32.1 正弦、余弦与正切（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十二章 锐角三角函数 32.1 正弦、余弦与正切 课标要点 1.理解正弦、余弦、正切的定义，知道锐角三角函数是直角三角形中边的比值； 2.会在直角三角形中，根据边长求锐角的正弦、余弦、正切值； 3.掌握同一个锐角的正弦、余弦、正切之间简单关系，能利用边角关系进行简单计算； 4.体会角度固定，对应比值不变，感受函数思想，发展几何直观与运算能力。 学习重难点 重点： 1.利用直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的意义； 2.能在直角三角形中，求指定锐角的正弦、余弦、正切； 3.知道锐角三角函数随角度变化而变化，体会函数思想； 4.能运用锐角三角函数进行直角三角形中简单的边长计算。 难点： 1.分清对边、邻边、斜边，准确区分正弦、余弦、正切的比值； 2.理解 “锐角确定，比值就确定”，认识锐角三角函数本质是角度的函数； 知识点 正弦、余弦、正切的定义 在 中，，设 的对边为 、邻边为 、斜边为 ，则 三个比值都只与锐角 的大小有关，与直角三角形的大小无关——这正是用相似三角形可以说明的结论：锐角确定，直角三角形的形状就确定，对应边的比值随之确定。因此正弦、余弦、正切是“角”的函数，记作 、、，其中 是自变量，比值是函数值。 特别提醒 1.写三角函数值必须带角的符号， 不能写成 ，也不能写成 ；角用三个字母表示时写作 。 2.“对边”“邻边”是相对于所研究的锐角而言的，同一个三角形中， 是 的对边，同时是 的邻边，换角就要换边。 3.只有在直角三角形中才能直接按定义求值；遇到非直角三角形，要先作高构造直角三角形。 正弦、余弦、正切都是比值，没有单位，结果要化成最简形式。 随学随练 1．在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 2．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 知识点 特殊角的三角函数值 把 、、 分别放入含 的直角三角形和等腰直角三角形中，取合适的边长即可算出函数值。 锐角 记忆时可抓住两条规律：正弦值随角增大而增大，余弦值随角增大而减小，正切值随角增大而增大；、、，即“正弦余弦互换”。 特别提醒 1. 不要误写成 ，也不要写成 后忘记分母有理化。 2.特殊角函数值必须熟记到“看到角就写出值、看到值就说出角”的程度，做题时不能临时推导。 3.由函数值反求锐角时，注意 的限制，如 得 ， 得 ，二者不可混淆。 4.含特殊角的式子要先算三角函数值再按实数运算顺序计算，注意 表示 。 随学随练 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 2．的值等于（　　） A． B． C． D．1 3．计算： (1)； (2)． 知识点 同角三角函数关系与取值范围 在 中，，由定义与勾股定理 可得： 1. 平方关系：。 1. 商数关系：。 1. 互余关系：若 ，则 ，，。 1. 取值范围：，，；且 、 随 增大而增大， 随 增大而减小。 特别提醒 1.平方关系中的 是 的简写，不是 。 2.由 求 时要用平方关系并取正号，因为锐角的余弦值为正，不能出现 两个结果。 3.比较两个三角函数值的大小时，先化成同名函数再比较角的大小，或直接利用增减性判断。 互余关系只适用于两角之和为 的情形，不要套用到一般三角形。 随学随练 1．已知，则（　　） A． B． C．或 D． 2．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 3．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 知识点 直角三角形中的边角计算 在 中，，三个三角函数把“两边之比”与“一个锐角”联系起来，因此已知“一边一角”或“两边”即可求出其余元素。常用关系为： 实际问题的处理步骤是：读懂题意并画出图形，把已知量与未知量标注在直角三角形上，选择合适的三角函数列式，解出结果后按题目要求取近似值并写单位。 特别提醒 1.选函数的原则是“已知与所求都出现在同一个比值中”，避免绕远路多算一步。 2.仰角、俯角都是视线与水平线的夹角，画图时先画水平线，再标视线，不要与坡度混淆。 3.非直角三角形或含公共边的图形，常作高分割成两个直角三角形，分别求解后合并。 结果取近似值时，中间过程多保留一位小数，最后一步再按要求四舍五入。。 随学随练 1．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D．3 拓展 取值范围的必然性—— 的推理 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，斜边 AB 是直角边 BC 的"最长边"，故 ； 由 得 ； 当 ∠A 无限接近 0° 时，对边趋于 0，正弦值趋于 0；当 ∠A 无限接近 90° 时，对边趋于斜边，正弦值趋于 1。 归纳：正弦的取值范围不是"规定"出来的，而是直角三角形三边大小关系的必然结果。这一结论可作为检验计算是否出错的快速判据。 规律提炼：几何量的取值范围，往往由图形本身的结构约束决定；学会"从图形结构推出数量范围"，是几何推理的通用思路。 活学活用 1．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 3．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型 直接在直角三角形中求锐角三角函数值 解题贴士 先找准目标锐角，分清它的对边、邻边与斜边，借助勾股定理补齐未知边长，严格按照正弦、余弦、正切的定义列式计算；注意三角函数只是边长比值，没有单位，不要搞混对边和邻边。 ▌例1如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2在中，，，，则__________． ▌对点练1-3如图，在中，，，，则的值是______． 题型 已知三角函数值，求直角三角形边长 解题贴士 依据三角函数的比例关系设参数，再结合勾股定理建立方程求解；看清三角函数对应的是哪个锐角，区分斜边与直角边，最后按要求求出对应线段长。 ▌例1在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 ▌对点练1-1如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2是直角三角形，，，则的长为_______． ▌对点练1-3如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 题型利用同角三角函数关系化简、求值 解题贴士 熟练运用平方关系和商数关系，优先考虑整体代入，锐角范围内正弦、余弦都为正数，开方不用考虑负值，灵活变形公式。 ▌例1在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2计算：__________． ▌对点练1-3已知是锐角，且，那么的值为________ 题型 利用互余两角三角函数关系转化求值 解题贴士 牢记互余转化规律sinA=cos(90°-A)、cosA=sin(90°-A)，遇到两个锐角相加等于9时0°，及时进行正弦、余弦名称互换，简化式子再计算。 ▌例1设，则用a可表示为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1若，则的度数是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2在中，，若，则的值为 ______ ． ▌对点练1-3在中，，，则_______． 题型 特殊三角函数值的混合运算 解题贴士 先准确写出30°、45°、60°的三角函数值，把三角部分替换为实数，再按照实数运算顺序计算，注意二次根式化简、乘方以及符号问题。 ▌例1下列各式中不成立的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1求值：________． ▌对点练1-2的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． ▌对点练1-3计算： 题型 判断三角形形状 解题贴士 先根据条件求出角的度数或者三角函数值，结合三角函数增减性得到内角大小，再判断有无直角、等角，从而确定是直角三角形、等腰三角形还是等腰直角三角形。 ▌例1若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 ▌对点练1-1在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ▌对点练1-2在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． ▌对点练1-3如果中，，那么是______三角形． 题型 比较三角函数值大小 解题贴士 锐角范围内，正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小；可以先比较角度大小，再判断函数值大小，也可求出数值直接比较。 ▌例1当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 ▌对点练1-1的大小关系是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． ▌对点练1-3已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 题型 判断锐角的取值范围 解题贴士 对照特殊角的三角函数值，结合正弦、余弦、正切的增减性反向推导角度范围；注意区分不同函数的增减趋势，不要把余弦的变化规律记反。 ▌例1已知，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2若为锐角，且，则的取值范围是______． ▌对点练1-3若锐角满足，则的取值范围是 _____． 基础通关 1．在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 3．在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 4．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 8．计算：_______________． 9．在中，，则的度数为________． 10．比较大小： _____ ．(填“”，“”或“”) 11．计算：； 12．计算：． 13．求下列等式中锐角的度数． (1)； (2)． 14．如图，在中，，，．试求出的三个三角函数值． 15．完成下列表格并熟记：              锐角A 锐角三角函数 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 素养提升 1．若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 2．如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．锐角中，若，则_________． 6．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 7．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 8．计算：． 9．计算： (1)． (2)． 10．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 迁移创新 1．综合与实践 如下图，在边长为1的正方形网格中，连接格点、和、，和相交于点，求的值． 方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到中． 数学思考 （1）上图中______； （2）如下图，，，，四点均在边长为1的正方形网格的格点上，与相交于点，求的值．    深入探究 （3）如下图，，，，，五点均在边长为1的正方形网格的格点上，交的延长线于点，求的值．    2．【知识再现】 如图①，在中，，，，的对边分别为． ， ， ， 【拓展探究】 (1)如图②，在锐角中，，，的对边分别为，，．请探究，之间的关系，并写出探究过程； 【解决问题】 (2)如图③，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点到点的距离． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十二章 锐角三角函数 32.1 正弦、余弦与正切 课标要点 1.理解正弦、余弦、正切的定义，知道锐角三角函数是直角三角形中边的比值； 2.会在直角三角形中，根据边长求锐角的正弦、余弦、正切值； 3.掌握同一个锐角的正弦、余弦、正切之间简单关系，能利用边角关系进行简单计算； 4.体会角度固定，对应比值不变，感受函数思想，发展几何直观与运算能力。 学习重难点 重点： 1.利用直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的意义； 2.能在直角三角形中，求指定锐角的正弦、余弦、正切； 3.知道锐角三角函数随角度变化而变化，体会函数思想； 4.能运用锐角三角函数进行直角三角形中简单的边长计算。 难点： 1.分清对边、邻边、斜边，准确区分正弦、余弦、正切的比值； 2.理解 “锐角确定，比值就确定”，认识锐角三角函数本质是角度的函数； 知识点 正弦、余弦、正切的定义 在 中，，设 的对边为 、邻边为 、斜边为 ，则 三个比值都只与锐角 的大小有关，与直角三角形的大小无关——这正是用相似三角形可以说明的结论：锐角确定，直角三角形的形状就确定，对应边的比值随之确定。因此正弦、余弦、正切是“角”的函数，记作 、、，其中 是自变量，比值是函数值。 特别提醒 1.写三角函数值必须带角的符号， 不能写成 ，也不能写成 ；角用三个字母表示时写作 。 2.“对边”“邻边”是相对于所研究的锐角而言的，同一个三角形中， 是 的对边，同时是 的邻边，换角就要换边。 3.只有在直角三角形中才能直接按定义求值；遇到非直角三角形，要先作高构造直角三角形。 正弦、余弦、正切都是比值，没有单位，结果要化成最简形式。 随学随练 1．在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角三角形中锐角三角函数的定义，判断给定边的比值对应的三角函数名称即可． 【详解】解：在中，， 为斜边， 的对边为， ． 2．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据确定斜边与的邻边，利用余弦定义求解． 【详解】解：在中，， 为斜边，为的邻边， ． 3．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 【答案】B 【分析】根据正切的定义求解可得． 【详解】解：∵在中，， ∴的对边为，邻边为． ∴，即表示的正切． 知识点 特殊角的三角函数值 把 、、 分别放入含 的直角三角形和等腰直角三角形中，取合适的边长即可算出函数值。 锐角 记忆时可抓住两条规律：正弦值随角增大而增大，余弦值随角增大而减小，正切值随角增大而增大；、、，即“正弦余弦互换”。 特别提醒 1. 不要误写成 ，也不要写成 后忘记分母有理化。 2.特殊角函数值必须熟记到“看到角就写出值、看到值就说出角”的程度，做题时不能临时推导。 3.由函数值反求锐角时，注意 的限制，如 得 ， 得 ，二者不可混淆。 4.含特殊角的式子要先算三角函数值再按实数运算顺序计算，注意 表示 。 随学随练 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 2．的值等于（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查特殊角度的三角函数值，根据求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 知识点 同角三角函数关系与取值范围 在 中，，由定义与勾股定理 可得： 1. 平方关系：。 1. 商数关系：。 1. 互余关系：若 ，则 ，，。 1. 取值范围：，，；且 、 随 增大而增大， 随 增大而减小。 特别提醒 1.平方关系中的 是 的简写，不是 。 2.由 求 时要用平方关系并取正号，因为锐角的余弦值为正，不能出现 两个结果。 3.比较两个三角函数值的大小时，先化成同名函数再比较角的大小，或直接利用增减性判断。 互余关系只适用于两角之和为 的情形，不要套用到一般三角形。 随学随练 1．已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则， ， ，由，得到，设，则，由勾股定理得，可得，或，，由得到，，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 2．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 3．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键． 知识点 直角三角形中的边角计算 在 中，，三个三角函数把“两边之比”与“一个锐角”联系起来，因此已知“一边一角”或“两边”即可求出其余元素。常用关系为： 实际问题的处理步骤是：读懂题意并画出图形，把已知量与未知量标注在直角三角形上，选择合适的三角函数列式，解出结果后按题目要求取近似值并写单位。 特别提醒 1.选函数的原则是“已知与所求都出现在同一个比值中”，避免绕远路多算一步。 2.仰角、俯角都是视线与水平线的夹角，画图时先画水平线，再标视线，不要与坡度混淆。 3.非直角三角形或含公共边的图形，常作高分割成两个直角三角形，分别求解后合并。 结果取近似值时，中间过程多保留一位小数，最后一步再按要求四舍五入。。 随学随练 1．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 2．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】构造直角三角形，利用正切定义求解即可. 【详解】 解：如图，过点作交于点. 网格小正方形边长为1， ，. 在中，. 拓展 取值范围的必然性—— 的推理 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，斜边 AB 是直角边 BC 的"最长边"，故 ； 由 得 ； 当 ∠A 无限接近 0° 时，对边趋于 0，正弦值趋于 0；当 ∠A 无限接近 90° 时，对边趋于斜边，正弦值趋于 1。 归纳：正弦的取值范围不是"规定"出来的，而是直角三角形三边大小关系的必然结果。这一结论可作为检验计算是否出错的快速判据。 规律提炼：几何量的取值范围，往往由图形本身的结构约束决定；学会"从图形结构推出数量范围"，是几何推理的通用思路。 活学活用 1．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为锐角， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的余弦值． 求出和时锐角的度数，取中间范围即可． 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 3．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元令，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合的范围分析的取值． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴原方程化为， 当时，∵， ∴，， ∴，方程无解； 当时，， ∴方程有两个不相等的实根， ∵两根之积为， ∴方程有一正一负两个实根， ∴正根为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，符合条件． 综上所述，． 题型 直接在直角三角形中求锐角三角函数值 解题贴士 先找准目标锐角，分清它的对边、邻边与斜边，借助勾股定理补齐未知边长，严格按照正弦、余弦、正切的定义列式计算；注意三角函数只是边长比值，没有单位，不要搞混对边和邻边。 ▌例1如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取在上格点，连接，设小正方形边长为，利用勾股定理及其逆定理可得，，，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，取在上格点，连接，设小正方形边长为， 由网格可知，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． ▌对点练1-1．在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为的邻边与斜边的比，斜边已知，需先求邻边的长度． 【详解】解：∵在中，，，， ， ． ▌对点练1-2在中，，，，则__________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴． ▌对点练1-3如图，在中，，，，则的值是______． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】∵，，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 题型 已知三角函数值，求直角三角形边长 解题贴士 依据三角函数的比例关系设参数，再结合勾股定理建立方程求解；看清三角函数对应的是哪个锐角，区分斜边与直角边，最后按要求求出对应线段长。 ▌例1在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． ▌对点练1-1如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ▌对点练1-2是直角三角形，，，则的长为_______． 【答案】2或 【分析】本题考查了正切的定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∴综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． ▌对点练1-3如图，矩形中，为上一点，于点．，，，则________． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形，结合矩形性质得，，进而得，即可得，在中，根据勾股定理求出，再根据正弦定义即可求出． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴． 题型利用同角三角函数关系化简、求值 解题贴士 熟练运用平方关系和商数关系，优先考虑整体代入，锐角范围内正弦、余弦都为正数，开方不用考虑负值，灵活变形公式。 ▌例1在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数和勾股定理，利用正切值求解余弦值是解题的关键． 首先利用正切值和勾股定理表示出斜边，再根据余弦公式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． ▌对点练1-1我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的基本关系及新定义运算，先利用同角三角函数的平方关系求出的值，再代入题目规定的公式计算即可． 【详解】解：∵为锐角，，， ∴， ∵若是锐角，则 ∴， 故选：A． ▌对点练1-2计算：__________． 【答案】 【分析】作，其中，，表示出，再结合勾股定理即可作答． 【详解】解：作，其中，， 如图， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 即． ▌对点练1-3已知是锐角，且，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系．利用同角三角函数的基本关系，由设 ，，再根据求出的值，最后计算 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且为锐角， ∴设，，其中 ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ， 解得 因此，， ∴， 故答案为：． 题型 利用互余两角三角函数关系转化求值 解题贴士 牢记互余转化规律sinA=cos(90°-A)、cosA=sin(90°-A)，遇到两个锐角相加等于9时0°，及时进行正弦、余弦名称互换，简化式子再计算。 ▌例1设，则用a可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切函数的性质，熟练掌握两个互余角的正切值乘积为1是解题的关键．对于锐角，有，由题意即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． ▌对点练1-1若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．利用互余角的正余弦关系，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． ▌对点练1-2在中，，若，则的值为 ______ ． 【答案】 【分析】运用一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． ▌对点练1-3在中，，，则_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解答本题的关键． 根据题意画出三角形，通过已知条件，表示出，，的长，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 如图，，， 设，， 则， ． 故答案为：． 题型 特殊三角函数值的混合运算 解题贴士 先准确写出30°、45°、60°的三角函数值，把三角部分替换为实数，再按照实数运算顺序计算，注意二次根式化简、乘方以及符号问题。 ▌例1下列各式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入特殊锐角的三角函数值计算验证各选项． 【详解】解：A、，成立，不符合题意； B、∵，，∴，成立，不符合题意； C、，，，∴，成立，不符合题意； D、∵，∴该式不成立，符合题意． ▌对点练1-1求值：________． 【答案】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算减法． 【详解】解：． ▌对点练1-2的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解： ． ▌对点练1-3计算： 【答案】 【分析】先计算题目计算式中的 ，，，，，再把它们的结果代入计算式进行加减运算即可得答案. 【详解】解： 【详解】略 题型 判断三角形形状 解题贴士 先根据条件求出角的度数或者三角函数值，结合三角函数增减性得到内角大小，再判断有无直角、等角，从而确定是直角三角形、等腰三角形还是等腰直角三角形。 ▌例1若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． ▌对点练1-1在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． ▌对点练1-2在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． ▌对点练1-3如果中，，那么是______三角形． 【答案】等腰直角 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据三角函数值确定角A和角B的度数，结合三角形内角和定理以及等腰三角形的判定定理确定三角形形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 题型 比较三角函数值大小 解题贴士 锐角范围内，正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小；可以先比较角度大小，再判断函数值大小，也可求出数值直接比较。 ▌例1当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． ▌对点练1-1的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． ▌对点练1-2将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数比较大小，根据“”将题干三角函数统一，然后根据“锐角的余弦值随角增大而减小”比较大小按要求排列即可. 【详解】解：， 当为锐角时，的值随的增大而减小， ； 故答案为：． ▌对点练1-3已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 __________； （2）若，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 题型 判断锐角的取值范围 解题贴士 对照特殊角的三角函数值，结合正弦、余弦、正切的增减性反向推导角度范围；注意区分不同函数的增减趋势，不要把余弦的变化规律记反。 ▌例1已知，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，根据当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小即可求解， 【详解】解∶ ∵为锐角，且， 又∵当是锐角时，其余弦随角度的增大而减小， ∴， 故选∶C． 【点睛】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小． ▌对点练1-1已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：当时，， ∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，以及锐角的正弦值随着角度的增大而增大，是解题的关键． ▌对点练1-2若为锐角，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，锐角三角函数值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据锐角三角函数的性质，锐角的余弦值范围是0到1之间，代入表达式列出不等式求解． 【详解】解：因为为锐角， 所以， 即． 解不等式，得：． 解不等式，得． 所以m的取值范围是． 故答案为：． ▌对点练1-3若锐角满足，则的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 基础通关 1．在中，，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各个三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，， 斜边为，， C选项中，与不符， C选项等式不成立． 2．在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 3．在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 4．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 5．在中，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中， ，，， ． 6．如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：，若，， ， ． 7．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 8．计算：_______________． 【答案】1 【详解】解： ． 9．在中，，则的度数为________． 【答案】/75度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值和偶次方的非负性、三角形的内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性可得，，则可得，，再根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴在中，． 故答案为：． 10．比较大小： _____ ．(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．根据正弦函数是～范围内是单调递增的，即可得到结果． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 11．计算：； 【答案】 【分析】先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可； 【详解】解： . 12．计算：． 【答案】 【分析】分别利用零指数幂法则和特殊角三角函数化简，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 13．求下列等式中锐角的度数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理等式求出的值，对照特殊锐角的三角函数值得到的度数． （2）整理等式求出的值，对照特殊锐角的三角函数值得到的度数． 【详解】（1）解：， 移项得 ， 化简得 ， ∵是锐角， ∴． （2）解：， ， 化简得 ， ∵是锐角， ∴． 14．如图，在中，，，．试求出的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】由勾股定理可得，再结合正弦、余弦、正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，，． 15．完成下列表格并熟记：              锐角A 锐角三角函数 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 【答案】填表如下： 锐角A锐角三角函数 1 【分析】根据锐角三角函数的定义，结合特殊直角三角形的边长关系，即可计算得到结果. 【详解】解：对于含角的直角三角形，设角的对边长为，可得斜边长为，另一条直角边长为， 故；；； ；；； 对于含角的等腰直角三角形，设直角边长为，可得斜边长为； 故；；. 素养提升 1．若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用互余两角三角函数关系，，结合锐角范围内余弦函数单调递减，由推出，进而求出两角之和． 【详解】解：若，为锐角，则． ， ． 都是锐角，也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， ， ． 2．如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由菱形性质得出及长，利用勾股定理求，由三角形中位线性质得出，进而求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵O、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 3．如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在网格中过点 作 边上的垂线，得到对边长度 2，邻边长度 6，根据正切定义，代入数字计算得到． 【详解】解：过点 作，交的延长线于点 ． ， ， ， ， ． 4．在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值求出、的度数，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 5．锐角中，若，则_________． 【答案】 【分析】根据绝对值与平方的非负性，结合锐角三角函数的特殊值求出、的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：，，， ，， ，， 是锐角三角形，即，， 在该范围内，满足的角为，满足的角为，即，， 三角形内角和为， ． 6．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 【答案】 【分析】如图在延长线上取格点，连接，根据网格结构，利用勾股定理分别计算出、、的长度，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为1， 如图在延长线上取格点，连接， 由勾股定理得：，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 7．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 【答案】 2 【分析】作，连接，根据正切的定义进行求解即可. 【详解】解：作，连接，如图，则， 由网格特征可知，， 设小正方形的边长为1，则，， ∴. 8．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 9．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 10．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数先求出的值，再根据勾股定理求出的长； （2）过点D作，根据角平分线的性质得到，用证明，根据全等的性质和勾股定理求出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：； （2）解：过点D作交于点E，则，如下图所示， 平分，，， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ， 整理得：， 解得：， ． 迁移创新 1．综合与实践 如下图，在边长为1的正方形网格中，连接格点、和、，和相交于点，求的值． 方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到中． 数学思考 （1）上图中______； （2）如下图，，，，四点均在边长为1的正方形网格的格点上，与相交于点，求的值．    深入探究 （3）如下图，，，，，五点均在边长为1的正方形网格的格点上，交的延长线于点，求的值．    【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，勾股定理及逆定理，平行四边形的判定，求一般角的三角函数值； （1）可证，从而可得，可得，由勾股定理、的长，由即可求解； （2）取格点，连接，，可证，从而可得，由勾股定理、的长，由即可求解； （3）取格点，连接，，可证，从而可得，判定是直角三角形，由即可求解； 根据题意构建出适合的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：（1）、是正方形小方格的对角线， ， ， ， 由图得： ， ， ， ， ； 故答案：； （2）如图，取格点，连接，， 由图得： ， ， ， ， ， ； （3）如图，取格点，连接，，   ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 2．【知识再现】 如图①，在中，，，，的对边分别为． ， ， ， 【拓展探究】 (1)如图②，在锐角中，，，的对边分别为，，．请探究，之间的关系，并写出探究过程； 【解决问题】 (2)如图③，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点到点的距离． 【答案】(1)； 证明：过点C作于点D，过点A作于点E， 在和中，， ， ， 同理可证：， ； (2) 【分析】（1）过点C作于点D，过点A作于点E，利用正弦定义表示，得到，同理得到，则问题可证； （2）先求出，再利用（1）中结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴， 由（1）可知， 即， 解得：． 答：点到点的距离是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $