31.2 相似三角形（讲义）数学新教材人教版九年级下册
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精品
内容正文：
第三十一章
相似
31.2 相似三角形
课标要点
1.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；理解推论：平行于三角形一边的直线截两边（或延长线），对应线段成比例，并由此得到相似三角形判定预备定理（平行→相似）。
2.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例的两个三角形相似；了解判定定理的证明思路，能运用判定定理进行简单证明与计算。
3.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段（高、中线、角平分线、周长）的比等于相似比；面积比等于相似比的平方，能利用性质进行线段、周长、面积的相关计算。
4.经历观察、度量、猜想、推理的探究过程，类比全等三角形的研究路径学习相似，发展几何直观、推理能力、模型观念；会用相似三角形解决简单几何问题与简单实际测量问题学科网。
5.分清相似和全等的联系（全等是相似比为 1 的特殊相似），能准确识别相似三角形的对应顶点、对应边、对应角。
学习重难点
重点：
1.平行线分线段成比例基本事实及其三角形推论、相似预备定理的理解与直接应用，会列比例式求线段长。
2.三个相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS）的理解，能在简单图形中选择合适判定方法证明三角形相似。
3.相似三角形的性质：对应线段比、周长比、面积比与相似比的关系，能利用性质进行计算。
4.识别 “A 字型、8 字型” 平行线相似基本模型，规范书写相似证明步骤，找准对应关系。
难点：
1.在复杂图形中准确识别平行线分线段的对应线段，区分 “截在边上” 和 “截在延长线上” 两种情况，避免比例式写反、对应错乱。
2.相似判定定理的选择，尤其是两边成比例必须夹角相等这个易错条件；能看懂判定定理的证明思路（课标只要求了解证明，不要求独立完成复杂证明）。
3.辨析相似三角形面积比是相似比的平方，区分周长 / 线段比和面积比，防止直接把面积比等同于相似比。
4.从几何图形、实际情境中抽象出相似模型，把实际问题转化为相似三角形的比例计算问题；综合判定 + 性质进行连贯推理。
知识点 平行线分线段成比例
1. 基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如图，若直线l₃∥l₄∥l₅，分别交直线a、b于点A、B、C和D、E、F，则有：
2. 推论（三角形中的应用）
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
如图，在△ABC中，若DE∥AB，则：
特别提醒
① 对应线段成比例是指“上比下等于上比下，上比全等于上比全，下比全等于下比全”，不可随意颠倒线段顺序；
② 推论既可以用于计算线段长度，也可以作为证明三角形相似的基础；
③ 若出现平行于三角形一边的直线与另外两边的延长线相交，比例关系依然成立。
随学随练
1．如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（ ）．
A．9 B．7 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解：∵，
∴．
∵，，，
∴，
∴．
2．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长为________．
【答案】4
【分析】根据平行线分线段成比例得到，得到，结合即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．如图，在中，点D在上，交于点E，，，，求的长．
【答案】8
【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴．
知识点 相似三角形的判定
1. 定义法
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似，相似比为对应边的比值。
2. 判定定理1（平行线法）
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如图，在△ABC中，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。
3. 判定定理2（三边成比例）
三条边成比例的两个三角形相似。
如图，若，则△ABC∽△A'B'C'。
4. 判定定理3（两边成比例且夹角相等）
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如图，若，且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'。
5. 判定定理4（两角分别相等）
两角分别相等的两个三角形相似。
如图，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'。
6. 直角三角形特殊判定
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，若，则Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。
特别提醒
① 相似三角形的判定优先找“两角相等”，其次是“两边成比例且夹角相等”，最后考虑三边成比例；
② 两边成比例时，必须确保相等的角是两组对应边的夹角，否则不能判定相似；
③ 所有的等腰直角三角形、等边三角形都相似。
随学随练
1．下列条件中，不能判定的是（ ）
A．， B．
C．，且 D．，且
【答案】D
【详解】解： 选项A中，，两角分别相等；选项B中，三边成比例，均符合相似判定条件，
均可判定；
选项C中，且为成比例两边的夹角，
可判定.
选项D中，但不是成比例两边的夹角，
不能判定
2．如图所示，已知和，，，，，当______时，．
【答案】//
【详解】解：若，
则，
，
解得：．
3．如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：．
【答案】证明：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【分析】根据两边成比例且夹角相等证明即可．
【详解】略
知识点 相似三角形的性质
1. 基本性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且。
2. 对应线段的性质
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
如图，△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分别是对应高，BE、B'E'分别是对应中线，CF、C'F'分别是对应角平分线，则：
3. 周长与面积的性质
相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则：
特别提醒
① 面积比是相似比的平方，切勿直接等于相似比，反向运算时面积比开平方才是相似比；
② 对应线段的比例关系仅针对“对应”的高、中线、角平分线，非对应线段不满足该比例；
③ 该性质可推广到所有相似多边形：相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
随学随练
1．如图，已知，若、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴，， ，
∴ ，
∴ ．
2．如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________．
【答案】6
【分析】由平行得出，进而求出，，求出，，即可求出结论．
【详解】解：∵，且，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
3．在中，D是边上一点，．
(1)求证：
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明：∵（公共角）
∴（两角分别相等的两个三角形相似）
(2)
【分析】（1）首先找到两个三角形的公共角，结合已知条件，因为两角分别相等的两个三角形相似，所以可证明．
（2）如果已经证明两个三角形相似，那么根据相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的边长即可求解的长度．
【详解】（1）略
（2）解：由，
得对应边成比例：，
将代入，
得，
∴，
∴的长为．
拓展 从 “平行线衍生相似” 探究共边共角类相似的递进规律（推理能力 + 模型观念）
平行线得到 A 字、8 字相似是本课时的起点，去掉平行线之后，图形演化成共角型（公共一角，再一组等角）相似。 规律链条： 平行线分线段成比例 ⇒ 平行型相似（A/8 字）⇒ 等角替换，脱离平行线，转化为AA 共角相似；
核心探究：
1 A 字型：平行是特殊条件；当不再平行，只要再有一组角相等，依然可以用 AA 判定相似；
② 区分两类模型共性：都有一组公共角 / 对顶角，是初中相似最基础的 “角定相似” 载体；
③ 探究结论：有公共角（或对顶角）的两个三角形，优先寻找另一组等角证明相似，这是后续射影定理、一线三等角的前置基础。 素养落点：不是死记模型，体会 “特殊（平行）→一般（两角相等）” 的几何推广思想，学会在无平行线图形里主动识别相似条件。
活学活用
1．如图， 在中， ， 点是边的中点， 连接， 过点作 于 ， 连接．
(1)求证:
(2)如果， 求证： ．
(3)如果 ， ， 直接写出线段的长．
【答案】(1)证明：∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴．
(2)证明：由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
(3)
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质，即可证明；
（2）由（1）得，变形为：，根据三角形的判定和性质，可得，得到，再根据相似三角形的判定，得到，推出，式子变形，即可证明；
（3）设，推出，根据勾股定理分别求出，，得到，设，求出，即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：设，
由（1）可得，，
∴，
∵，
∴；
∵ ，
∴；
∴，
设，
∴，
整理可得：，
解得：
∴，
∵，
∴，
∴．
2．阅读下面材料：
小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点．
(1)小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________．
(2)参考小波思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值；
②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）证明，得到， 再利用，即可得到结论；
（2）①过点作，交延长线于点， 证明和，列比例式可得， ； ②过点作交于，证明和，可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图3，过点作，交延长线于点，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图4，过点作交于，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
拓展 相似比传递规律 + 多层嵌套相似的线段、周长、面积连锁计算（运算能力 + 推理能力）
相似三角形对应线段、周长比 = 相似比，面积比 = 相似比平方。
拓展探究：
存在两层及以上嵌套相似（大三角形套小三角形，多次相似传递）时，相似比具有传递性。 规律： 若△₁∽△₂，相似比k_1；△₂∽△₃，相似比k_2，则△₁∽△₃，相似比(k_1 x k_2； 连锁计算要点：
· 线段、周长跟着相似比同步传递；
· 面积比是传递后总相似比的平方，不能逐层面积比直接相乘当成线段比（高频坑）； 探究任务：对比单层相似、双层嵌套相似，总结 “先找连续相似关系、先写相似比、再按需转化周长 / 面积” 的固定解题顺序。 素养落点：打破只做单个相似的浅层计算，体会比例的代数传递性，把几何关系转化为比例代数运算，形成综合推理习惯。
活学活用
1．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有 个（ ）
① ②与的周长比为
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．解题关键是通过角的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质（对应边成比例、周长比等于相似比、面积比与相似比的关系）分析各结论．易错点在于对相似三角形对应角、对应边的判断，以及对三角形角和边的关系的过度推导（如结论③中错误认为角相等）．
对于结论①，由和，判定，根据相似三角形对应边成比例，可得，故①正确．
对于结论②，相似三角形的周长比等于相似比，与的相似比为（或），因此周长比为，故②正确．
对于结论③，由变形得，结合，判定，得，但与无必然相等关系，故③错误．
对于结论④，利用“同高三角形面积比等于底的比”，结合相似三角形的比例关系，可推出，故④正确．
【详解】已知，且，
．
，
因此结论①正确．
与的周长比等于相似比，即（或）．
因此结论②正确．
由，可变形为，
又，所以，则．
但与不一定相等，
因此结论③错误．
设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为．
因为与同高，所以；
因为与同高，所以，即，
．
因此结论④正确．
综上，结论①、②、④正确，共3个．
故选：C．
2．如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（ ）．
A．10 B． C．4 D．12
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据得到和，根据相似三角形的性质得到，由于D为边的四等分点，可证得，根据三角形的面积公式证得，再次利用相似三角形的性质得到，据此进行计算四边形的面积即可．
【详解】解：连接，
、
，即
、
、
．
故选：B．
题型 平行线分线段成比例求值
解题贴士
先找准一组平行线，定位被平行线所截的对应线段，严格按照 “上比下、全比全” 写出比例式，注意区分对应线段，不要交叉错配；遇到多条平行线时分层拆解，未知量设为方程求解，最后检验线段长度为正数。
▌例1如图，在中，，分别交，于，，若，，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】由 可得，结合求出的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
▌对点练1-1．如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（ ）．
A．9 B．7 C．5 D．6 【答案】D
【详解】解：∵，
∴．
∵，，，
∴，
∴．二、填空题
▌对点练1-2如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长为________．
【答案】4
【分析】根据平行线分线段成比例得到，得到，结合即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
▌对点练1-3如图，在中，D，E，F分别是边上的点，且．若，，求的长．
【答案】
【详解】解：，
，
．
，
，
即，
．
题型 平行相似证明与计算
解题贴士
看到平行线优先想到 A 字、8 字平行相似模型，先由平行线推同位角、内错角相等，证两角对应相等得到相似，再找准对应边列比例式；计算时注意对应顶点顺序不能乱，同时结合线段和差转化边长。
▌例1如图，，、相交于点，，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平行线性质证三角形相似，利用相似比计算线段长．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
▌对点练1-1如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先说明，即可得出和的相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴和的相似比为，
∴和的面积比为．
▌对点练1-2如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为_____．
【答案】4
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
▌对点练1-3已知：如图，，垂足为B，，垂足为D，与相交于点O．求证：．
【答案】证明：，
，
．
【分析】根据“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似”，证明即可．
【详解】略
题型 两角相等（AA）判定三角形相似
解题贴士
AA 是最常用的判定方法，优先寻找公共角、对顶角、同角 / 等角的余角补角、平行线带来的等角；只需找到两组对应角相等即可判定相似，不用再验证边，证完相似后再转化边、周长、面积关系。
▌例1下列各组图形一定相似的是（ ）
A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形
【答案】C
【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”逐一判断选项即可．
【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意；
对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意；
对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过，
∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等，
∴两个三角形一定相似，符合题意；
对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意．
▌对点练1-1如图，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
根据相似三角形的性质得到，，
根据四边形的内角和等于计算即可．
【详解】解：，，，
，，
，
故选：D．
▌对点练1-2如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____．
【答案】
【分析】根据可得，再由相似三角形的性质得到即可求解的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
▌对点练1-3如图，，请指出图中的相似三角形．
【答案】图中的相似三角形为，．
【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：，，
；
，，
．
题型 两边成比例且夹角相等（SAS）判定相似
解题贴士
使用该判定的关键是夹角必须是成比例两边的夹角，不要误用非夹角；先计算两组对应边的比值相等，再证明这两组边中间的夹角相等，书写时保持三角形顶点对应顺序一致，避免对应边找错。
▌例1如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
，
，
．
▌对点练1-1下列与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可．
【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为，
选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意；
选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意；
选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意；
选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意．
▌对点练1-2在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______．
【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似
【分析】根据，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定．
【详解】解：∵，，，，
∴，
即，
∵，
∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）．
▌对点练1-3根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由．
(1)，，；，，．
(2)，．
【答案】(1)，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴；
(2)与不一定相似，理由如下：
∵，，
∴，
∵两组边的夹角与的大小关系不确定，
∴与不一定相似．
【详解】（1）略
（2）略
题型 三边成比例（SSS）判定相似
解题贴士
先把两个三角形的三边按从小到大排序，再依次计算三组对应边的比值，三组比值全部相等才能判定相似；适合已知全部边长、网格三角形的题型，计算比值时注意约分，核对每一组对应边。
▌例1如图，选项中的阴影三角形与相似的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：，
A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似；
B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似；
C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似；
D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似；
故选B．
▌对点练1-1图中三角形相似的是（ ）
A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4）
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可．
【详解】解：A．∵，，，∴两三角形相似；
B． ∵，，，∴两三角形不相似；
C．∵，，，∴两三角形不相似；
D．∵，，，∴两三角形不相似；
故选：A．
▌对点练1-2已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）．
【答案】相似
【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似．
【详解】解：∵，，，，，，
∴，，，
∴，
∴．
▌对点练1-3已知：的三边，，，的三边，，．求证：．
【答案】证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【详解】略
题型 补充条件使三角形相似
解题贴士
先看清已有条件，区分已有一组角相等还是一组边成比例；已有一组等角，优先补另一组等角（AA）或夹这个角的两边成比例（SAS）；只有边的条件，优先补三边成比例，答案不唯一时写出最简条件即可。
▌例1在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】两三角形有公共角，判定相似需满足夹的两边对应成比例，或有另一组对应角相等．
【详解】解：∵ 是与的公共角，
∴ 当夹的两边对应成比例，即时，两三角形相似．
A选项：由，得， 则，即， 故， 又，故，符合题意．
B、C选项：比例式中的边、不是夹公共角的边，无法结合公共角判定相似，不符合题意．
D选项：由得，推不出，不符合题意．
▌对点练1-1如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定∽的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理解题即可．
【详解】解：∵，
∴，即；
A：添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证∽，故该选项不合题意；
B：添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证∽，故该选项不合题意；
C：添加，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证∽，故该选项不合题意；
D：添加，两边对应成比例，但不是夹角相等，无法证明∽，故该选项符合题意．
故选：D．
▌对点练1-2如图，在中，D在上，添加一个条件使，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】可添加或，根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；或添加，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．
【详解】解：，
当或或时，．
▌对点练1-3如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可．
【详解】解：添加条件，．
∵，，
∴．
故答案为：．（答案不唯一）
题型 利用三角形的性质求解
解题贴士
相似三角形对应角相等、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，审题分清所求对象；先确定相似比，再直接套用对应线段之比等于相似比，不要和面积比混淆。
▌例1如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
，
，
．
▌对点练1-1如图所示，在中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出，再证明，由相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
▌对点练1-2如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为_____．
【答案】4
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
▌对点练1-3如图，在中，点在边上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：，，
；
(2)
【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似可证结论成立；
（2）根据相似三角形对应边成比例即可求出的长．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
，，
，
．
题型 相似三角形周长、面积相关计算
解题贴士
记住核心规律：相似三角形周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方；题目给面积比求边长、周长时，一定要先开方得到相似比，不要直接把面积比当作边长比，多个相似图形可分步转化。
▌例1如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方的关系求解．
【详解】解：两个三角形的相似比为，
面积比为.
▌对点练1-1如图，中，，，，则（ ）
A．9 B．10 C．21 D．25
【答案】D
【分析】由平行线得出三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
▌对点练1-2如图，，且，，则的面积是________．
【答案】24
【分析】通过相似三角形的相似比可以得出两个三角形的面积比，再根据面积比即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴．
▌对点练1-3如图，在中，，延长至点，使得，延长至点，连接，且．
(1)求证：；
(2)若，求与的周长比．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边对等角可得，再由平角的定义得出，结合即可得证；
（2）由相似三角形的性质周长的比等于相似比计算得出结论即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，
∴，
∴与的周长比为．
题型 相似判定与性质综合题
解题贴士
解题顺序一般为先证相似，再用相似性质转化线段、角；复杂图形先拆分基础模型（A 字、8 字、子母相似等），标记相等角和成比例线段，结合勾股定理、线段和差、方程思想联立求解，最后回看条件验证逻辑。
▌例1如图，在中，点D，E分别在边上，，且，则与四边形的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：，
，
∵，
，
，
四边形的面积，
与四边形的面积的比为．
▌对点练1-1如图，在中，，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形性质得出及边长比例，结合直角三角形性质证得为中点，构造平行线利用相似比求解．
【详解】解：，
，，
，在上，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，
过点作交于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，即，
．
▌对点练1-2如图，在中，，，，，，则的长为______．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出，再证得到，结合比例关系求出，最后利用勾股定理求．
【详解】解：，
，
在中，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
在中，，
，
．
▌对点练1-3如图，已知，，，．
(1)求的长．
(2)求证：
【答案】(1)
(2)证明：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
【分析】（1）得出，则可得，进而可得的长，由此即可得；
（2）得出，，则可得，进而可得，由此即可得证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）略．
题型 相似三角形的动点问题
解题贴士
先分类讨论动点不同位置，画出每种情况的图形；用含时间 t 的代数式表示动点移动后的线段长度，找准始终不变的等角作为突破口，根据相似的判定列出比例式，求出参数后检验是否符合动点的取值范围，舍去不合理解。
▌例1中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（ ）．
A．0 B．1 C．0或1 D．1或
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解．
【详解】解：当时，，
∴；
当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去；
当时，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴，
∴；
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或，
故选：D ．
▌对点练1-1如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（ ）
A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3
【答案】C
【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案．
【详解】解：中，，，，
，
，为的中点，动点以的速度从点出发，
，，
若，
，
，
，
∴
，
若时，
，
，
，
∴
，
综上可得：的值为2或3.5．
故选：C．
▌对点练1-2如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________．
【答案】或
【分析】利用勾股定理求出的长，用含的代数式表示和，分和 两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出方程求解
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得： ．
由题意得： ，，
．
，
分两种情况讨论：
当时，
即，
解得；
当 时，
即，
解得．
综上所述，当为或时，与相似．
▌对点练1-3如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动．
(1)当移动几秒时，的面积为？
(2)当移动几秒时，与相似？
【答案】(1)或秒
(2)或秒
【分析】（1）设移动秒，表示出，，再列方程即可解答；
（2）设移动秒，分和两种情况，分别列方程即可解答．
【详解】（1）解：（秒），（秒），
设移动秒，且，则，，
，
的面积为，
解得，，
所以当移动或秒时，的面积为；
（2）解：设移动秒，且，则，，
当时，，
则可得，
解得；
当时，，
则可得，
解得；
所以当移动或秒时，与相似．
基础通关
1．若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为，
∴相似比为，
∴对应边上的高之比为．
2．在和中，已知，则这两个三角形（ ）
A．不一定相似 B．一定相似 C．全等 D．无法判定
【答案】B
【分析】已知一组对应角相等，计算得到另一组对应角相等，即可判定相似．
【详解】解：∵在中，，
．
∵，
，
．
3．若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴它们的面积比为．
4．如图，，若，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
，，，
，
．
5．如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴．
6．如图，已知，与交于点E，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
7．如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】D
【分析】由可得，利用相似三角形对应边成比例求解即可．
【详解】解：∵，，
．
∵，
，，
，
．
，
，
．
8．如图，已知，分别为，上的点，且，，若，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例列方程即可得答案．
【详解】解：∵，
，
∵，，
，
．
9．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，，，则的长为______．
【答案】8
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得，再结合，，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴．
10．若两个相似三角形的周长之比是，其中较小的一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积是_________．
【答案】
【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，先求出面积比，再计算另一个三角形的面积．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比是，
∴两个相似三角形的相似比为，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两个三角形的面积比为，
设另一个三角形的面积为，已知较小三角形面积为，
则，
解得．
11．中，E，F分别是的中点，连接，则______．
【答案】
【分析】由三角形中位线定理得到，证明得到，据此可得答案．
【详解】解：∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．如图，已知，若，，则的度数是________．
【答案】
【分析】根据相似三角形对应角相等得出和的度数，再利用三角形内角和定理计算．
【详解】解：∵，
∴，，
∵在中，，
∴．
13．如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得．
14．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接．
(1)若，则与是否相似？为什么？
(2)若，则与是否相似？为什么？
【答案】(1)与相似，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)与相似，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）根据两角相等，两三角形相似证明即可；
（2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
15．如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又由（1）可知：，
∴．
【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键：
（1）根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
素养提升
1．如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由平行线判定三角形相似，利用周长比得出相似比，进而判断对应边比例及面积比．
【详解】 解：，
，
，故B正确；
，即周长比等于
相似比为，
，即，故A正确；
，即，
，
，故C正确；
相似三角形面积比等于相似比的平方，
，故D错误．
2．如图，在中，，．若，，则的长度为（ ）
A．3 B．3.6 C．4 D．5
【答案】C
【分析】证明，利用相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，即，
∴．
3．如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是（ ）
A．与相似 B．平分
C． D．
【答案】D
【分析】先由三角形相似的判定定理证得，在此基础上再证，进而由相似性质得出及即可判断所给结论的正误．
【详解】解：是的一个外角，
，
，，
，
，
，
，
点是线段的中点，
，则，
，
，故A选项正确；
，故C选项正确；，即平分，故B选项正确；
综上所述，四个选项的结论中，说法错误的是D选项．
4．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平行线分线段成比例及相似三角形性质得出线段比，通过中间量建立与的面积关系，从而得出面积之比．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．如图，中，为的中点，连接与对角线交于点．若，则的面积为_________．
【答案】12
【分析】先根据平行四边形的性质和对顶角相等证明，从而推出和
，结合已知条件即可求出，再利用等高时，边长比等于面积比即可求出，从而求出，即可求出面积．
【详解】解：在中，为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
．
6．如图，在中，，，则________．
【答案】
【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理求出与的关系，进而利用相似三角形性质求出与、与的关系，最终求得比值．
【详解】解：过点作交于点，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
7．如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形．
【答案】或或
【分析】设，则，与是相似三角形时，分，两种情况，根据对应边成比例列式计算即可．
【详解】解：设，则，
分两种情况：
当时，，
即，
解得；
当时，，
即，
解得或；
综上可知，当为或或时，与是相似三角形．
8．如图，中，为边上一点，连接、，它们相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，则的长．
【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质及已知条件进行等量代换后可得，再结合即可证得结论；
（2）根据题意可设，，得到，证明， 利用相似三角形的性质即可求得的长度．
【详解】（1）略
（2）解：∵，
∴设，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴．
9．如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴；
∴；
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质证明；
（2）由相似三角形的性质推出，进而计算．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
10．如图，在中，，，．点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒6个单位长度、8个单位长度，同时点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒8个单位长度、个单位长度．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）．
(1)_________；
(2)当时，用含的代数式表示的长；
(3)当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值；
(4)连结平行四边形的对角线，当与的直角边垂直时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或者
【分析】（1）利用勾股定理即可作答；
（2）先确定和时，点、点的位置，进而确定出时，点位置，结合运动即可作答；
（3）分情况讨论，当时，点在线段，即可作答；当时，点在线段上，点在线段上，根据运动特点表示出，，较小部分为三角形，再求出该三角形与平行四边形的面积比，结合，利用平行四边形的面积公式和三角形的面积公式表示出这两个图形的面积，结合面积比即可表示出，再证明，利用相似的性质即可求解；
（4）分情况讨论，当时，证明四边形是矩形，结合，即可求解；当时，、交于点O，先表示出、，进而可表示出，，再证明，利用相似的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴；
（2）解：∵点在、边的速度分别为每秒6个单位长度、8个单位长度，点在、边的速度分别为每秒长度8个单位、个单位长度，
∴当时，，，此时点与点重合，点与点重合，
当时，，；此时点与点重合，点与点重合，
则当时，点在上，即利用第1秒，点走完，余下时间在上运动，
∴；
（3）∵当时，，，此时点与点重合，点与点重合，当时，，；此时点与点重合，点与点重合，
当时，点在线段上，
∴平行四边形的对角线在直线上，
∴平行四边形的面积被其对角线平分，
∴平行四边形被线段平分，
∴此种情况舍去
当时，点在线段上，点在线段上，
根据运动特点可知：，，
如图，、交于点T，
即有：，
∴，
∵，平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解：，
综上：；
（4）分类讨论：
当时，如图，
根据运动可知：，
∵平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，即四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，、交于点O，如图，
根据运动可知：，，
∴，，
∵平行四边形，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
经检验，是原分式方程的根；
综上：或者．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解分式方程等知识，理清点的运动规律，正确表示出、是解答本题的关键．
迁移创新
1．按要求回答下列问题：
【尝试发现】
(1)如图1，，，当点，分别在边和上时，的值是__________
【变式探究】
(2)如图2，将（1）中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接，，与交于点，与的延长线交于点．
①求的值.②写出和的数量关系并证明．
【联系拓广】
(3)如图3，矩形中，，，点在边上且，连接．是直线上的动点，作，连接，．当点在线段的延长线上，且时，求的长.
【答案】(1)
(2)①
②，证明如下：
如图2，
由①得：，
∴，
∵，
∴，
∴.
(3)5
【分析】（1）根据，结合相似三角形性质得，，进而得 ，，即可得，再根据，即可得的值．
（2）①根据，得，，进一步得，，即可证明，根据相似三角形性质得，再根据已知条件，即可得的值．
②由①得，根据相似三角形性质得，再根据，结合三角形内角和定理即可得证明．
（3）记与的交点为，根据矩形性质得，在中，根据勾股定理求出，再根据得，，，再根据对顶角相等得，即可证明，根据相似三角形性质得，进而得，再根据对顶角相等得，即可证明，根据相似三角形性质得，进而可得，即，再根据，结合勾股定理得，再根据得，即可求出，在中，根据勾股定理求出，再根据，即可求出的长．
【详解】（1）解：如图1，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴的值是.
（2）①解：如图2，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴.
②略
（3）解：如图3，
记与的交点为，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
在中，，，
∴，
∴，
∴的长为5.
2．课题学习：
【证明体验】
(1)如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：．
【思考探究】
(2)若将（1）中改为如图2中的锐角，其他条件不变，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
(3)请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形．点在边上，点在边上，点在边上，且，若，请直接写出线段的长．
【答案】(1)证明：，
，，
，
，
，
，
；
(2)结论成立，证明如下：
设，
，
，，
，
，
，
，
；
(3)
【分析】（1）利用直角互余，推导出一组等角，证明，再由相似三角形对应边成比例，变形得到乘积式；
（2）成立，类比第（1）问，用三角形内角和定理和平角推出，证明，同样利用比例式变形得到乘积式；
（3）由（1）（2）得，利用相似三角形的性质算出，再利用角度代换得到，推出，得到比例式，设，列一元二次方程求解，最后算出即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
点在边上，
由（1）（2）得，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
．
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第三十一章
相似
31.2 相似三角形
课标要点
1.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；理解推论：平行于三角形一边的直线截两边（或延长线），对应线段成比例，并由此得到相似三角形判定预备定理（平行→相似）。
2.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例的两个三角形相似；了解判定定理的证明思路，能运用判定定理进行简单证明与计算。
3.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段（高、中线、角平分线、周长）的比等于相似比；面积比等于相似比的平方，能利用性质进行线段、周长、面积的相关计算。
4.经历观察、度量、猜想、推理的探究过程，类比全等三角形的研究路径学习相似，发展几何直观、推理能力、模型观念；会用相似三角形解决简单几何问题与简单实际测量问题学科网。
5.分清相似和全等的联系（全等是相似比为 1 的特殊相似），能准确识别相似三角形的对应顶点、对应边、对应角。
学习重难点
重点：
1.平行线分线段成比例基本事实及其三角形推论、相似预备定理的理解与直接应用，会列比例式求线段长。
2.三个相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS）的理解，能在简单图形中选择合适判定方法证明三角形相似。
3.相似三角形的性质：对应线段比、周长比、面积比与相似比的关系，能利用性质进行计算。
4.识别 “A 字型、8 字型” 平行线相似基本模型，规范书写相似证明步骤，找准对应关系。
难点：
1.在复杂图形中准确识别平行线分线段的对应线段，区分 “截在边上” 和 “截在延长线上” 两种情况，避免比例式写反、对应错乱。
2.相似判定定理的选择，尤其是两边成比例必须夹角相等这个易错条件；能看懂判定定理的证明思路（课标只要求了解证明，不要求独立完成复杂证明）。
3.辨析相似三角形面积比是相似比的平方，区分周长 / 线段比和面积比，防止直接把面积比等同于相似比。
4.从几何图形、实际情境中抽象出相似模型，把实际问题转化为相似三角形的比例计算问题；综合判定 + 性质进行连贯推理。
知识点 平行线分线段成比例
1. 基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如图，若直线l₃∥l₄∥l₅，分别交直线a、b于点A、B、C和D、E、F，则有：
2. 推论（三角形中的应用）
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
如图，在△ABC中，若DE∥AB，则：
特别提醒
① 对应线段成比例是指“上比下等于上比下，上比全等于上比全，下比全等于下比全”，不可随意颠倒线段顺序；
② 推论既可以用于计算线段长度，也可以作为证明三角形相似的基础；
③ 若出现平行于三角形一边的直线与另外两边的延长线相交，比例关系依然成立。
随学随练
1．如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（ ）．
A．9 B．7 C．5 D．6
2．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长为________．
3．如图，在中，点D在上，交于点E，，，，求的长．
知识点 相似三角形的判定
1. 定义法
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似，相似比为对应边的比值。
2. 判定定理1（平行线法）
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如图，在△ABC中，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。
3. 判定定理2（三边成比例）
三条边成比例的两个三角形相似。
如图，若，则△ABC∽△A'B'C'。
4. 判定定理3（两边成比例且夹角相等）
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如图，若，且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'。
5. 判定定理4（两角分别相等）
两角分别相等的两个三角形相似。
如图，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'。
6. 直角三角形特殊判定
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，若，则Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。
特别提醒
① 相似三角形的判定优先找“两角相等”，其次是“两边成比例且夹角相等”，最后考虑三边成比例；
② 两边成比例时，必须确保相等的角是两组对应边的夹角，否则不能判定相似；
③ 所有的等腰直角三角形、等边三角形都相似。
随学随练
1．下列条件中，不能判定的是（ ）
A．， B．
C．，且 D．，且
2．如图所示，已知和，，，，，当______时，．
3．如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：．
知识点 相似三角形的性质
1. 基本性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且。
2. 对应线段的性质
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
如图，△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分别是对应高，BE、B'E'分别是对应中线，CF、C'F'分别是对应角平分线，则：
3. 周长与面积的性质
相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则：
特别提醒
① 面积比是相似比的平方，切勿直接等于相似比，反向运算时面积比开平方才是相似比；
② 对应线段的比例关系仅针对“对应”的高、中线、角平分线，非对应线段不满足该比例；
③ 该性质可推广到所有相似多边形：相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
随学随练
1．如图，已知，若、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点D、E分别在的边上，，且，若，________．
3．在中，D是边上一点，．
(1)求证：
(2)若，求的长．
拓展 从 “平行线衍生相似” 探究共边共角类相似的递进规律（推理能力 + 模型观念）
平行线得到 A 字、8 字相似是本课时的起点，去掉平行线之后，图形演化成共角型（公共一角，再一组等角）相似。 规律链条： 平行线分线段成比例 ⇒ 平行型相似（A/8 字）⇒ 等角替换，脱离平行线，转化为AA 共角相似；
核心探究：
1 A 字型：平行是特殊条件；当不再平行，只要再有一组角相等，依然可以用 AA 判定相似；
② 区分两类模型共性：都有一组公共角 / 对顶角，是初中相似最基础的 “角定相似” 载体；
③ 探究结论：有公共角（或对顶角）的两个三角形，优先寻找另一组等角证明相似，这是后续射影定理、一线三等角的前置基础。 素养落点：不是死记模型，体会 “特殊（平行）→一般（两角相等）” 的几何推广思想，学会在无平行线图形里主动识别相似条件。
活学活用
1．如图， 在中， ， 点是边的中点， 连接， 过点作 于 ， 连接．
(1)求证:
(2)如果， 求证： ．
(3)如果 ， ， 直接写出线段的长．
2．阅读下面材料：
小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点．
(1)小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________．
(2)参考小波思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值；
②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值．
拓展 相似比传递规律 + 多层嵌套相似的线段、周长、面积连锁计算（运算能力 + 推理能力）
相似三角形对应线段、周长比 = 相似比，面积比 = 相似比平方。
拓展探究：
存在两层及以上嵌套相似（大三角形套小三角形，多次相似传递）时，相似比具有传递性。 规律： 若△₁∽△₂，相似比k_1；△₂∽△₃，相似比k_2，则△₁∽△₃，相似比(k_1 x k_2； 连锁计算要点：
· 线段、周长跟着相似比同步传递；
· 面积比是传递后总相似比的平方，不能逐层面积比直接相乘当成线段比（高频坑）； 探究任务：对比单层相似、双层嵌套相似，总结 “先找连续相似关系、先写相似比、再按需转化周长 / 面积” 的固定解题顺序。 素养落点：打破只做单个相似的浅层计算，体会比例的代数传递性，把几何关系转化为比例代数运算，形成综合推理习惯。
活学活用
1．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有 个（ ）
① ②与的周长比为
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（ ）．
A．10 B． C．4 D．12
题型 平行线分线段成比例求值
解题贴士
先找准一组平行线，定位被平行线所截的对应线段，严格按照 “上比下、全比全” 写出比例式，注意区分对应线段，不要交叉错配；遇到多条平行线时分层拆解，未知量设为方程求解，最后检验线段长度为正数。
▌例1如图，在中，，分别交，于，，若，，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
▌对点练1-1．如图，直线，直线分别交于点A，B，C；直线分别交于点D，E，F．若，则的长为（ ）．
A．9 B．7 C．5 D．6 【答案】D
▌对点练1-2如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长为________．
▌对点练1-3如图，在中，D，E，F分别是边上的点，且．若，，求的长．
题型 平行相似证明与计算
解题贴士
看到平行线优先想到 A 字、8 字平行相似模型，先由平行线推同位角、内错角相等，证两角对应相等得到相似，再找准对应边列比例式；计算时注意对应顶点顺序不能乱，同时结合线段和差转化边长。
▌例1如图，，、相交于点，，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-1如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-2如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为_____．
▌对点练1-3已知：如图，，垂足为B，，垂足为D，与相交于点O．求证：．
题型 两角相等（AA）判定三角形相似
解题贴士
AA 是最常用的判定方法，优先寻找公共角、对顶角、同角 / 等角的余角补角、平行线带来的等角；只需找到两组对应角相等即可判定相似，不用再验证边，证完相似后再转化边、周长、面积关系。
▌例1下列各组图形一定相似的是（ ）
A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形
▌对点练1-1如图，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-2如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____．
▌对点练1-3如图，，请指出图中的相似三角形．
题型 两边成比例且夹角相等（SAS）判定相似
解题贴士
使用该判定的关键是夹角必须是成比例两边的夹角，不要误用非夹角；先计算两组对应边的比值相等，再证明这两组边中间的夹角相等，书写时保持三角形顶点对应顺序一致，避免对应边找错。
▌例1如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
▌对点练1-1下列与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-2在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______．
▌对点练1-3根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由．
(1)，，；，，．
(2)，．
题型 三边成比例（SSS）判定相似
解题贴士
先把两个三角形的三边按从小到大排序，再依次计算三组对应边的比值，三组比值全部相等才能判定相似；适合已知全部边长、网格三角形的题型，计算比值时注意约分，核对每一组对应边。
▌例1如图，选项中的阴影三角形与相似的为（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-1图中三角形相似的是（ ）
A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4）
▌对点练1-2已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）．
▌对点练1-3已知：的三边，，，的三边，，．求证：．
题型 补充条件使三角形相似
解题贴士
先看清已有条件，区分已有一组角相等还是一组边成比例；已有一组等角，优先补另一组等角（AA）或夹这个角的两边成比例（SAS）；只有边的条件，优先补三边成比例，答案不唯一时写出最简条件即可。
▌例1在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-1如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定∽的是（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-2如图，在中，D在上，添加一个条件使，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可）
▌对点练1-3如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）．
题型 利用三角形的性质求解
解题贴士
相似三角形对应角相等、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，审题分清所求对象；先确定相似比，再直接套用对应线段之比等于相似比，不要和面积比混淆。
▌例1如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-1如图所示，在中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-2如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为_____．
▌对点练1-3如图，在中，点在边上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
题型 相似三角形周长、面积相关计算
解题贴士
记住核心规律：相似三角形周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方；题目给面积比求边长、周长时，一定要先开方得到相似比，不要直接把面积比当作边长比，多个相似图形可分步转化。
▌例1如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-1如图，中，，，，则（ ）
A．9 B．10 C．21 D．25
▌对点练1-2如图，，且，，则的面积是________．
▌对点练1-3如图，在中，，延长至点，使得，延长至点，连接，且．
(1)求证：；
(2)若，求与的周长比．
题型 相似判定与性质综合题
解题贴士
解题顺序一般为先证相似，再用相似性质转化线段、角；复杂图形先拆分基础模型（A 字、8 字、子母相似等），标记相等角和成比例线段，结合勾股定理、线段和差、方程思想联立求解，最后回看条件验证逻辑。
▌例1如图，在中，点D，E分别在边上，，且，则与四边形的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-1如图，在中，，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-2如图，在中，，，，，，则的长为______．
▌对点练1-3如图，已知，，，．
(1)求的长．
(2)求证：
题型 相似三角形的动点问题
解题贴士
先分类讨论动点不同位置，画出每种情况的图形；用含时间 t 的代数式表示动点移动后的线段长度，找准始终不变的等角作为突破口，根据相似的判定列出比例式，求出参数后检验是否符合动点的取值范围，舍去不合理解。
▌例1中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（ ）．
A．0 B．1 C．0或1 D．1或
▌对点练1-1如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（ ）
A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3
▌对点练1-2如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________．
▌对点练1-3如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动．
(1)当移动几秒时，的面积为？
(2)当移动几秒时，与相似？
基础通关
1．若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（ ）
A． B． C． D．
2．在和中，已知，则这两个三角形（ ）
A．不一定相似 B．一定相似 C．全等 D．无法判定
3．若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，若，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，与交于点E，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
8．如图，已知，分别为，上的点，且，，若，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，，，则的长为______．
10．若两个相似三角形的周长之比是，其中较小的一个三角形的面积是3，则另一个三角形面积是_________．
11．中，E，F分别是的中点，连接，则______．
12．如图，已知，若，，则的度数是________．
13．如图，已知，直线分别交1、2、3于、、，直线分别交1、2、3于、、，，，，那么_________．
14．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接．
(1)若，则与是否相似？为什么？
(2)若，则与是否相似？为什么？
15．如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N．
(1)求证：；
(2)求证：．
素养提升
1．如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，．若，，则的长度为（ ）
A．3 B．3.6 C．4 D．5
3．如图，点是线段的中点，，下列结论中，说法错误的是（ ）
A．与相似 B．平分
C． D．
4．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，为的中点，连接与对角线交于点．若，则的面积为_________．
6．如图，在中，，，则________．
7．如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形．
8．如图，中，为边上一点，连接、，它们相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，则的长．
9．如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，F为上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
10．如图，在中，，，．点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒6个单位长度、8个单位长度，同时点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒8个单位长度、个单位长度．当、、不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）．
(1)_________；
(2)当时，用含的代数式表示的长；
(3)当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值；
(4)连结平行四边形的对角线，当与的直角边垂直时，直接写出的值．
迁移创新
1．按要求回答下列问题：
【尝试发现】
(1)如图1，，，当点，分别在边和上时，的值是__________
【变式探究】
(2)如图2，将（1）中的绕点按逆时针方向旋转一定的角度，其它条件不变，连接，，与交于点，与的延长线交于点．
①求的值.②写出和的数量关系并证明．
【联系拓广】
(3)如图3，矩形中，，，点在边上且，连接．是直线上的动点，作，连接，．当点在线段的延长线上，且时，求的长.
2．课题学习：
【证明体验】
(1)如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：．
【思考探究】
(2)若将（1）中改为如图2中的锐角，其他条件不变，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
(3)请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形．点在边上，点在边上，点在边上，且，若，请直接写出线段的长．
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