32.2.2应用举例（第1课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦利用解直角三角形解决实际问题，课堂导入通过复习解直角三角形的基本类型与解法，衔接锐角三角函数、勾股定理等旧知，为实际问题转化为数学模型搭建知识支架。 该设计以建模思想为核心，情境涵盖建筑、航天、工程等多样化现实场景，问题从基础到复杂梯度递进，引导学生用数学眼光抽象几何图形，用数学思维构造直角三角形，通过流程图归纳解题步骤培养数学语言表达能力。多样化例题和中考真题助力学生提升分析解决问题能力，为教师提供系统教学资源。

32.2.2应用举例（第1课时）教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课主要学习利用解直角三角形的知识解决现实生活中的实际问题，包含建筑测量、航天观测、工程施工等现实情境，学习将实际问题抽象转化为解直角三角形的数学模型，掌握解直角三角形解决实际问题的基本流程。 2. 内容分析 本节课是在学生已经学习锐角三角函数、勾股定理、解直角三角形基础之上的一节应用课。解直角三角形的应用是锐角三角函数知识的延伸，也是几何知识联系现实生活的重要载体。本节课的核心是建模思想，把现实生活中的测量问题转化为直角三角形的边角计算问题，很多实际场景不会直接给出直角三角形，需要学生根据题意画图，构造、证明直角三角形，再利用边角关系进行求解。 本节课的学习，既巩固勾股定理、锐角三角函数等旧知，又提升学生读图、识图、几何建模能力，同时为后续仰角俯角、坡度坡角等复杂实际应用问题的解决打下基础，是几何应用板块承上启下的重要课时。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：把实际问题抽象转化为解直角三角形的数学模型。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）将实际问题转化为数学问题(解直角三角形问题)来解决，进一步提高数学建模能力。 （2）通过综合运用勾股定理，直角三角形的性质及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养分析问题、解决问题的能力。 2. 目标解析 （1）学生能够读懂实际问题情境，根据文字描述画出对应的平面几何图形，能从实际情境中识别或者通过作辅助线构造直角三角形；能剥离问题中非数学的现实背景，提取已知边角条件，把实际求解目标转化为直角三角形中求边长或者角度的数学问题，体会数学建模的完整过程。 （2）学生能够熟练选用勾股定理、锐角互余关系、正弦、余弦、正切函数完成直角三角形求解；面对不同现实情境，能够自主分析条件，选择合适的三角函数进行计算；会使用参考数据完成近似计算，能把计算结果还原解释为实际问题的答案，提升几何分析与运算求解能力。 三、教学问题诊断分析 学情分析：在知识储备上，学生已经掌握勾股定理、锐角三角函数定义，能够直接根据已知条件解直角三角形。但是学生存在几方面困难：第一，面对现实生活背景的应用题，很难快速剥离实际背景，无法从文字中提取几何条件；第二，很多题目不会直接给出直角三角形，需要学生自己画图、添加辅助线构造直角三角形，学生识图、构图能力薄弱；第三，容易混淆正弦、余弦、正切的边角对应关系，选错三角函数，造成计算出错；第四，部分学生求得数学结果之后，忘记结合实际情境作答，缺少实际意义的检验。另外，学生对于跨学科情境，如空间站观测地球这类陌生背景问题，容易产生心理畏难情绪。 应对策略：复习导入环节回顾解直角三角形的基本方法，夯实基础，唤醒学生旧知；探究问题遵循由易到难，从已经存在直角的人字架问题入手，过渡到需要利用切线性质构造直角的空间站问题，层层递进；强调解题第一步：根据题意画出平面示意图，教会学生把文字翻译成几何图形，标注已知条件；遇到陌生情境，设置分层追问，拆解复杂问题，引导学生一步步分析，降低思维难度；板书示范完整解题格式，强调构造直角三角形、选用三角函数、代入参考数据、还原实际答案的完整流程；通过多组不同场景例题、练习，对比训练，让学生区分不同条件下三角函数如何选取，巩固建模步骤。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：建立实际问题与解直角三角形之间的联系。 四、教学过程设计 （一）复习引入 温故 解直角三角形的方法： 解直角三角形的应用非常广泛，下面举一些例子. 设计意图：通过表格复习解直角三角形的基本类型与解法，唤醒学生已有的知识储备，为本节课实际应用做好知识铺垫。直接点明解直角三角形在现实生活中有广泛用途，自然引出本节课课题，让学生明确本节课学习任务。 （二）合作探究 问题1 如图，屋顶的人字架为等腰三角形， 跨度BC=30 m，∠B=18° . 求中柱AD(D为底边中点)和上弦AB的长(结果保留小数点后 一位.参考数据：sin 18°≈0.309，cos 18°≈0.951，tan 18°≈0.325). 分析：从实际问题中抽象出等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质证明直角三角形，已知一边一锐角解直角三角形，求出AD、AB，从而解决实际问题. 解：由题意知△ABD是直角三角形. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=18°，BD=15. ∵tanB= ， ∴AD=BD·tanB=15×tan18°≈4.9. ∵cosB= ， ∴AB= = ≈15.8. 因此，中柱AD的长约为4.9 m，上弦AB的长约为15.8 m. 问题2 如图，PA 切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，⊙O的半径为 3 ，PB=3 ，则∠AOB= 60° ， = π ． 问题3 天宫空间站在远地点高度约399 km、近地点高度约385.6 km的轨 道上运行.如图，当空间站运行到远地点F时，从中能直接看到的地球表面最远点在什么位置?连接地球中心O与点F，交地球表面于点P，最远点与点P的表面距离是多少(地球半径约为6400 km，π取3. 142，结果取整数)? 追问1 从空间站能直接看到的地球表面最远的点在 视线与地球相切时的切点 处. 追问2 在平面图形中，用 圆 可表示地球，用 点 可表示观测点，请根据题中的相关条件画 出示意图． 示意图 用⊙O表示地球， 点F 是空间站的位置， FQ 是⊙O的切线， 切点Q 是从空间站观测地球时的最远点． 追问3 问题中求“最远点与点P的表面距离”实际上是要求 的长 ，需先求 ∠POQ（即α） . 解：如图是空间站与地球位置关系的示意图，其中⊙O的圆心为地 球中心、半径为地球半径，F是空间站运行的远地点，FQ是⊙O的切线.可以发现，切点Q就是从空间站中观测地球时的最远点. 根据切线的性质，∠OQF=90°，△FOQ是直角三角形. 设∠POQ=α， ∵cosα= = ≈0.9413， ∴ α≈19.73°. ∴ 的长为 × 6400 ≈ ×6400≈2204(km). 由此可知，当空间站运行到远地点F时，从中观测地球表面的最远点与点P的表面距离约为2204 km. 归纳 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： 设计意图：设置3个梯度不同的探究问题。问题1是人字架建筑情境，依托等腰三角形三线合一直接得到直角三角形，属于基础应用，让学生初步感受实际问题求解流程；问题2结合圆与解直角三角形综合，实现知识横向联系；问题3选取天宫空间站真实情境，增强课堂趣味性、时代性，通过设置系列追问把复杂问题拆解，引导学生完成从现实场景到几何示意图的抽象，学习利用切线性质构造直角三角形。最后梳理流程图，归纳利用解直角三角形解决实际问题的通用步骤，帮助学生形成标准化的解题思维，实现方法的内化。 （三）典例分析 例1 如图，在离地面高度5 m的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角.求拉线AC的长及拉线下端点A与杆底D的距离(结果保留小数点后两位). 解：由题意知△ACD是直角三角形. 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠A=60°，CD=5. ∵tanA= ， ∴AD= = ≈2.89. ∵sinA= ， ∴AC= = ≈5.77. 因此，拉线AC的长约为5.77 m，拉线下端点A与杆底D的距离约为2.89 m. 例2 如图，施工队沿AC方向开山修路.为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.为此在AC上取一点B，使∠ABD=140°，BD=520 m，∠D=50°. 那么另一边开挖点E离D多远，正好使A，C，E三点在同一直线上(结果保留小数点后一位)? 解：∵∠E=∠ABD-∠D=90°，∴△BED是直角三角形. 在Rt△BED中，∠D=50°，BD=520. ∵cosD= ， ∴ED= BD·cosD = 520×cos50° ≈334.3. 因此，另一边开挖点E离D约334.3 m， 正好使A，C，E三点在同一直线上. 例3 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 解：由题意得，四边形为矩形，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 设计意图：选取电线杆拉线、开山修路、楼房测高三道典型例题，覆盖不同现实场景。通过教师板书完整解题过程，规范书写格式，强化建模、构造直角三角形、三角函数计算、回归实际作答等完整步骤，加深学生对解题流程的理解。 （四）巩固练习 1．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（   D  ） A． B． C． D． 2．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（  C   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）约为__15.1___尺．（参考数据：，，，结果精确到0.1尺） 4．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 解：由题意，在中，，，， ， ， ∴档案盒的厚度为． 设计意图：练习题型全面，情境涵盖多样化生活素材。由浅入深，既检验学生对三角函数的辨析能力，又训练学生独立审题、画图建模、运算求解的能力，及时发现学生存在的漏洞，反馈课堂学习效果，巩固本节课重难点。 （五）归纳总结 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： （六）感受中考 1．（2026年浙江）如图，一辆高为0.54米的智能摇杆车驶入夹角为的裂缝进行采样，则智能车无法采样的距离为__米__．（注：，，） 2．（2025年四川眉山）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度是______m．（结果精确到，参考依据：，，） （解题图） 3．（2026年湖南）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（   D  ） （解题图） A． B． C． D． 4．（2026年吉林）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 解：由题意知，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：这条河的宽度为． 5．（2025年贵州）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 设计意图：选用各地中考真题，对接中考命题方向，让学生感受中考对于解直角三角形实际应用的考查方式；题目情境新颖，训练学生面对陌生问题的读题建模能力，同时巩固本节课所学的解题方法，提升应考能力。 （七）小结梳理 （八）布置作业 1.必做题：习题32.2 第2，8题. 2.探究性作业：习题32.2 第12题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $