34.3用频率估计概率（讲义）数学新教材人教版九年级下册

第三十四章 随机事件的概率 34.3 用频率估计概率 课标要点 1.经历重复试验，感受频率的稳定性；知道在大量重复试验下，随机事件的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，理解概率的统计定义。 2.区分两类求概率途径：列举法适合等可能、有限结果；当不满足等可能、结果无限，或者理论概率难以求出时，可以用频率估计概率。 3.分清频率与概率；频率随试验改变，是统计结果；概率是事件本身固有的常数，是频率的稳定值。 4.：能设计简单试验、收集整理数据、计算频率，利用频率估计现实情境中随机事件的概率；会用试验或模拟试验解决简单实际问题。 学习重难点 重点： 1.理解频率的稳定性，掌握 “大量重复试验，可用频率估计概率” 这一基本方法。 2.明晰频率与概率的联系；能通过试验数据、折线趋势判断频率稳定值，并以此估计概率。 3.会选用频率估计概率解决生活实例（产品合格率、成活率、未知等可能模型的概率估算） 难点： 1.理解随机性：单次、少量试验的频率波动很大，只有试验次数足够多时，频率才趋向概率；避免误以为少数几次试验的频率就是概率。 2.区分频率、概率：频率是变化的样本值，概率是理论常数；理解 “估计” 不等于精确相等。 3.在复杂实际情境中，判断什么时候适合用频率估计概率、什么时候适合列举法求概率。 能够理性解释试验误差，理解统计推断的或然性，不把估计值当成绝对确定结果。 知识点 频率的稳定性 在相同条件下进行大量重复试验，随机事件A发生的频率会围绕某个常数上下摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，呈现出明显的稳定性。这个常数就是事件A发生概率的近似值，记作 。 例如抛掷一枚质地均匀的硬币，随着抛掷次数从几十次增加到上千次，“正面朝上”的频率会逐渐向 0.5 靠拢，但一般不会恰好等于 0.5。 特别提醒 在大量重复试验中，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，并且随着试验次数不断增加，摆动的幅度会越来越小；但这并不意味着频率一定会越来越靠近概率，单次或少数次试验的频率波动可能很大，频率只是概率的估计值，二者不一定相等。 随学随练 1．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 2．小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 3．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 知识点 用频率估计概率的方法 用频率估计概率的一般步骤为：明确试验目的与事件A；在相同条件下进行大量重复试验，记录事件A发生的频数 与试验总次数 ；计算频率 ；观察频率的稳定趋势，用其稳定值作为事件A概率的估计值。 要素 含义 说明 频数 事件A实际发生的次数 必须是同一条件下、同一事件的累计次数 试验总次数 全部试验的次数 次数需足够大，结果才有参考价值 频率 频数与总次数之比 取值在 0 与 1 之间，随试验变化 概率 事件发生的可能性大小 由频率的稳定值估计，是确定常数 特别提醒 用频率估计概率，必须依靠足够多次的重复试验；它得到的只是概率的估计值，不是精确值，试验次数越多，估计一般越可靠；如果试验次数较少，频率波动大，不能用来估计概率；同时该方法多用于结果不满足等可能、难以用列举法计算理论概率的情形。 随学随练 1．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日”的概率，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率（精确到）是（     ） A． B． C． D． 2．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 3．某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 拓展频率收敛的辩证理解 很多同学容易形成一个误区：试验次数不断增加，频率就会一步步、持续不断地向概率靠近。实际上，频率稳定于概率，是统计学意义上的稳定，不是单调逼近。在大量重复试验里，频率会在概率这个常数附近上下随机震荡；试验次数越大，只是出现大幅度偏离的可能性越来越小，但依然有可能出现局部大幅波动，不存在某个固定的试验次数，能够保证频率和概率之差一定小于某个定值。 这就意味着，用频率得到的永远是概率的估计值，不存在绝对精准。在探究时，可以采用多组平行试验、合并多组试验数据的方式，削弱单次试验随机性带来的影响。同时要分清：理论概率是事件本身自带、固定不变的属性；而频率依附样本，每一组试验都能得到一个不同的频率。这个拓展可以引导跳出确定性思维，认识随机现象 “偶然之中蕴含必然”，理解统计推断的或然性：统计给出的不是确定结论，而是可信度更高的推断。在考题中，常以此辨析说法正误，例如 “试验次数越多，频率就越接近概率” 这类表述本身是不严谨的。 活学活用 1．将七、八、九年级学生分为六批依次在劳动周种植南瓜种子，并分别记录一周内各批次学生代表在相同条件下（仅种子数量不同）种植的南瓜种子的发芽率情况，数据如下表．则下列说法错误的是（     ） 种植数 100 200 400 600 800 1000 发芽数 92 180 352 546 712 900 发芽率 0.92 0.90 0.88 0.91 0.89 0.90 A．如果在此条件下继续种植1000颗南瓜种子，则发芽的种子数一定为907颗 B．由此估计出该南瓜种子在此条件下发芽的概率为0.9 C．可以用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复的种植中，随着种植次数与种子种植个数的增加，南瓜种子发芽的频率会越来越稳定，因此可以用频率来估计概率 2．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 3．一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 题型 根据试验求频率 解题贴士 先找准事件发生的频数与试验总次数，利用 “频率＝频数 ÷ 试验总次数” 计算，计算时留意约分与小数保留；若表格缺项，可借助各行、各列数量关系逆向推算，最后观察数据变化趋势，初步预判稳定值。 ▌例1调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数______（结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有______． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 ▌对点练1-3年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 题型 判断频率与概率相关说法正误解题贴士 抓住核心区别，概率是固定常数，频率随样本改变；牢记只有大量重复试验下频率才会稳定在概率附近，少量试验频率不能当作概率，警惕 “次数越多频率一定更靠近概率” 这类绝对化表述。 ▌例1下列说法合理的是（     ） A．小明做了3次投掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷1次，正面朝上的概率还是 B．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某射击运动员射击1次只有两种可能的结果，即中靶与不中靶，所以他中靶的概率是 D．小明做了3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 ▌对点练1-1在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 ▌对点练1-2一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______． ▌对点练1-3下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 题型利用频率估计概率进行简单计算 解题贴士 先从试验数据中找到趋于稳定的频率，将它作为概率的估计值；再结合公式 “频数＝总次数 × 估计概率” 进行计算，注意结果一般为估算值，不等同于精确结果。 ▌例1某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． ▌对点练1-1在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． ▌对点练1-2如足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国的蹴鞠，是全球体育界极具影响力的体育运动之一．现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m 94 189 375 561 938 1409 1882 优等品的频率 0.94 0.945 0.938 0.935 0.938 0.939 0.941 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是______（结果精确到0.01）． ▌对点练1-3一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 题型 频率折线统计图分析 解题贴士 顺着横轴观察试验次数增大时折线的变化，重点看折线是否逐步趋于平稳，平稳位置对应的数值就是概率的估计值；同时留意局部波动，不能仅凭一小段起伏就判定稳定值。 ▌例1两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出折线统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B．经过有信号灯的十字路口时，遇到黄灯 C．从分别标有，，，的张纸条中，随机抽出一张，抽到 D．任意写一个小于的正整数，能被整除 ▌对点练1-1如图是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 ▌对点练1-2在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． ▌对点练1-3如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 题型 利用频率估计概率解决实际问题（成活率、合格率） 解题贴士 先用大量样本算出稳定频率作为概率估计，再结合样本总量估算合格或成活数量；审题时分清样本和总体，注意实际结果取整数，理解估算存在误差。 ▌例1为考察某种植物幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 10 50 270 750 3500 7000 9000 14000 成活数m 8 47 235 662 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.800 0.940 0.870 0.883 0.915 0.905 0.897 0.902 根据表中的信息，估计这种幼苗移植成活的概率是（结果精确到0.01）（   ） A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.91 ▌对点练1-1王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格，请你根据表格估计，若从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为（    ） 随机抽取的零件个数 20 50 100 500 1000 合格的零件个数 18 46 91 450 900 零件的合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.9 A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1 ▌对点练1-2某林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为____________． ▌对点练1-3王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格（n为随机抽取的零件个数，m为合格的零件个数），根据表格，若从该批零件中任取1个，取出的零件合格的概率约为_____．（结果精确到0.1） n 20 50 100 500 1000 m 18 49 91 450 910 合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.91 基础通关 1．一个不透明的盒子中装有个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（     ） A．4 B．6 C．9 D．12 2．下列说法正确的是（     ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．某种彩票中奖的概率是，因此买张该种彩票就一定会中奖 C．抛掷一枚图钉，要么针尖朝上，要么针尖朝下，则“针尖朝上”的概率为 D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数，那么事件A发生的概率 3．下列说法正确的是（     ） A．随机抛掷一枚硬币10次，一定有5次正面朝上 B．概率为的事件是不可能事件 C．频率反映了随机事件发生的频繁程度 D．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 4．在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 5．抛掷一枚质地均匀的硬币，当抛掷的次数足够多时，正面向上的频率约为（     ） A． B． C． D． 6．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（     ） A．0.47 B．0.50 C．0.51 D．0.53 7．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计其中一棵树苗移植成活的概率为（     ） A． B． C． D． 8．清远特产英红九号是一种根系发达，移栽成活率高的茶树．某研究院跟踪调查了在春季移栽的英红九号树苗的成活情况，得到如下表格：由此可估计英红九号移栽树苗成活的概率大约是（     ） 移栽数量/棵 200 400 600 800 1000 1200 成活率 87% 93% 91% 89% 90% 90% A．80% B．85% C．90% D．95% 9．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为（     ） A． B． C． D． 10．在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是(     ) A．14 B．26 C．30 D．36 11．工厂新进一台机床，机床经过调试后，操作人员将做出的200个零件混匀在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到不合格零件的频率为，估计这批零件中不合格零件的数量为________个． 12．在一个不透明的袋子里装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同．每次摸出一个球记下颜色后放回，通过大量重复试验发现摸到红球的频率稳定在0.25附近，则袋中白球的个数大约是__________． 13．下表是某篮球运动员一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 3000 命中次数 348 893 1432 1812 2703 罚球命中率 0.870 0.893 0.895 0.906 0.901 根据以上数据可以估计，该球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为__________．（结果精确到0.1） 14．某林业部门为了考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据． 幼树移植数/棵 100 1000 5000 8000 10000 20000 幼树移植成活数/棵 87 893 4485 7224 8983 18044 幼树移植成活的频率（结果保留小数点后三位） 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是________．（结果保留小数点后一位） 15．赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为______（结果精确到0.1）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜爱赋能数学课堂的学生数与n的比值 0.85 0.90 0.93 0.90 0.89 0.90 0.91 0.91 0.92 0.90 素养提升 1．小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是的倍数 C．从一个装有个黑球和个白球的不透明袋子中任意摸出一个球（小球除颜色外，完全相同），摸到白球 D．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃 2．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（     ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 3．某农业技术站为估计一批大豆种子的发芽率，随机抽取若干种子进行重复发芽试验，随着试验种子数量的增加，发芽的频率逐渐稳定在0.91附近．下列说法正确的是（     ） A．这批种子的发芽率一定等于0.91 B．抽取100粒种子，一定有91粒发芽 C．当试验种子数量很大时，可用频率估计发芽概率 D．再做一次发芽试验，发芽频率一定还是0.91 4．为了估计椭圆的面积，小彤在长为，宽为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（     ） A． B． C． D． 5．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下，根据表中的数据，估计出售件衬衣，其中合格产品约有______件． 抽取件数 合格频数 合格频率 6．在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出白球的次数 55 618 3032 5957 30104 59995 摸出白球的频率 0.550 0.618 0.606 0.596 0.602 0.600 根据试验所得数据，估计白球有_______个． 7．数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 8．如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 9．在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 200 300 500 800 1000 2000 3000 摸到白球的次数 149 226 373 604 751 1500 2250 摸到白球的频率 0.745 0.753 0.746 0.755 0.751 0.750 0.750 (1)估计从该盒子里任意摸出一个球，摸到白球的概率为________；（结果精确到0.01） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共36个，试估计白球的个数． 10．一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外其他都相同．小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率稳定在___________附近（结果精确到）： (2)若袋子中有4个黑球． ①估算袋子中两种颜色的球的总个数； ②若小明又将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，则摸出黑球的概率为___________．（用含的式子表示） 迁移创新 1．数学兴趣小组利用AI技术探究事件发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数 100 200 300 400 500 事件出现的次数 28 64 87 165 事件发生的频率 (1)表中______，______，并把折线统计图补充完整； (2)根据以上数据可得事件发生的概率为______； (3)根据该试验结论，小组同学认为在一个装有若干黑球和白球的不透明袋子中，随机摸出一个球是黑球的概率为．已知袋子中球的总数不超过20个，请设计一种符合条件的黑球与白球的数量搭配方案． 2．阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 3．【实践背景】 校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】 社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】 (1)表中____________，____________． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． (3)学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十四章 随机事件的概率 34.3 用频率估计概率 课标要点 1.经历重复试验，感受频率的稳定性；知道在大量重复试验下，随机事件的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，理解概率的统计定义。 2.区分两类求概率途径：列举法适合等可能、有限结果；当不满足等可能、结果无限，或者理论概率难以求出时，可以用频率估计概率。 3.分清频率与概率；频率随试验改变，是统计结果；概率是事件本身固有的常数，是频率的稳定值。 4.：能设计简单试验、收集整理数据、计算频率，利用频率估计现实情境中随机事件的概率；会用试验或模拟试验解决简单实际问题。 学习重难点 重点： 1.理解频率的稳定性，掌握 “大量重复试验，可用频率估计概率” 这一基本方法。 2.明晰频率与概率的联系；能通过试验数据、折线趋势判断频率稳定值，并以此估计概率。 3.会选用频率估计概率解决生活实例（产品合格率、成活率、未知等可能模型的概率估算） 难点： 1.理解随机性：单次、少量试验的频率波动很大，只有试验次数足够多时，频率才趋向概率；避免误以为少数几次试验的频率就是概率。 2.区分频率、概率：频率是变化的样本值，概率是理论常数；理解 “估计” 不等于精确相等。 3.在复杂实际情境中，判断什么时候适合用频率估计概率、什么时候适合列举法求概率。 能够理性解释试验误差，理解统计推断的或然性，不把估计值当成绝对确定结果。 知识点 频率的稳定性 在相同条件下进行大量重复试验，随机事件A发生的频率会围绕某个常数上下摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，呈现出明显的稳定性。这个常数就是事件A发生概率的近似值，记作 。 例如抛掷一枚质地均匀的硬币，随着抛掷次数从几十次增加到上千次，“正面朝上”的频率会逐渐向 0.5 靠拢，但一般不会恰好等于 0.5。 特别提醒 在大量重复试验中，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，并且随着试验次数不断增加，摆动的幅度会越来越小；但这并不意味着频率一定会越来越靠近概率，单次或少数次试验的频率波动可能很大，频率只是概率的估计值，二者不一定相等。 随学随练 1．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 2．小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 【答案】D 【分析】先得到试验结果的频率，分别计算各选项的频率，进而判断即可． 【详解】解：由统计图可知试验结果的频率逐渐稳定在左右， A．出现数字为2点朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； B．出现数字为3朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； C．出现数字为奇数的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； D．出现数字为2或4的朝上概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，符合题意． 3．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【答案】A 【分析】根据题意，先确定所有满足观看次数5次以上的类别，再根据完播率公式计算每个符合条件类别的完播率，然后比较大小后即可解答． 【详解】解：算法要求观看次数达到5次以上才会计算完播率并推荐，四个类别的观看次数分别为18，10，14，18，均大于5，全部符合计算条件． 分别计算各类别完播率如下： 航空航天：； 科学实验：； 电影评论：； 排球技巧：； ∵， ∴航空航天类完播率最高，即平台会重点推荐航空航天类视频． 知识点 用频率估计概率的方法 用频率估计概率的一般步骤为：明确试验目的与事件A；在相同条件下进行大量重复试验，记录事件A发生的频数 与试验总次数 ；计算频率 ；观察频率的稳定趋势，用其稳定值作为事件A概率的估计值。 要素 含义 说明 频数 事件A实际发生的次数 必须是同一条件下、同一事件的累计次数 试验总次数 全部试验的次数 次数需足够大，结果才有参考价值 频率 频数与总次数之比 取值在 0 与 1 之间，随试验变化 概率 事件发生的可能性大小 由频率的稳定值估计，是确定常数 特别提醒 用频率估计概率，必须依靠足够多次的重复试验；它得到的只是概率的估计值，不是精确值，试验次数越多，估计一般越可靠；如果试验次数较少，频率波动大，不能用来估计概率；同时该方法多用于结果不满足等可能、难以用列举法计算理论概率的情形。 随学随练 1．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日”的概率，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率（精确到）是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，取大试验次数下的频率近似值精确到即可． 【详解】解：由表格数据可知，试验次数为、、时，“个人中有个人同月过生日”的频率分别为、、， 随着试验次数增加，频率逐渐稳定在附近， 估计该事件的概率（精确到）为. 2．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用大量重复试验下频率稳定于概率的规律，观察多组绿豆发芽试验的频率随试验粒数增加逐渐稳定在附近，据此估计绿豆发芽的概率约为． 【详解】解：∵ 在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值． 观察表格里绿豆发芽的频率：，，，，，，． ∵ 随着每批粒数不断增大，发芽的频率稳定在 附近， ∴ 绿豆发芽的概率大约是 ． 3．某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以大量重复试验的频率估计概率，可先计算不达标频率，再推导达标概率． 【详解】解：∵共完成次检测，其中次检测到的元件耐压不达标， ∴不达标检测的频率为， ∴可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率为． 拓展频率收敛的辩证理解 很多同学容易形成一个误区：试验次数不断增加，频率就会一步步、持续不断地向概率靠近。实际上，频率稳定于概率，是统计学意义上的稳定，不是单调逼近。在大量重复试验里，频率会在概率这个常数附近上下随机震荡；试验次数越大，只是出现大幅度偏离的可能性越来越小，但依然有可能出现局部大幅波动，不存在某个固定的试验次数，能够保证频率和概率之差一定小于某个定值。 这就意味着，用频率得到的永远是概率的估计值，不存在绝对精准。在探究时，可以采用多组平行试验、合并多组试验数据的方式，削弱单次试验随机性带来的影响。同时要分清：理论概率是事件本身自带、固定不变的属性；而频率依附样本，每一组试验都能得到一个不同的频率。这个拓展可以引导跳出确定性思维，认识随机现象 “偶然之中蕴含必然”，理解统计推断的或然性：统计给出的不是确定结论，而是可信度更高的推断。在考题中，常以此辨析说法正误，例如 “试验次数越多，频率就越接近概率” 这类表述本身是不严谨的。 活学活用 1．将七、八、九年级学生分为六批依次在劳动周种植南瓜种子，并分别记录一周内各批次学生代表在相同条件下（仅种子数量不同）种植的南瓜种子的发芽率情况，数据如下表．则下列说法错误的是（     ） 种植数 100 200 400 600 800 1000 发芽数 92 180 352 546 712 900 发芽率 0.92 0.90 0.88 0.91 0.89 0.90 A．如果在此条件下继续种植1000颗南瓜种子，则发芽的种子数一定为907颗 B．由此估计出该南瓜种子在此条件下发芽的概率为0.9 C．可以用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复的种植中，随着种植次数与种子种植个数的增加，南瓜种子发芽的频率会越来越稳定，因此可以用频率来估计概率 【答案】A 【分析】解题突破口是明确概率是频率的稳定估计值，随机事件的结果不具有必然性. 【详解】解：选项A：在此条件下种植颗南瓜种子，发芽种子数为随机事件，无法确定一定为颗，表述错误. 选项B：随着种植种子数量增加，发芽率稳定在附近，可估计该条件下种子发芽概率为，表述正确. 选项C：实验次数越多，频率越接近概率，可用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值，表述正确. 选项D：大量重复种植中，随着种植次数与种子数量增加，发芽频率会逐渐稳定，因此可用频率估计概率，表述正确. 2．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【答案】A 【详解】解：根据统计图得到试验的概率在上下． A的概率是， B的概率是， C的概率是， D的概率是， 则符合这一结果的试验可能是A． 3．一个转盘被等分为若干个扇形，其中部分被涂上红色，其余为白色．小明自由转动转盘，当转盘停止时，记下指针落在区域的颜色，通过大量重复试验，指针落在红色区域的频率如图所示，则符合这一结果的转盘最有可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据频率折线图，大量重复试验后，指针落在红色区域的频率稳定在附近，因此指针落在红色区域的概率约为； A：转盘分为3个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； B：转盘分为4个相等扇形，1份红色，概率为，不符合； C：转盘分为5个相等扇形，1份红色，概率为，符合； D：转盘分为6个相等扇形，1份红色，概率为，不符合． 题型 根据试验求频率 解题贴士 先找准事件发生的频数与试验总次数，利用 “频率＝频数 ÷ 试验总次数” 计算，计算时留意约分与小数保留；若表格缺项，可借助各行、各列数量关系逆向推算，最后观察数据变化趋势，初步预判稳定值。 ▌例1调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． ▌对点练1-1．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． ▌对点练1-2数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数______（结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有______． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】 稳定性 【分析】本题考查了频率的稳定性，分析表格频率特点是关键． 根据“大量重复实验时，事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性”解答即可． 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． ▌对点练1-3年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 题型 判断频率与概率相关说法正误解题贴士 抓住核心区别，概率是固定常数，频率随样本改变；牢记只有大量重复试验下频率才会稳定在概率附近，少量试验频率不能当作概率，警惕 “次数越多频率一定更靠近概率” 这类绝对化表述。 ▌例1下列说法合理的是（     ） A．小明做了3次投掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷1次，正面朝上的概率还是 B．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某射击运动员射击1次只有两种可能的结果，即中靶与不中靶，所以他中靶的概率是 D．小明做了3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 【答案】A 【分析】根据概率的特征及频率估计概率的条件判断各选项即可． 【详解】解：均匀硬币正面朝上的概率为，每次投掷结果互不影响，与之前试验结果无关，故A选项说法合理． 中奖概率仅表示中奖的可能性大小，买100张彩票不一定有5张中奖，故B选项说法不合理． 射击的中靶与不中靶不是等可能事件，不能直接得出中靶概率为，故C选项说法不合理． 3次试验次数过少，不能用频率估计概率，且图钉质地不均匀，钉尖朝上与朝下不是等可能事件，故D选项说法不合理． ▌对点练1-1在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． ▌对点练1-2一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式__________的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过______来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的_______． 【答案】 P（A）＝ 统计频率 概率 【解析】略 ▌对点练1-3下列说法正确的是______（填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【答案】③ 【分析】根据随机事件以及频率和概率的意义分别分析即可； 【详解】①买彩票中奖是个随机事件，但是中奖的可能性很小，此选项错误． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%，此说法错误，只有当实验次数较多时，才能用实验结果推算概率，是一个估计值，不是准确值； ③在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51，此说法正确； ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是必然事件，此说法错误； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了概率的意义以及概率与频率的区别，正确区分他们是解题的关键． 题型利用频率估计概率进行简单计算 解题贴士 先从试验数据中找到趋于稳定的频率，将它作为概率的估计值；再结合公式 “频数＝总次数 × 估计概率” 进行计算，注意结果一般为估算值，不等同于精确结果。 ▌例1某校学生会设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢、投中即可获奖．活动开始前，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 投中的次数 投中的频率 则该策划者投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，取试验次数足够大时的稳定频率即可得到概率的估计值． 【详解】∵由表格数据可得，随着投掷次数逐渐增大，投中频率逐渐稳定在常数附近， ∴投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为． ▌对点练1-1在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量重复试验后，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率，观察表格中频率的稳定趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可得，随着摸球次数不断增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． ▌对点练1-2如足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国的蹴鞠，是全球体育界极具影响力的体育运动之一．现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m 94 189 375 561 938 1409 1882 优等品的频率 0.94 0.945 0.938 0.935 0.938 0.939 0.941 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是______（结果精确到0.01）． 【答案】0.94 【分析】在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数即可作为该事件发生概率的估计值． 【详解】解：观察表格中优等品的频率数据，随着抽取足球的数量不断增加，频率依次为0.94、0.945、0.938、0.935、0.938、0.939、0.941， 结果精确到0.01，整体逐渐稳定在0.94附近． 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是0.94． ▌对点练1-3一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 【答案】 【分析】根据大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察统计图得出频率稳定的数值即可． 【详解】解：观察折线统计图，随着试验次数的增加，黑色小球出现的频率波动逐渐变小. 频率最终稳定在附近， 摸到黑球的概率约为． 题型 频率折线统计图分析 解题贴士 顺着横轴观察试验次数增大时折线的变化，重点看折线是否逐步趋于平稳，平稳位置对应的数值就是概率的估计值；同时留意局部波动，不能仅凭一小段起伏就判定稳定值。 ▌例1两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出折线统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B．经过有信号灯的十字路口时，遇到黄灯 C．从分别标有，，，的张纸条中，随机抽出一张，抽到 D．任意写一个小于的正整数，能被整除 【答案】C 【分析】观察折线统计图，随着试验次数增加，频率在至之间波动并趋于稳定，估计该事件发生的概率约为（即），分别计算各选项的概率进行比对即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数增加，频率稳定在左右，即该事件发生的概率约为； 选项A：掷出偶数的概率为，不符合题意; 选项B：遇到黄灯的概率取决于信号灯时长设置，不是固定值，通常不符合此规律; 选项C：从张纸条中抽到的概率为，符合题意; 选项D：小于的正整数有共个，能被整除的有共个，概率为，不符合题意． ▌对点练1-1如图是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 【答案】B 【分析】根据统计图可知，这个实验的概率大约为，逐项分析事件发生的概率，即可得出结果． 【详解】解：根据统计图可知，这个实验的概率大约为， A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上的概率为，故不符合题意； D、不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球的概率为，故不符合题意． ▌对点练1-2在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 【答案】25 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率，根据统计图得到频率的稳定值，进而得到摸到白球的概率，再根据概率公式估计白球的数量即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐步稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为， ∴估计盒子里白球有个． ▌对点练1-3如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【答案】 【分析】由图②得小球落在不规则图案内的概率约为，求出矩形的面积，再根据小球落在不规则图案内的概率估计其面积即可． 【详解】解：由图②得，小球落在不规则图案内的概率约为， 由题意得矩形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， ∴， ∴不规则图案的面积大约为． 题型 利用频率估计概率解决实际问题（成活率、合格率） 解题贴士 先用大量样本算出稳定频率作为概率估计，再结合样本总量估算合格或成活数量；审题时分清样本和总体，注意实际结果取整数，理解估算存在误差。 ▌例1为考察某种植物幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 10 50 270 750 3500 7000 9000 14000 成活数m 8 47 235 662 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.800 0.940 0.870 0.883 0.915 0.905 0.897 0.902 根据表中的信息，估计这种幼苗移植成活的概率是（结果精确到0.01）（   ） A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.91 【答案】C 【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，据此即可解答． 【详解】解：观察表格数据可知，随着移植总数不断增大，成活的频率逐渐稳定在附近，即这种幼苗移植成活的概率为． ▌对点练1-1王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格，请你根据表格估计，若从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为（    ） 随机抽取的零件个数 20 50 100 500 1000 合格的零件个数 18 46 91 450 900 零件的合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.9 A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1 【答案】A 【分析】用“实验频率”的稳定值估计“概率”，从而得到合格零件的概率； 【详解】解：∵随着实验次数的增多，合格零件的频率逐渐靠近常数0.9， ∴从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为0.9． 故选：A． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，掌握“大量反复试验下频率稳定值即概率”是解本题的关键． ▌对点练1-2某林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率为____________． 【答案】0.90 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活概率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值约是0.90． 故答案为：0.90． ▌对点练1-3王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格（n为随机抽取的零件个数，m为合格的零件个数），根据表格，若从该批零件中任取1个，取出的零件合格的概率约为_____．（结果精确到0.1） n 20 50 100 500 1000 m 18 49 91 450 910 合格率 0.9 0.92 0.91 0.9 0.91 【答案】0.9 【分析】本题考查了通过观察数据变化趋势来估计概率的方法．随着试验次数的增加，合格零件的频率逐渐稳定在一个值附近，这个值即为所求的概率． 【详解】解：∵随着试验次数的增多，合格零件的频率逐渐接近0.9， ∴从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为0.9． 故答案为：0.9． 基础通关 1．一个不透明的盒子中装有个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（     ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用稳定频率估计摸到黄球的概率，结合总球数计算黄球个数． 【详解】解：∵多次重复试验后摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率为， ∵盒子中共有个乒乓球， ∴估计盒子中黄球的个数为． 2．下列说法正确的是（     ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．某种彩票中奖的概率是，因此买张该种彩票就一定会中奖 C．抛掷一枚图钉，要么针尖朝上，要么针尖朝下，则“针尖朝上”的概率为 D．一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数，那么事件A发生的概率 【答案】D 【分析】根据各选项事件发生的可能性逐项判断正误． 【详解】解：选项A： “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，不是必然事件，该说法错误，不合题意； 选项B：某种彩票中奖的概率是表示中奖的可能性大小，买100张该种彩票不一定会中奖，该说法错误，不符合题意； 选项C：抛掷一枚图钉时，针尖朝上与针尖朝下不是等可能事件，“针尖朝上”的概率不为，该说法错误，不符合题意； 选项D：在大量重复试验中，事件A发生的频率稳定于某个常数，则事件A发生的概率，符合相关定义，该说法正确，符合题意． 3．下列说法正确的是（     ） A．随机抛掷一枚硬币10次，一定有5次正面朝上 B．概率为的事件是不可能事件 C．频率反映了随机事件发生的频繁程度 D．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 【答案】C 【详解】解：A、随机抛掷一枚硬币10次，可能有5次正面朝上，故原说法错误； B、概率为的事件是随机事件，故原说法错误； C、频率反映了随机事件发生的频繁程度，说法正确； D、天气预报“明天降水概率”，是指明天有的可能会下雨，故原说法错误； 4．在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋子中有x个黑球，然后依据概率计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中有x个黑球， 可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则袋子中有个黑球． 5．抛掷一枚质地均匀的硬币，当抛掷的次数足够多时，正面向上的频率约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率估计概率的规律，将求正面向上的频率问题转化为求正面向上的概率问题． 【详解】解：∵ 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，且当抛掷次数足够多时，正面向上的频率稳定在概率附近． ∴ 正面向上的频率约为50%． 6．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（     ） A．0.47 B．0.50 C．0.51 D．0.53 【答案】A 【详解】解：抛掷同一枚啤酒瓶盖次为大量重复试验，已知“凸面向上”的频率约为， 可估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为． 7．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计其中一棵树苗移植成活的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用频率估计概率时，当试验次数足够大，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率，据此解答即可． 【详解】解：观察统计图，随着移植数量增加，成活频率逐渐稳定在附近，因此可以估计树苗移植成活的概率为． 8．清远特产英红九号是一种根系发达，移栽成活率高的茶树．某研究院跟踪调查了在春季移栽的英红九号树苗的成活情况，得到如下表格：由此可估计英红九号移栽树苗成活的概率大约是（     ） 移栽数量/棵 200 400 600 800 1000 1200 成活率 87% 93% 91% 89% 90% 90% A．80% B．85% C．90% D．95% 【答案】C 【分析】大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，试验次数越大，频率越接近真实概率，观察表格中成活率的稳定情况即可得到估计概率. 【详解】解：∵大量重复试验下，频率的稳定值即为概率的估计值，且移栽数量越多，结果越可靠， 由表格可知，随着移栽数量增加，英红九号树苗移栽成活率逐渐稳定在， ∴可估计英红九号移栽树苗成活的概率大约是. 9．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势即可得到答案． 【详解】解：随着抛掷次数不断增大，“正面朝上”的频率逐渐稳定，当抛掷次数足够大后，频率稳定在， 根据用频率估计概率的原理，估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为． 10．在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是(     ) A．14 B．26 C．30 D．36 【答案】B 【分析】本题利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，设袋子中有黄球x个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出方程，求解即可． 【详解】解：∵多次摸球试验后，摸出红球的频率稳定在左右， ∴估计摸出红球的概率为． 设袋子中有黄球x个，则 ，解得， 因此袋子中黄球的个数最有可能是． 11．工厂新进一台机床，机床经过调试后，操作人员将做出的200个零件混匀在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到不合格零件的频率为，估计这批零件中不合格零件的数量为________个． 【答案】10 【分析】根据大量重复试验下频率可估计概率的规律，结合总零件数计算不合格零件的估计数量． 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率可用来估计该事件发生的概率． ∴ 估计从这批零件中抽到不合格零件的概率为， ∴估计这批零件中不合格零件的数量为． 12．在一个不透明的袋子里装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同．每次摸出一个球记下颜色后放回，通过大量重复试验发现摸到红球的频率稳定在0.25附近，则袋中白球的个数大约是__________． 【答案】9个 【分析】根据口袋中有3个红球和若干个白球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意， 得：， 解得：， 所以袋中白球有9个． 13．下表是某篮球运动员一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 3000 命中次数 348 893 1432 1812 2703 罚球命中率 0.870 0.893 0.895 0.906 0.901 根据以上数据可以估计，该球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为__________．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【详解】解：由表格可知，随着投篮次数越来越多，频率逐渐稳定到常数0.90附近，且精确到0.1， 这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.9． 14．某林业部门为了考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据． 幼树移植数/棵 100 1000 5000 8000 10000 20000 幼树移植成活数/棵 87 893 4485 7224 8983 18044 幼树移植成活的频率（结果保留小数点后三位） 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是________．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.9 【分析】随着幼树移植数量增加，成活频率逐渐稳定，可利用稳定后的频率估计移植成活的概率，再按要求保留小数即可． 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在一个常数附近，可用这个常数估计该事件发生的概率， 又∵本次试验中，幼树移植数量越大，试验次数越多，频率越稳定，当移植数量为时，成活频率为， ∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为，将结果保留小数点后一位，可得． 15．赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为______（结果精确到0.1）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜爱赋能数学课堂的学生数与n的比值 0.85 0.90 0.93 0.90 0.89 0.90 0.91 0.91 0.92 0.90 【答案】0.9 【分析】根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的波动规律即可得到结果． 【详解】解：由表格可知，随着累计抽测学生数不断增大，喜爱赋能数学课堂的学生数与的比值（频率）逐渐稳定在附近， 因此估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为． 素养提升 1．小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B．任意买一张电影票，座位号是的倍数 C．从一个装有个黑球和个白球的不透明袋子中任意摸出一个球（小球除颜色外，完全相同），摸到白球 D．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃 【答案】D 【分析】先从折线图中得到试验频率的稳定值，再分别计算各选项对应随机事件的理论概率，选出和稳定频率最吻合的选项． 【详解】解：观察折线图发现，随着试验总次数不断增加，事件发生的频率逐渐稳定在附近，整体波动范围在到之间，因此可以估计该事件发生的理论概率约为． 选项，掷一枚质地均匀的硬币，只有正反两种等可能结果，反面朝上的概率为，远大于，不符合频率稳定的区间，故不符合题意； 选项，任意买一张电影票，座位号为奇数和偶数的可能性大致相等，座位号是的倍数的概率约为，不符合频率稳定的区间，故不符合题意； 选项，袋子中一共有个完全相同的小球，其中白球有个，任意摸出一球是白球的概率为，该数值大于，和统计图中频率最高不超过的特征不符，故不符合题意； 选项，一副去掉大小王的扑克牌总共有张，四种花色各有张，任意抽取一张抽到黑桃的概率为，多次重复试验时，频率会在附近小幅波动，和统计图呈现的特征完全吻合，故符合题意． 2．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（     ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.401 0.410 0.413 0.412 0.413 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【答案】C 【分析】根据大量重复试验中频率逐渐稳定于概率的性质，观察表格中频率的变化趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可知，随着累计抽测学生数不断增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在， ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是． 3．某农业技术站为估计一批大豆种子的发芽率，随机抽取若干种子进行重复发芽试验，随着试验种子数量的增加，发芽的频率逐渐稳定在0.91附近．下列说法正确的是（     ） A．这批种子的发芽率一定等于0.91 B．抽取100粒种子，一定有91粒发芽 C．当试验种子数量很大时，可用频率估计发芽概率 D．再做一次发芽试验，发芽频率一定还是0.91 【答案】C 【分析】大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，可用稳定后的频率估计概率，频率具有随机性，概率是稳定的固有属性． 【详解】解：A、频率稳定在附近，只能估计这批种子发芽率约为，并非一定等于，故A错误； B、频率具有随机性，抽取粒种子时，发芽的种子数不一定为粒，故B错误； C、根据统计规律，当试验种子数量很大时，可用稳定的发芽频率估计种子的发芽概率，故C正确； D、频率具有随机性，再次试验得到的发芽频率不一定为，故D错误． 4．为了估计椭圆的面积，小彤在长为，宽为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为， 长方形的面积为：， 则椭圆的面积为． 5．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下，根据表中的数据，估计出售件衬衣，其中合格产品约有______件． 抽取件数 合格频数 合格频率 【答案】 【分析】当抽取的样本量足够大时，合格频率会稳定在某一固定数值附近，可利用该稳定频率估计衬衣的合格概率，再结合总出售数量计算合格产品的估计值． 【详解】解：观察表格中的合格频率数据，当抽取件数为件、件时，合格频率均为，随着抽取样本量增大，合格频率逐渐稳定在附近， 可估计这批衬衣的合格概率约为， 出售件衬衣时，合格产品的估计数量为件． 6．在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出白球的次数 55 618 3032 5957 30104 59995 摸出白球的频率 0.550 0.618 0.606 0.596 0.602 0.600 根据试验所得数据，估计白球有_______个． 【答案】15 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值估计概率，结合球的总数关系列方程求解即可。 【详解】解：观察表格可知，随着摸球试验次数增加，摸出白球的频率逐渐稳定在附近，因此估计摸出白球的概率为； 设袋子中白球有个，根据题意可得：， 解方程得，经检验，是原方程的解，且符合题意； 因此估计袋子中白球有个． 7．数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据概率公式分别求出取出两种公仔的概率，再观察折线图中频率的稳定值，将两者进行对比即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，箱子中共有公仔（个）， 则取出A型公仔的概率为，取出B型公仔的概率为 观察折线统计图可知，随着试验次数的增加，该种公仔出现的频率在至之间波动并趋于稳定， ∵在至之间，而不在该范围内， ∴该折线图所反映的频率最有可能是型公仔． 8．如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 【答案】 【分析】设这个“福”字的面积是，由题意可得，然后解方程即可． 【详解】解：设这个“福”字的面积是， 由题意可得， 解得， ∴这个“福”字的面积是． 9．在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的黑、白两种球，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 200 300 500 800 1000 2000 3000 摸到白球的次数 149 226 373 604 751 1500 2250 摸到白球的频率 0.745 0.753 0.746 0.755 0.751 0.750 0.750 (1)估计从该盒子里任意摸出一个球，摸到白球的概率为________；（结果精确到0.01） (2)若该盒子里装有黑、白两种球共36个，试估计白球的个数． 【答案】(1) (2)估计白球的个数为个. 【分析】（1）根据大量重复试验中频率的稳定值估计摸到白球的概率． （2）利用总球数与摸到白球的概率的乘积计算白球个数． 【详解】（1）解：∵ 随着摸球次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴ 估计从该盒子里任意摸出一个球，摸到白球的概率为； （2）解：（个） ， 答：估计白球的个数为个． 10．一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外其他都相同．小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率稳定在___________附近（结果精确到）： (2)若袋子中有4个黑球． ①估算袋子中两种颜色的球的总个数； ②若小明又将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，则摸出黑球的概率为___________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察统计图，并利用频率估计概率的原理，即可得出结果； （2）①根据总球数黑球个数概率，计算即可得出结果；②根据概率等于所求情况数与总情况数之比，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：观察统计图可知，随着摸球次数的增加，摸到黑球的频率在附近波动，并逐渐趋于稳定，利用频率估计概率的原理，摸到黑球的频率稳定在附近； （2）解：①∵摸到黑球的频率稳定在附近，袋子中有4个黑球， ∴袋子中两种颜色的球的总个数为（个）； ②将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，袋子里黑球的总数变为，球的总个数变为，故此时摸出黑球的概率为． 迁移创新 1．数学兴趣小组利用AI技术探究事件发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数 100 200 300 400 500 事件出现的次数 28 64 87 165 事件发生的频率 (1)表中______，______，并把折线统计图补充完整； (2)根据以上数据可得事件发生的概率为______； (3)根据该试验结论，小组同学认为在一个装有若干黑球和白球的不透明袋子中，随机摸出一个球是黑球的概率为．已知袋子中球的总数不超过20个，请设计一种符合条件的黑球与白球的数量搭配方案． 【答案】(1)，124 (2) (3)黑球有3个，白球有7个（答案不唯一） 【分析】本题考查了折线统计图、概率公式． （1）根据事件P发生的频率等于可得a，b的值；根据题意补全折线统计图即可； （2）随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近，可知事件P发生的概率为； （3）结合概率公式按要求设计方案即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 补全折线统计图如图所示． 故答案为：；124； （2）随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近， ∴事件P发生的概率为． 故答案为：； （3）黑球有3个，白球有7个（答案不唯一）， 此时袋中共有10个球， ∴随机摸出一个球是黑球的概率为，符合题意． 2．阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【答案】（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）． 【分析】本题考查了利用频率求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积概率建立方程求解； （4）如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点)，大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近， 故选：C； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米； （4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆， 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， ∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则， ． 3．【实践背景】 校园生物社团为助力学校“绿色校园”建设，计划在校园空地引种一种兼具观赏价值的乡土花卉．为科学评估引种效果，社团成员需要了解该花卉开出红色花朵的比例（便于后续景观搭配与品种选育），决定通过分组种植试验开展探究． 【试验设计】 社团成员分成五个小组，采用控制变量法开展试验： ①控制变量：钾肥、磷肥施用量、光照条件、土壤环境等无关变量保持一致，仅改变试验地点（校园五处不同的空地），模拟自然环境差异对花色的影响． ②分组试验：每个小组随机选取一定数量的植株幼苗播种，待花期结束后统计开红花与其他颜色花的植株数量，记录试验数据． ③统计分析：通过计算各组红花出现的频率，探究频率与概率的关系，估计该花卉开红花的真实概率． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 开其他颜色花的植株数量 出现红花的频率 【解决问题】 (1)表中____________，____________． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第几组的数据不适合用频率估计概率，为什么？你认为一株该植物开出红花的概率是多少？（结果精确到）． (3)学校计划在校园内大面积引种该花卉，经规划预计开红花的植株需达到棵，请你估计该学校此植物植株的总数量． 【答案】(1)， (2)第二组不适合用频率估计概率，一株该植物开出红花的概率约为 (3)棵 【分析】（1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）第二组不适合用频率估计概率，理由：试验的植株数太少； 除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为； （3）（棵）， 答：该学校此植物植株的总数量为棵． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $