31.3 相似三角形的应用（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十一章 相似 31.3 相似三角形的应用 课标要点 1.会利用相似三角形的判定与性质，解决现实生活中的测量问题（如测量高度、宽度）。 2.能从实际情境中抽象出相似三角形模型，建立数学模型，发展几何直观与模型观念。 3.能规范写出利用相似三角形求解实际问题的推理、计算过程，提升应用意识。 学习重难点 重点： 1.从实际问题中识别、构造相似三角形。 2.运用相似三角形对应边成比例，解决测高、测距类实际问题。 难点： 根据不同的现实场景，合理构造相似三角形（影子、平面镜、标杆等模型）。 准确找到对应边，理清数量关系，排除无关干扰条件，规范建模说理。 知识点 利用相似三角形测量物体的高度 1. 影长法（同一时刻物高与影长成正比） 原理：太阳光是平行光线，同一时刻竖直物体与其影长构成的两个直角三角形相似，故 。 典型情境：在金字塔影子的顶端立一根木杆，木杆与其影子、金字塔与其影子构成相似三角形，测得木杆长、木杆影长与金字塔影长，即可求出金字塔高。 2. 标杆法（人眼、标杆顶端、被测物顶端三点共线） 原理：人眼、标杆顶端、物体顶端在同一直线上，人与标杆、人与被测物分别构成两个相似直角三角形，由 求物高。 3. 镜面反射法（入射角等于反射角） 原理：把平面镜放在人与被测物之间，调整位置使人恰好在镜中看到物体顶端，此时入射角等于反射角，两个直角三角形相似，由 求物高。 4. 视线法（两次观测，利用视线与水平线夹角） 原理：在两点处分别观测物体顶端，两次视线与水平方向构成的直角三角形相似或利用正切关系，结合两次观测点间距求物高。 特别提醒 1、影长法必须在“同一时刻、同一地点、阳光为平行光”的前提下使用，不同时刻影长与物高的比不相等； 2、标杆法与镜面反射法中，人的眼睛高度、镜面到物体的水平距离都要测准，且人与物体必须站在同一水平面上； 3、镜面反射法要求镜面水平放置、物体底部与镜面在同一水平线上，否则相似关系不成立； 4.求出的高度若明显不合理（如旗杆高 0.5 m），应回到示意图检查对应边是否找错。 随学随练 1．如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 2．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 3．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度． 知识点 利用相似三角形测量距离 1. 河宽（不可直接到达两点间距离） 方法一（构造“A”型）：在河的一岸取可直接到达的两点 、，在对岸取目标点 ，在 的延长线上取点 ，使 ，则 ，由 求 。 方法二（构造“X”型）：在两点之间取可直接到达的点 ，延长 至 、 至 ，使 、，则 ，由 求 。 2. 池塘两端距离、建筑物内部距离 在池塘外取可直接到达的点，构造与目标线段平行的辅助线段，把不可测距离转化为可测线段与相似比之积。 3. 解题步骤（四步法） ①画示意图，标出已知量与未知量； ② 找出（或构造）相似三角形，写出相似依据 ③ 列比例式，注意对应边顺序一致； ④ 求解并检验单位与实际意义。 特别提醒 写相似式时字母顺序必须对应，如 中 对应 、 对应 ，顺序错则比例式必错； 辅助线要“平行”或“共线”，否则不能直接得到相似； 单位要统一，比例式中同一条线段的两个量必须同单位； 测量距离时若目标点在对岸，注意不要把“河宽”误当成“斜边”。 随学随练 1．“计里画方”是中国古代按比例尺绘制地图的一种方法．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板“内芯”的高度，且，观测者的眼睛（图中用点表示）与，在同一水平线上，若，，则、两点的距离是（   ） A． B． C． D． 2．如图是某小区门口的道闸示意图，当有车辆经过时，道闸绕点旋转使点端缓慢抬起，已知，且表示点抬起的竖直距离，表示点下降的竖直距离，则当点下降的竖直距离为时，点抬起的竖直距离为_____． 3．“泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在，的延长线上取点E，F，连接，使得．经测量，，，且点F到河岸的距离为．过点A作于点B（即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 拓展 模型迁移 —— 同一测量目标，多种相似构造方案对比探究 同一个测量任务（如测树高、河宽），可以选用影子模型、标杆模型、镜面反射模型、A 字 / X 字模型多种方案。不同模型的适用条件不一样：影子法需要晴天、有清晰影子；镜面法需要平整反射面；标杆法不受光照限制。 规律：所有方案本质都是构造两组等角得到相似三角形；优先选择已知数据多、测量误差小、容易操作的模型。 探究方向：对比不同方案的误差来源，分析哪种方案更适合实地测量。 活学活用 1．综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：××  组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆    卷尺、可调节支架的测角仪    实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 2．某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 题型 影子法测高问题 解题贴士 抓住同一时刻太阳光为平行光线，得到两组直角三角形相似，牢记物高与影长成正比，注意统一单位，看清是否需要加上底部离地高度。 ▌例1如图，和是两个相距米且高度都为米的路灯，身高米的小明（）晚上在路灯下沿线段来回散步，则他身体前后的两个影子之和的长为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，点P到的距离是，则点P到的距离是 _____ m． ▌对点练1-3一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 题型 标杆法测高问题 解题贴士 过观测点作水平线构造 A 字型相似，标杆是中间参照线段，找准相似三角形的上下底边，区分标杆高度、人眼高度，不要漏加人眼到地面的高度。 ▌例1如图，利用标杆测量学校宿舍楼的高度．已知标杆的高是，测得，则宿舍楼的高是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是______________米． ▌对点练1-3法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 题型 镜面反射测高问题 解题贴士 利用反射角等于入射角得到一组等角，结合垂直条件证直角三角形相似，镜子位置是定点，分清观测者、镜子、被测物体三者的距离，准确写出对应边比例。 ▌例1在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为(　　) A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 ▌对点练1-2在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若米，米，米，则这个学校教学楼的高度为__________米． ▌对点练1-3小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．    题型 测量河宽问题 解题贴士 一般借助A字型或X字型相似模型，利用对岸与岸边的平行线构造相似三角形，找准对应边，河宽是待求的一条对应边长，注意区分岸边可测距离与河宽，不要混淆线段，统一单位后列比例式计算。 ▌例1如图是测量河宽的示意图，测得，，，则河宽的长为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆，小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 ______ 米． ▌对点练1-3如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 题型 视线遮挡类相似问题 解题贴士 视线看作一条直线，常构造 A 字型相似，临界位置是刚好能看到或者刚好被挡住，借助方程思想求出距离或者高度。 ▌例1《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 ▌对点练1-1西周数学家商高总结了用“矩”(如图1)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A(人眼)望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出长，即可算得物高．若，，，量得，则物体的高为(    )    A． B． C． D． ▌对点练1-2汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． ▌对点练1-3请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在上，． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为0.5的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 题型 测量多方案选择问题 解题贴士 先识别每种方案对应的相似模型，结合现场条件判断方案是否可行，优先选取测量方便、数据易获取、误差更小的方案；计算时按选定模型列比例求解，答题要说明选择理由。 ▌例1【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． ▌对点练1-1为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量教学大楼的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 为大楼的影长，人站在点D上，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆顶端E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到大楼顶端 A 测量数据 ， ， ， ，， ， ， 图中所有点都在同一平面内 (1)老师发现，三组中有一组数据有误，是第________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． ▌对点练1-2利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．根据上面活动报告，解答下列问题： 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米，小智与标杆之间的距离为米． 计算结果 ．．． ．．． ．．． 反思 ．．． ．．． ．．． (1)利用方案测得旗杆的高度为___________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)请利用方案帮小智计算旗杆的高度． 基础通关 1．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，、、三点共线，则旗杆的高度为（    ） A．13.5米 B．12.5米 C．11.9米 D．10.5米 2．小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端为止．此时，测得小亮眼睛到地面的距离，小亮到处的距离，电线杆底部到的距离．电线杆的高度的值为（    ） A． B． C． D． 3．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 5．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（    ） A． B． C． D． 6．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 7．铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（    ） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 8．小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.8米，他的影长3米，小红比小明矮0.3米，此刻小红的影长是________米． 9．如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是_____． 10．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 11．如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 12．王莉同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高米的王莉影长为2米，同时测得旗杆的影长为米，则学校的旗杆高为__________米． 13．如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 14．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 15．如图，陆涛为了测一铁塔的高度，他在自己与铁塔间的地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记O，然后他看着镜子来回移动，直至看到铁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，这时，他测得，又知他身高，请你帮他算出铁塔的高度． 素养提升 1．中国古代的“矩测”方法，以几何原理为基础，是《周髀算经》中解决实际测量问题的经典智慧．在热播剧《长安的荔枝》中，李善德在荔枝运送过程中曾使用“矩”这一工具，来测量自己所在位置A到大运河对岸驿站P的距离（）．由于无法直接测量，他采用了商高“卧矩以知远”的方法：先将矩（）平放在地面上，沿方向前行至点Q，使驿站P恰好在点Q的垂直方向上．如图，点A、B、P位于同一直线上，和均为直角．测得尺，尺，丈，则点A到点P的距离为（     ） A．15丈 B．16丈 C．20丈 D．25丈 2．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有三分之一露出水面，则此时水面高度是（　　　　　） A． B． C． D． 3．如图，一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸边每隔有一棵树，在河的北岸边每隔有一根电线杆．小丽站在离南岸的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为______． 4．如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______． 5．项目性学习 项目背景：山西省古建筑众多，某校九年级数学实践小组学习了《图形的相似》后，利用夜晚灯光，测量平遥古城迎薰门城楼的高度，形成了如下实验报告： 项目主题 灯光下测量平遥古城迎薰门城楼的高度 驱动任务 借助灯光实地采集数据，运用图形的相似完成高度测量 测量图形 测量说明 1．表示迎薰门城楼的高度，所在的直线表示水平地面，，点，，从左到右依次排在地面上．点为城楼顶端的灯泡的位置． 2．为标杆，为学生高度，且，． 3．学生左、右移动位置，使点，，恰好在同一条直线上 测量数据 经测量得米，米，米，米 反思 … 请根据表格中的数据，求迎薰门城楼的高度（结果精确到米）． 6．数学活动课上，老师布置任务如下：让张华同学站在点处去观测外的位于点（即）处的一棵大树，所用工具为一个平面镜（大小忽略不计）和必要的长度测量工具．已知张华同学眼睛到地面的距离，大树高，，，、、在一条直线上，求需要将平面镜放置在距离点多远处，张华站立在处才能从平面镜中观测到大树的顶端． 7．学习了相似三角形相关知识后，小明和小亮想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小亮在点处竖立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上，点，，也在一条直线上．已知小明的身高，“标杆”． (1)大楼的高度为多少米（垂直于地面）? (2)小明站在原来的位置，小亮通过移动“标杆”，用同样的方法测得楼上点的高度，那么相对于第一次测量，“标杆”应该向大楼方向移动______． 8．张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤一：如图2，把长为的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤二：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． … … (1)求该纪念碑的高度； (2)另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 9．综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 10．松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 迁移创新 1．中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 2．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 相似 31.3 相似三角形的应用 课标要点 1.会利用相似三角形的判定与性质，解决现实生活中的测量问题（如测量高度、宽度）。 2.能从实际情境中抽象出相似三角形模型，建立数学模型，发展几何直观与模型观念。 3.能规范写出利用相似三角形求解实际问题的推理、计算过程，提升应用意识。 学习重难点 重点： 1.从实际问题中识别、构造相似三角形。 2.运用相似三角形对应边成比例，解决测高、测距类实际问题。 难点： 根据不同的现实场景，合理构造相似三角形（影子、平面镜、标杆等模型）。 准确找到对应边，理清数量关系，排除无关干扰条件，规范建模说理。 知识点 利用相似三角形测量物体的高度 1. 影长法（同一时刻物高与影长成正比） 原理：太阳光是平行光线，同一时刻竖直物体与其影长构成的两个直角三角形相似，故 。 典型情境：在金字塔影子的顶端立一根木杆，木杆与其影子、金字塔与其影子构成相似三角形，测得木杆长、木杆影长与金字塔影长，即可求出金字塔高。 2. 标杆法（人眼、标杆顶端、被测物顶端三点共线） 原理：人眼、标杆顶端、物体顶端在同一直线上，人与标杆、人与被测物分别构成两个相似直角三角形，由 求物高。 3. 镜面反射法（入射角等于反射角） 原理：把平面镜放在人与被测物之间，调整位置使人恰好在镜中看到物体顶端，此时入射角等于反射角，两个直角三角形相似，由 求物高。 4. 视线法（两次观测，利用视线与水平线夹角） 原理：在两点处分别观测物体顶端，两次视线与水平方向构成的直角三角形相似或利用正切关系，结合两次观测点间距求物高。 特别提醒 1、影长法必须在“同一时刻、同一地点、阳光为平行光”的前提下使用，不同时刻影长与物高的比不相等； 2、标杆法与镜面反射法中，人的眼睛高度、镜面到物体的水平距离都要测准，且人与物体必须站在同一水平面上； 3、镜面反射法要求镜面水平放置、物体底部与镜面在同一水平线上，否则相似关系不成立； 4.求出的高度若明显不合理（如旗杆高 0.5 m），应回到示意图检查对应边是否找错。 随学随练 1．如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 【答案】A 【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】解：，， ， 由镜面反射，可知， ， ， ，，， ， . 故路灯的高度为. 2．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵于点，于点， ∴， 即 解得：． 3．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度． 【答案】 【分析】设，，由题意得出，推出，，由相似三角形的性质列式计算即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴路灯离地面的高度为． 知识点 利用相似三角形测量距离 1. 河宽（不可直接到达两点间距离） 方法一（构造“A”型）：在河的一岸取可直接到达的两点 、，在对岸取目标点 ，在 的延长线上取点 ，使 ，则 ，由 求 。 方法二（构造“X”型）：在两点之间取可直接到达的点 ，延长 至 、 至 ，使 、，则 ，由 求 。 2. 池塘两端距离、建筑物内部距离 在池塘外取可直接到达的点，构造与目标线段平行的辅助线段，把不可测距离转化为可测线段与相似比之积。 3. 解题步骤（四步法） ①画示意图，标出已知量与未知量； ② 找出（或构造）相似三角形，写出相似依据 ③ 列比例式，注意对应边顺序一致； ④ 求解并检验单位与实际意义。 特别提醒 写相似式时字母顺序必须对应，如 中 对应 、 对应 ，顺序错则比例式必错； 辅助线要“平行”或“共线”，否则不能直接得到相似； 单位要统一，比例式中同一条线段的两个量必须同单位； 测量距离时若目标点在对岸，注意不要把“河宽”误当成“斜边”。 随学随练 1．“计里画方”是中国古代按比例尺绘制地图的一种方法．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，照板“内芯”的高度，且，观测者的眼睛（图中用点表示）与，在同一水平线上，若，，则、两点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，即可解答，能够得到是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 2．如图是某小区门口的道闸示意图，当有车辆经过时，道闸绕点旋转使点端缓慢抬起，已知，且表示点抬起的竖直距离，表示点下降的竖直距离，则当点下降的竖直距离为时，点抬起的竖直距离为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，过点作，过点作，可得：，根据对顶角相等可得：，根据有两个角对应相等的三角形相似，可证，根据相似三角形对应边成比例可得：，的长度即为点抬起的竖直距离为． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， 解得：， 点抬起的竖直距离为． 故答案为：． 3．“泾渭分明”的奇特景观，主要是因为泾河和渭河的含沙量不同，两者交汇后形成了互不相融的壮丽景观．某中学数学兴趣组的同学想要测量这一景观某一段河流的宽度．如图，测量的河流两侧河岸平行，小志在河的对岸选定一个目标作为点A，再在另一侧的河岸边选出点C和点D，分别在，的延长线上取点E，F，连接，使得．经测量，，，且点F到河岸的距离为．过点A作于点B（即为这一段河流的宽度），请你根据提供的数据计算这段河流的宽度． 【答案】这段河流的宽度为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例求得，从而可得．再证明，根据相似三角形的性质列出比例求得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这段河流的宽度为． 拓展 模型迁移 —— 同一测量目标，多种相似构造方案对比探究 同一个测量任务（如测树高、河宽），可以选用影子模型、标杆模型、镜面反射模型、A 字 / X 字模型多种方案。不同模型的适用条件不一样：影子法需要晴天、有清晰影子；镜面法需要平整反射面；标杆法不受光照限制。 规律：所有方案本质都是构造两组等角得到相似三角形；优先选择已知数据多、测量误差小、容易操作的模型。 探究方向：对比不同方案的误差来源，分析哪种方案更适合实地测量。 活学活用 1．综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：××  组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆    卷尺、可调节支架的测角仪    实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 【答案】(1)②，③ (2)选择方案一，理由为测量工具较简单，方便；的高度约为 【分析】（1）“标杆方案”测量出各边的长度，利用相似三角形对应边成比例的性质求出旗杆的高度；“测角仪方案”测量出角的度数，利用三角函数表示出各边的长度，列方程求出旗杆的高度； （2）分别用两种不同的方案计算出旗杆的高度． 【详解】（1）解：测量出①，②，③，④， 可得：，， ， 根据可证， ， 根据对应边成比例求出的高度， 再根据旗杆的高度为求出结果， “标杆方案”运用的知识是②相似三角形； 测出的度数， 可知， 测出， 可知， ， 根据， 可以求出的高度， 根据旗杆的高度为求出结果， “测角仪方案”运用的知识是③锐角三角函数； （2）解：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便， 如图： 由题意得：，，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， 答：旗杆的高度约为； 选择方案二，理由为测量较准确， 由题意得：，， 设， ，， ， 在中，，， ，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度约为米． 2．某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 【答案】(1)（米） (2)（米） 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”​ 在实际问题中的应用，相似三角形对应边成比例，平行线的性质，解题的关键在于利用相似三角形，相似三角形对应边成比例，列出比例式，求对应边； （1）识别出相似三角形，对应边成比例，列出比例式，计算求得即可； （2）识别出相似三角形，利用高也对应成比例，再根据几组平行，得到等于的边上的高，从而得到，求出，再加上，即可得． 【详解】（1）∵，，， ∴， ，即 ． 答：路灯的高度为米． （2）过点作于． ∵由题意得，， ∴（米），（米）， ∴等于的边上的高， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）． 答：路灯主杆的高度为米． 题型 影子法测高问题 解题贴士 抓住同一时刻太阳光为平行光线，得到两组直角三角形相似，牢记物高与影长成正比，注意统一单位，看清是否需要加上底部离地高度。 ▌例1如图，和是两个相距米且高度都为米的路灯，身高米的小明（）晚上在路灯下沿线段来回散步，则他身体前后的两个影子之和的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，线段的和差转化，掌握方程思想是解题关键． 由题可知，路灯、身高与影子构成两组相似三角形，利用相似比得到线段比例关系，再结合线段和差建立方程，从而求出影子之和的长度． 【详解】解：根据题意可知，，，，， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， 解得． 故选：． ▌对点练1-1．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 树的高度为． 故选D． ▌对点练1-2如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，点P到的距离是，则点P到的距离是 _____ m． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 根据平行线，得出，再根据相似三角形对应高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ∵点P到的距离是， ∴点P到的距离是． 故答案为：． ▌对点练1-3一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 【答案】路灯距水平地面的距离为． 【分析】由相似三角形的判定和性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 答：路灯距水平地面的距离为． 题型 标杆法测高问题 解题贴士 过观测点作水平线构造 A 字型相似，标杆是中间参照线段，找准相似三角形的上下底边，区分标杆高度、人眼高度，不要漏加人眼到地面的高度。 ▌例1如图，利用标杆测量学校宿舍楼的高度．已知标杆的高是，测得，则宿舍楼的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．根据题意可求出，再根据，可证明，即得出，最后代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 由题意可知， ∴， ∴，即， 解得：， ∴宿舍楼的高是． 故选B． ▌对点练1-1如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． ▌对点练1-2如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是______________米． 【答案】10.7 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式，求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：作交于点， 由题意可知：四边形均为矩形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即旗杆的高度是10.7米； 故答案为：10.7． ▌对点练1-3法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米． (1)请计算标杆与“真身宝塔”的距离的值？ (2)“真身宝塔”的高度是多少？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）证明，，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解即可； （2）根据可推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点处垂直于地面竖立一根高度为米的标杆，将标杆向右平移到点处， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴标杆与“真身宝塔”的距离的值为米； （2）解：由（1）知：，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴“真身宝塔”的高度是米． 题型 镜面反射测高问题 解题贴士 利用反射角等于入射角得到一组等角，结合垂直条件证直角三角形相似，镜子位置是定点，分清观测者、镜子、被测物体三者的距离，准确写出对应边比例。 ▌例1在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【详解】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. ▌对点练1-1如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为(　　) A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；根据题意得出，代入数据，即可求解． 【详解】如图可知：，， ，， ， ， ∴， 米，米，米， ∴， 解得：， 答：树高为米． 故选：A． ▌对点练1-2在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若米，米，米，则这个学校教学楼的高度为__________米． 【答案】 【分析】根据镜面反射法测高的原理可知，将米，米，米代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由镜面反射法测高的原理，， ， ，即， 米，米，米， ，解得楼高米， 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面反射法测高，熟练掌握镜面反射测高的原理，利用相似三角形性质求线段长是解决问题的关键． ▌对点练1-3小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．    【答案】古塔的高度为96米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，准确判断出相似三角形，理解相似三角形的性质是解题关键．直接利用相似三角形的判定与性质得出，证明，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ， ， 米，米， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 经检验，是上述分式方程的解且符合实际意义， 故米． 答：古塔的高度为96米． 题型 测量河宽问题 解题贴士 一般借助A字型或X字型相似模型，利用对岸与岸边的平行线构造相似三角形，找准对应边，河宽是待求的一条对应边长，注意区分岸边可测距离与河宽，不要混淆线段，统一单位后列比例式计算。 ▌例1如图是测量河宽的示意图，测得，，，则河宽的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB． 【详解】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴，， 解得：AB＝（米）． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；解题关键是证明两个三角形相似，熟练运用比例式求解． ▌对点练1-1如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴，即， 解得， 即河宽为， 故选：D． ▌对点练1-2如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆，小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 ______ 米． 【答案】38 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，利用比例性质可解决问题．过P作于F，延长交于E，由已知得米，米，米，由，，得到，，利用相似比等于对应高的比，可知，求出，再由即可求解． 【详解】解：如图所示，过P作于F，延长交于E， 由已知得米，米，米， ，， ， ，即， ， 米， 则河宽为38米． 故答案为：38． ▌对点练1-3如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 题型 视线遮挡类相似问题 解题贴士 视线看作一条直线，常构造 A 字型相似，临界位置是刚好能看到或者刚好被挡住，借助方程思想求出距离或者高度。 ▌例1《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：B． ▌对点练1-1西周数学家商高总结了用“矩”(如图1)测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A(人眼)望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出长，即可算得物高．若，，，量得，则物体的高为(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形，可以得到 然后根据相似三角形的性质，可以得到． 【详解】解：由图2可得，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 即 解得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的应用，利用相似三角形对应边成比例求线段长是答题的关键． ▌对点练1-2汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 【答案】 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． ▌对点练1-3请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在上，． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为0.5的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 【答案】（1）①， ②不能，理由： 过点作交于点， ，，， ， ， ， ， 不能观察到物体 （2）45 【分析】本题主要考查几何中角度的计算，尺规作角等于已知角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）①根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； ②过点作交于点，可证，，得，由此即可求解； （2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解． 【详解】（1）①根据题意，，，，， ， ， ，且， ， ， 检验，当时，原方程的分母不为零， ， ②略 （2）摩托车的速度为， ∴摩托车在秒的反应时间里的路程为， ∵小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域， ∴， ∴摩托车应与小汽车至少保持米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 故答案为：45 题型 测量多方案选择问题 解题贴士 先识别每种方案对应的相似模型，结合现场条件判断方案是否可行，优先选取测量方便、数据易获取、误差更小的方案；计算时按选定模型列比例求解，答题要说明选择理由。 ▌例1【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】过点作的垂线，垂足为，交于点，若选择甲同学方案，利用平行，易得，从而，代入计算即可；若选择乙同学方案，利用平行，易得，，从而可得，代入计算即可． 【详解】解：若选择甲同学方案， 如图，过点作的垂线，垂足为，交于点， 由题可知，，米，米，米，米，米，米， ，， ， ， ，即， 米， 米， 则旗杆的高度为米． 若选择乙同学方案， 如图，过点作，垂足为，交于点， 由题可知，，米，厘米米，厘米米， ， ，， ，， ，即， 米， 则旗杆的高度为米． ▌对点练1-1为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如表： 课题 测量教学大楼的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 说明 为大楼的影长，人站在点D上，为人的影长 为标杆，人的眼睛C与标杆顶端E与大楼顶端A在同一条直线上 点E处放一个平面镜，人的眼睛C恰好在平面镜中看到大楼顶端 A 测量数据 ， ， ， ，， ， ， 图中所有点都在同一平面内 (1)老师发现，三组中有一组数据有误，是第________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度． 【答案】(1)一 (2)选择第二或三组的方案，教学大楼的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）第一组的方案：直接证明即可；第二组的方案：延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；第三组的方案：直接利用相似三角形的判定和性质求解即可，然后进行最终数据比较即可判断哪一组数据错误； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：第一组的方案： 由题意可得，， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴教学大楼的高度为； 第二组的方案： 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 第三组的方案： 根据题意得，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． ∵第二、三组数据求出的大楼高度一致，与第一组的数据求得的大楼高度不一致， ∴第一组数据错误， （2）解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得，，， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 解得：， ∴教学大楼的高度为． ▌对点练1-2利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．根据上面活动报告，解答下列问题： 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米，小智与标杆之间的距离为米． 计算结果 ．．． ．．． ．．． 反思 ．．． ．．． ．．． (1)利用方案测得旗杆的高度为___________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)请利用方案帮小智计算旗杆的高度． 【答案】(1) (2)补全测量示意图如下所示： 旗杆的高度为米 (3)旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例． （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知四边形和四边形均为矩形，从而得到、、、以及的长，再证明，得到，求出的长即可解答． 【详解】（1）解：由题意得， ，即， 米， 利用方案测得旗杆的高度为米； 故答案为：． （2）过点作， ，     又， ， ， ， ，即， 米， 旗杆的高度为15米； （3）如下图所示，过点作于点，与交于点， ， 四边形和四边形均为矩形， 米，米，米， （米）， ， ， ， ，即， 米， （米）， 旗杆的高度为5.585米. 基础通关 1．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，、、三点共线，则旗杆的高度为（    ） A．13.5米 B．12.5米 C．11.9米 D．10.5米 【答案】A 【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB=EF=1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，即可求得AH，最后根据AB=AH+HB即可解题． 【详解】设CD与EH交于点G 由题意得：EF=GD=BH=1.6,BD=EH=15，EG=DF=2 ∴CG=CD-GD=1.4, ∵CD⊥FB，AB⊥FB， ∴CD∥AB， ∴△CGE∽△AHE， ∴， 即：， ∴AH=11.9， ∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m）． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度． 2．小亮在测量一根电线杆的高度时，制定了如下的测量方案：如图，先在地面的适当位置处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端为止．此时，测得小亮眼睛到地面的距离，小亮到处的距离，电线杆底部到的距离．电线杆的高度的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．根据与可判断，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ∵，，， ， ． 故选：A． 3．在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两相似三角形高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图， 由小孔成像原理可得, ∴，， 即　， ∵到的距离是，到的距离是， ∴，，且，， ∴，即， 解得． 4．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这棵树的高度为，根据“同一时刻，影长之比等于对应物体高度之比”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设这棵树的高度为，根据题意可得： ， 解得， 即这棵树的高度是． 5．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点O到的距离为，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：根据题意得，点O到的距离为，和之间的距离为， ∴点O到的距离为， 根据题意得，， ∴， ∴． 6．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则， ∴， ∴， ， 由题意地面知， ，即， ． 7．铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（    ） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 【答案】C 【分析】利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题可知,, ∴, ∴, ∴, 解得． 8．小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.8米，他的影长3米，小红比小明矮0.3米，此刻小红的影长是________米． 【答案】 【分析】同一时刻太阳光下，物体高度与影长的比值为定值，先求出小红身高，再列比例式计算影长． 【详解】解：由题意得，小红的身高为米， 设小红此刻的影长为米， ∵同一时刻，同一地点太阳光下物体高度与影长成比例， ∴， 解得． 9．如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是_____． 【答案】20 【分析】由得到，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 对应60等份，对应等份，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴小玻璃管口径是． 10．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 【答案】36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 11．如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 【答案】 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为， ∴两地的距离为 12．王莉同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高米的王莉影长为2米，同时测得旗杆的影长为米，则学校的旗杆高为__________米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，关键是掌握“同一时刻，平行光下物体的高度与影长成正比”的原理．同一时刻太阳光线平行，人和旗杆均垂直于地面，因此人与影子、旗杆与影子分别构成两个相似的直角三角形，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求解即可得到旗杆高度． 【详解】解：设学校旗杆的高度为米． 根据题意，得， 解得； 故答案为：． 13．如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 【答案】 【分析】先求出的长，再证出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：路灯的高度为． 14．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 15．如图，陆涛为了测一铁塔的高度，他在自己与铁塔间的地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记O，然后他看着镜子来回移动，直至看到铁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，这时，他测得，又知他身高，请你帮他算出铁塔的高度． 【答案】 【分析】证明，利用相似三角形的对应边相等解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即铁塔的高度为． 素养提升 1．中国古代的“矩测”方法，以几何原理为基础，是《周髀算经》中解决实际测量问题的经典智慧．在热播剧《长安的荔枝》中，李善德在荔枝运送过程中曾使用“矩”这一工具，来测量自己所在位置A到大运河对岸驿站P的距离（）．由于无法直接测量，他采用了商高“卧矩以知远”的方法：先将矩（）平放在地面上，沿方向前行至点Q，使驿站P恰好在点Q的垂直方向上．如图，点A、B、P位于同一直线上，和均为直角．测得尺，尺，丈，则点A到点P的距离为（     ） A．15丈 B．16丈 C．20丈 D．25丈 【答案】D 【分析】先证明，根据对应边成比例求出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 在中，（丈）， 点A到点P的距离为25丈． 2．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有三分之一露出水面，则此时水面高度是（　　　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作桌面的垂线，垂足为F，先利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过B作桌面的垂线，垂足为F，则， ∵，，， ∴， 由题意，，，， ∴， 又， ∴ ∴，即， 解得， 即此时水面高度是． 3．如图，一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸边每隔有一棵树，在河的北岸边每隔有一根电线杆．小丽站在离南岸的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为______． 【答案】 【分析】过点作，交于点，交于点，根据，得到，，然后利用相似比等于对应高的比列式计算即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， 如图，设河的宽度为米， ∵河的两岸有一段是平行的， ∴， ∴，， ∴ ，即， ∴， 即河的宽度为米． 4．如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度_______． 【答案】 【分析】根据已知易得，可得，即可得出，证明，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：∵和表示两根立于地面的柱子，点离地面的高度为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 5．项目性学习 项目背景：山西省古建筑众多，某校九年级数学实践小组学习了《图形的相似》后，利用夜晚灯光，测量平遥古城迎薰门城楼的高度，形成了如下实验报告： 项目主题 灯光下测量平遥古城迎薰门城楼的高度 驱动任务 借助灯光实地采集数据，运用图形的相似完成高度测量 测量图形 测量说明 1．表示迎薰门城楼的高度，所在的直线表示水平地面，，点，，从左到右依次排在地面上．点为城楼顶端的灯泡的位置． 2．为标杆，为学生高度，且，． 3．学生左、右移动位置，使点，，恰好在同一条直线上 测量数据 经测量得米，米，米，米 反思 … 请根据表格中的数据，求迎薰门城楼的高度（结果精确到米）． 【答案】迎薰门城楼的高度约为米 【分析】作辅助线，结合已知垂直条件，先证明四边形与四边形为矩形，得到对应线段长度；再证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出，最后求出． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ． ， ． ，，， 四边形四个内角都是直角． 四边形是矩形． 米，米． ，， ，即． ，， ． ，， 四边形四个内角都是直角． 四边形是矩形． 米，米． 米， 米． ，， ． ． ． ． 解得米． 米． 答：迎薰门城楼的高度约为16米． 6．数学活动课上，老师布置任务如下：让张华同学站在点处去观测外的位于点（即）处的一棵大树，所用工具为一个平面镜（大小忽略不计）和必要的长度测量工具．已知张华同学眼睛到地面的距离，大树高，，，、、在一条直线上，求需要将平面镜放置在距离点多远处，张华站立在处才能从平面镜中观测到大树的顶端． 【答案】 【分析】根据题意可得，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得， ∵，，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：， ∴需要将平面镜放置在距离点处，张华站立在处才能从平面镜中观测到大树的顶端． 7．学习了相似三角形相关知识后，小明和小亮想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小亮在点处竖立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上，点，，也在一条直线上．已知小明的身高，“标杆”． (1)大楼的高度为多少米（垂直于地面）? (2)小明站在原来的位置，小亮通过移动“标杆”，用同样的方法测得楼上点的高度，那么相对于第一次测量，“标杆”应该向大楼方向移动______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的判定和性质，分别求出，，根据相似三角形的判定和性质，可得，根据相似比，求出，根据，即可； （2）连接，过点作，交于点，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质，得到，求出，再根据，即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形都是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴大楼的高度为． （2）解：如图，连接，过点作，交于点，过点作于点，交于点， ， ， ， ， ， ∴“标杆”应该向大楼方向移动． 8．张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤一：如图2，把长为的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤二：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． … … (1)求该纪念碑的高度； (2)另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 【答案】(1)纪念碑的高度为15米 (2)多次测量求平均值或选用刻度更精准的卷尺进行长度测量．（合理即可） 【分析】（1）设，，则有，，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解； （2）根据题意合理给出建议即可． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，，， ， ，解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：纪念碑的高度为15米． （2）略 9．综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ，即； (2) (3)镜长至少为 【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答； （2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； （3）延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，且，，， ， ， ②号“E”的测量距离为； （3）解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E， 则，， ，， ， 由题意得：，， ， ， ， 镜长至少为． 10．松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五千余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉，属国家一级保护古树名木．某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划运用所学数学知识测量该柏树的高度．由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”． 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海岛算经》的重测法思想） 测量记录 1．两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为； 2．第一次观测：观测者站在点处，将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 3．第二次观测：观测者沿大树方向向前走到达点处（即），将镜子放置于点处，当观测者眼睛从镜中恰好看到柏树顶端时，测得； 4．点位说明：点、、、、在同一条水平直线上；（镜子的厚度和大小忽略不计） 测量图示 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏的高度． 【答案】大树的高度为米 【分析】设米，则米．通过和的性质求得x的值，然后可求得大树的高． 【详解】解：由题意得，，，，则 ． 设米，则米． 由题意，得，， ， ． 同理，， ． ， ，即． 解得， 经检验是原方程的解， 即， ， ． 解得． 经检验是原方程的解． 答：大树的高度为米 迁移创新 1．中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 【答案】中原福塔的高度为 【分析】先利用得，再利用得，根据题目给出的边长计算即可． 【详解】解：由题意，知 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 同理，可得 ， ∴， ∵ ， ∴． ∵ ， ， ， ∴， 解得 ． ∵标杆长 ， ∴ ， ∴， 解得 ， ∴中原福塔的高度为 ． 2．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $