专题31.3 相似三角形的实际应用（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级下册

专题31.3 相似三角形的实际应用 教学目标 1.掌握利用平行光线、视线或光学原理构造相似三角形模型的方法，能熟练运用对应边成比例的性质解决测高、测距等实际测量问题。 2.能够将实际问题抽象转化为几何图形，体会数学建模、转化与方程思想，感受数学在实际生活与工程设计中的广泛应用价值。 教学重难点 1.重点 (1) 掌握利用光线（平行光、视线）或几何图形构造相似三角形的基本模型，并能利用对应边成比例的性质解决测高、测距等实际问题。 (2) 体会将实际测量问题转化为几何图形问题的过程，掌握常见相似模型的应用。 2.难点 (1) 在实际生活场景或物理光学情境中抽象出几何关系，添加辅助线构造相似三角形。 (2) 在复杂的实际图形中找准相似三角形的对应边，并正确列出比例式（或方程）进行求解。 知识点01 利用“光线与视线”构造相似三角形（测量模型） 1.核心原理 　　在实际生活中，无论是阳光、灯光还是人的视线，其传播路径都可以看作直线。当物体的顶端与光线（或视线）处于同一直线，且物体垂直于地面时，就可以利用相似三角形的对应边成比例来解决测量高度或距离的问题。 2.测高模型（平行光线与标杆） 　　（1）影子测高：在太阳光等平行光线的照射下，物体高度与影长成正比。 　　（2）标杆测高：当人的视线恰好越过标杆顶端看到建筑物顶端时，利用标杆与人、建筑物的垂直关系，可构造相似三角形求解楼高。 3.测距与盲区模型（视线遮挡） 　　当观察者向前移动，视线与前后两个物体的顶端恰好在一条直线上时，后方的物体开始被遮挡。此时，眼睛位置与前方物体、后方物体构成两个相似三角形。 　　根据对应边成比例，可以求出观察者与遮挡物之间的临界距离（即开始看不到后方物体的距离）。 注意：运用这类模型的前提是光线平行（测高模型需在同一时刻）或视线共线，解题时需首先画出水平视线或光线，找到相似三角形的对应边。 【即学即练】 1．有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 2．如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，则树的高度为________． 知识点02 平面几何与光学中的相似模型 1.平行截线构造相似（内接几何图形） 　　平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所构成的三角形与原三角形相似。 2.光线与透镜原理（物理光学应用） 　　（1）小孔成像：光沿直线传播，物体与影平行，构造中心投影相似，物长与像长之比等于物距与像距之比。 　　（2）凸透镜成像：平行主光轴的光线过焦点，过焦点的光线平行主光轴。由此构造相似三角形，从而推导出像高与物高的比例关系。 　　（3）比例规：利用两脚交叉构成的对顶角相等，结合两边成比例，得到相似三角形，从而得出两尖端连线与原线段平行，且成一定比例。 【即学即练】 3．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，已知，，测得，，，那么该古城墙的高度是_______m． 4．我国古代教育家墨子发现了小孔成像：用一个带有小孔的板遮挡在墙体与物之间，墙体上就会形成物的倒影，这种现象叫小孔成像．如图，根据小孔成像原理，已知蜡烛的火焰高，当物距，像距时，火焰的像高为（   ） A． B． C． D． 题型01 相似三角形的实际应用 【典例1】如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 【典例2】天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 【典例3】如图，将木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒照射木棒，在墙面上形成投影，过点作，分别与，交于点，，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． （1）考查方向：主要考查将实际生活与物理光学情境转化为几何问题的能力，重点考查“A字型”和“8字型”等基本相似模型中的线段比例关系计算。 （2）核心方法：审题画图，将实际条件转化为几何图形（提取平行线、垂直、公共角等）；找准对应边，利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程或比例式求解。 【变式1】小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【变式2】如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【变式3】如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为，则像的长为__________． 【中考链接1】中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【中考链接2】如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【中考链接3】图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． A组·基础过关 1．如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（     ）． A． B． C． D． 2．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（    ） A． B． C． D． 3．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．无人机镜头距地面的垂直高度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则目标线段的长度为（   ） A． B． C． D． 4．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 5．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ B组·能力提升 6．如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（     ） A．12m B．10m C．15m D．18m 7．为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 8．如图，晚上小明从路灯走向路灯．当他走到点时，他身后的影子的顶部刚好落在点处；当他再向前步行一段距离到达点时，他身前影子的顶部刚好落在点处．两个路灯的高度都是9m，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 9．2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 10．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度． C组·拓展延伸 11．一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 12．如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛放在三倍焦距处，即，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 13．如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 14．如图，小明家的客厅有一张高0.75米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是 ____________． 15．如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，．将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求凸透镜焦距的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31.3 相似三角形的实际应用 教学目标 1.掌握利用平行光线、视线或光学原理构造相似三角形模型的方法，能熟练运用对应边成比例的性质解决测高、测距等实际测量问题。 2.能够将实际问题抽象转化为几何图形，体会数学建模、转化与方程思想，感受数学在实际生活与工程设计中的广泛应用价值。 教学重难点 1.重点 (1) 掌握利用光线（平行光、视线）或几何图形构造相似三角形的基本模型，并能利用对应边成比例的性质解决测高、测距等实际问题。 (2) 体会将实际测量问题转化为几何图形问题的过程，掌握常见相似模型的应用。 2.难点 (1) 在实际生活场景或物理光学情境中抽象出几何关系，添加辅助线构造相似三角形。 (2) 在复杂的实际图形中找准相似三角形的对应边，并正确列出比例式（或方程）进行求解。 知识点01 利用“光线与视线”构造相似三角形（测量模型） 1.核心原理 　　在实际生活中，无论是阳光、灯光还是人的视线，其传播路径都可以看作直线。当物体的顶端与光线（或视线）处于同一直线，且物体垂直于地面时，就可以利用相似三角形的对应边成比例来解决测量高度或距离的问题。 2.测高模型（平行光线与标杆） 　　（1）影子测高：在太阳光等平行光线的照射下，物体高度与影长成正比。 　　（2）标杆测高：当人的视线恰好越过标杆顶端看到建筑物顶端时，利用标杆与人、建筑物的垂直关系，可构造相似三角形求解楼高。 3.测距与盲区模型（视线遮挡） 　　当观察者向前移动，视线与前后两个物体的顶端恰好在一条直线上时，后方的物体开始被遮挡。此时，眼睛位置与前方物体、后方物体构成两个相似三角形。 　　根据对应边成比例，可以求出观察者与遮挡物之间的临界距离（即开始看不到后方物体的距离）。 注意：运用这类模型的前提是光线平行（测高模型需在同一时刻）或视线共线，解题时需首先画出水平视线或光线，找到相似三角形的对应边。 【即学即练】 1．有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可列出方程． 【详解】解：若设竹竿的长度为尺， 竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 故选：B． 2．如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，则树的高度为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；能用相似三角形解决实际问题是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故树的高度为 ． 故答案为：． 知识点02 平面几何与光学中的相似模型 1.平行截线构造相似（内接几何图形） 　　平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所构成的三角形与原三角形相似。 2.光线与透镜原理（物理光学应用） 　　（1）小孔成像：光沿直线传播，物体与影平行，构造中心投影相似，物长与像长之比等于物距与像距之比。 　　（2）凸透镜成像：平行主光轴的光线过焦点，过焦点的光线平行主光轴。由此构造相似三角形，从而推导出像高与物高的比例关系。 　　（3）比例规：利用两脚交叉构成的对顶角相等，结合两边成比例，得到相似三角形，从而得出两尖端连线与原线段平行，且成一定比例。 【即学即练】 3．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，已知，，测得，，，那么该古城墙的高度是_______m． 【答案】16 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．首先证明，可得，再代入相应数据可得答案． 【详解】解：如图， 根据光的反射可得， ∴， ，， ， ， ， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：16 4．我国古代教育家墨子发现了小孔成像：用一个带有小孔的板遮挡在墙体与物之间，墙体上就会形成物的倒影，这种现象叫小孔成像．如图，根据小孔成像原理，已知蜡烛的火焰高，当物距，像距时，火焰的像高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，， 答：火焰的像高为， 故选：D． 题型01 相似三角形的实际应用 【典例1】如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这棵树的高度为，根据“同一时刻，影长之比等于对应物体高度之比”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设这棵树的高度为，根据题意可得： ， 解得， 即这棵树的高度是． 【典例2】天天同学计划测量一个细口瓶的内径，如图所示，他找来一个铁钳放进细口瓶内，张到最大的角度．若，且测量得的长为，则该细口瓶内径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，再利用相似三角形的性质，列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【典例3】如图，将木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒照射木棒，在墙面上形成投影，过点作，分别与，交于点，，若，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ，，， ， ． （1）考查方向：主要考查将实际生活与物理光学情境转化为几何问题的能力，重点考查“A字型”和“8字型”等基本相似模型中的线段比例关系计算。 （2）核心方法：审题画图，将实际条件转化为几何图形（提取平行线、垂直、公共角等）；找准对应边，利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程或比例式求解。 【变式1】小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】 【分析】先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 【变式2】如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 【变式3】如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为，则像的长为__________． 【答案】/5厘米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质在凸透镜成像中的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质，由物距与像距的比例关系，得到物高与像高的比例关系，进而求出像的长度． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【中考链接1】中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【中考链接2】如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 【中考链接3】图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． A组·基础过关 1．如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，延长，交于点，先得出，，再根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点， ∵， ∴，， ∴（相似三角形的对应高的比等于相似比）， 由题意得：，，， ∴， 解得． 2．如图①是一种沙漏计时器，某一时刻该沙漏计时器中沙子的情况如图②所示，一段时间后该沙漏计时器中沙子的情况如图③所示，则此时下半部分沙面的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点O到的距离为，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：根据题意得，点O到的距离为，和之间的距离为， ∴点O到的距离为， 根据题意得，， ∴， ∴． 3．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．无人机镜头距地面的垂直高度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则目标线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ． 4．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 【答案】36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 5．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． B组·能力提升 6．如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（     ） A．12m B．10m C．15m D．18m 【答案】A 【分析】由镜面反射满足“入射角等于反射角”，可得，再由小明和旗杆垂直地面可得，由两组角对应相等得，然后由相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， ∴即， 解得． 故选A． 7．为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据解直角三角形和相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：①已知和，则在中，，即，故①可以； ②在中，，即， 在中，，即， ， ，可求出，故②可以； ③ ，， ， ， ， ， ，故③可以； ④已知，，，则，只知道和，求不出，故④不可以； 综上所述，求出，间距离的有3组． 8．如图，晚上小明从路灯走向路灯．当他走到点时，他身后的影子的顶部刚好落在点处；当他再向前步行一段距离到达点时，他身前影子的顶部刚好落在点处．两个路灯的高度都是9m，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ． 9．2026年高端新材料产业加速国产替代，某精密制造企业利用数控加工技术，将航空航天用高性能碳纤维复合材料的三角形余料进行二次加工，打造适配低空经济装备的精密矩形配件．如图，该三角形余料边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为_____． 【答案】 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】解：矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， ∴设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 10．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度． 【答案】 【分析】设，，由题意得出，推出，，由相似三角形的性质列式计算即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴路灯离地面的高度为． C组·拓展延伸 11．一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 12．如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛放在三倍焦距处，即，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，根据比例性质得出即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 13．如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（   ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 证明，利用相似三角形的对应高的比等于相似比列方程求解即可． 【详解】 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， 设正方形的边长为，则， ， 解得， 正方形板材的边长为． 故选A． 14．如图，小明家的客厅有一张高0.75米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是 ____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先作轴，再说明，可得，然后说明，可得，再结合,可得，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作轴，于点F ∵， ∴， ∴, ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ∵, ∴， ∴， 所以点E的坐标是． 故答案为：． 15．如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，．将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求凸透镜焦距的长． 【答案】厘米 【分析】利用平行可得，从而可得，进而，再根据平行得，利用相似三角形的性质，得，代入计算即可． 【详解】解：由题可知，厘米，厘米，厘米， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 厘米，， ， ，则， ， 则凸透镜焦距的长为厘米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $