32.2 解直角三角形及其应用（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十二章 锐角三角函数 32.2 解直角三角形及其应用 课标要点 1.理解解直角三角形的含义，知道直角三角形中边角之间的关系，能利用勾股定理、直角三角形两锐角互余、锐角三角函数解直角三角形。 2.能将实际问题抽象为直角三角形的数学模型，会用解直角三角形的知识解决仰角、俯角、坡度、方向角等简单的实际测量问题。 3.在建立模型解决实际问题的过程中，发展几何直观、模型思想，提升分析问题、运算推理的能力，体会数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.掌握解直角三角形的依据（三边关系、两锐角关系、边角三角函数关系），会解已知两个适当条件的直角三角形。 2.把实际问题转化为解直角三角形问题，识别仰角、俯角、坡度（坡比）、方向角，构造直角三角形并求解。 难点： 1.在非直角的复合几何情境中，通过作辅助线构造直角三角形，转化已知条件。 2.准确理解仰角、俯角、坡度、方向角等实际概念，厘清边角对应关系，避免三角函数选用错误。 3.结合实际情境对结果进行合理取舍，规范书写实际应用题解题步骤。 知识点 解直角三角形的含义与基本类型 在直角三角形中，除直角外共有五个元素：三条边和两个锐角。由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。解直角三角形的基本依据是： 1. 三边关系（勾股定理）：； 1. 两锐角关系：； 1. 边角关系：，，。 常见的两类问题是：已知一边和一锐角（如已知斜边 与锐角 ，或已知直角边 与锐角 ）；已知两边（如两条直角边，或斜边与一条直角边）。两类问题都有唯一解。 特别提醒 1.解直角三角形的条件中至少要有一条边。只给两个锐角，三角形形状确定但大小不定，无法求出边长。 2.选公式的原则是“含未知、避已知”：要求哪条边，就选把这条边和已知边（或已知角）联系起来的那个关系式，尽量一步到位，减少中间量带来的误差累积。 3.已知两边求角时，优先用 求角，因为正切只涉及两条直角边，不必先算斜边；已知斜边与一直角边求角时用 或 。 4.结果要按题目要求取近似值（通常保留到小数点后一位或两位），中间过程多保留一位，最后再四舍五入。 5.求出两角后要用 检验，求出三边后要用勾股定理检验，这是最省时的自查方法。 随学随练 1．在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 2．如图在中，，，，则的值为______． 3．在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 知识点 仰角、俯角与测高问题 视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角。测量建筑物高度、山高、塔高等问题，通常把实物抽象为“直角三角形 + 公共直角边”的模型：从观测点向目标作垂线，得到含仰角（或俯角）的直角三角形，再用三角函数求边。 当目标不能直接到达、需要两次观测时（如从 处测得顶端仰角 ，向目标前进 米到 处测得仰角 ），设高为 ，则 即“两个直角三角形共用一条高，用水平距离之差列方程”。 特别提醒 1.仰角、俯角都是视线与水平线的夹角，不是与铅垂线的夹角，画图时务必先画水平线。 2.观测点有高度时（如站在楼顶测另一栋楼），要把观测点高度计入，常见错误是漏加或重复加观测者身高、仪器高。 3.两次观测的模型要设同一个未知量（通常是高 ），用“水平距离之和或差”建立方程，不要分别设两个未知数而缺少方程。 4.若题目给出的是俯角，注意俯角与目标处的仰角是内错角、大小相等，可据此把角“搬”到方便的位置。 5.结果要回到实际情境中检验：高度应为正数，且与目测规模相符；出现负值或明显偏大偏小，多半是方程列反了。 随学随练 1．如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部O的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为_________m．（结果精确到0.1，参考数据：） 3．热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 知识点 坡度、坡角与方向角问题 坡度（坡比）是坡面的铅直高度 与水平宽度 的比，记作 ，通常写成 的形式；坡角 是坡面与水平面的夹角。二者关系为 方向角是以正北或正南方向为基准，向东或向西偏转的角，如“北偏东 ”“南偏西 ”。航行、测距类问题常把方向角转化为三角形的内角，再用正弦定理式的“作高”方法求解。 特别提醒 1.坡度是比值，不是角度； 表示铅直高度与水平宽度之比为 ，对应坡角 满足 ，约 ，不要误写成 。 2.坡度越大，坡越陡，坡角也越大，二者同增同减，可用来快速判断。 3.方向角描述中“北偏东”与“东偏北”含义不同，前者以正北为基准，后者以正东为基准，读题时要逐字对应。 4.方向角问题中，两个观测点与目标往往构成斜三角形，需作高转化为直角三角形；作高时应选择不破坏已知角的那条边。 5.实际问题中的“约”“精确到”要严格遵守，不能把近似值当作精确值继续参与后续精确计算。 随学随练 1．如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 2．2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________． 4．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 拓展 双直角三角形组合模型的通用规律探究（几何模型 + 逻辑推理素养） 核心归纳：很多测高、测距问题由共边的两个直角三角形构成（公共高、共水平线），分为同侧型、异侧型两类，不需要每次重复推导，可总结统一解题思路： 1. 设公共高为未知数h，分别在两个 Rt△中用正切表示水平线段； 2. 利用两条水平线段的和 / 差等于已知距离列方程； 3. 本质是方程思想 + 转化思想，是解直角三角形实际大题最常考的综合模型。 拓展思考：当角度特殊（30°、45°、60°）可直接口算；角度为一般锐角时，依靠方程建立等量关系，弥补单个直角三角形条件不足的局限。 活学活用 1．如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 2．如图，为了测得电视塔的高度，在D处用高为的测角仪，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进，又测得电视塔顶端A的仰角为．求这个电视塔的高度．（精确到） 题型 解直角三角形的相关计算 解题贴士 先梳理直角三角形三边、两角、边角三组关系，看清已知条件，牢记必须至少有一条边才能求解；优先选用原始数据列式，尽量少用中间近似值，合理选择三角函数简化运算。 ▌例1如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，是斜边上的高，，，则的值为________． ▌对点练1-3如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长． 题型 构造直角三角形（作高）求解斜三角形 解题贴士 遇到斜三角形无直角时，过合适顶点向对边作高，把斜三角形拆成两个直角三角形；注意区分高在三角形内部或外部，找准拆分后公共边、共用角的联系。 ▌例1如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，则AB的长为(      )　 A．2 B．3 C．4 D．3 ▌对点练1-1如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（　　） A．4 B．3+ C．5 D．2+2 ▌对点练1-2如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． ▌对点练1-3在中，，，． (1)求边的长； (2)求的值． 题型仰角、俯角测高问题 解题贴士 先找准水平线、视线，分清仰角向上、俯角向下，画出示意图；关注观测点高度，不要遗漏底部的线段长度，结合三角函数建立边角关系列式求高度。 ▌例1如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）． ▌对点练1-3舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 题型 方向角航行测距问题 解题贴士 方向角以正北或正南为基准描述角度，画图时先标出南北方向线；理清航行路线、距离，把方位条件转化为三角形内角，再利用直角三角形关系求解路程或距离。 ▌例1如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（     ）（参考数据：） A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时 ▌对点练1-1上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 ▌对点练1-2如图，小华家位于校门北偏东的方向，和校门的直线距离为的N处，则小华家到校门所在街道（东西方向）的距离约为______．（用科学计算器计算，结果精确到）． ▌对点练1-3为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 题型 坡度、坡角坡面问题 解题贴士 坡度是铅直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切值，不是斜边与底边之比；分清坡面、水平距离、竖直高度三条线段，不要混淆坡度和坡角两个概念。 ▌例1如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为，那么这两棵树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2一个水坝的横断面如图（），背水坡的坡比，坡面长米，迎水坡的坡角，则迎水坡坡面CD是________米． ▌对点练1-3冷水滩某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，且坡度为，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） 题型 双直角三角形模型 解题贴士 两个直角三角形通常共用一条高，优先设公共高为未知数，分别用正切表示水平线段；根据水平距离的和或者差建立方程，这是解决这类问题最常用的思路。 ▌例1如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． ▌对点练1-1某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 ▌对点练1-2如图，一架梯子斜靠在墙上，墙与地面的夹角，当时，端点A离地面的高度为，将梯子底部端点B水平向左移动到点，端点A沿墙竖直向上移动到点，此时，则的长可以表示为_________． ▌对点练1-3新情境消防云梯某种型号的消防车（如图1）车尾处的云梯长度伸缩范围为5~45米，最大张角为70°．在一次出警任务中，由于消防车前方有障碍物，车头只能停在楼前20米的B处（如图2），已知车长米，车高米．起初火势较小，当云梯与水平线夹角为时，正好到达起火楼层E点．小明家所在楼层比起火楼层高15米，由于火势没有完全控制，消防车及时向前挪动，沿方向前进10米，车头停在楼前的D处，并将云梯与水平线夹角调至最大，即．请你通过计算说明此时云梯能否到达小明家所在楼层（图2中所有点均在同一竖直平面内，．参考数据：，，）． 题型 解直角三角形方案测量问题 解题贴士 结合实际可测量的量设计方案，优先选择便于测量的边长、角度；画图说明测量位置，把实际测量方案转化为直角三角形模型，最后检验结果是否符合现实意义。 ▌例1某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动目的 测量零件的内孔直径 使用工具 交叉卡钳（）， 活动方案 “测角仪”方案 “测距仪”方案 方案 示意图       实施过程 ①如图放置交叉卡钳； ②用测角仪测量角． ①如图放置交叉卡钳； ②测量，两点间的距离． 测量数据 ． ． 备注 参考数据：，，． ，均与底面平行； 请你从以上两种方案中任选一种，计算零件的内孔直径． ▌对点练1-1项目学习 汾河作为黄河的第二大支流，穿太原城区而过，其河面宽度因河段功能（如自然湿地、河道景观）不同在50米至300米间变化，为几何测量提供了真实场景．为了测量一条南北方向且两岸平行的河流宽度，三个数学兴趣小组设计了不同的方案，他们在河的东岸点处测得西岸的树H恰好在的正西方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 小组名称 奋进组 创新组 智慧组 测量方案示意图          测量数据 (1)根据上述分析，___________小组的数据无法计算出河宽； (2)选择一个小组的方案及数据求出河宽（结果精确到，参考数据：，）． ▌对点练1-2王老师安排了一次测量旗杆高度的数学综合实践活动（旗杆垂直于地面）．将班级同学分成两个小组分别进行测量，两个小组测量方案和测量所得数据如下表． 课   题 测量旗杆的高度 测量工具 测角仪、卷尺等 测量小组 第一组 第二组 测量方案示意图   （B、C是地面上的两点，且四边形为矩形）   （是地面上的三点，且在同一条直线上） 测量所得数据 米， 米， (1)请对两个小组的测量方案进行论证，你认为哪一种方案可行？ (2)用你认为的可行方案所得的测量数据，计算旗杆的高度．（结果保留整数） （参考数据：) ▌对点练1-3圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数． 参考数据 ，，，，， 基础通关 1．在Rt中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的值是（     ） A． B． C．8 D．10 3．如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（     ） A．米 B．4米 C．米 D．8米 4．如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 5．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 7．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 8．在中，，如果，，那么的值是（       ） A． B． C． D． 9．如图是自动扶梯的截面．的长为米，与的夹角为，则高为___________米．（用的三角函数和表示） 10．如图，在中，，则 的对边是____，的邻边是__________； 的对边是_____，的邻边是_________． 11．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 12．如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为_______． 13．某天下午，天气晴朗，小兵与他的朋友同时站在操场上．小兵身高，他的影子长度是．他朋友的影子长度比他的影子长度短，那么他的朋友有多高？ 14．如图，小聪在B处操作无人机，无人机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度，从无人机上观测地平面B处的俯角．求此时无人机与小聪的距离（参考数据：sin）． 15．如图，在中，，，，求边的长． 素养提升 1．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 2．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 4．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量电视塔的高度．具体过程如下：如图，将无人机上升至距水平地面的C处，测得电视塔顶端A的仰角为，底端B的俯角为，则电视塔的高度是______m（结果保留根号） 5．在平行四边形中，，，，则的长度为__________． 6．如图，在中，，，，则的度数为________． 7．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 8．如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 9．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 10．综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： (1)项目任务一： ， ． (2)项目任务二： 米； 米． (3)项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 迁移创新 1．九年级某学习小组围绕“锐角三角形的面积”开展主题学习活动． 【特例探究】 (1)如图①，在锐角三角形 中 ， ，作 ，垂足为D，求的面积； 【一般证明】 (2)如图②，在锐角三角形 中，记的面积为S，求证： ； 【迁移应用】 (3)如图③，在锐角三角形 中， ， ，，是的平分线，则的长为多少？ 2．某数学兴趣小组计划测量一个通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高，并以此为课题安排了一次名为“以数学丈量通讯塔高度”的主题活动． 实践主题 以数学丈量通讯塔高度 实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识 工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等 测量方案及数据 小组成员在坡底C处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达点E处，在点E处测得塔顶A的仰角为 测量示意图及说明   点B，C在同一条直线上，，所有点均在同一平面内 参考数据 ，， 请根据以上表中的测量方案及数据，求该通讯塔的高（结果保留整数）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十二章 锐角三角函数 32.2 解直角三角形及其应用 课标要点 1.理解解直角三角形的含义，知道直角三角形中边角之间的关系，能利用勾股定理、直角三角形两锐角互余、锐角三角函数解直角三角形。 2.能将实际问题抽象为直角三角形的数学模型，会用解直角三角形的知识解决仰角、俯角、坡度、方向角等简单的实际测量问题。 3.在建立模型解决实际问题的过程中，发展几何直观、模型思想，提升分析问题、运算推理的能力，体会数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.掌握解直角三角形的依据（三边关系、两锐角关系、边角三角函数关系），会解已知两个适当条件的直角三角形。 2.把实际问题转化为解直角三角形问题，识别仰角、俯角、坡度（坡比）、方向角，构造直角三角形并求解。 难点： 1.在非直角的复合几何情境中，通过作辅助线构造直角三角形，转化已知条件。 2.准确理解仰角、俯角、坡度、方向角等实际概念，厘清边角对应关系，避免三角函数选用错误。 3.结合实际情境对结果进行合理取舍，规范书写实际应用题解题步骤。 知识点 解直角三角形的含义与基本类型 在直角三角形中，除直角外共有五个元素：三条边和两个锐角。由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。解直角三角形的基本依据是： 1. 三边关系（勾股定理）：； 1. 两锐角关系：； 1. 边角关系：，，。 常见的两类问题是：已知一边和一锐角（如已知斜边 与锐角 ，或已知直角边 与锐角 ）；已知两边（如两条直角边，或斜边与一条直角边）。两类问题都有唯一解。 特别提醒 1.解直角三角形的条件中至少要有一条边。只给两个锐角，三角形形状确定但大小不定，无法求出边长。 2.选公式的原则是“含未知、避已知”：要求哪条边，就选把这条边和已知边（或已知角）联系起来的那个关系式，尽量一步到位，减少中间量带来的误差累积。 3.已知两边求角时，优先用 求角，因为正切只涉及两条直角边，不必先算斜边；已知斜边与一直角边求角时用 或 。 4.结果要按题目要求取近似值（通常保留到小数点后一位或两位），中间过程多保留一位，最后再四舍五入。 5.求出两角后要用 检验，求出三边后要用勾股定理检验，这是最省时的自查方法。 随学随练 1．在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 【答案】C 【分析】明确已知边与的位置关系，结合三角函数定义，选择计算步骤最少的方法． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ ，可直接代入已知边计算，进而求出， 计算或均需先由勾股定理求出的长度，增加计算步骤， 通过求再计算，需多一步角度换算，步骤更多． 2．如图在中，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】先利用正切定义，求出边长，再用勾股定理计算斜边． 【详解】解：在中，，，． ， 解得． 由勾股定理得： ． 3．在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题主要考查解直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得度数，根据正切的定义求得，再根据正弦的定义求得，即可求解． 【详解】解：因为，，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 知识点 仰角、俯角与测高问题 视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角。测量建筑物高度、山高、塔高等问题，通常把实物抽象为“直角三角形 + 公共直角边”的模型：从观测点向目标作垂线，得到含仰角（或俯角）的直角三角形，再用三角函数求边。 当目标不能直接到达、需要两次观测时（如从 处测得顶端仰角 ，向目标前进 米到 处测得仰角 ），设高为 ，则 即“两个直角三角形共用一条高，用水平距离之差列方程”。 特别提醒 1.仰角、俯角都是视线与水平线的夹角，不是与铅垂线的夹角，画图时务必先画水平线。 2.观测点有高度时（如站在楼顶测另一栋楼），要把观测点高度计入，常见错误是漏加或重复加观测者身高、仪器高。 3.两次观测的模型要设同一个未知量（通常是高 ），用“水平距离之和或差”建立方程，不要分别设两个未知数而缺少方程。 4.若题目给出的是俯角，注意俯角与目标处的仰角是内错角、大小相等，可据此把角“搬”到方便的位置。 5.结果要回到实际情境中检验：高度应为正数，且与目测规模相符；出现负值或明显偏大偏小，多半是方程列反了。 随学随练 1．如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义，判断解答即可． 【详解】解：根据题意，得，，． 2．如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部O的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为_________m．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】2.2 【分析】过点作，由题意可得，， ，，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】解：过点作 ∴，， 由题意可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 3．热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ∴，， ∴这栋高楼的高为． 知识点 坡度、坡角与方向角问题 坡度（坡比）是坡面的铅直高度 与水平宽度 的比，记作 ，通常写成 的形式；坡角 是坡面与水平面的夹角。二者关系为 方向角是以正北或正南方向为基准，向东或向西偏转的角，如“北偏东 ”“南偏西 ”。航行、测距类问题常把方向角转化为三角形的内角，再用正弦定理式的“作高”方法求解。 特别提醒 1.坡度是比值，不是角度； 表示铅直高度与水平宽度之比为 ，对应坡角 满足 ，约 ，不要误写成 。 2.坡度越大，坡越陡，坡角也越大，二者同增同减，可用来快速判断。 3.方向角描述中“北偏东”与“东偏北”含义不同，前者以正北为基准，后者以正东为基准，读题时要逐字对应。 4.方向角问题中，两个观测点与目标往往构成斜三角形，需作高转化为直角三角形；作高时应选择不破坏已知角的那条边。 5.实际问题中的“约”“精确到”要严格遵守，不能把近似值当作精确值继续参与后续精确计算。 随学随练 1．如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】本题考查方向角，根据方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可判断． 【详解】解：如图， ∵一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上， ∴由图可得，这艘渔船的大致位置可以在点处． 故选：B． 2．2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：根据题意，在中，，，米， ∵， ∴（米）． 3．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________． 【答案】 【分析】坡度竖直高/水平宽，题目已给了竖直高度和坡度，代入公式即可求出水平宽． 【详解】解：设， 则 ∴ 解得， 所以水平宽度为． 4．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解决本题的关键是掌握构建直角三角形． 如图，过点C作于点D，从而两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 则，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 拓展 双直角三角形组合模型的通用规律探究（几何模型 + 逻辑推理素养） 核心归纳：很多测高、测距问题由共边的两个直角三角形构成（公共高、共水平线），分为同侧型、异侧型两类，不需要每次重复推导，可总结统一解题思路： 1. 设公共高为未知数h，分别在两个 Rt△中用正切表示水平线段； 2. 利用两条水平线段的和 / 差等于已知距离列方程； 3. 本质是方程思想 + 转化思想，是解直角三角形实际大题最常考的综合模型。 拓展思考：当角度特殊（30°、45°、60°）可直接口算；角度为一般锐角时，依靠方程建立等量关系，弥补单个直角三角形条件不足的局限。 活学活用 1．如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【答案】 【分析】设，求出，，由列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设，由题意可知，三点共线，三点共线，，，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 即这座塔的高度为． 2．如图，为了测得电视塔的高度，在D处用高为的测角仪，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进，又测得电视塔顶端A的仰角为．求这个电视塔的高度．（精确到） 【答案】219米 【分析】设，在中表示出，分别在、中利用三角函数表示出米，米，由米，可知米，据此列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：如图：设， 在中，米， 在中，米， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 答：这个电视塔的高度约为219米． 题型 解直角三角形的相关计算 解题贴士 先梳理直角三角形三边、两角、边角三组关系，看清已知条件，牢记必须至少有一条边才能求解；优先选用原始数据列式，尽量少用中间近似值，合理选择三角函数简化运算。 ▌例1如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，不符合题意； D、，解得，不符合题意． ▌对点练1-1．如图，将一张长方形纸片翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠得，在中求出与，算出的长度．再利用折叠知，推导出，最后直接计算得到． 【详解】解：如图，连接． 由翻折可知， 在中，， ， 在中，， 由翻折的性质可得， ， ， ， ， 则的值为． ▌对点练1-2如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 【答案】 /0.8 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据同角的余角相等得到，最后根据锐角三角函数的定义求出的值． 【详解】解：∵ 是直角三角形，，， ∴ 由勾股定理得 ∵ 是斜边 上的高， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ． ▌对点练1-3如图，在中，，为锐角，，垂足为，若，．求的度数及的长． 【答案】， 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． 根据函数值直接得到的度数以及的长，在中，利用勾股定理可得的长，再由，可得到的长，即可求解． 【详解】解：为锐角，且，， ， ， ． 在中，， ， ． ． 题型 构造直角三角形（作高）求解斜三角形 解题贴士 遇到斜三角形无直角时，过合适顶点向对边作高，把斜三角形拆成两个直角三角形；注意区分高在三角形内部或外部，找准拆分后公共边、共用角的联系。 ▌例1如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，则AB的长为(      )　 A．2 B．3 C．4 D．3 【答案】A 【分析】过A作AD与BC垂直，在直角三角形ACD中，根据题意确定出AD=CD，求出AD的长，再利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长即可． 【详解】过A作AD⊥BC， 在Rt△ACD中，∠C=45°，AC=2， ∴AD=CD=， 在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=2， ∴AB=2AD=2， 故选A． 【点睛】此题考查了解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． ▌对点练1-1如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（　　） A．4 B．3+ C．5 D．2+2 【答案】C 【分析】作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中，求出CD和AD的长，在Rt△BCD中，求出BD的长，即可求出AB的长. 【详解】作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中， ∵∠A=30°，AC=2， ∴CD=, ∴AD=. 在Rt△BCD中， ∵tanB=， ∴BD=2， ∴AB=AD+BD=3+2=5. 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形，如果没有直角三角形则作垂线构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系来解决问题，有时还会用到勾股定理等知识才能解决问题. ▌对点练1-2如图，在中，，，，则的长为________，的面积为________． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． ▌对点练1-3在中，，，． (1)求边的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，由，设，，利用勾股定理求出，，由，求出，最后由即可求出的长； （2）过点作，垂足为，由，求出，再由即可求出结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为， ，， 设，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴，， ， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点作，垂足为， ， ∴， ， ∴ 题型仰角、俯角测高问题 解题贴士 先找准水平线、视线，分清仰角向上、俯角向下，画出示意图；关注观测点高度，不要遗漏底部的线段长度，结合三角函数建立边角关系列式求高度。 ▌例1如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件以及三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得米，最后在中解直角三角形即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴ 在中，， ∴． ▌对点练1-1如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系． 【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面平行， ∴， 在中，，， ∵， ∴． ▌对点练1-2如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）． 【答案】 【分析】通过作水平线构造两个直角三角形，利用矩形性质得到；先用俯角 求出水平距离 ；再利用仰角 的等腰直角三角形特点得到；最后 求出建筑总高度． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形， ． 在中，，则． 在中，， ， ． ▌对点练1-3舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为． (1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________． (2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， （2）解：如图，过点作，分别交，于点，． ，，， ， 四边形，，都是矩形， ，，，． 设，则． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 故桩与桩的距离的长约为． 题型 方向角航行测距问题 解题贴士 方向角以正北或正南为基准描述角度，画图时先标出南北方向线；理清航行路线、距离，把方位条件转化为三角形内角，再利用直角三角形关系求解路程或距离。 ▌例1如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（     ）（参考数据：） A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时 【答案】C 【分析】利用中的三角函数关系求出的长，再用路程除以速度得到轮船行驶时间． 【详解】解：由题意可得，，，千米， ∴在中，，即，解得千米， ∴行驶时间（小时）， 取，得（小时）， 故C选项符合题意． ▌对点练1-1上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】过点B作于点N，解直角三角形可求得的长；再根据直角三角形的性质可得，从而求得的长． 【详解】解：由已知得，（海里），，， ∴， 过点B作于点N， 在直角中，（海里）， 在直角中，（海里）， 即B处与小岛M的距离为海里． ▌对点练1-2如图，小华家位于校门北偏东的方向，和校门的直线距离为的N处，则小华家到校门所在街道（东西方向）的距离约为______．（用科学计算器计算，结果精确到）． 【答案】 【分析】根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． ▌对点练1-3为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)的长度为 (2)解：由题意得，， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：， ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分， ， ∴甲先到达点 ． 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过C作于H， 则，，， ， 在中，， ， ， 答：的长度为； （2）略 题型 坡度、坡角坡面问题 解题贴士 坡度是铅直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切值，不是斜边与底边之比；分清坡面、水平距离、竖直高度三条线段，不要混淆坡度和坡角两个概念。 ▌例1如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为，那么这两棵树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由题意，， ∴. ▌对点练1-1如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：河堤横断面迎水坡的坡比是， ， ， 解得：， 故． ▌对点练1-2一个水坝的横断面如图（），背水坡的坡比，坡面长米，迎水坡的坡角，则迎水坡坡面CD是________米． 【答案】 【分析】过梯形两个上顶点向下底作高，构造两个直角三角形与中间矩形，利用坡比结合勾股定理求出坝高，矩形对边相等得到，由得到是等腰直角三角形，从而，再由勾股定理即可求出坡面长度． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 背水坡的坡比， ， 在中，米，设,则， ， ， ， ， ， ， 米， ， ， 四边形是矩形， 米， ， ， 米， 在中，米． ▌对点练1-3冷水滩某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，且坡度为，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】由题意得，然后利用三角函数可进行求解． 【详解】解：在中，坡度为，， ∴， ， 在中，， ， ． 题型 双直角三角形模型 解题贴士 两个直角三角形通常共用一条高，优先设公共高为未知数，分别用正切表示水平线段；根据水平距离的和或者差建立方程，这是解决这类问题最常用的思路。 ▌例1如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． ▌对点练1-1某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意可知，在和 中，分别利用正弦函数求出和的长，最后根据 即可求解． 【详解】解：由题意可知，光伏板长度不变，即米，且． 在 中，， ， ． 在中， ， ∵， ． ∴米． ▌对点练1-2如图，一架梯子斜靠在墙上，墙与地面的夹角，当时，端点A离地面的高度为，将梯子底部端点B水平向左移动到点，端点A沿墙竖直向上移动到点，此时，则的长可以表示为_________． 【答案】/ 【分析】根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长. 【详解】解：由题意得：，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 的长可以表示为. ▌对点练1-3新情境消防云梯某种型号的消防车（如图1）车尾处的云梯长度伸缩范围为5~45米，最大张角为70°．在一次出警任务中，由于消防车前方有障碍物，车头只能停在楼前20米的B处（如图2），已知车长米，车高米．起初火势较小，当云梯与水平线夹角为时，正好到达起火楼层E点．小明家所在楼层比起火楼层高15米，由于火势没有完全控制，消防车及时向前挪动，沿方向前进10米，车头停在楼前的D处，并将云梯与水平线夹角调至最大，即．请你通过计算说明此时云梯能否到达小明家所在楼层（图2中所有点均在同一竖直平面内，．参考数据：，，）． 【答案】云梯能够到达小明家所在楼层． 【分析】根据解三角形将的长度求出来，比较与米和与米的大小，从而确定云梯是否能够到达小明家所在楼层． 【详解】解：延长交于点G，如图， 由题意，得， 在中，， ， 由题意，得， ， 在中，， （米）， （米）， ，， ∴云梯能够到达小明家所在楼层． 题型 解直角三角形方案测量问题 解题贴士 结合实际可测量的量设计方案，优先选择便于测量的边长、角度；画图说明测量位置，把实际测量方案转化为直角三角形模型，最后检验结果是否符合现实意义。 ▌例1某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动目的 测量零件的内孔直径 使用工具 交叉卡钳（）， 活动方案 “测角仪”方案 “测距仪”方案 方案 示意图       实施过程 ①如图放置交叉卡钳； ②用测角仪测量角． ①如图放置交叉卡钳； ②测量，两点间的距离． 测量数据 ． ． 备注 参考数据：，，． ，均与底面平行； 请你从以上两种方案中任选一种，计算零件的内孔直径． 【答案】零件的内孔直径的长约为 【分析】方案一：如图：过O作，垂足为E，利用等腰三角形三线合一的性质可得、，且，再解直角三角形即可解答； 方案二：先说明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可。 【详解】解：方案一：选择“测角仪”方案 如图：过O作，垂足为E， ∵， ∴，为的平分线， ∵， ∴，且， 在中，， ∴，零件的内孔直径的长约为． 方案二：选择“测距仪”方案 ∵， ∴， ∴， ∴， 即零件的内孔直径的长约为． ▌对点练1-1项目学习 汾河作为黄河的第二大支流，穿太原城区而过，其河面宽度因河段功能（如自然湿地、河道景观）不同在50米至300米间变化，为几何测量提供了真实场景．为了测量一条南北方向且两岸平行的河流宽度，三个数学兴趣小组设计了不同的方案，他们在河的东岸点处测得西岸的树H恰好在的正西方向．测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 小组名称 奋进组 创新组 智慧组 测量方案示意图          测量数据 (1)根据上述分析，___________小组的数据无法计算出河宽； (2)选择一个小组的方案及数据求出河宽（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】(1)创新组； (2)河宽为． 【分析】（1）创新组只知道的长，的度数，无法在一个三角形中求解，无法求出长度； （2）奋进组需要利用三角形外角的性质，求出，进一步推出等腰三角形，最后在中解三角形即可，智慧组需要用到方程思想，设，分别在和中利用正切去建立方程，最后解方程求解即可． 【详解】（1）解：通过分析，创新组只知道的长，的度数，无法在一个三角形中求解，无法求出长度； （2）解：奋进组解法： ， ，即， ， 中，， ， 智慧组的解法： 设， 在中，， ， 在中，， ， ， ，即， 解得：， 答：河宽为． ▌对点练1-2王老师安排了一次测量旗杆高度的数学综合实践活动（旗杆垂直于地面）．将班级同学分成两个小组分别进行测量，两个小组测量方案和测量所得数据如下表． 课   题 测量旗杆的高度 测量工具 测角仪、卷尺等 测量小组 第一组 第二组 测量方案示意图   （B、C是地面上的两点，且四边形为矩形）   （是地面上的三点，且在同一条直线上） 测量所得数据 米， 米， (1)请对两个小组的测量方案进行论证，你认为哪一种方案可行？ (2)用你认为的可行方案所得的测量数据，计算旗杆的高度．（结果保留整数） （参考数据：) 【答案】(1)第二种方案可行 (2)62米 【分析】（1）第一小组：利用三角函数，得出，进而可确定无法求出；第二小组：设米，利用锐角三角函数，，根据，列方程，代入函数值解方程即可； （2）由（1）即可得． 【详解】（1）解：第一组：在中，， ， ， 未测量， 无法求出； 第二组：设米， ， ， ， 解得， 第二种方案可行； （2）解：由（1）可得，旗杆的高度为62米． ▌对点练1-3圭表（如图）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度（即的长）方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度（即的长） 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，结果保留整数． 参考数据 ，，，，， 【答案】9米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．设，根据三角函数求出的值，再得出的长． 【详解】解：设， ∵， ∴（）， 在中，， ∴（）， 在中，'， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴（）， 答：损坏的“表”原来的高度（即的长）约为米． 基础通关 1．在Rt中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 2．在中，，，，则的值是（     ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 3．如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（     ） A．米 B．4米 C．米 D．8米 【答案】B 【分析】根据坡度比等于垂直距离与水平距离的比，列出关系式即可求解． 【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度比为， ∴， ∴（米）， 即传送带的水平距离为4米． 4．如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 5．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ∴米． 6．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 7．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 8．在中，，如果，，那么的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： ∵ ，，， ∴ 由勾股定理得 ， ∵ ， ∴ ． 9．如图是自动扶梯的截面．的长为米，与的夹角为，则高为___________米．（用的三角函数和表示） 【答案】 【分析】将实际问题转化为直角三角形模型，已知斜边和一个锐角，求对边，利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：由题意可知，，则为直角三角形，且． 在中，． ，， ． 故高为米． 10．如图，在中，，则 的对边是____，的邻边是__________； 的对边是_____，的邻边是_________． 【答案】 / / / / 【分析】根据直角三角形定义确定直角顶点，区分斜边与直角边，结合锐角对边与邻边的概念进行识别． 【详解】解：由题意得的对边是，的邻边是 的对边是，的邻边是． 11．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【答案】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 12．如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为_______． 【答案】 【分析】根据坡度比为，即坡角的正切值，可得，利用直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】解：坡比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．某天下午，天气晴朗，小兵与他的朋友同时站在操场上．小兵身高，他的影子长度是．他朋友的影子长度比他的影子长度短，那么他的朋友有多高？ 【答案】他的朋友身高为 【分析】设他的朋友身高为，根据身高和影长比相等，即可求解． 【详解】解：设他的朋友身高为，则有 ， 解得， 故他的朋友身高为． 14．如图，小聪在B处操作无人机，无人机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度，从无人机上观测地平面B处的俯角．求此时无人机与小聪的距离（参考数据：sin）． 【答案】此时无人机与小聪的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． 先求得，再根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：， ， 在中， ， （m）， 此时无人机与小聪的距离约为． 15．如图，在中，，，，求边的长． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过A作于D，利用锐角三角函数求得 ，，进而可求解． 【详解】解：如图，过A作于D， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 素养提升 1．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 【答案】A 【分析】延长交过点的水平线于点，构造两个直角三角形，分别求出和的长，利用 求解． 【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为 A． 2．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：在中，， ∴米． 3．已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作垂线构造直角三角形，证，利用求出长度，在中算出． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 4．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量电视塔的高度．具体过程如下：如图，将无人机上升至距水平地面的C处，测得电视塔顶端A的仰角为，底端B的俯角为，则电视塔的高度是______m（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作的垂线构造直角三角形，结合已知角度和无人机高度，利用三角函数分别计算两段边长后求和得到电视塔高度． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，，，。 ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形，． ∵ 在中，， ∴ ， ∴ ． 5．在平行四边形中，，，，则的长度为__________． 【答案】 【分析】过点作的垂线构造直角三角形，利用角的三角函数值求出，，进而求出，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：根据题意，画图如下，过点作，垂足为， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】/45度 【详解】通过作高构造直角三角形，利用余弦的定义求出线段长度，再结合勾股定理和特殊角的三角函数值求解角度． 【解答】解：过点A作于D， 在中， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 7．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作于H，则，，由题意可得，，，，解求出，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点E作，垂足为点H， 由题意可知： ，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为1.3. 8．如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E． (1)求坝高； (2)求水库坝底宽的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，， ∴（米）， 即坝高为米； （2）解：如图，过点作于点， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵斜坡的坡度， ∴（米）， ∵坡角，，米， ∴（米）， ∴米， 答：坝底宽的长为米． 9．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合，进一步求解即可； （2）延长交于点M，得到，，求解，在中，，，求出的长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为； （2）解：延长交于点M， 由题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， 故桌面到地面的距离约为． 10．综合与实践 项目主题 探究海边救援下水点问题 生活素材 某学校数学兴趣小组模拟了海上救援活动，探究海边救援下水点，设置了以下情境： 如图所示，在海边沙滩的点处发现海上点处有人落水，救生员从点出发前去营救．设计以下三种营救方案（忽略海浪、风向、洋流等因素影响）： 方案一：救生员从点直接跳入海中，径直游向点； 方案二：救生员从点沿沙滩向正东方向跑到点跳入海中，再径直游向点； 方案三：救生员从点沿沙滩向正东方向跑300米到达点跳入海中，再径直游向点． 已知点在点的北偏东的方向上，在点的北偏东的方向上，点在点的正北方向，救生员沙滩上奔跑的速度都是5米/秒，水中游泳的速度都是2米/秒． 问题解决 根据以上信息，解决下列问题： (1)项目任务一： ， ． (2)项目任务二： 米； 米． (3)项目任务三：三个方案中哪个方案的救生员最先到达点，通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)；200 (3)方案二的救生员最先到达点． 解：在中，米， 在中，米， 方案一：秒， 方案二：秒， 方案三：秒， ∵， ∴方案二的救生员最先到达点． 【分析】（1）根据方向角的定义求解即可． （2）根据题意可知：米，解求出，解，求出，进而可求出． （3）解直角三角形求出，然后分别计算三个方案中所需的时间，比较时间即可得出答案． 【详解】（1）解：，． （2）解：根据题意可知：米， 由（1）知， 在中，， 即， 解得：米， 在中，， 即， 解得：米， ∴米． （3）略 迁移创新 1．九年级某学习小组围绕“锐角三角形的面积”开展主题学习活动． 【特例探究】 (1)如图①，在锐角三角形 中 ， ，作 ，垂足为D，求的面积； 【一般证明】 (2)如图②，在锐角三角形 中，记的面积为S，求证： ； 【迁移应用】 (3)如图③，在锐角三角形 中， ， ，，是的平分线，则的长为多少？ 【答案】(1) (2)证明： ， ， ， 过点作 交于点， ， ， ， 即 ； (3) 【分析】（1）利用 可以求出高的长度，再根据三角形的面积公式求出的面积； （2）过点作 交于点，再根据 可以求出高的代数式，进而证明结论； （3）以（2）中证明的一般结论为条件，分别求出、、 的面积代数式，再根据求出的长度； 【详解】（1）解：在 中，， ， ； （2）略； （3）解：∵是的平分线， ， 由（2）可知：， ， ， ， ． 2．某数学兴趣小组计划测量一个通讯塔（通讯塔底部不可到达）的高，并以此为课题安排了一次名为“以数学丈量通讯塔高度”的主题活动． 实践主题 以数学丈量通讯塔高度 实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识 工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等 测量方案及数据 小组成员在坡底C处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达点E处，在点E处测得塔顶A的仰角为 测量示意图及说明   点B，C在同一条直线上，，所有点均在同一平面内 参考数据 ，， 请根据以上表中的测量方案及数据，求该通讯塔的高（结果保留整数）． 【答案】该5G通讯塔的高约为29米 【分析】本题主要考查了锐角三角函数在实际问题中的应用． 过点E分别作交的延长线于点F，于点G．先证明四边形为矩形，可得，．再解，求得（米），（米）．随后在中，求得，最后解，运用 ，求出的值． 【详解】解：如图，过点E分别作交的延长线于点F，于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵斜坡的坡比为，米， 设，则， 在中，， 解得 (负值已舍去)， ∴（米），（米）． 在中，， ∴， 在中，， 解得：（米）． 答：该5G通讯塔的高约为29米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $