培优专题 第24章 随机事件及其概率十种重难点题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

培优专题 第24章 随机事件及其概率 十种重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据事件的分类求参 题型二、判断事件发生可能性的大小 题型三、改变条件使事件发生的可能性相同 题型四、用频率估计概率的综合应用 题型五、利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型六、用概率做决策 题型七、概率在保险业中的应用 题型八、概率在比赛中的应用 题型九、概率在转盘抽奖中的应用 题型十、概率与二次方程结合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 分清随机试验的场景，比如放回或不放回抽取、转盘、比赛等场景；用列表或树状图不重不漏写出全部等可能结果，确定总结果数。 2. 读懂题目限定条件（事件类型、可能性相等、频率稳定值、判别式、比赛胜负规则等），转化为数学不等式、等式或者判断标准等。 3. 从所有结果里筛选满足条件的情况，统计符合条件的结果个数。 4. 套入公式计算概率；若用频率估计概率，则用稳定频率近似代替概率。 5. 做方案决策，先算出不同方案概率，再对比大小判断优劣； 求平均次数=总试验次数 × 对应概率。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据事件的分类求参 典例1 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 解题思路 1. 分清三类事件定义，根据其定义和题意列不等式或等式； （1）必然事件：符合条件的结果全部满足，列范围使所有情况都成立； （2）不可能事件：符合条件的结果一个都没有，列范围使没有情况成立； （3）随机事件：既有满足、又有不满足的结果，列范围让两种情况同时存在； 2.求解参数范围，把求出的参数代回原题，验证事件类型是否和题干一致； 变式1-1在一个不透明的袋子中，装有9个大小、质地完全一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出个球，在这个球中，红球、白球、黑球至少各有一个．当或时，判断事件是何种事件，并说明理由． 变式1-2 一个袋中装有8个球，除颜色外都相同，其中有a个红球，b个白球（，），没有其他颜色的球，混合均匀后任意摸出一个球． (1)将“摸出红球”记为事件A，“摸出白球”记为事件B． ①如果事件A是必然事件，则 ， ； ②如果，则 ， ； (2)在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，从袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 题型二、判断事件发生可能性的大小 典例2 红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 (1)根据统计表中的信息，计算 ； (2)若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； (3)当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 解题思路 看符合条件的结果数量占总结果数的多少， （1）若总数相同，则符合条件的结果越多，可能性越大； （2）若总数不同，则先算出概率，再比较概率数值大小； 注意：可能性大≠一定发生，可能性小≠不会发生 变式2-1从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”． (1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______； (2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来． 变式2-2“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形中，装饰图中三角形的顶点F在边上，三角形的边和分别在边、上，使得．      (1)通过观察图形得到 ； (2)一只蚂蚁在长方形内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明． 题型三、改变条件使事件发生的可能性相同 典例3 有5张不透明的卡片，正面的数字分别为0，1，2，3，3，背面图案完全一样，洗匀后，背面朝上放在桌面上． (1)小明和小丽用这5张卡片做游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小丽赢．这个游戏公平吗？请说明理由； (2)请你利用这5张卡片为小明和小丽设计一个公平的新游戏，不改变卡片的数量和内容，直接写出游戏规则． 解题思路 1. 先确定原有方案，找出所有等可能结果，算出各事件原概率，对比是否相等。 2. 分析差异根源，判断是总数不同、对应结果个数不同导致可能性不等。 （1）增删元素：增加/减少物品数量，让两类（多类）符合条件的结果数相等； （2）修改规则：改变抽取、游戏规则，不改动物品，重新分配有利结果； 3. 检验可行性：调整后重新列举或计算概率，验证概率相等。 变式3-1若n是一个两位数，且十位数字大于个位数字，则称n为“两位递增数”；若n的十位数字小于个位数字，则称n为“两位递减数”．在某次趣味活动中，甲、乙两人参加游戏，甲先从写了的卡牌中随机抽出一个卡牌，作为十位数字，放回卡牌后乙再从这堆卡牌中随机抽取一张卡牌，作为个位数字（卡牌除数字外完全相同）．游戏规定：若组成的数是“两位递增数”，则乙胜；若不是“两位递增数”，则甲胜． (1)用列表或画树状图法列出所有可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗?若公平，请说明理由；若不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平? 变式3-2一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球． (1)能事先确定摸到的这个球的颜色吗？________ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？________ (3)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这三种颜色的概率相等？ (4)如果要使从中摸出白球的概率最大，至少需要往袋子中增加几个白球？ 题型四、用频率估计概率的综合应用 典例4 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 解题思路 1. 先明确实验对象、总次数、频数，区分频率（实验值）和概率（理论稳定值），这是最关键的一步； 2. 计算频率，试验次数越大，频率越稳定，稳定值即为概率估计值； 变式4-1 临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． (1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； (2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 变式4-2 在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 题型五、利用概率计算随机事件发生的平均次数 典例5 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 (1)表格中m的值为_____，n的值为_____． (2)任抽一件该产品是合格品的频率稳定在_____，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为_____． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 解题思路 1. 确定单次试验该事件发生的概率P，明确试验总次数n； 2. 计算随机事件平均发生次数 = 试验总次数 × 单次概率； 3. 计算等可能结果下事件概率，代入求值，结果可为小数（平均次数不需要一定是整数）； 变式5-1 计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 变式5-2 3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 题型六、用概率做决策 典例6 现有两个盒子，甲盒装有红球2个，白球3个和黑球5个，乙盒装有红球10个，白球20个和黑球20个． (1)如果随机取出1个白球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“因为乙盒中的黑球个数比甲盒中黑球个数多，所以此时想取出1个黑球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． . 解题思路 1. 找出所有备选方案，明确每个方案对应的事件，分别算出各方案目标事件的概率； 2. 对比概率：概率越大，对应方案越优；若为损失型事件，概率越小越好； 3. 结合期望值（培优常用）：计算每种方案的平均收益/损失辅助判断； 变式6-1 商场“迎新年”促销活动规定：在不透明的袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，凡购物满元，奖励一次在袋中摸球抽奖的机会，若从该袋中第一次摸出1个白球后不放回并搅匀，再摸出1个，摸到白球的概率是． (1)请直接写出袋中白球的个数； (2)该商场采用“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，满500元均可抽奖．抽奖者从该不透明的袋中同时取出两个球，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．试判断采用哪种付款方式，获得元礼金券的概率较大，请说明理由． 在线支付 现金支付 球 两红 一红一白 两白 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 礼金券/元 20 5 20 变式6-2小林参加某智力竞答节目，只要再答对最后两道单选题就能通关．第一道单选题有2个选项，分别记为A，B，第二道单选题有3个选项，分别记为C，D，E，这两道题小林都不会，不过小林还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小林第一题不使用“求助”，那么小林答对第一题的概率是________； (2)如果小林将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来分析小林顺利通关的概率； (3)从概率的角度分析，你建议小林在第几题使用“求助”？ 题型七、概率在保险业中的应用 典例7 某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 解题思路 1. 读懂保险背景，找出总试验次数、赔付事件、对应赔付金额、保费； 2. 计算出发生理赔的概率、不发生理赔的概率，单次保险的理赔金额期望值； 3. 决策判断：根据期望正负，判断保险方案是否盈利、是否合理； 变式7-1某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 变式7-2某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 题型八、概率在比赛中的应用 典例 8贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 解题思路 1. 分清比赛赛制（单局、三局两胜、五局三胜、循环赛、淘汰赛），明确停止比赛的条件； 2. 确定等可能结果，用列表或树状图列举每一局胜负，每局获胜概率保持不变； 3. 筛选符合题意的分支，只保留满足“最终获胜”的全部路径，剔除提前结束比赛的无效分支； 变式8-1小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 变式8-2 我省城市足球超级联赛“赣超”以蓬勃之势席卷全省，成为激活地方体育活力、点㦓群众运动热情的重要引擎．在这股火热的氛围带动下，我省某市成立了12支企事业单位足球队；根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，倒数第二轮比赛后积分位于前3名的分别是A队26分，B队26分，C队25分，D队22分；在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，最新消息：B队已和对手打平； (1)已知D队获得亚军是_____事件（填“必然”“随机”“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？ 题型九、概率在转盘抽奖中的应用 典例 9某商人在游乐场制作了一个如图所示的游戏转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“”则收费元；若指针指向数字“”，则奖励元；若指针指向数字“”，则奖励元． (1)任意转动转盘一次，转盘停止后根据指针指向的区域（指针和分区线重合时，可重新转一次），则 ； ； ． （结果化成最简分数） (2)任意转动转盘一次，求出参与者获奖的概率是多少？ (3)一天，一名游客转动转盘次（指针均落在标有数字的区域），你认为该商人是盈利可能性大还是亏损的可能性大？为什么？ 解题思路 1. 识别转盘结构，比如等分、颜色、区域标注、多转盘等； 2. 判断其等可能性，若等分转盘，每个扇形概率才相等；若不等分转盘，要按面积占比计算； 3. 圈出题目的获胜或符合条件结果，数出符合条件的结果数； 变式9-1某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数 29 60 93 122 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到） (3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？ 变式9-2【情境1】如图1是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 【情境2】某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了如图2一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请解答下列问题： 颜色 红色 黄色 绿色 奖品 笔袋 中性笔 橡皮 (1)表中________，________，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为________（精确到0.1）； (2)小明获得奖品的概率是多少？ (3)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，请你根据要求，将你认为需要涂色的扇形涂上阴影（无需说明理由）． 题型十、概率与二次方程结合 典例 10一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的多项式能在实数范围内因式分解的概率是（） A． B． C． D． 解题思路 1从一元二次方程找限制，比如有实数根、根为整数、正数等，并依据其内容列出方程或不等式； 2. 把抽取到的数据作为方程系数代入，筛选满足条件的结果； 注意二次项系数不能为0 变式10-1从四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于的一元二次方程有一正一负两个实数解的概率为（　　） A． B． C． D． 变式10-2在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为_____． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．从四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于的一元二次方程有一正一负两个实数解的概率为（　　） A． B． C． D． 2．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 3．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 4．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，现有5张卡片对应的数字分别是，，0，1，2，随机抽取一张，抽到的数字记为m的值使上述方程为“邻根方程”的概率为______． 5．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30个．某数学学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球？ 6．在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． (1)用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； (2)求出获奖的概率； (3)如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？ 7．商场举办一次迎元旦抽大奖的酬宾活动，在两个密闭的箱子里分别放入红球1个，黄球2个，蓝球3个，由顾客从两个箱子里随机摸出一个球，若两个球颜色相同，即可获得奖品． (1)请用树状图或列表法求出顾客抽取一次获得奖品的概率； (2)为了增强活动的趣味性，商场在两个箱子里分别放入同样多的白球若干，小明对顾客抽取的结果中出现中奖（两个球颜色相同）的次数做了大量的统计，统计数据如下表： 抽取球的次数 30 50 100 150 200 250 300 500 出现中奖的次数 8 14 27 45 58 70 90 120 出现中奖的频率 0.27 0.28 0.27 0.30 0.29 0.28 0.30 0.30 如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现中奖的频率将稳定在它的概率附近，试估计抽取一次中奖的概率_________（精确到0.1） (3)设商场在两个箱子里分别放入白球x个，根据（2）求出x的值． 8．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（为了方便记录，把a≤x＜b记作：[a，b）．） 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 9．如图，反比例函数的图象经过点． (1)求t的值． (2)若直线l：也经过点P，求直线l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l． (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取2个不同的格点（横、纵坐标都是整数的点），求这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 10．【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 11．一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． (1)从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ (2)游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； (3)现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 12．根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 13．数学课上，师生进行了摸球试验，袋子中装有编号分别为1，2，3，…，m的小球（除编号外完全相同）． (1)活动一：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (2)活动二：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作． ①若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次； ②若事件“记录的编号中出现3个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (3)活动三：从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件，且至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？ 14．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题 第23章 随机事件及其概率 十种重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据事件的分类求参 题型二、判断事件发生可能性的大小 题型三、改变条件使事件发生的可能性相同 题型四、用频率估计概率的综合应用 题型五、利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型六、用概率做决策 题型七、概率在保险业中的应用 题型八、概率在比赛中的应用 题型九、概率在转盘抽奖中的应用 题型十、概率与二次方程结合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 分清随机试验的场景，比如放回或不放回抽取、转盘、比赛等场景；用列表或树状图不重不漏写出全部等可能结果，确定总结果数。 2. 读懂题目限定条件（事件类型、可能性相等、频率稳定值、判别式、比赛胜负规则等），转化为数学不等式、等式或者判断标准等。 3. 从所有结果里筛选满足条件的情况，统计符合条件的结果个数。 4. 套入公式计算概率；若用频率估计概率，则用稳定频率近似代替概率。 5. 做方案决策，先算出不同方案概率，再对比大小判断优劣； 求平均次数=总试验次数 × 对应概率。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据事件的分类求参 典例1 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】(1)①3②2或1 (2)1 【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球，要使“摸出红球”是必然事件，则袋子中必须全是红球，故需将3个白球全部取出，所以． ②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数需满足，因为为整数，所以的值是1或2； （2）先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球，此时袋中有个红球，个白球，球的总数为个，随机摸出一个红球的概率为，因为随机摸出一个红球的频率在附近摆动，所以，解得． 【详解】（1）解：①如果事件A是必然事件，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则m的值为2或1； （2）解：根据题意，可得袋子里共有10个球， 则， 解得， 故的值为1． 解题思路 1. 分清三类事件定义，根据其定义和题意列不等式或等式； （1）必然事件：符合条件的结果全部满足，列范围使所有情况都成立； （2）不可能事件：符合条件的结果一个都没有，列范围使没有情况成立； （3）随机事件：既有满足、又有不满足的结果，列范围让两种情况同时存在； 2.求解参数范围，把求出的参数代回原题，验证事件类型是否和题干一致； 变式1-1在一个不透明的袋子中，装有9个大小、质地完全一样的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出个球，在这个球中，红球、白球、黑球至少各有一个．当或时，判断事件是何种事件，并说明理由． 【答案】当时，是不可能事件；当时，是随机事件 【分析】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，结合摸球数量分析组合可能性是解题关键． 根据“至少各有一个”的要求，结合摸球数量，分析所有可能的摸球组合，进而判断事件类型． 【详解】解：当时，因为总共要摸出2个球，而有3种颜色的球，所以无论怎么摸，都不可能使得红球、白球和黑球至少各有1个，所以是不可能事件； 当时，有可能出现红球、白球和黑球至少各有1个的情况，也有可能出现比如3个红球和3个白球这种情况，此时不满足红球、白球和黑球至少各有1个的要求，所以是随机事件． 答：当时，是不可能事件；当时，是随机事件． 变式1-2 一个袋中装有8个球，除颜色外都相同，其中有a个红球，b个白球（，），没有其他颜色的球，混合均匀后任意摸出一个球． (1)将“摸出红球”记为事件A，“摸出白球”记为事件B． ①如果事件A是必然事件，则 ， ； ②如果，则 ， ； (2)在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，从袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【答案】(1)①，②， (2)取走个白球 【分析】本题考查了必然事件的定义，等可能情形下的概率计算；理解必然事件的定义，能用等可能情形下的概率公式计算是解题的关键． （1）①由必然事件的定义得8个球都是红球，即可求解； ②由等可能情形下的概率得红球和白球各占一半，即可求解； （2）设取走个白球，则红球的个数为（）个，由等可能情形下的概率计算公式得，即可求解． 【详解】（1）解：①事件A是必然事件， 8个球都是红球， ，， 故答案为：，； ②， ， 红球和白球各占一半， ，， 故答案为：，； （2）解：设取走个白球，则红球的个数为（）个， 从袋中摸出一个球是红球的概率是， ， 解得：， 答：取走个白球． 题型二、判断事件发生可能性的大小 典例2 红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 (1)根据统计表中的信息，计算 ； (2)若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； (3)当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 【答案】(1)402 (2)150 (3) 解：顾客选择肯德基餐饮店．理由如下： 从样本看，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 真功夫餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 必胜客餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高， 由此估计，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高． 故答案为：肯德基． 【分析】本题考查了概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）用800减去四星和三星及三星以下的人数，即可得出m的值； （2）用800乘以三星及三星以下占比，即可求出k的值； （3）根据概率公式先求出三家餐饮店获得良好的用餐体验的可能性，再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：402； （2）解：由题意，可得． 故答案为：150； （3）略 解题思路 看符合条件的结果数量占总结果数的多少， （1）若总数相同，则符合条件的结果越多，可能性越大； （2）若总数不同，则先算出概率，再比较概率数值大小； 注意：可能性大≠一定发生，可能性小≠不会发生 变式2-1从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张；设事件为“取到的倍数”，事件为“取到的倍数”，事件为“取到比大的数”事件为“取到整数”． (1)发生可能性最大的事件是______，发生可能性最小的事件是______； (2)把事件、、、按照发生可能性的大小在数轴上用字母、、、标注出来． 【答案】(1)D， (2) 如图： 【分析】本题主要考查可能性大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性概率的计算方法． （1）根据可能性大小的概念得出四个事件的可能性大小，从而得出答案； （2）根据所求数据表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：事件“取到的倍数”的可能性大小为， 事件“取到的倍数”的可能性大小为， 事件“取到比大的数”的可能性大小为， 事件“取到整数”的可能性大小为， 所以发生可能性最大的事件是，发生可能性最小的事件是， 故答案为：、； （2）略 变式2-2“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形中，装饰图中三角形的顶点F在边上，三角形的边和分别在边、上，使得．      (1)通过观察图形得到 ； (2)一只蚂蚁在长方形内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明． 【答案】(1) (2) 解：不相同． 说明：∵， ∴， ∴(它停在“台灯”上）， 它停在空白区域， ， ∴它停在“台灯”上与空白区域的可能性不相同． 【分析】本题通过七巧板考查正方形的性质，勾股定理，几何概率，理解题意，发现与图1中的正方形对角线间的关系，以及掌握几何概率公式是解题的关键． （1）观察可以发现正好等于正方形的对角线长，利用勾股定理求出对角线长即可； （2）根据几何概率公式分别求出它停在“台灯”上与空白区域的概率，即可作出判断． 【详解】（1）解：对比图2与图1，可以发现正好等于正方形的对角线长， ∵正方形的边长为， ∴对角线长为， 故答案为：， （2）略 题型三、改变条件使事件发生的可能性相同 典例3 有5张不透明的卡片，正面的数字分别为0，1，2，3，3，背面图案完全一样，洗匀后，背面朝上放在桌面上． (1)小明和小丽用这5张卡片做游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小丽赢．这个游戏公平吗？请说明理由； (2)请你利用这5张卡片为小明和小丽设计一个公平的新游戏，不改变卡片的数量和内容，直接写出游戏规则． 【答案】(1)游戏不公平，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用简单概率公式求出概率，然后进行比较； （2）根据数字的大小分类设计游戏规则． 【详解】（1）解：游戏不公平， 理由：随机抽取一张卡片，共有5种结果，每种结果出现的可能性相同，抽到的卡片上数字为偶数的结果有2种，抽到的卡片上数字为奇数的结果有3种， （小明赢）（小丽赢）， （小明赢）（小丽赢）， 游戏不公平； （2）解：小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字大于2，则小明赢；若卡片上的数字小于2，则小丽赢；若等于2，则为平局． 解题思路 1. 先确定原有方案，找出所有等可能结果，算出各事件原概率，对比是否相等。 2. 分析差异根源，判断是总数不同、对应结果个数不同导致可能性不等。 （1）增删元素：增加/减少物品数量，让两类（多类）符合条件的结果数相等； （2）修改规则：改变抽取、游戏规则，不改动物品，重新分配有利结果； 3. 检验可行性：调整后重新列举或计算概率，验证概率相等。 变式3-1若n是一个两位数，且十位数字大于个位数字，则称n为“两位递增数”；若n的十位数字小于个位数字，则称n为“两位递减数”．在某次趣味活动中，甲、乙两人参加游戏，甲先从写了的卡牌中随机抽出一个卡牌，作为十位数字，放回卡牌后乙再从这堆卡牌中随机抽取一张卡牌，作为个位数字（卡牌除数字外完全相同）．游戏规定：若组成的数是“两位递增数”，则乙胜；若不是“两位递增数”，则甲胜． (1)用列表或画树状图法列出所有可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗?若公平，请说明理由；若不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平? 【答案】(1)根据题意可列下表： 甲 乙 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 (2)这个游戏不公平． 由（1）可知，共有种等可能的结果，其中组成的两位数n是“两位递增数”的结果有种， （乙胜）， （甲胜）， ， 这个游戏不公平． 修改规则：若组成的数是“两位递增数”，则乙胜； 若组成数的十位数字和个位数字相同，则平局； 若组成的数是“两位递减数”，则甲胜．（答案不唯一） 【分析】（1）用列表法列出全部等可能的结果； （2）由（1）统计“两位递增数”的个数，分别算出甲乙获胜概率，概率不相等则游戏不公平；修改规则让甲乙获胜对应的结果数量相等，实现公平． 【详解】（1）略 （2）略 变式3-2一只不透明的袋子中装有2个白球、3个黄球和4个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球． (1)能事先确定摸到的这个球的颜色吗？________ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？________ (3)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这三种颜色的概率相等？ (4)如果要使从中摸出白球的概率最大，至少需要往袋子中增加几个白球？ 【答案】(1)不能 (2)红球 (3)使袋子中白球、黄球、红球的个数相等即可（方法不唯一） (4)3个 【分析】（1）根据题干判断即可； （2）根据各颜色的球的数量判断即可； （3）让三种颜色球的数量相等即可； （4）设至少增加个白球，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵袋子中有三种不同颜色的球， ∴不能事先确定摸到的球的颜色． （2）解：∵，红球的数量最多， ∴摸到红球的概率最大． （3）解：根据概率的意义，只要使袋子中三种颜色球的个数相等，摸到三种颜色球的概率就相等（方法不唯一）． （4）解：现在袋子中红球数量最多，共4个，要使摸到白球的概率最大，需要白球的数量大于红球的数量． 设至少增加个白球， 可得， 解得． ∵为正整数， ∴的最小值为3， 即至少需要往袋子中增加3个白球． 题型四、用频率估计概率的综合应用 典例4 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】(1)0.6 (2)10 【详解】（1）解：根据表中数据，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； （2）解：估算盒子里原来约有白球（个）， ∵放入的x个球中白球只有1个， ∴， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 解题思路 1. 先明确实验对象、总次数、频数，区分频率（实验值）和概率（理论稳定值），这是最关键的一步； 2. 计算频率，试验次数越大，频率越稳定，稳定值即为概率估计值； 变式4-1 临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． (1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； (2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 【答案】(1) 估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率为 (2) 估计该保护区共有野兔1800只，野鸡700只 【分析】（1）利用第一次捕捉样本中野鸡的频率估计所求概率； （2）依据标记重捕法的比例关系，分别列等式求解野兔和野鸡的总数． 【详解】（1）解：∵随机捕捉的100只动物中，野鸡有40只， ∴样本中捕捉一只动物是野鸡的频率为， ∴估计随机捕捉一只动物是野鸡的概率为； （2）解：设该保护区野兔总数为只，野鸡总数为只， ∵第一次标记野兔60只，重捕的360只野兔中带标记的有12只， ∴， 解得； ∵第一次标记野鸡40只，重捕的140只野鸡中带标记的有8只， ∴， 解得； 答：该保护区约有野兔1800只，野鸡700只． 变式4-2 在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用大量重复试验下频率的稳定值估计摸到红球的概率； （2）根据黑球数量与黑球的概率计算总球数，进而求得红球个数； （3）根据放入红球后的概率列方程求解的值． 【详解】（1）解：， 即随着摸球次数增大，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率估计值为； （2）解：摸到黑球的概率为， 总球数为（个）， 则红球个数为（个）； （3）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 题型五、利用概率计算随机事件发生的平均次数 典例5 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 (1)表格中m的值为_____，n的值为_____． (2)任抽一件该产品是合格品的频率稳定在_____，估计任抽一件该产品是不合格品的概率为_____． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】(1)475，0.95 (2)0.95，0.05 (3)估计要在他奖金中扣除42元材料损失费 【分析】（1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解； （2）观察表格数据可知，随着抽取件数的增加，合格的频率稳定在0.95左右，可得不合格品的概率为0.05； （3）用每件不合格产品扣除的费用乘以被抽检出不合格产品的数量，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， ∴估计该产品合格的概率为0.95， ∴估计该产品不合格的概率为． （3）解：（元） 答：估计要在他奖金中扣除42元材料损失费． 解题思路 1. 确定单次试验该事件发生的概率P，明确试验总次数n； 2. 计算随机事件平均发生次数 = 试验总次数 × 单次概率； 3. 计算等可能结果下事件概率，代入求值，结果可为小数（平均次数不需要一定是整数）； 变式5-1 计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）． 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 年数 10 30 8 2 以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据． （1）求年入流量不低于120的概率； （2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系： 年入流量x 40＜x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160 x≥160 发电机量多可运行台数 1 2 3 4 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由． 【答案】（1）； （2）根据题意，能安装2台发电机对应的年入流量为不低于80， 年入流量低于的概率为：，只能运行1台发电机； 年入流量不低于80的概率为：，能2台发电机都运行； 安装2台发电机时的利润为：万元． 能安装3台发电机对应的年入流量为不低于120，由（1）可知：，只能运行1台发电机， 当年入流量时，，只能运行2台发电机； 当年入流量时，，能运行3台发电机， 安装3台发电机时的利润为： 万元， 因为，故安装2台发电机． 【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可； （2）先分别计算各段年入流量的概率，再根据概率计算安装2台发电机和3台发电机对应的年利润的加权平均数，比较之，则可得出答案． 【详解】（1）年入流量不低于120的年数为:， 总的年数为50年． 年入流量不低于120的概率为：． （2）略 【点睛】本题考查了概率的计算，将概率当做权数计算平均数，计算出各段的概率是解题的关键． 变式5-2 3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” (1)哪位同学说的对？请说明理由； (2)把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【答案】(1)丙说的对 (2)900 【分析】本题考查的是树状图法求概率的知识，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三人抽中的情况，然后利用概率公式求得他们抽中的概率，即可得出结论； （2）根据甲抽到黑桃的次数试验总次数甲抽到黑桃的概率，即可得出答案 【详解】（1）解：丙说的对，理由如下： 设3张扑克牌为A、B、C，A为黑桃， 画树状图得： 则所有可能出现的结果有：，，，，，共6种． 甲得到奖励的结果有2种，P（甲中签）； 乙得到奖励的结果有2种，P（乙中签）； 丙得到奖励的结果有2种，P（丙中签）． 因此先抽的人与后抽的人得到奖励的概率相同； （2）解：根据题意得（次）， 答：估算甲抽到黑桃大约900次． 题型六、用概率做决策 典例6 现有两个盒子，甲盒装有红球2个，白球3个和黑球5个，乙盒装有红球10个，白球20个和黑球20个． (1)如果随机取出1个白球，从 盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“因为乙盒中的黑球个数比甲盒中黑球个数多，所以此时想取出1个黑球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 答案】(1)乙； (2)解：小明的说法不正确，理由如下： 从甲盒随机取出1个黑球的概率为， 从乙盒随机取出1个黑球的概率为， ，，， 取出1个黑球时，甲盒成功的机会更大， 小明的说法不正确． 【分析】（1）分别计算从甲、乙两个盒子中取出白球的概率，再比较概率大小得到结论； （2）分别计算从甲、乙两个盒子中取出黑球的概率，再比较概率大小得到结论． 【详解】（1）解：甲盒总球数为， 从甲盒随机取出1个白球的概率为； 乙盒总球数为， 从乙盒随机取出1个白球的概率为； ， 从乙盒中抽取成功的机会更大； （2）略． 解题思路 1. 找出所有备选方案，明确每个方案对应的事件，分别算出各方案目标事件的概率； 2. 对比概率：概率越大，对应方案越优；若为损失型事件，概率越小越好； 3. 结合期望值（培优常用）：计算每种方案的平均收益/损失辅助判断； 变式6-1 商场“迎新年”促销活动规定：在不透明的袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，凡购物满元，奖励一次在袋中摸球抽奖的机会，若从该袋中第一次摸出1个白球后不放回并搅匀，再摸出1个，摸到白球的概率是． (1)请直接写出袋中白球的个数； (2)该商场采用“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，满500元均可抽奖．抽奖者从该不透明的袋中同时取出两个球，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．试判断采用哪种付款方式，获得元礼金券的概率较大，请说明理由． 在线支付 现金支付 球 两红 一红一白 两白 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 礼金券/元 20 5 20 【答案】(1)袋中白球的个数是3 (2)选择“在线支付”获得20元礼金券的概率较大． 理由：依题意列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 由表易知共有20种等可能的结果，其中抽到两个红球的结果有2种，抽到一个红球一个白球的结果有12种，抽到两个白球的结果有6种， 采用“在线支付”获得20元礼金券的概率为，采用“现金支付”获得20元礼金券的概率为． ， ∴选择“在线支付”获得20元礼金券的概率较大． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到两个红球的结果数、抽到一个红球一个白球的结果数、抽到两个白球的结果数，再利用概率公式可求出采用在线支付获得20元的礼金券的概率和采用现金支付获得20元的礼金券的概率，进而可得结论． 【详解】（1）设袋中白球的个数为x， 从该袋中第一次摸出1个白球后不放回并搅匀，再摸出1个，摸到白球的概率是 ， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意， 袋中白球的个数是3； （2）略． 变式6-2小林参加某智力竞答节目，只要再答对最后两道单选题就能通关．第一道单选题有2个选项，分别记为A，B，第二道单选题有3个选项，分别记为C，D，E，这两道题小林都不会，不过小林还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小林第一题不使用“求助”，那么小林答对第一题的概率是________； (2)如果小林将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表的方法来分析小林顺利通关的概率； (3)从概率的角度分析，你建议小林在第几题使用“求助”？ 【答案】(1) (2) (3)建议小林在第一题使用“求助” 【分析】（1）由第一道单选题有2个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用，，表示第一道单选题的2个选项，，表示剩下的第二道单选题的选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案． （3）分别算出求助放在第一题、第二题两种方案的通关概率，比较大小，选概率更高的方案． 【详解】（1）解：∵第一道单选题有2个选项， ∴小林第一题不使用“求助”，那么答对第一道题的概率是： ； （2）设小林使用“求助”去掉第二题中的错误选项为D， 第一题：A（正确）、B（错误）；第二题剩余选项：C（正确）、E（错误）， 画树状图如图所示． 由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小林全部答对的结果只有1种， 小林顺利通关的概率为． （3）① 第一题使用求助：第一题一共2个选项，去掉1个错误选项，只剩下1个正确选项，第一题答对概率就是1；第二题不使用求助，共3个选项，答对概率． 通关概率：． ② 第二题使用求助：由第（2）问得，通关概率为． 因为， 所以建议小林在第一题使用“求助”． 题型七、概率在保险业中的应用 典例7 某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)10 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了频数分布表，求概率，求平均数： （1）用100减去出险次数为0，1，3，4，的频数，即可求出m的值； （2）求出本年度保险费不高于基本保险费的频数，再根据概率公式计算即可； （3）根据平均数的公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 解题思路 1. 读懂保险背景，找出总试验次数、赔付事件、对应赔付金额、保费； 2. 计算出发生理赔的概率、不发生理赔的概率，单次保险的理赔金额期望值； 3. 决策判断：根据期望正负，判断保险方案是否盈利、是否合理； 变式7-1某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 变式7-2某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【答案】(1) (2)不低于元 【分析】本题主要考查了概率的应用，频率估计概率： （1）根据频率估计概率解答即可； （2）设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：估计长途客车一次行驶的失事概率． （2）解：设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次， 由题意可得：， 解得：， 答：保险公司应该向每位乘客收取不低于元的保险费． 题型八、概率在比赛中的应用 典例 8贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 变式8-1小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3) 不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）略． 变式8-2 我省城市足球超级联赛“赣超”以蓬勃之势席卷全省，成为激活地方体育活力、点㦓群众运动热情的重要引擎．在这股火热的氛围带动下，我省某市成立了12支企事业单位足球队；根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，倒数第二轮比赛后积分位于前3名的分别是A队26分，B队26分，C队25分，D队22分；在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，最新消息：B队已和对手打平； (1)已知D队获得亚军是_____事件（填“必然”“随机”“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？ 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】本题考查了事件的判断，列表法或画树状图法求概率． （1）目前D队排名最后，取最理想情况判断即可； （2）列出表格，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：倒数第二轮比赛后A队26分，B队26分，C队25分，D队22分， 即使在最后一轮的比赛中，D队胜利、C队失败，使得C队25分，D队25分，D队也只能得到季军， 即D队获得亚军是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：由题意，列出表格： 队伍 积分 A队 B队 C队 胜 29 × 28 负 26 × 25 平 27 27 26 由表格可知三队最终得分共有9种情况，且当A，B，C三队得分分别为26，27，28或27，27，28时，C队夺冠，则． 题型九、概率在转盘抽奖中的应用 典例 9某商人在游乐场制作了一个如图所示的游戏转盘，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“”则收费元；若指针指向数字“”，则奖励元；若指针指向数字“”，则奖励元． (1)任意转动转盘一次，转盘停止后根据指针指向的区域（指针和分区线重合时，可重新转一次），则 ； ； ． （结果化成最简分数） (2)任意转动转盘一次，求出参与者获奖的概率是多少？ (3)一天，一名游客转动转盘次（指针均落在标有数字的区域），你认为该商人是盈利可能性大还是亏损的可能性大？为什么？ 【答案】(1)；； (2) (3) 解：该商人盈利的可能性大，理由如下： ∵， ∴该商人盈利的可能性大． 【分析】（）根据概率公式计算即可； （）根据（）的结果计算即可； （）根据概率公式求出商人的盈损情况即可判断求解． 【详解】（1）解：数字“1”的扇形的圆心角为， ； ； ． （2）解：由（）可得，参与者获奖的概率是； （3）略 解题思路 1. 识别转盘结构，比如等分、颜色、区域标注、多转盘等； 2. 判断其等可能性，若等分转盘，每个扇形概率才相等；若不等分转盘，要按面积占比计算； 3. 圈出题目的获胜或符合条件结果，数出符合条件的结果数； 变式9-1某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数 29 60 93 122 落在“谢谢参与”区域的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)若继续不停的转动转盘，当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近___________，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是___________；（结果都精确到） (3)某顾客获得一次转动转盘的机会（转盘如图所示），求获得“盲盒”的概率是多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率和频数的关系求解即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵当转动次数时，落在“谢谢参与”区域的次数， ∴， ∵当转动次数时，落在“谢谢参与”区域的频率为， ∴， （2）解：观察表格中落在“谢谢参与”区域的频率数据：，随着转动次数n的增大，频率数值在附近摆动，并逐渐趋于稳定， ∴当很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； （3）解：观察转盘图可知，转盘被平均分成了10等份． 统计各奖项所占的份数： “盲盒”区域有2份． “贴纸”区域有5份． “谢谢参与”区域有3份． ∴获得“盲盒”的概率是． 变式9-2【情境1】如图1是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 【情境2】某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了如图2一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请解答下列问题： 颜色 红色 黄色 绿色 奖品 笔袋 中性笔 橡皮 (1)表中________，________，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为________（精确到0.1）； (2)小明获得奖品的概率是多少？ (3)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，请你根据要求，将你认为需要涂色的扇形涂上阴影（无需说明理由）． 【答案】(1)，， (2) (3) 涂色如下（涂色区域不唯一，添加5个涂色区域即可）： 【分析】（1）根据频率的计算方法计算，进而根据频率估计概率即可； （2）根据概率公式作答即可； （3）求出总涂色扇形区域，进而求出需要添加的涂色区域，最后作图即可． 【详解】（1）解：； ； 根据表格可知，随着转动转盘的次数的增加，转到黄色区域的频率逐渐趋向， 即随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为； （2）解：转盘被等分成20个扇形区域，红色、黄色或绿色扇形区域共7个， 则小明获得奖品的概率是； （3）解：∵转盘被等分成20个扇形区域，获得奖品的概率为， ∴总涂色扇形区域， ∴需要添加的涂色区域． 题型十、概率与二次方程结合 典例 10一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的多项式能在实数范围内因式分解的概率是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别式的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，注意概率=所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意由列表求得所有等可能的结果与满足关于的方程有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案． 【详解】可能的取值为： ，，，，，， 要满足关于x的多项式能在实数范围内因式分解 则要一元二次方程有实根， 需要令， 移项得， 仅当时不等式成立， 所以的取值满足方程有实根的概率为． 故选：B． 解题思路 1从一元二次方程找限制，比如有实数根、根为整数、正数等，并依据其内容列出方程或不等式； 2. 把抽取到的数据作为方程系数代入，筛选满足条件的结果； 注意二次项系数不能为0 变式10-1从四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于的一元二次方程有一正一负两个实数解的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，概率，由题意可得，从中随机选取两个不同的数作为和，所有可能的有序组合共有种，由方程的解一正一负可得，又由可知时，方程始终有一正一负两个实数解，再求出满足条件的情况即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：从中随机选取两个不同的数作为和，所有可能的有序组合共有种， 当方程的解一正一负时，， ∴， ∵， ∴时，，方程始终有一正一负两个实数解， ∴或， 当时，可取，有种； 当时，可取，有种； ∴ 满足条件的情况共种， ∴一正一负两个实数解的概率为， 故选：． 变式10-2在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为_____． 【答案】 【分析】考查了概率公式及根的判别式的知识，解题的关键是确定能使得方程无解的未知数的值．首先根据根的判别式确定方程无实数解时a的值，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：当一元二次方程无实数解时，， 解得：， ∴在，，1，2，3，4这6个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，使得一元二次方程没有实数解的a的值为3和4，一共2个， ∴在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为， 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．从四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于的一元二次方程有一正一负两个实数解的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，概率，由题意可得，从中随机选取两个不同的数作为和，所有可能的有序组合共有种，由方程的解一正一负可得，又由可知时，方程始终有一正一负两个实数解，再求出满足条件的情况即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：从中随机选取两个不同的数作为和，所有可能的有序组合共有种， 当方程的解一正一负时，， ∴， ∵， ∴时，，方程始终有一正一负两个实数解， ∴或， 当时，可取，有种； 当时，可取，有种； ∴ 满足条件的情况共种， ∴一正一负两个实数解的概率为， 故选：． 2．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 3．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【答案】120 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 4．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，现有5张卡片对应的数字分别是，，0，1，2，随机抽取一张，抽到的数字记为m的值使上述方程为“邻根方程”的概率为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，简单概率的计算，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．设方程的两根分别为，利用根与系数的关系得到，再由“邻根方程”的定义得到，从而得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设方程的两根分别为， ∴， ∵关于的方程（是常数）是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴，即， 解得或； ，，0，1，2中，随机抽取一张，抽到的数字记为m的值使上述方程为“邻根方程”的概率为， 故答案为：． 5．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30个．某数学学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球？ 【答案】(1)， (2)0.6 (3) 【分析】（1）根据频率的定义，列式计算即可； （2）利用频率估计概率即可解答； （3）先设取出了个黑球，则放入了个白球，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． （2）解：随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.6附近， 故“摸到白球”的概率的估计值为0.6． （3）解：由（2）可知，“摸到白球”的概率约为0.6， 袋中原有白球的数量为：（个）． 设取出了个黑球，则放入了个白球， 根据题意得，， 解得，． 答：取出了个黑球． 6．在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． (1)用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； (2)求出获奖的概率； (3)如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？ 【答案】(1)解：列表如下，共有种等可能的结果数； 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (2) (3)元 【分析】（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可； （2）先找出两次都摸白球的结果数，再根据概率公式计算即可； （3）将摊主的收入减去送出奖品的金额，即可得到摊主的盈利情况． 【详解】（1）共有种等可能的结果数，表略； （2）解：由（1）可得，共有36种等可能的结果数，其中前后两次摸得的都是白球的结果数为9， 所以获奖的概率为； （3）解：（元）， 答：摊主可能会从这些人身上赚走元． 7．商场举办一次迎元旦抽大奖的酬宾活动，在两个密闭的箱子里分别放入红球1个，黄球2个，蓝球3个，由顾客从两个箱子里随机摸出一个球，若两个球颜色相同，即可获得奖品． (1)请用树状图或列表法求出顾客抽取一次获得奖品的概率； (2)为了增强活动的趣味性，商场在两个箱子里分别放入同样多的白球若干，小明对顾客抽取的结果中出现中奖（两个球颜色相同）的次数做了大量的统计，统计数据如下表： 抽取球的次数 30 50 100 150 200 250 300 500 出现中奖的次数 8 14 27 45 58 70 90 120 出现中奖的频率 0.27 0.28 0.27 0.30 0.29 0.28 0.30 0.30 如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现中奖的频率将稳定在它的概率附近，试估计抽取一次中奖的概率_________（精确到0.1） (3)设商场在两个箱子里分别放入白球x个，根据（2）求出x的值． 【答案】(1)画图见解析，抽取一次获得奖品的概率为； (2)0.3； (3)x的值为4． 【分析】（1）画树状图或列表表示所有等可能的情况，从中找出符合条件的情况，然后利用概率公式计算即可； （2）用频率估计概率，大数次的实验，使频率稳定到某个固定值时即概率即可； （3）利用添加球，求出所有等可能情况，找出满足条件的种数x2+14，然后利用概率公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：画树状图列出所有等可能的所有情况36种，其中从两个箱子里随机摸出一个球，若两个球颜色相同的情况共有1+2+2+3+3+3=14种， 抽取一次获得奖品的概率为； （2）解：随着大数次的实验，出现中奖的频率将稳定在0.30附近， ∴抽取一次中奖的概率为0.3， 故答案为：0.3； （3）根据两箱中各取一个球，所有等可能情况为种，其中出现相同颜色的小球种类是x2+14， ∴， 整理得， 因式分解得， 解得， 经验都是分式方程的根，但不合题意舍去， ∴x的值为4． 【点睛】本题考查画树状图或列表法求概率，树状图或列表可以不重复，不遗漏的等可能的结果，实验概率，当大数次的实验，使频率稳定到一个稳定的值，即概率，利用概率列方程，掌握画树状图或列表法求概率，树状图或列表可以不重复，不遗漏的等可能的结果，实验概率，当大数次的实验，使频率稳定到一个稳定的值，即概率，利用概率列方程是解题关键． 8．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（为了方便记录，把a≤x＜b记作：[a，b）．） 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【答案】（1）；（2）900元，300元，-100元， 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）ºC和最高气温低于20ºC的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率． （2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=-100元，从而当温度大于等于20ºC时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率． 【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间[20，25）ºC和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：ºC）有关． 如果最高气温不低于25ºC，需求量为500瓶， 如果最高气温位于区间[20，25）ºC，需求量为300瓶， 如果最高气温低于20ºC，需求量为200瓶， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p＝； （2）∵当温度大于等于25ºC时，需求量为500瓶，Y＝450×2＝900元； 当温度在[20，25）ºC时，需求量为300瓶，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元； 当温度低于20ºC时，需求量为200瓶，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元； ∴当温度大于等于20ºC时，Y＞0， ∵由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20ºC的天数有： 90﹣（2+16）＝72， ∴估计Y大于零的概率P＝． 【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，用运算作出推理论证，找出Y>0的天数是解决问题的关键． 9．如图，反比例函数的图象经过点． (1)求t的值． (2)若直线l：也经过点P，求直线l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l． (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取2个不同的格点（横、纵坐标都是整数的点），求这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）把代入反比例函数解析式即可求出答案； （2）求出．得到．令，得．即可得到直线l与y轴交点的坐标为．再画出一次函数的图象即可； （3）求出直线l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有3个，分别记为点，，，其中点，在反比例函数图象上．再利用列表法求出概率即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 得． （2）由（1），得， ∴点P的坐标为． 将代入， 得， 解得． ∴． 令，得． ∴直线l与y轴交点的坐标为． 图见解析 （3）根据题意，直线l与两坐标轴围成的三角形内部（不包括边界）的格点共有3个，分别记为点，，，其中点，在反比例函数图象上． 根据题意，列表如下： A B C A - B - C - 由表，可知共有6种等可能的结果，其中2个格点都在反比例函数图象上的结果有2种， ∴这2个格点都在反比例函数图象上的概率． 10．【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【答案】(1)3 (2)1；4 (3)；先手；6 【分析】（1）观察表中的数据，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）分析题目所给条件：当时，不论先手取几颗，后手都可以直接取到最后一颗，故后手有必胜的策略；当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗，先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1；因为时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，所以当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）由（1）（2）的结论可得若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略；由这个结论和可得，当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择先手，你第一次取6颗． 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 11．一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． (1)从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ (2)游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； (3)现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 【答案】(1) (2) 解：游戏不公平，理由如下： 由（）可知，标有的数字是奇数的概率是，所以标有的数字是偶数的概率是，即小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是，故小颖获胜的概率大于小明获胜的概率，所以游戏不公平； (3)乙盒子获得奖励的概率更大 【分析】（）根据概率公式解答即可求解； （）分别求出两人获胜的概率即可判断求解； （）分别求出甲、乙两个盒子获得奖励的概率即可判断求解； 本题考查了概率，游戏的公平性，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：从盒子中任意摸出个乒乓球，共有种结果，其中数字是奇数的结果有种， ∴标有的数字是奇数的概率是； （2）略 （3）解：由程序可知，当输入数字，，，，时，甲盒子输出的结果为：，，，，； 当输入数字，，，时，乙盒子输出的结果为：，，，； 甲盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为；乙盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为， ∵， ∴乙盒子获得奖励的概率更大． 12．根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2025年苏超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 解决问题 任务一 甲、乙两队抽签决定谁先踢，甲、乙两队要不要争着去抽签？为什么？ 任务二 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】任务一：不要争着去抽签，因为谁先踢的概率相等．任务二： 【分析】本题考查了概率的应用，抽签的公平性；用列举法求事件的概率，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签； （2）设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：任务一、甲、乙两队不需要争着去抽签， 原因：点球决胜的规则里，先踢和后踢从概率角度来看，获胜的机会是均等的，抽签只是确定先后顺序，并不会直接影响最终的胜负概率，所以不需要争着抽签． 任务二：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为. 13．数学课上，师生进行了摸球试验，袋子中装有编号分别为1，2，3，…，m的小球（除编号外完全相同）． (1)活动一：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (2)活动二：当时，从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作． ①若事件“记录的编号中出现2个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次； ②若事件“记录的编号中出现3个相同的编号”是必然事件，则至少需要摸______次． (3)活动三：从中随机摸出1个小球记录编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作．若事件“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件，且至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？ 【答案】(1)3 (2)①4②7 (3)袋中有33个小球． 【分析】本题考查随机事件的含义，必然事件的含义，探索规律的方法，通过例举，寻找规律是解题的关键． （1）活动一：通过列举得出答案； （2）活动二：通过列举得出答案； （3）活动三：总结规律，列出方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：仅摸一次，不可能出现两相同编号， 摸两次，有可能出现不同的编号，如，或，，不符合必然事件， 摸三次，才能保证出现两个相同的编号为必然事件， 故答案为：； （2）解：①摸两次时，不符合题意，如摸到，， 摸三次时，不符合题意，如摸到，，， 摸四次时，一定会出现两个相同的编号，为必然事件， 故答案为：； ②摸六次时，不符合题意，如，，，，，， 摸七次时，符合题意，一定会摸到三个相同的编号为必然事件， 故答案为：； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴袋中有个小球． 14．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，， 【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率； （2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率． 【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜． 此时，比赛的所有可能对阵为： ，， ，，共四种． 其中田忌获胜的对阵有 ，，共两种， 故此时田忌获胜的概率为． （2）不是． 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是． 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ，，， ，，． 齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是 ，，， ，，， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $