32.2.1解直角三角形（第1课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

32.2.1解直角三角形（第1课时）教学设计

一、内容和内容解析

1. 内容

解直角三角形的概念；直角三角形三边、两锐角、边角之间的关系；已知两边解直角三角形。

2. 内容分析

本节课是人教版九年级下册第32章解直角三角形的第一课时。学生此前已经学习过勾股定理以及锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，本节课是对前面知识的综合运用。直角三角形除去直角外，共有三条边、两个锐角五个元素，解直角三角形就是利用已学关系，由已知元素求解剩余未知元素。本节课聚焦已知两边解直角三角形，让学生建立 “知二（至少一条边）求三” 的认知，为后续已知一边一锐角解直角三角形、解决实际应用问题打下理论基础。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能用锐角三角函数解直角三角形（已知两边）。

 二、目标和目标解析

1. 目标

（1）理解直角三角形中的五个元素之间的联系。

（2）了解解直角三角形的概念，能用锐角三角函数解直角三角形（已知两边）。

2. 目标解析

（1）学生能够完整说出直角三角形的三边关系、两锐角互余关系、边角三角函数关系；明确解直角三角形的条件：两个已知元素中至少有一条边。

（2）学生能复述解直角三角形的定义；当给出直角三角形两条边长时，会合理选择三角函数或者勾股定理，规范求出剩余的边长与两个锐角，掌握解题的书写步骤。

三、教学问题诊断分析

学情分析：学生已经掌握勾股定理，会识别直角三角形中锐角的对边、邻边，会写sin、cos、tan表达式。但存在几处难点：①容易混淆正弦、余弦、正切对应的边，选不对三角函数；②没有意识到 “仅有两个锐角无法解直角三角形”，忽略必须已知至少一条边；③计算时习惯用已经算出的中间结果继续运算，放大计算误差；④不会根据已知条件灵活选择最优关系式。

应对策略：复习环节引导学生梳理直角三角形元素之间的关系，板书三组关系，方便学生课堂随时查阅；设置辨析选择题，对比“只给角”和“给边”的不同情形，强化“至少一条边”这个核心条件；例题板书示范，强调尽量使用题目原始已知条件计算，减少中间结果带来的计算错误；合作探究环节小组讨论，交流“选用哪个三角函数更简便”，提升学生灵活选用公式的能力。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解直角三角形中的五个元素之间的联系。

四、教学过程设计

（一）复习引入

问题1 结合直角三角形全等的判定方法，你能说一说如何确定一个直角三角形的形状和大小吗?

对于直角三角形，已知它的两条边或一个锐角和一条边，这个三角形的形状、大小就确定了，即它的其余边、角也就确定了.

追问 如何由已知的一些边、角求出其余边、角呢?

问题2 直角三角形中角与角、边与边和边与角之间有哪些关系？

利用这些关系可以由已知的一些边、角求出其余边、角.

设计意图：从直角三角形全等的判定入手，实现知识迁移，让学生从几何直观层面理解：满足什么条件，直角三角形形状大小就唯一确定。唤醒学生旧知：勾股定理、锐角互余、锐角三角函数，制造认知疑问：确定之后怎样计算出未知边和角？自然引出本节课课题。

（二）合作探究

引言中的问题 已知Rt△ABC的一个锐角α的度数和斜边AB的长，求角α的对边BC的长.

解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

        则sinα = ，

        因此BC=ABsinα. 

        这样，根据测得的距离 AB 和仰角α就可以计算出BC，

        进而得到高程hN=hM+h₁+ABsinα-h₂ .

追问 在上面解决问题的过程中，我们由直角三角形的斜边和一个锐角，求出了这个锐角所对的直角边.你能求出Rt△ABC中，其余的边和角吗？

已知：∠A  =α； AB  .

未知：∠B  =   90°-α   ，BC  =   ABsinα   ，AC  =   ABcosα   .  

解直角三角形的概念

    一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素：三条边和两个锐角.由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.

探究 在直角三角形中，知道除直角外五个元素中的几个，就可以求其余元素？

如图，在Rt△ABC中 ，∠C为直角，∠A，∠B，∠ C所对的边分别为a， b，c，那么除直角∠C 外的五个元素之间有哪些关系？

(1) 三边之间的关系：a² +b²= c²  ( 勾股定理).

(2) 两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

(3) 边角之间的关系：sinA= = .

                       cosA= = . 

                       tanA= = .

    上述关系中的A都可以换成B，同时把a，b互换.

利用这些关系，知道其中两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素.

设计意图：从课本实际高程测量情境出发，让学生感受解直角三角形来源于现实问题。先通过“已知斜边+锐角”求解边长，再进一步追问求全部剩余元素，顺势提炼解直角三角形的定义。小组合作探究五个元素之间的三组关系，归纳得出解直角三角形的前提条件：两个已知元素，至少有一个是边。帮助学生构建完整知识框架，分清哪些条件可以解直角三角形，哪些条件不可以。

（三）典例分析

例1 在下列中，可解的直角三角形是（  C ）