线的画法即可得到乙木杆的影子，用到平行投影的基本性质． 【详解】解： 连接甲木杆的顶端与甲木杆影子的顶端，得到此时太阳光的光线方向． 过乙木杆的顶端作上述光线的平行线，与地面交于一点． 连接乙木杆的底端与该交点，所得线段即为此时乙木杆在太阳光下的影子． 理由： 设甲木杆为，其影子为，乙木杆为，其影子为， ∵都垂直于水平地面，都 在水平地面上， ∴， ∴， 又∵太阳光线， ∴， ∴， ∵， ∴． 素养提升 1．如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 2．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作，交于点， ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为． 3．手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示手影，则，作于点，延长交于，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，如下图： 即， 又， ∴， ∴， 即， ∴光源与小明的距离应减小米． 4．如图，将木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒照射木棒，在墙面上形成投影，过点作，分别与，交于点，，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 5．教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 【答案】 【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度． 【详解】解：因为同一时刻物高与影长成比例， 所以：， 即：， 解得落在地上的影长对应的树的高， 所以树的高度为：． 6．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 【答案】， 【分析】明确投影的分类，投影分为平行投影和中心投影， 再根据各字母投影的光线特征，确定与字母“”投影类型相同的字母． 【详解】平行投影时光线是平行的，光线之间互不相交，如太阳光；中心投影时光线从同一个点发射出来，光线交汇于一点，离光源越近，影子越大，灯光、手电筒等． 观察字母“”的投影，其光线呈现平行特征，因此字母“”的投影属于平行投影； 观察字母“”的投影，其光线交于一点，符合中心投影的特征，故字母“”的投影为中心投影； 观察字母“ ”和“ ”的投影，其光线互相平行，符合平行投影的特征，故字母“ ”和“ ”的投影为平行投影； ∴与字母“”属于同一种投影的字母是，． 7．如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆为，它的影长为，同一时刻旗杆的影长EF为，已知点，，，在同一水平线上，则旗杆的高度为________． 【答案】/12米 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，代入数值计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 、， ， ， ， ， （）． 8．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 【答案】 【分析】如解图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点，证明，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，进行求解即可. 【详解】解：如图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点， ∵点，横杆两端的坐标分别为，， ∴，轴， ∴，，，， ∴， ∴. 9．如图，成都公园内有一塔楼，其垂直于水平地面，有一天，小明去该公园玩耍，看到此塔，他萌生了测量其高度的想法．他观察到阳光下塔的影子落在地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为100米，坡面上的影长为20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米． (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的塔楼高度． 【答案】(1)点C到水平地面的距离为米 (2)小明测得的塔楼高度米 【分析】（1）过作于，根据得到点C到水平地面的距离为； （2）延长与交于点，先求出，，再根据身高和影长比例一样列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 过作于， ∴点C到水平地面的距离为（米）； （2）解：延长与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米， ∴， ∴， ∴由得到， 由得到， ∴小明测得的塔楼高度米． 10．根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子．    说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得．    素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得．    问题解决 (1)问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． (2)问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． (3)问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】(1)解：， ， ， ， ． (2)小陈同学还要测量； (3) 【分析】（1）利用平行线的性质，垂直的定义，三角形相似的判定，解答即可． （2）根据光的反射原理，证明，根据相似解答即可． （3）延长交的延长线于点H，设，根据同一时刻，物高与影长成正比，列比例求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：小陈同学还要测量． ， ， 根据光的反射原理，得， ， ， ，，， ． 解得， 故旗杆的高度为． （3）解：如图，延长交的延长线于点H，设， 根据同一时刻，物高与影长成正比， 得， ， 解得， ∴， 故旗杆的高度为． 迁移创新 1．数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【答案】(1)C (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； (3) 【分析】（1）（2）根据中心投影的特点可得，接着证明，利用相似三角形对应边成比例推出，然后由、、均为定值即可得出结论； （3）证明，，再根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例推出，，代入数据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （2）略 （3）解：∵，，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴此时投影的长度为． 2． 探究活动主题 物体在不同光源下的影子 情境一：阳光下的测量 如图1，广场上的景观灯与地面垂直．某日上午，身高的小陈刚好站在景观灯影子的顶端点A处，并做了标记．测量发现景观灯底座中心O，影子顶端A，小陈影子顶端M三点共线．此时小陈的影子长，且点A到景观灯底座中心O的距离． 情境二：灯光下的变化 如图2，到了晚上，小陈从做了标记的A点沿着A→O方向走了到达B点． 问题解决 （1）请根据情境一中的数据求出景观灯的高度； （2）请在图2中画出小陈站在A点和B点时，在景观灯（点P为光源）照射下形成的影子； （3）判断小陈在B点时影子的长度比在A点时影子的长度变长了还是变短了，并求出变化了多少米． 【答案】（1）景观灯的高为17米； （2）如图所示，线段和线段分别是小陈站在A点和B点时，在景观灯照射下形成的影子； （3）小陈影子的长度变短了，变短了1米 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据中心投影画出图形即可； （3）先证明，，再根据相似三角形的性质，，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得，， ， ， ， ， 答：景观灯的高为17米； （2）略 （3）如（2）图所示，根据题意得，， ， ， ，，， ， 解得：， ，， ， ， ，，， ， 解得：， ， 答：小陈影子的长度变短了，变短了1米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $