31.4 位似（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十一章 相似 31.4 位似 课标要点 1.了解位似图形的概念，知道位似是特殊的相似，识别位似中心、位似比； 2.掌握位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 3.会利用位似将一个图形放大或缩小； 4.在平面直角坐标系中，掌握以原点为位似中心的位似图形对应点的坐标变化规律； 5.能区分相似与位似，会判断两个图形是不是位似图形，体会图形变换在实际中的应用。 学习重难点 重点： 1.位似图形的概念、位似的性质； 2.平面直角坐标系中，以原点为位似中心时，位似图形点的坐标变化规律； 3.利用位似作图，把图形放大或缩小。 难点： 1.判断两个相似图形是否为位似图形，找准位似中心； 2.理解位似中心在原点两侧时，坐标变化的两种情况（同向、反向位似）； 3.灵活运用位似性质解决简单几何计算与证明问题。 知识点 位似图形与位似比 核心概念与定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，此时的相似比又叫做位似比。 符号表达：若 △ABC 与 △A′B′C′ 位似，位似中心为 O，位似比为 k，则 ，且 。 特别提醒 1. 定义有三个要素——相似、对应点连线过同一点、对应边平行或共线，缺一不可。只有相似而对应边不平行的两个图形不是位似图形。 1. 位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，二者是「特殊与一般」的关系。 1. 位似比是有顺序的， 与 互为倒数，答题时必须写清「谁比谁」。 位似中心的位置不固定，可以在图形内部、外部，也可以落在图形的边上或某个顶点处。。 随学随练 1．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意． 2．下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 【详解】解：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，故不是位似图形． 3．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比，据此可得答案． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 4．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长等于______． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∵相似比为， ∴， ∴． 知识点 位似图形的性质与判定 性质定理与符号表达： 对应点与位似中心三点共线，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比：。 对应线段之比等于位似比：；对应角相等。 周长之比等于位似比，面积之比等于位似比的平方：。 对应边互相平行或共线。 判定方法：先证两图形相似，再证对应点连线交于一点（或对应边平行），即可判定为位似图形。 特别提醒 1. 面积比是位似比的平方，位似比是面积比的算术平方根，切勿把二者混用。 1. 位似比 为放大， 为缩小； 时两图形全等且重合。 （3）由性质 1 可反推三点共线，是证明「多点共线」的常用工具。 随学随练 1．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 2．如图，在平面直角坐标系中，线段与是以坐标原点为位似中心的位似图形，垂直于轴，点，在轴上．已知点的坐标为，的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，由可得，代入计算即可． 【详解】解：∵，轴， ∴，， 根据题意可得，， ∴，即， 解得． 3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 4．如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，位似比的绝对值即为相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与关于原点O位似， ∴， ∵位似比是， ∴相似比为， ∴与的面积比为． 知识点 位似作图 作图步骤： 确定位似中心 O（位置可任选）。 取原图形的关键点（如多边形的各顶点）。 连接关键点与位似中心，按位似比在射线（或反向延长线）上截取对应点。 顺次连接各对应点，得到所求位似图形。 特别提醒 1. 同一位似中心、同一位似比可以作出两个位似图形，它们分居位似中心两侧，且关于位似中心对称，题目未限定方向时两个都要画。 1. 位似中心选得不同，所得图形位置也不同，但形状、大小（位似比）不变，因此答案不唯一。 （3）作图后必须检验：对应点连线是否都过 O，对应边是否平行或共线。 随学随练 1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点（顶点为网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为位似中心，将作位似变换得到，使得，画出位似变换后的． 【答案】(1) 为所求： (2)如图，为所求． 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知，，． (1)以原点为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为； (2)利用格点，在线段上找一点，使得． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 解：如图所示，点即为所求． 【详解】 （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 3．詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜，每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”．据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥，如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请画出； (2)画出关于轴对称的． 【答案】(1) 如图所示． (2)如图所示． 【分析】（1）根据位似图形的作图方法作图即可． （2）根据轴对称的作图方法作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 拓展 任意点位似中心的坐标变换（模型思想 + 运算能力） 核心探究 教材只研究原点为位似中心的坐标缩放，属于特殊情形；中考常考拓展：以平面内任意一点C(a,b)作为位似中心的坐标变换，本质是平移变换 + 位似缩放的复合变换。 · 推导思路：先把坐标系平移，将位似中心C(a,b)当作新原点，算出点相对于中心的相对坐标，缩放之后，再平移回原坐标系。 · 公式：原点点P(x,y)，位似中(C(a,b)，位似比k x'=a+k(x-a), y'=b+k(y-b) · 符号含义： 1. k>0：顺位似，P、C、P'三点顺序不变，在中心同侧； 1. k<0：逆位似，P'穿过位似中心，在另一侧； 1. |k|>1放大，0<|k|<1缩小。 · 高频易错：直接套用原点公式x'=kx,y'=ky，忽略先减去中心坐标；很多学生不管中心在哪都直接乘系数。 · 逆向考法：已知原图形、位似后图形的一组对应点，反求位似中心坐标。方法：两点连线，利用分点公式（定比分点）求解。 · 素养价值：理解坐标变换不是孤立公式，而是 “相对位置缩放”，实现从特殊到一般的迁移，建立坐标几何统一模型，为高中相似变换、仿射变换铺垫。 活学活用 1．如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E，设，用坐标表示出相关的线段，根据位似，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：过点C作轴，过点作轴，二线交于点D，交y轴于点E， ， ∴， ∴， ∵以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形， ∴， ∴， 设， ， ， ， ， ∴， 解得， 故． 2．如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由位似图形的性质知、、三点共线，且；再由两个三角形分居位似中心的两侧，确定点在点的左侧，用点的横坐标表示点的横坐标． 【详解】解：∵以点为位似中心作的位似图形，且把的边长放大到原来的倍， ∴、、三点共线，且， ∵点、都在轴的上方，在轴的下方，点在轴上， ∴点与点分居位似中心的两侧， ∴点在点的左侧，且点与点的水平距离是点与点的水平距离的倍， ∵点的横坐标为（），点的横坐标为， ∴点与点的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是． 3．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 【答案】 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据与的相似比为，得到，，进而得到，． 【详解】解：如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵与的相似比为，点是位似中心，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型 位似图形的识别判断题 解题贴士 判断时要抓住两个核心条件，一是两个图形相似，二是所有对应顶点连线交于同一点，且对应边互相平行或共线，二者缺一不可；注意相似图形不一定是位似图形，仔细观察图形对应关系，不要仅凭直观外形下结论。 ▌例1下列图中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】解：经过对应顶点的直线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形不符合位似图形的概念，故不是位似图形． ▌对点练1-1．下列图形中，不含有位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，、、三个图形中的两个图形都是位似图形；中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形． 故选：． 【点睛】此题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． ▌对点练1-2下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． ▌对点练1-3如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．先证明与相似，再根据位似图形的概念判断． 【详解】解：根据网格信息可知：的三边长分别为1，2，， 的三边长分别为2，4，， 与的三边对应成比例， ∴与相似， ∵与对应点连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上， ∴与是位似图形， 故选∶D． 题型 找位似中心 解题贴士 连接两组对应顶点并延长，它们的交点就是位似中心；画图时要考虑顺位似、逆位似两种对应搭配方式，留意位似中心可能在图形之间、图形外侧、图形内部或者边上。 ▌例1如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． ▌对点练1-1图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查图形的位似：连接，三条直线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图： 与位似，则位似中心是点N， 故选：B． ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是________．    【答案】 【分析】依题意，易得，结合，，得，即可作答． 【详解】解：∵将以原点O为位似中心放大后得到， ∴ ∵，， ∴， 即与的相似比是， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． ▌对点练1-3如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 题型 求位似图形的相似比 解题贴士 位似比就是相似比，等于一组对应点到位似中心的距离之比，注意看清是新图形与原图形的比，不要颠倒前后顺序；面积比等于位似比的平方，周长比等于位似比，区分线段比和面积比。 ▌例1如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似的性质．根据题意利用题干可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴和相似， ∵， ∴， ∴与的相似比是：， 故选：D． ▌对点练1-1已知与是位似图形，且与的面积比为，则与的相似比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是求两位似三角形的相似比，掌握位似三角形的面积的比等于相似比的平方是银题的关键． 根据位似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵与是位似图形，且与的面积比为， ∴与的相似比， 故选：A． ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及位似中心的确定，解题的关键是明确位似中心是对应顶点连线的公共交点，通过排除法排除无效对应情况，再验证有效对应下的交点． 先计算各线段长度确定位似比与初步对应关系；再根据位似中心在对应顶点连线上，验证四个选项是否在、上，排除、情况；最后针对的有效对应，求对应顶点连线的交点即位似中心． 【详解】解：假设、的对应情况成立: 设直线：，代入、，得，，即． 设直线：，代入、，得，，即． 验证选项A、：不在、上； B、：不在、上； C、：不在、上； D、：不在、上． 排除、的对应情况，仅保留． 设直线：，代入、，得． 设直线：，代入、，得． 联立，解得，，交点为． 故选：． ▌对点练1-3如图，在的方格纸中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似中心，注意根据位似图形的性质求解是关键．连接、，并延长，则交点即为它们的位似中心． 【详解】∵如图，连接、，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：C． 题型 位似作图题（放大 / 缩小，同侧、异侧） 解题贴士 先确定位似中心，再依次连接图形关键点与位似中心，按照规定位似比在射线上截取对应点，同侧、异侧要分开作图，最后顺次连接各新点，作图完成后检查对应边是否平行。 ▌例1如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． (1)以原点为位似中心，画出的位似图形，使它与的位似比为， (2)点、点的坐标分别是、，请用尺规作图作出线段的黄金分割点 ．(其中) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位似比，得到，，依次连接，，，即可； （2）连接，作，垂足为点，取，以点为圆心，为半径，画弧，交于点；以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为的黄金分割点． 【详解】（1）略 （2）略 ▌对点练1-1如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 【答案】(1)解：如图所示， (2)解：点即为所求． 【分析】（1）根据位似图形的性质得出各对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据相似三角形的性质，取格点、，连接，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：略 （2）解：取格点、，连接，交于，点即为所求． 如图所示：略 证明：由网格可知，，，， ∴， ∴， ∴点即为所求． ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的；②画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是位似图形，请直接写出位似中心的坐标为_________． 【答案】(1)① ② (2)是位似图形， 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：如图，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点M， ∴点M的坐标为． ▌对点练1-3如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． (1)是________三角形 (2)以点B为位似中心，在点B的下方画出,使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为________ 【答案】(1)等腰直角 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理与网格，得的长度，根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）结合位似图形的性质进行作图即可； （3）根据位似图形的性质得出，对应点到位似中心的距离的比等于相似比，则满足，进而代入即可求解． 【详解】（1）解：由题可知：，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）略 （3）解：由（2）得以点为位似中心，且位似比为，经过（2）中位似变换后的对应点， ∴， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． 题型 原点为位似中心的坐标变换 解题贴士 原点为位似中心时，原坐标(x,y)，位似比为k，对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)；k取正数是同向位似，负数是反向位似，题目无说明时两种情况都要考虑，防止漏解。 ▌例1在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可． 【详解】解：∵ 以原点为位似中心，相似比为，把缩小． ∴ 点的对应点的坐标为或． 即或． ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵位似中心为原点，与的位似比为，且对应点在原点另一侧， ∴点的对应点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标乘， ∵点的坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． ▌对点练1-2如图，和位似，原点O是位似中心，位似比为1∶2．若点的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，若位似中心为原点，且两个图形位于原点两侧，则对应点的坐标互为相反数且比值等于位似比，据此计算即可． 【详解】解：∵和位似，原点O是位似中心，位似比为1∶2．点的坐标为， ∴点B的坐标为，即为． ▌对点练1-3如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出相似比，再根据位似变换的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点D的坐标为． 题型 任意点为位似中心的坐标变换 解题贴士 不能直接套用原点公式，先算出点相对于位似中心的横、纵坐标差值，乘以位似比后再加回位似中心坐标；分清k>0同侧、k<0异侧，列式时注意平移缩放的先后顺序。 ▌例1如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中，，以点A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点F，设，则，根据中点坐标公式求解即可； 【详解】解：取的中点F，设，则， 把按相似比放大， ， ， ， ， 解得 故； ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，已知，，则点的坐标为_______________（结果用含，的式子表示）． 【答案】 【分析】过点作交轴于点，过点作交轴于点，先证明，得到，求出，的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 则， ∵与的相似比为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵在第三象限， ∴点的坐标为． ▌对点练1-3如图，在第二象限内，其中点的坐标是，以点为位似中心，作的位似图形，使它与的相似比为．若点的坐标为，则其对应点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换的坐标变化规律，熟练掌握以定点为位似中心时，通过坐标差的缩放来推导对应点坐标的方法是解题的关键． 以点为位似中心，相似比为，我们可以先算出点与的坐标差，再把这个坐标差按相似比放大，最后叠加到位似中心的坐标上，从而得到点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点与点的横坐标差为， ∴点与点的纵坐标差为， ∵相似比为， ∴点与点的横坐标差为， ∴点与点的纵坐标差为， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 题型 利用位似性质求线段、周长、面积 解题贴士 先确定位似比，线段长、周长直接用位似比计算，面积要用位似比的平方；找准对应边，不要错把非对应线段拿来列式，有多个图形时先理清谁是原图形、谁是位似后的图形。 ▌例1如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． ▌对点练1-1如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． ▌对点练1-2如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据A，的坐标求出与的长，从而确定位似比，利用位似图形对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：点A，的坐标分别为，， ，， 五边形，的相似比为：， ， ． ▌对点练1-3如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：点，对应点，位似中心为点， ，， 与是位似图形， ， 与的相似比为， 的面积与的面积之比为． 题型 位似与相似综合计算 解题贴士 先借助位似得到相似关系和平行条件，再结合相似三角形性质、平行线分线段成比例等知识求解；优先利用位似简化共线、平行条件，理清图形之间的比例传递关系，规避比例颠倒错误。 ▌例1如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ）    A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．3：2 【答案】C 【分析】根据相似性质，两个三角形相似的周长比等于相似比，根据题意求解即可得到答案． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ， ， 两个三角形的相似比为， 与的周长比是， 故选：C． ▌对点练1-1如图，都是等边三角形，且是以内部一点为位似中心的位似图形，已知的边长为2，的边长为1，则与之间的距离（ ）    A．等于1 B．等于 C．等于 D．随点位置的变化而变化 【答案】D 【分析】作OH⊥BC于H，交EF于G，根据相似三角形的性质得到，得到，根据题意得到答案． 【详解】如图，过点O作OH⊥BC于H，交EF于G，      ∵△ABC与△DEF都是等边三角形，是以△ABC内部一点O为位似中心的位似图形， ∴EF∥BC， ∴OH⊥EF，△OEF∽△OBC， ∴， ∴， ∴EF与BC之间的距离随点O位置的变化而变化； 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念和性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． ▌对点练1-2如图，，且，，则的面积是________． ▌对点练1-3如图所示，在矩形中，对角线，相交于点． 过点作于点，连接交于点，作于点，则与是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出位似比；若不是，请说明理由． 连接交于点，作于，试确定的值． 【答案】（1）与的位似比为；（2）． 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明△ABC∽△FGC，根据位似变换的概念和位似中心的概念解答即可，根据相似三角形的性质求出两个三角形的相似比，得到位似比； （2）根据相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 与对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或重合， ∴与是位似图形，位似中心是点， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， 则与的位似比为； 由得，，， ∴， ∴，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定.常用的判定方法有： (1)平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似; (2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似; (3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似; (4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似. 4．如图，，且． 梯形与梯形是否位似？如果位似，求出它们的相似比，如果不位似，说明理由； 若．求梯形的面积． 【答案】梯形与梯形不位似；理由见解析；． 【分析】（1）分别求出梯形MNQP与梯形PBCQ的对应边的比，根据位似变换的概念进行判断即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出S△APQ和S△AMN，计算得到答案． 【详解】梯形与梯形不位似， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴梯形与梯形不位似； ∵， ∴，又， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴梯形的面积． 【点睛】本题考查的是位似变换和相似三角形的性质，掌握位似变换的概念和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 基础通关 1．如图，已知 与 是位似图形，点 是位似中心，若 是 的中点，则   与 的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，，，且相似比为， ∴与的面积比是． 2．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，得到，，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，在第四象限内将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，点 ∴点的对应点为的坐标为， 则点的坐标为． 4．下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 【详解】A、与是位似图形，不符合题意； B、与是位似图形，不符合题意； C、与是位似图形，不符合题意； D、与不是位似图形，符合题意． 5．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，若与位似，位似中心为点O，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴与的位似比为， ∴与的周长比为． 7．如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点．已知点，．则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点，，且线段与线段是位似图形， ∴，即． 8．中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主体纹饰与辅助纹饰的相似比为即可求解. 【详解】解：∵主体纹饰与辅助纹饰的相似比为， ∴， ∵， ∴ ． 9．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质，可得与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ． 10．在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】以原点为位似中心的位似变换，位似图形与原图形的相似比为时，原图形上一点的对应点坐标为或，分两种情况计算即可． 【详解】解：∵ 以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形可在原点同侧或异侧． ∴ 当与在原点同侧时，的横坐标为，纵坐标为，即． ∴ 当与在原点异侧时，的横坐标为，纵坐标为，即． 因此点的坐标为或． 11．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：与位似，原点是位似中心，且， 相似比为， 又， 点的坐标是，即． 12．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到第一象限的，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】将点横坐标、纵坐标同时乘以，即可得到点A的对应点的坐标． 【详解】解：将点横坐标、纵坐标同时乘以， 得到：，即， 所以第一象限内，点A的对应点的坐标为． 13．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 14．指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 【答案】①②和④中的两个图形都是位似图形，①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q 【分析】根据位似图形的定义，结合题目图形和条件即可判断①、②、③、④的图形是否为位似图形，再根据位似中心的定义即可指出位似图形的位似中心． 【详解】解：观察①②和④中的两个图形，结合题目所给条件，可得： ①②和④中的两个图形是相似图形，且对应点的连线相交于同一点，符合位似图形定义， ∴①②和④中的两个图形是位似图形，其中①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q． ∵③的图形是相似图形，但对应点的连线不相交于同一点，不符合位似图形定义， ∴③的图形不是位似图形． 15．如图，已知．以点A为位似中心，画出一个，使与位似，且位似比为． 【答案】或 【分析】根据位似比确定原顶点的对应点，然后顺次连接对应点，即可得到所求三角形． 【详解】解∶如图：在线段上取点，满足．在线段上取点，满足，连接，所得即为所求的位似三角形． 图略 如图：在线段的反向延长线上取点，满足．在线段的反向延长线上取点，满足，连接，所得即为所求的位似三角形． 图略 素养提升 1．如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质列方程求解即可． 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似三角形， ， ，， ， ． 2．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形性质，相似比为，对应边比为，对应点连线过位似中心，对应边互相平行，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此选出错误选项． 【详解】由题意知，与是位似图形，把放大为原图形的2倍得到， 因此相似比为． 选项A、因为相似图形的对应边成比例，所以，选项A正确； 选项B、因为位似图形的对应点的连线经过位似中心，因此点在同一直线上，选项B正确； 选项C、因为位似图形的周长比等于相似比，所以，选项C错误； 选项D、因为位似图形的对应边互相平行，所以，选项D正确． 3．如图，和是位似三角形，，的周长为6，则的周长为（    ）． A．12 B．6 C．16 D．18 【答案】D 【详解】解：∵和是位似三角形，， ∴， ∵的周长为6， ∴， 解得：， 即的周长为18． 4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画的位似图形，使它与的位似比为，则点B的对应点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】把的坐标分别乘以2或，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且与的位似比为， 当与在位似中心的同侧时，； 当与在位似中心的两侧时，． 5．如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 6．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，作的位似图形，在第一象限，且的相似比为2． (2)点的坐标是_______． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2) 【分析】（1）把三个点的横纵坐标都乘以2得到三个点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，点F的坐标为． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为，，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）根据位似的性质解题． 【详解】（1）略 （2）解：由位似的性质知，，相似比为， ∴周长比为． 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以点为位似中心的位似图形、点、、都在格点上，则点的坐标为__________． (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． (3)在线段上找一点使得． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，，并分别延长，相交于点P，即可得出答案； （2）根据位似的性质作图，运用位似比即可解答； （3）取格点，连接交于点，可得，则． 【详解】（1）解：如图，连接，，并分别延长，相交于点P， 则P点为位似中心， ∴点P的坐标为； （2）略 （3）略 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．以原点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，使与的相似比为（点的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 【答案】如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为． 【分析】根据相似比找到点、、的位置，再连接各点画出，然后根据图形写成点的坐标即可． 【详解】略 迁移创新 1．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，各个顶点的坐标分别为．以点O为位似中心，在第一象限内的直线的下方，作一个尽可能大的四边形，使其与四边形成位似关系．试找出由四边形的4个顶点分别组成的各个三角形中的一些特殊三角形，并求出该四边形的周长． 【答案】是等腰三角形，是等腰直角三角形，四边形的周长为． 【分析】设四边形与四边形的位似比为，以原点为位似中心的位似图形，对应点坐标满足原坐标乘位似比，据此得到，结合题意推出当时满足题意，利用两点间的距离公式求出对应的边长即可得到答案． 【详解】解：设四边形与四边形的位似比为 ∵， ∴， ∵在第一象限内的直线的下方，作一个尽可能大的四边形， ∴点的纵坐标都要不大于9， ∴， ∴， ∴当时满足题意， ∴满足题意的四边形的顶点坐标为， ∴，，， ，，， ∴， ∴是等腰三角形，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即是等腰直角三角形； ∵， ∴四边形的周长为． 2．如图是的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： (1)在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为； (2)在第二象限内格点上找一点，使与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点坐标是_______； (3)以坐标原点为位似中心，画出的位似图形，使与相似比为（画出一个即可） 【答案】(1) 解：如图所示：平面直角坐标系即为所求； (2) (3) 解：如图所示，即为所求． 【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的判定及性质、画位似图形，关键是根据知识点画出符合题意的图形； （1）根据两点的坐标建立直角坐标系即可； （2）在的垂直平分线上找一点且腰长是无理数，则点坐标可求； （3）以为位似中心，在的同侧和异侧分别画出求作图形即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示：点即为所求； 故答案为：； （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 相似 31.4 位似 课标要点 1.了解位似图形的概念，知道位似是特殊的相似，识别位似中心、位似比； 2.掌握位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 3.会利用位似将一个图形放大或缩小； 4.在平面直角坐标系中，掌握以原点为位似中心的位似图形对应点的坐标变化规律； 5.能区分相似与位似，会判断两个图形是不是位似图形，体会图形变换在实际中的应用。 学习重难点 重点： 1.位似图形的概念、位似的性质； 2.平面直角坐标系中，以原点为位似中心时，位似图形点的坐标变化规律； 3.利用位似作图，把图形放大或缩小。 难点： 1.判断两个相似图形是否为位似图形，找准位似中心； 2.理解位似中心在原点两侧时，坐标变化的两种情况（同向、反向位似）； 3.灵活运用位似性质解决简单几何计算与证明问题。 知识点 位似图形与位似比 核心概念与定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，此时的相似比又叫做位似比。 符号表达：若 △ABC 与 △A′B′C′ 位似，位似中心为 O，位似比为 k，则 ，且 。 特别提醒 1. 定义有三个要素——相似、对应点连线过同一点、对应边平行或共线，缺一不可。只有相似而对应边不平行的两个图形不是位似图形。 1. 位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，二者是「特殊与一般」的关系。 1. 位似比是有顺序的， 与 互为倒数，答题时必须写清「谁比谁」。 位似中心的位置不固定，可以在图形内部、外部，也可以落在图形的边上或某个顶点处。。 随学随练 1．下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 4．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长等于______． 知识点 位似图形的性质与判定 性质定理与符号表达： 对应点与位似中心三点共线，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比：。 对应线段之比等于位似比：；对应角相等。 周长之比等于位似比，面积之比等于位似比的平方：。 对应边互相平行或共线。 判定方法：先证两图形相似，再证对应点连线交于一点（或对应边平行），即可判定为位似图形。 特别提醒 1. 面积比是位似比的平方，位似比是面积比的算术平方根，切勿把二者混用。 1. 位似比 为放大， 为缩小； 时两图形全等且重合。 （3）由性质 1 可反推三点共线，是证明「多点共线」的常用工具。 随学随练 1．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，线段与是以坐标原点为位似中心的位似图形，垂直于轴，点，在轴上．已知点的坐标为，的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 4．如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______． 知识点 位似作图 作图步骤： 确定位似中心 O（位置可任选）。 取原图形的关键点（如多边形的各顶点）。 连接关键点与位似中心，按位似比在射线（或反向延长线）上截取对应点。 顺次连接各对应点，得到所求位似图形。 特别提醒 1. 同一位似中心、同一位似比可以作出两个位似图形，它们分居位似中心两侧，且关于位似中心对称，题目未限定方向时两个都要画。 1. 位似中心选得不同，所得图形位置也不同，但形状、大小（位似比）不变，因此答案不唯一。 （3）作图后必须检验：对应点连线是否都过 O，对应边是否平行或共线。 随学随练 1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点（顶点为网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为位似中心，将作位似变换得到，使得，画出位似变换后的． 2．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知，，． (1)以原点为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为； (2)利用格点，在线段上找一点，使得． 3．詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜，每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”．据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥，如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请画出； (2)画出关于轴对称的． 拓展 任意点位似中心的坐标变换（模型思想 + 运算能力） 核心探究 教材只研究原点为位似中心的坐标缩放，属于特殊情形；中考常考拓展：以平面内任意一点C(a,b)作为位似中心的坐标变换，本质是平移变换 + 位似缩放的复合变换。 · 推导思路：先把坐标系平移，将位似中心C(a,b)当作新原点，算出点相对于中心的相对坐标，缩放之后，再平移回原坐标系。 · 公式：原点点P(x,y)，位似中(C(a,b)，位似比k x'=a+k(x-a), y'=b+k(y-b) · 符号含义： 1. k>0：顺位似，P、C、P'三点顺序不变，在中心同侧； 1. k<0：逆位似，P'穿过位似中心，在另一侧； 1. |k|>1放大，0<|k|<1缩小。 · 高频易错：直接套用原点公式x'=kx,y'=ky，忽略先减去中心坐标；很多学生不管中心在哪都直接乘系数。 · 逆向考法：已知原图形、位似后图形的一组对应点，反求位似中心坐标。方法：两点连线，利用分点公式（定比分点）求解。 · 素养价值：理解坐标变换不是孤立公式，而是 “相对位置缩放”，实现从特殊到一般的迁移，建立坐标几何统一模型，为高中相似变换、仿射变换铺垫。 活学活用 1．如图，在坐标系中，以为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若的对应点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，，则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示） 题型 位似图形的识别判断题 解题贴士 判断时要抓住两个核心条件，一是两个图形相似，二是所有对应顶点连线交于同一点，且对应边互相平行或共线，二者缺一不可；注意相似图形不一定是位似图形，仔细观察图形对应关系，不要仅凭直观外形下结论。 ▌例1下列图中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．下列图形中，不含有位似图形的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3如图，在正方形网格中，的位似图形可以是（   ） A． B． C． D． 题型 找位似中心 解题贴士 连接两组对应顶点并延长，它们的交点就是位似中心；画图时要考虑顺位似、逆位似两种对应搭配方式，留意位似中心可能在图形之间、图形外侧、图形内部或者边上。 ▌例1如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 ▌对点练1-1图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是________．    ▌对点练1-3如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 题型 求位似图形的相似比 解题贴士 位似比就是相似比，等于一组对应点到位似中心的距离之比，注意看清是新图形与原图形的比，不要颠倒前后顺序；面积比等于位似比的平方，周长比等于位似比，区分线段比和面积比。 ▌例1如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1已知与是位似图形，且与的面积比为，则与的相似比是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3如图，在的方格纸中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型 位似作图题（放大 / 缩小，同侧、异侧） 解题贴士 先确定位似中心，再依次连接图形关键点与位似中心，按照规定位似比在射线上截取对应点，同侧、异侧要分开作图，最后顺次连接各新点，作图完成后检查对应边是否平行。 ▌例1如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． (1)以原点为位似中心，画出的位似图形，使它与的位似比为， (2)点、点的坐标分别是、，请用尺规作图作出线段的黄金分割点 ．(其中) ▌对点练1-1如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的；②画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是位似图形，请直接写出位似中心的坐标为_________． ▌对点练1-3如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． (1)是________三角形 (2)以点B为位似中心，在点B的下方画出,使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为________ 题型 原点为位似中心的坐标变换 解题贴士 原点为位似中心时，原坐标(x,y)，位似比为k，对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)；k取正数是同向位似，负数是反向位似，题目无说明时两种情况都要考虑，防止漏解。 ▌例1在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧作，且与的位似比为，则点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，和位似，原点O是位似中心，位似比为1∶2．若点的坐标为，则点B的坐标为______． ▌对点练1-3如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 题型 任意点为位似中心的坐标变换 解题贴士 不能直接套用原点公式，先算出点相对于位似中心的横、纵坐标差值，乘以位似比后再加回位似中心坐标；分清k>0同侧、k<0异侧，列式时注意平移缩放的先后顺序。 ▌例1如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中，，以点A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，已知，，则点的坐标为_______________（结果用含，的式子表示）． ▌对点练1-3如图，在第二象限内，其中点的坐标是，以点为位似中心，作的位似图形，使它与的相似比为．若点的坐标为，则其对应点的坐标是___________． 题型 利用位似性质求线段、周长、面积 解题贴士 先确定位似比，线段长、周长直接用位似比计算，面积要用位似比的平方；找准对应边，不要错把非对应线段拿来列式，有多个图形时先理清谁是原图形、谁是位似后的图形。 ▌例1如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． ▌对点练1-3如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是______． 题型 位似与相似综合计算 解题贴士 先借助位似得到相似关系和平行条件，再结合相似三角形性质、平行线分线段成比例等知识求解；优先利用位似简化共线、平行条件，理清图形之间的比例传递关系，规避比例颠倒错误。 ▌例1如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ）    A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．3：2 ▌对点练1-1如图，都是等边三角形，且是以内部一点为位似中心的位似图形，已知的边长为2，的边长为1，则与之间的距离（ ）    A．等于1 B．等于 C．等于 D．随点位置的变化而变化 ▌对点练1-2如图，，且，，则的面积是________． ▌对点练1-3如图所示，在矩形中，对角线，相交于点． 过点作于点，连接交于点，作于点，则与是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出位似比；若不是，请说明理由． 连接交于点，作于，试确定的值． 4．如图，，且． 梯形与梯形是否位似？如果位似，求出它们的相似比，如果不位似，说明理由； 若．求梯形的面积． 基础通关 1．如图，已知 与 是位似图形，点 是位似中心，若 是 的中点，则   与 的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 3．如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，在第四象限内将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 6．如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，若与位似，位似中心为点O，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点．已知点，．则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（    ） A． B． C． D． 9．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 10．在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________． 11．如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点是位似中心，且．若，则点的坐标是________． 12．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到第一象限的，则点A的对应点的坐标为________． 13．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 14．指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 15．如图，已知．以点A为位似中心，画出一个，使与位似，且位似比为． 素养提升 1．如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 3．如图，和是位似三角形，，的周长为6，则的周长为（    ）． A．12 B．6 C．16 D．18 4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画的位似图形，使它与的位似比为，则点B的对应点的坐标是__________． 5．如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 6．如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，作的位似图形，在第一象限，且的相似比为2． (2)点的坐标是_______． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为，，则______． 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以点为位似中心的位似图形、点、、都在格点上，则点的坐标为__________． (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． (3)在线段上找一点使得． 10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．以原点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，使与的相似比为（点的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 迁移创新 1．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，各个顶点的坐标分别为．以点O为位似中心，在第一象限内的直线的下方，作一个尽可能大的四边形，使其与四边形成位似关系．试找出由四边形的4个顶点分别组成的各个三角形中的一些特殊三角形，并求出该四边形的周长． 2．如图是的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： (1)在网格中建立平面直角坐标系，使点坐标为，点坐标为； (2)在第二象限内格点上找一点，使与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点坐标是_______； (3)以坐标原点为位似中心，画出的位似图形，使与相似比为（画出一个即可） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $