专题31.4 位似（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级下册

专题31.4 位似 教学目标 1.理解位似图形及位似中心的概念，掌握位似图形与相似图形的关系及其性质。 2.掌握利用位似中心按要求放大或缩小图形的作图方法，能熟练求解位似比及相关线段长。 3.掌握坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律，体会数形结合与分类讨论思想在坐标变换中的应用。 教学重难点 1.重点 (1) 理解位似图形及位似中心的概念，掌握位似图形的性质及位似比与相似比的关系。 (2) 掌握利用位似中心画放大或缩小后图形的方法，掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律。 2.难点 (1) 在画位似图形或求对应点坐标时，能根据题目要求准确进行分类讨论。 (2) 将位似变换与相似三角形的判定及性质综合，在网格或坐标系中解决复杂问题。 知识点01 位似图形与位似多边形的概念 1.位似图形的定义 一般地，如果一个图形上所有的点 A，B，C，D，P，与另一个图形上所有的点 A′，B′，C′，D′，P′，分别对应，直线 AA′，BB′，CC′，DD′，PP′相交于一点 O，且 那么这两个图形叫作 ，点 O 叫作 。 2.位似多边形的定义 对于两个多边形，如果每对对应顶点所确定的直线相交于一点，并且这点到与其不重合的对应顶点所连线段 ，那么这两个多边形就叫作位似多边形。 注意：位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质；但相似图形不一定是位似图形，只有 交于一点的相似图形才是位似图形。 【即学即练】 1．下列图中的两个图形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 知识点02 位似图形的性质与作法 1.位似图形的性质 （1）位似图形一定是相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的 （即k）。 （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 。 （3）位似图形的对应边 ，或在 上。 （4）位似中心可以在图形的外部、内部、边上，甚至与某个顶点重合。 2.位似图形的作法 要把图形按相似比 k 放大或缩小，可以任取一点 O 作为位似中心： （1）分别连接位似中心 O 与原图形的各个顶点； （2）在射线 OA（或其反向延长线）上取点 A′，使k； （3）顺次连接各对应点，所得的图形即为所求。 注意：在位似中心同侧作出的位似图形与原图形在位似中心 ；在位似中心的反向延长线上作出的位似图形与原图形分居位似中心 。 【即学即练】 3．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)在图①中，以点为位似中心，画出的位似图形，使与其相似比为； (2)在图②中线段上画一个点，使． 知识点03 平面直角坐标系中的位似变换 1.坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画位似图形，新图形与原图形的相似比为 k，那么与原图形上的点 (x,y) 对应的位似图形上的点的坐标为： 或 。 2.规律解读 （1）当位似图形与原图形在原点同侧时，对应点的坐标为 ； （2）当位似图形与原图形在原点异侧（即分别在原点两边）时，对应点的坐标为 。 注意：在平面直角坐标系中，位似变换常常涉及分类讨论，题目未明确位置关系时，需要写出两种情况的坐标。 【即学即练】 5．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为12； (2)直接写出点的坐标________；与的周长比是________；与的面积比是________； (3)在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（____，____）； 题型01 位似图形的识别与相关概念辨析 【典例1】下列图中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【典例3】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． （1）考查方向：主要考查对位似图形、位似中心概念的辨析，识别两个图形是否为位似图形，以及判断位似中心的位置。 （2）核心方法：紧扣定义，检查两个图形是否相似且对应顶点的连线是否交于同一点；注意位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 【变式1】从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【变式2】如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【变式3】以点O为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．点C、O、F三点共线 【中考链接1】观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（  ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【中考链接2】一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 【中考链接3】如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 题型02 求位似图形的相似比及相关计算 【典例1】如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（     ） A． B． C． D． （1）考查方向：主要考查在位似图形中求相似比、对应线段长或周长比、面积比。 （2）核心方法：利用位似图形的性质“对应点到位似中心的距离之比等于相似比”，结合相似三角形的对应边成比例进行列式求解。 【变式1】如图，五边形和五边形是以点为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 【中考链接】如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 题型03 画放大或缩小后的位似图形 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． （1）考查方向：主要考查给定位似中心和相似比，要求规范画出已知图形放大或缩小后的位似图形。 （2）核心方法：连接位似中心与原图形各顶点，按要求延长或截取线段；注意审题，位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在异侧，需考虑两种情况。 【变式1】如图，与是位似图形，位似中心为M． (1)画出点M的位置； (2)与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 【中考链接】在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）． （1）画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1； （2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1． 题型04 平面直角坐标系中的位似变换 【典例1】方格纸中，的顶点坐标分别为，．以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； （1）考查方向：主要考查以原点（或某一点）为位似中心时的坐标变化规律，求对应坐标，或在坐标系中求面积比、画位似图形及找位似中心。 （2）核心方法：熟记原点为位似中心时的坐标规律：(x,y)变为 (kx,ky)或(−kx,−ky)；注意位置不确定时需要分类讨论；计算面积比时，直接利用“面积比等于相似比的平方”。 【变式1】如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 【变式2】如图，与是位似图形． (1)在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ； (2)以点A为位似中心，在现有网格图中作，使和位似，位似比为；并写出的坐标． (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【中考链接1】如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 题型05 相似与位似的综合问题 【典例1】如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．3：2 （1）考查方向：主要考查位似与相似三角形在网格或坐标系中的综合应用，如结合动点求最值、探究规律或综合计算。 （2）核心方法：将位似问题转化为相似三角形模型，利用相似比建立线段比例关系或坐标方程；综合运用数形结合思想，结合平移、对称等其他图形变换进行分析。 【变式1】如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【中考链接】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE． （1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值； （2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长． A组·基础过关 1．观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形与矩形的相似比为，那么点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 7．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 9．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B组·能力提升 11．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（     ） A．9 B．18 C．24 D．27 12．平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形和正方形的位似中心，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 13．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将的面积扩大到原来的4倍，得到．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 15．如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 16．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 17．如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的；②画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是位似图形，请直接写出位似中心的坐标为_________． 19．在网格建立平面直角坐标系，已知四点：，，，． (1)以点为位似中心，在网格中作的位似图形，使的边长放大到原来的倍． (2)同学们在探索“函数的系数，，与图像的关系”时分别经过，，，这四个点中的三个点画出二次函数的图像，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式最小？在，，，中选择个填入横线 ． 20．如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H． （1）求证：△ADH∽△FBA； （2）若△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1），求的值； （3）若，求证：∠AMB＝∠ADC． C组·拓展延伸 21．如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 22．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（　　） A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8） 24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 25．如图，是一个格点三角形（我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”），其中． (1)以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，故大后点的对应点分别为，且点在第二象限，请你在所给的方格纸中作出． (2)计算：在中，______，点到直线的距离为______． (3)在轴下方找出所有的格点，使以点为顶点的格点三角形与相似． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31.4 位似 教学目标 1.理解位似图形及位似中心的概念，掌握位似图形与相似图形的关系及其性质。 2.掌握利用位似中心按要求放大或缩小图形的作图方法，能熟练求解位似比及相关线段长。 3.掌握坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律，体会数形结合与分类讨论思想在坐标变换中的应用。 教学重难点 1.重点 (1) 理解位似图形及位似中心的概念，掌握位似图形的性质及位似比与相似比的关系。 (2) 掌握利用位似中心画放大或缩小后图形的方法，掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律。 2.难点 (1) 在画位似图形或求对应点坐标时，能根据题目要求准确进行分类讨论。 (2) 将位似变换与相似三角形的判定及性质综合，在网格或坐标系中解决复杂问题。 知识点01 位似图形与位似多边形的概念 1.位似图形的定义 一般地，如果一个图形上所有的点 A，B，C，D，P，与另一个图形上所有的点 A′，B′，C′，D′，P′，分别对应，直线 AA′，BB′，CC′，DD′，PP′相交于一点 O，且 那么这两个图形叫作位似图形，点 O 叫作位似中心。 2.位似多边形的定义 对于两个多边形，如果每对对应顶点所确定的直线相交于一点，并且这点到与其不重合的对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就叫作位似多边形。 注意：位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的所有性质；但相似图形不一定是位似图形，只有对应点连线交于一点的相似图形才是位似图形。 【即学即练】 1．下列图中的两个图形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形是相似三角形，但不符合概念，故不是位似图形． 2．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 知识点02 位似图形的性质与作法 1.位似图形的性质 （1）位似图形一定是相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比（即k）。 （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 （3）位似图形的对应边平行，或在同一条直线上。 （4）位似中心可以在图形的外部、内部、边上，甚至与某个顶点重合。 2.位似图形的作法 要把图形按相似比 k 放大或缩小，可以任取一点 O 作为位似中心： （1）分别连接位似中心 O 与原图形的各个顶点； （2）在射线 OA（或其反向延长线）上取点 A′，使k； （3）顺次连接各对应点，所得的图形即为所求。 注意：在位似中心同侧作出的位似图形与原图形在位似中心同旁；在位似中心的反向延长线上作出的位似图形与原图形分居位似中心两侧。 【即学即练】 3．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比，据此可得答案． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)在图①中，以点为位似中心，画出的位似图形，使与其相似比为； (2)在图②中线段上画一个点，使． 【答案】(1)如图所示： 和即为所求； (2)如图所示： 点即为所求． 【分析】（1）由位似图形的性质求出位似三角形的顶点坐标，连接三个顶点即可； （2）取格点，连接，交于点，连接，此时，由相似三角形的性质即可得到． 【详解】（1）解： 与的相似比为，点为位似中心， 分两种情况： 当两个三角形在点同侧时，令要作的位似图形为， 三个顶点的坐标分别是， 取中点，连接得到， ， 与的相似比为； 当两个三角形在点异侧时，令要作的位似图形为， 作关于点的对称点，连接得到， ， 与的相似比为； （2）解：由图可知，，且， ． 知识点03 平面直角坐标系中的位似变换 1.坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画位似图形，新图形与原图形的相似比为 k，那么与原图形上的点 (x,y) 对应的位似图形上的点的坐标为：(kx,ky)或(−kx,−ky)。 2.规律解读 （1）当位似图形与原图形在原点同侧时，对应点的坐标为 (kx,ky)； （2）当位似图形与原图形在原点异侧（即分别在原点两边）时，对应点的坐标为 (−kx,−ky)。 注意：在平面直角坐标系中，位似变换常常涉及分类讨论，题目未明确位置关系时，需要写出两种情况的坐标。 【即学即练】 5．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出相似比，再根据位似变换的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点D的坐标为． 6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为12； (2)直接写出点的坐标________；与的周长比是________；与的面积比是________； (3)在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（____，____）； 【答案】(1) (2)，， (3)， 【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质求解； （3）利用位似变换的性质求解． 【详解】（1）略； （2）解：根据位似变换的性质，得的坐标，且与的相似比为， ∴与的周长比等于，面积比为； （3）解：在（1）的条件下，为△内部任意一点，则变换后的对应点的坐标为． 题型01 位似图形的识别与相关概念辨析 【典例1】下列图中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【详解】解：经过对应顶点的直线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； D中的两个图形不符合位似图形的概念，故不是位似图形． 【典例2】在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心．【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点．故选：B． 【典例3】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一条直线上，， ∴， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． （1）考查方向：主要考查对位似图形、位似中心概念的辨析，识别两个图形是否为位似图形，以及判断位似中心的位置。 （2）核心方法：紧扣定义，检查两个图形是否相似且对应顶点的连线是否交于同一点；注意位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 【变式1】从物体上出发的光，沿直线穿过小孔，照在小孔另一侧的屏上会形成像，这就是小孔成像现象．大约在公元前四世纪，《墨经》中就记载了小孔成像的实验．如图是小孔成像的示意图（物距小于像距），其中体现的变换是（   ） A．位似变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．平移变换 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键．根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换． 故选：A． 【变式2】如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 【变式3】以点O为位似中心，把放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．点C、O、F三点共线 【答案】C 【分析】本题考查了位似的性质，由位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原来的2倍得到， ∴，点C、O、F三点共线，故A，D正确 ∴ ∴ ∴ ∴，故B正确， ∵ ∴，故C不正确， 故选：C． 【中考链接1】观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（  ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【答案】A 【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答． 【详解】解：A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意； B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意； C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意； D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意． 故选：A． 【中考链接2】一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 【中考链接3】如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是，故选：． 题型02 求位似图形的相似比及相关计算 【典例1】如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9． （1）考查方向：主要考查在位似图形中求相似比、对应线段长或周长比、面积比。 （2）核心方法：利用位似图形的性质“对应点到位似中心的距离之比等于相似比”，结合相似三角形的对应边成比例进行列式求解。 【变式1】如图，五边形和五边形是以点为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的定义和相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：五边形和五边形是以点为位似中心的位似图形，， 五边形五边形， ， ， ， ． 【中考链接】如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 题型03 画放大或缩小后的位似图形 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． （1）考查方向：主要考查给定位似中心和相似比，要求规范画出已知图形放大或缩小后的位似图形。 （2）核心方法：连接位似中心与原图形各顶点，按要求延长或截取线段；注意审题，位似图形可能在位似中心的同侧，也可能在异侧，需考虑两种情况。 【变式1】如图，与是位似图形，位似中心为M． (1)画出点M的位置； (2)与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求， (2) 如图所示，即为所求 【分析】本题主要考查利用位似作图，可以根据位似图形的定义，结合位似图形的作法进行解答． （1）连接交于点； （2）根据位似比为1∶2，分两种情况画出； 【详解】（1）略 （2）略 【中考链接】在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）． （1）画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1； （2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1． 【答案】 （1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； 【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案； 【详解】略 题型04 平面直角坐标系中的位似变换 【典例1】方格纸中，的顶点坐标分别为，．以原点为位似中心，在轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为，并分别写出点，的对应点，的坐标． 【答案】如图，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为 【详解】略 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； 【答案】(1)如图，为求作的图形， (2)， 【分析】（1）连接并延长，使，连接并延长，使，在轴上取点，即为点，连接，得，图略； （2）由图得点的坐标，根据位似中对应点的坐标的变化规律可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：点坐标为；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标为：． （1）考查方向：主要考查以原点（或某一点）为位似中心时的坐标变化规律，求对应坐标，或在坐标系中求面积比、画位似图形及找位似中心。 （2）核心方法：熟记原点为位似中心时的坐标规律：(x,y)变为 (kx,ky)或(−kx,−ky)；注意位置不确定时需要分类讨论；计算面积比时，直接利用“面积比等于相似比的平方”。 【变式1】如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 【答案】(1) (2)如图， (3) 【分析】（1）位似图形对应顶点连线交于位似中心，直线与交点即为位似中心； （2）按照位似放大倍数延长得到对应点； （3）先求对应边长得到位似比为，根据位似图形面积比等于位似比的平方，得到面积比值为． 【详解】（1）解：如图， 与交于点， 位似中心是点； （2）略 （3）解：，，，， ，， ， ． 【变式2】如图，与是位似图形． (1)在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ； (2)以点A为位似中心，在现有网格图中作，使和位似，位似比为；并写出的坐标． (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【答案】(1) (2)如图所示，即为所求，； (3) 如图，点即为与的位似中心P， 点P的坐标为． 【分析】本题考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键． （1）直接利用已知点位置得出点坐标即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点即为位似中心，并得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，点的坐标为， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，分别连接，，交于点，则点即为与的位似中心P． 【中考链接1】如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等腰直角三角形得到，，即可判断旋转后点在x轴上，轴，，，通过解直角三角形得到，，得到点的坐标，再根据位似图形的坐标变化求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴与x轴的夹角为， ∵绕点顺时针旋转后，得到， ∴点在x轴上，轴，，， ∴， ， ∴， ∵以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到， ∴顶点在第一象限对应点的坐标是，即． 【中考链接2】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1) 如图所示，点D即为边的中点， 点D的坐标为． (2) 如图所示，即为所求作的三角形． 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型05 相似与位似的综合问题 【典例1】如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比是（    ） A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．3：2 【答案】C 【分析】根据相似性质，两个三角形相似的周长比等于相似比，根据题意求解即可得到答案． 【详解】解： 和是以点为位似中心的位似图形， ， ， 两个三角形的相似比为， 与的周长比是， 故选：C． （1）考查方向：主要考查位似与相似三角形在网格或坐标系中的综合应用，如结合动点求最值、探究规律或综合计算。 （2）核心方法：将位似问题转化为相似三角形模型，利用相似比建立线段比例关系或坐标方程；综合运用数形结合思想，结合平移、对称等其他图形变换进行分析。 【变式1】如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【中考链接】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE． （1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值； （2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长． 【答案】（1）；（2）BF＝3． 【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可． （2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG=x，则BG=4-x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．    ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠C＝90°， 由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°， 在Rt△EPD中，∵EM＝MD， ∴PM＝EM＝DM， ∴∠3＝∠MPD， ∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3， ∵∠ADP＝2∠3， ∴∠1＝∠ADP， ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠DPC， ∴∠1＝∠DPC， ∵∠MOP＝∠C＝90°， ∴△POM∽△DCP， ∴， ∴． （2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x    ∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°， ∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°， ∴∠EPG＝∠PDH， ∴△EGP∽△PHD， ∴， ∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x， 在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2， ∴（3x）2+（4+x）2＝122， 解得：x＝（负值已经舍弃）， ∴BG＝4﹣＝， 在Rt△EGP中，GP＝， ∵GH∥BC， ∴△EGP∽△EBF， ∴， ∴， ∴BF＝3． A组·基础过关 1．观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、两个图形不相似，故不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个图形是相似图形，故是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，故不是位似图形，不符合题意； D、两个图形不是相似图形，故不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 2．图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查图形的位似：连接，三条直线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图： 与位似，则位似中心是点N， 故选：B． 3．如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与的坐标确定位似比，利用位似变换性质求解点的坐标. 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且的对应点为， ∴位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即. 5．在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似图形的特征是解题关键． 两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．作射线，根据位似中心的概念、三角形的位似比解答即可． 【详解】解：作射线，如下图， 射线经过点，且，故， ∴点的对应点为点． 故选：B． 6．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形与矩形的相似比为，那么点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由矩形与矩形关于点位似，矩形与矩形的位似比为，又由点的坐标为，即可求得答案． 【详解】解：矩形与矩形关于点位似，位似比为， 由图可得点的坐标为， 点的坐标是：或． 7．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，可知：， ∴， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴． 8．如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 9．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：C． 10．如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． B组·能力提升 11．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（     ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【分析】先利用位似的性质得到，则四边形与四边形相似比为3，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵四边形是四边形关于O点为位似中心的位似图形， ∴， ∴四边形与四边形相似比为3， ∴四边形的面积四边形的面积． 12．平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形和正方形的位似中心，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，证明△△，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：正方形和正方形是位似图形， ， △△， ， ， 故选：A． 13．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键． 先求出两个三角形的相似比，再根据点的坐标计算即可； 【详解】 和是以点为位似中心的位似图形， ， 和的周长之比为， 和的相似比为， 点的坐标为， 的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 在第四象限， 点的坐标为． 故选． 14．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将的面积扩大到原来的4倍，得到．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查利用位似求坐标．根据以原点O为位似中心，将各边长扩大到原来的2倍得到，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标． 【详解】解：∵将的面积扩大到原来的4倍，得到， ∴以原点O为位似中心，将各边长扩大到原来的2倍得到， ∴根据以原点O为位似中心的图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为或． 故选：C． 15．如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可． 【详解】解：依题意补全图形，如图： 由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，BC⊥AC， ∴GF∥BC， ∴∠GFP=∠FPC=45°， ∵∠C=90°， ∴∠PFC=∠FPC=45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， 设CP=CF=x，则， ∵AC=3， ∴AF=3-x， ∵GF∥BC， ∴△AFG∽△ABC， ∴，即， 解得：， 故选：A． 16．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即；结合图形可知、、共线且在上，利用求出的值，根据相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形 ，且相似比等于 与的周长之比等于 设，（） 与的周长之比是． 17．如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______． 【答案】 【分析】根据题意得到与相似，且相似比为，利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵与关于原点O位似，且位似比是， ∴与相似，且相似比为， ∴与的面积比为． 18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的；②画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是位似图形，请直接写出位似中心的坐标为_________． 【答案】(1)① ② (2)是位似图形， 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：如图，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点M， ∴点M的坐标为． 19．在网格建立平面直角坐标系，已知四点：，，，． (1)以点为位似中心，在网格中作的位似图形，使的边长放大到原来的倍． (2)同学们在探索“函数的系数，，与图像的关系”时分别经过，，，这四个点中的三个点画出二次函数的图像，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式最小？在，，，中选择个填入横线 ． 【答案】(1)如图：即为所求． (2)，O、A、B 【分析】（1）先根据题意确定的对应点，然后顺次连接即可； （2）四个点任选 3 个，一共 4 种情况，分别代入抛物线求得a的值：，然后比较a的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：当抛物线经过点，，时， 代入得：，解得； 当抛物线经过点，， 时， 代入得：，解得； 当抛物线经过点，， 时， 代入得：，解得； 当抛物线经过点，， 时， 代入得： ，解得：， 比较四个a的值： ， 即a最小值是，对应三点：O、A、B． 20．如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H． （1）求证：△ADH∽△FBA； （2）若△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1），求的值； （3）若，求证：∠AMB＝∠ADC． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）； （3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出：，，由平行线的性质得出：，即可得出结论； （2）由相似三角形的性质得出：，即可得出结论； （3）由三角形相似，推出，由，推出，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵， ∴， ∵△ADH与△FBA的面积比是k：1（k＞1）， ∴， ∴， ∵DA=BC， ∴， ∴， ∴ （3）略 C组·拓展延伸 21．如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似比得出相邻两个三角形的相似比，进而得出与的相似比，利用面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 与的相似比为，与的相似比为，…，与的相似比为， 与的相似比为， ， ， ， 当时，． 22．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴，，故B错误，C正确， ∴， ∴，故A正确， ∴，故D正确． 故选：B． 23．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（　　） A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8） 【答案】A 【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系， ∴△ACB∽△CED， ∵相似比为1：3， ∴，即 ， 解得，DE＝6， ∵△CED为等腰直角三角形， ∴CE＝DE＝6， ∵BC∥DE， ∴△OCB∽△OED， ∴ ，即， 解得OC＝3， ∴OE＝OC+CE＝3+6＝9， ∴点D的坐标为（9，6）， 故选：A． 24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，一种是两个正方形在位似中心的异侧；另一种是两个正方形在位似中心的同侧． 【详解】解：正方形中、， ∴边长为， ∴，， 正方形中、， ∴边长为， ∴，， 分两种情况讨论： 情况1：两个正方形在位似中心的异侧 连接对应顶点和、和， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 情况2：两个正方形在位似中心的同侧 连接对应顶点和、和并延长， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或． 25．如图，是一个格点三角形（我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”），其中． (1)以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，故大后点的对应点分别为，且点在第二象限，请你在所给的方格纸中作出． (2)计算：在中，______，点到直线的距离为______． (3)在轴下方找出所有的格点，使以点为顶点的格点三角形与相似． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)，，，图形见解析 【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握位似三角形性质，勾股定理的逆定理判断直角三角形，等腰直角三角形判断和性质，正弦定义应用，是解决问题的关键． （1）根据放大2倍得到，点在第二象限，得到，顺次连接各事业即得： （2）要勾股定理的逆定理判断是等腰直角三角形，得到，点到直线的距离为； （3）分M、B、C分别为直角顶点得到M的坐标分别为，，． 【详解】（1）解：把的横、纵坐标都乘以2， 得，， 在方格纸中作出各点， 顺次连接即得； （2）解：∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为：； 故答案为：，； （3）解：当时，； 当时，； 当时，，如图． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $