专题16 双曲线综合解答题十类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题16 双曲线综合解答题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中点差法的应用 题型二、双曲线中弦长，三角形，四边形的面积计算 题型三、与面积有关的最值与范围 题型四、平面向量与双曲线的综合 题型五、“齐次化”求直线过定点问题 题型六、一般的直线过定点问题 题型七、双曲线中的定值问题 题型八、双曲线中的定直线问题 题型九、双曲线中的定比点差法 题型十、双曲线中的存在性问题探究 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线综合解答题围绕直线与双曲线位置关系、韦达翻译条件、几何条件代数化三大核心展开解题贯穿两条底线原则一是联立后必须检验二次项系数不为0防止退化为一次方程二是直线与双曲线交于两点时必须验证判别式所有参数、定点、定值结果最后都要核验是否满足交点约束条件常用工具点差法定比点差法齐次化韦达定理弦长面积公式向量坐标翻译 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中点差法的应用 典例1 （25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 【分析】（1）设点，由两直线斜率之积化简求解方程； （2）假设存在符合题设的直线，由点差法求出直线斜率，验证可知直线不存在. 【详解】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）略 题型模版 1.特征：题干给出弦中点求直线斜率直线方程或者由直线探究中点轨迹 2.方法：设端点代入双曲线标准方程两式作差 利用中点满足整理得到斜率 写出直线方程联立回代检验 补充结论：双曲线中点弦极易不存在检验步骤不可省略焦点在y轴时公式改为 变式1-1（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，从而直线的方程为，与双曲线方程联立，求得点A，B的坐标，再由求解； （2）法一：根据过点，分不存在和存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据为中点，求得k，再利用弦长公式求解；法二：根据点为中点，利用点差法求得直线的斜率为，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）由题设双曲线， 因为， 所以，直线的方程为， 联立方程解得， 故， 又因为， 所以， 所以，则， 而． 所以双曲线C的标准方程为； （2）如图所示：    法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，直线斜率为， 1）当不存在时，直线的方程，显然不是中点（舍）， 2）当存在时，设直线的方程为，即， 联立方程得①， 设，则， 因为为中点，所以，，解得， 故直线的方程为，即， 将代入①，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长， 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 为线段的中点可知，直线的方程不是， 设，直线的斜率为， 由，得， 所以， 因为为中点，则 即， 直线的方程为，即， 联立方程，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长. 变式1-2（24-25高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. (3)在（2）的条件下，求弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与双曲线方程，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）因为点，点，点， 所以，， 因为直线与直线的斜率之积是，所以， 化简得，又因为直线、的斜率存在，则. 故动点的轨迹的方程为. （2）设，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有，又为线段AB的中点， 则有，代入得， 所以，所以直线的方程为，即. 将代入双曲线方程得，， 整理得，此时， 所以直线与双曲线有两个不同的交点， 所以直线的方程为. （3）由（2）可得， 所以弦长 . 类型二、双曲线中弦长三角形四边形的面积计算 典例2 （25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解； （2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知双曲线C：的左焦点为，离心率． 则，，解得，，因此双曲线的方程为． （2）（ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点， 联立直线与双曲线方程，得，化简得， 其中. 由根与系数的关系，可得，， 因为Q点在第三象限，所以，所以． 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此，所以， 由于，所以， ，， 所以，由于，，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线l的方程为，即. （ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l，方程为， 点，点，点，直线QP的斜率， 直线QR的斜率， 由于P，Q在直线上，有，， 则，代入， 则， 设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则， 因此， 即， 又因为单调递减，所以的取值范围． 题型模版 1.特征：直线与双曲线相交求弦长焦点弦长三角形或四边形面积 2.方法：联立直线与双曲线方程整理一元二次方程标注二次项系数 韦达定理写出 弦长公式 面积单三角形为点到直线距离坐标型四边形优先拆成两个三角形求和 补充结论：同支焦点弦最小值为通径跨两支焦点弦最小值为 变式2-1（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，且顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)已知点，，，在双曲线：上，点在上，若，． （ⅰ）求直线的方程（用，表示）； （ⅱ）求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据双曲线离心率得到，根据得到，根据渐近线方程及点到直线的距离公式求出，进一步求解即可. （2）（ⅰ）设，，根据，得到，，代入双曲线方程结合，，得到，同理可得到，即可得到直线的方程. （ⅱ）直线与双曲线联立，根据弦长公式及得到，求出点到直线的距离，代入三角形面积公式化简求解即可. 【详解】（1）双曲线的离心率为，则，故. 由，得，所以. 双曲线的顶点为，渐近线为，即. 不妨取顶点，渐近线，则， 解得，所以. 故双曲线的方程为. （2）（ⅰ）设，，，，. 由，得，则，. 因为点在双曲线上，所以，即， 则. 又点在双曲线上，点在上，所以，， 所以，即. 同理可得，. 所以直线的方程为. （ⅱ）联立，整理得. 又，所以. 所以，， 所以 . 由，得，所以. 点到直线的距离为 ， 所以. 变式2-2（2026·河南·三模）已知圆：，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，过点与直线平行的直线交直线于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设直线与圆：相切，与曲线交于，两点，记为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据几何关系得到，结合双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点的双曲线（右支），进而求方程即可； （2）设出直线方程，根据直线与圆相切求出直线方程，与双曲线联立，结合韦达定理及弦长公式求出，求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）已知圆：，圆心，半径.    所以，故. 因为，所以， 又，所以，所以. 则，又， 根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线（右支）， 即，，所以，， 故的方程为 . （2）设直线： ， 由直线与圆相切可得，解得，即.    不妨取，则直线：， 代入双曲线方程整理得，，， 设，，则，. 所以， 原点到直线的距离为， 所以. 题型三、与面积有关的最值与范围 典例3 （26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． (1)求的方程． (2)设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据右焦点坐标及渐近线方程，结合列方程组求解即可. （2）（ⅰ）设出直线方程，与双曲线方程联立，根据题意及韦达定理求出的范围，结合求解即可. （ⅱ）由双曲线的对称性知，进而得到，设，得到；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为. 由题意得，，， 又，所以，， 所以的方程为. （2）易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，且， 联立，整理得， ， 所以，， 由直线与的右支交于两点，得. （ⅰ）因为，所以，即，所以. 将其代入，解得，，且， 所以，整理得，解得（负值舍去）， 所以直线的方程为. （ⅱ）由双曲线的对称性知，，所以， 所以 ， 设，则， 则， 设， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以， 故面积的取值范围为. 题型模版 1.特征：面积表达式含参数求面积最大值最小值或者取值范围 2.方法：按照面积计算公式写出关于斜率或者参数的函数 结合写出参数定义域 函数化简分式型对勾型二次函数型换元三角型求值域 注意区分直线与双曲线交于同支还是左右两支 补充结论：面积最值经常出现在斜率不存在斜率为0通径位置优先特值验证 变式3-1（26-27高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． (1)求的标准方程； (2)若，求的方程； (3)记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线距离得到方程，求出双曲线方程； （2）设出直线，联立直线和双曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出两三角形面积，得到方程，求出答案； （3）作出辅助线，根据内心的性质和双曲线定义可得，，结合韦达定理得到，并求出面积的最大值. 【详解】（1）因为右焦点到渐近线的距离， 所以． 又离心率，且，解得． 所以的标准方程为． （2）设直线，点在第一象限，故， 联立消去得． 由韦达定理，得． 因为与的右支交于两点，所以，即． 因为，且，所以． 所以，解得，满足要求， 由于，故，故，解得，故， 所以的方程为． （3）由已知得． 过的内心作的垂线，垂足分别为，如图所示． 根据切线长定理，得， 由，得． 又，所以． 而，则． 所以．同理． 所以． 又， 所以． 因为， 所以，解得． 即，同理．所以． 因为， 所以． 所以． 又， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为，所以当时，取最大值． 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 变式3-2（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为． (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，过的动直线与曲线交于，两点，且，直线与曲线的另一个交点为． （i）当时，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据给定的条件列式求出即可. （2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及共线条件求解；（ii）求出四边形面积的表达式，利用函数的单调性求出范围. 【详解】（1）由双曲线的左焦点为，离心率为， 得，则， 所以双曲线的方程为. （2）（i）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，， ，由，得，联立解得， 所以直线的方程为. （ii）由（i）知，连接，设四边形的面积为， 则，由对称性不妨令，由， 得，即，则，解得， ，而为中点，则， 而，因此， ，，， 则，函数在上单调递增， 于是，而当从小于的方向趋近于时，， 所以四边形的面积的取值范围为. 题型四、平面向量与双曲线的综合 典例4 （26-27高二上·河南·阶段检测）已知双曲线（，）的焦距为4，虚轴端点到焦点的距离为． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求． 【答案】(1) 双曲线的标准方程为 (2) 【分析】（1）由焦距求出，结合虚轴端点到焦点的距离求出，再利用双曲线参数关系求，从而求得标准方程. （2）设出直线方程与双曲线联立，将向量条件转化为坐标关系，结合韦达定理求斜率，代入弦长公式计算. 【详解】（1）由双曲线焦距为4，得，即. 因为虚轴端点坐标为，右焦点坐标为，两点间距离为， 代入得，解得. 由双曲线参数关系，得， 故的标准方程为. （2） 当直线斜率不存在时，的方程为， 代入双曲线方程得，无实根，故直线斜率存在. 当直线斜率存在时，设，，， 由，，得 即. 将代入，整理得. 需满足（即）， 且判别式（即）. 由韦达定理得. 将代入的表达式，得，解得. 再代入的表达式，化简得，满足取值条件. ，，， 故 . 题型模版 1.特征：条件以向量等式向量共线向量垂直向量数量积形式给出 2.方法：向量全部转化为坐标式转化为坐标比例关系 将式子全部用韦达定理的代换 整理化简得到参数方程或者定值关系 补充结论：类中点向量条件等价于为弦中点可以优先点差法尝试 变式4-1（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． (1)求双曲线的方程； (2)若，且，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据离心率公式以及将点代入方程即可求解双曲线的方程； （2）设直线方程为，与双曲线联立方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可； （3）设直线l方程为，联立求出，由题意得且，再根据，求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线：，，，则， 将点，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． （2）当直线斜率为0时，易知，舍去； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立，整理得，， ， ，，     从而，解得或， 故直线的斜率为或． （3）当直线斜率为0时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线l方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，，如图4， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即，     代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，m的取值范围为． 变式4-2（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，双曲线的半焦距， 双曲线的渐近线方程为，， 又，， 双曲线的方程为． （2）如图， 易知直线斜率存在，设直线的方程为（，）， 联立，消去，可得， 设，，则①，②， 又，可得③， 由①③可得，， 代入②，化简可得，解得， 则直线的方程为． 题型五、齐次化求直线过定点问题 典例5 （26-27高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，的渐近线方程为． (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，且的周长为24，求直线的方程； (3)若，是上的两点，为的右顶点，直线与的斜率之积为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)直线过定点，证明如下. 双曲线右顶点，设，由， 得， 当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立双曲线， 整理得，由韦达定理得，， 将、代入，合并同类项得， 将，代入展开化简后可得， 当时，直线为，过点，此时或与重合，舍去； 当时，直线为，恒过定点； 当直线斜率不存在时，设直线 为，由双曲线对称性可设 ， 由，得 ， 点代入双曲线方程得 ，所以 ，所以 得，即直线为 ，恰好过定点 ， 综上，直线过定点，定点坐标为. 【法二：齐次化】 由(1)，双曲线，右顶点 设直线， 斜率条件： 改写双曲线方程： 展开： 将代入上式，构造关于的齐二次式 整理： 两边同时除以，令，对应 由韦达定理 结合条件 解得 代回直线的表达式： 整理 令，得，与无关 所以直线过定点，定点坐标为（） 【分析】（1）利用焦距得、渐近线得比例关系，结合双曲线关系式求出，，写出双曲线方程； （2）先用双曲线定义转化三角形周长，求出弦长，再联立直线与双曲线，借助弦长公式求解直线斜率； （3）设直线并联立双曲线，结合直线与的斜率之积为的条件化简，分离参数找到恒过定点. 【详解】（1）由焦距，得， 由渐近线方程为，得，即， 又，得，解得，， 因此双曲线的方程为； （2）根据双曲线的定义， ，，所以，， 故的周长为， 由周长为24，得，即， 右焦点， 当直线的斜率不存在时，直线为，代入，得，弦长，不符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，联立方程， 消去整理得：， 设，， 由韦达定理得，所以，即 ， ， ， 解得，即，满足， 因此直线的方程为或， 即或； （3）略 题型模版 1.特征：定点在双曲线上斜率满足或者证明直线过定点 2.方法：设直线代入双曲线方程构造齐二次式 两边同除以构造关于的一元二次方程 由韦达定理得到两根之和/积对照条件化简求出直线恒过定点 补充结论：齐次化适合定点在曲线上双斜率和积条件不平移版本优先设避开坐标平移 变式5-1（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 【答案】(1)实轴长，离心率 (2). (3)证明见解析 【分析】（1）由双曲线方程求得，再根据实轴长及离心率的定义求解； （2）先求出弦长，再求出点到直线的最小距离，即可得到 面积的最小值，而点到直线的最小距离，可转化为平行于直线且与双曲线的右支相切的切点到直线的距离； （3）设，的坐标分别为，,由利用向量垂直分析确定直线的斜率不为，并设直线的方程为，与双曲线方程联立消去后，利用韦达定理结合条件，根据垂直向量数量积的性质求得，得到直线的方程即可求得其所经过的定点. 【详解】（1）由题意，得，， 所以双曲线的实轴长离心率； （2）由（1）知，直线的方程为， 设，由，消去得， , 设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为 . 联立，消去，得， 令，得 解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意， 因此， ， . 因此点到直线 的距离， 所以的面积的最小值为. （3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，. 当直线的斜率为时，，， 则 当时， ，解得， 则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， ， 由，得， 所以 ， 即 ， 化简，得解得或. 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. 【法二：齐次化】 由（1）知双曲线，则，右顶点为 因，所以，即 设直线， 以为基准改写双曲线方程 展开得 将代入一次项，构造关于的齐二次式 整理得 两边同除以，令，则，为该方程两根 由韦达定理 由，得，即 代回直线 两边同乘，整理得 令，得，与无关 又代入得，直线不过，符合题意 所以直线恒过定点（） 变式5-2（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的右顶点，、是双曲线上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明：如图，由题得，设，，的方程为， 联立得，消去并化简得， 则，，即， 且，. 因为，所以， 即， 化简得， 解得或，且均满足. 当时，直线的方程为，过定点，与已知矛盾； 当时，直线的方程为，过定点. 综上，直线过定点，且定点的坐标为． 【法二：齐次化】 由，得 设直线， 改写双曲线方程： 展开化简： 将代入，构造关于的齐二次式 整理 两边同除以，令，即为 由韦达定理 已知 代回直线： 两边乘 整理 令，得 该点与参数无关，且不与重合，符合题意 所以直线过定点，定点坐标为 【分析】（1）根据双曲线的性质，结合已知条件求出，进而求出双曲线的方程； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和判别式构造方程，进而求出直线方程，证明结论． 【详解】（1）因为双曲线：的一条渐近线为：， 所以，即. 又因为右焦点到直线的距离为，解得， 由，即，得，故， 所以双曲线的方程为． （2）略 题型六、一般的直线过定点问题 典例6 （26-27高三上·上海浦东新·期中）已知双曲线，为原点． (1)求的渐近线方程； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)由题意两直线斜率均存在且不为零，且斜率之积为， 设直线的斜率为（且），则直线的斜率为， 则直线，， 由， 由韦达定理得：， 因为，所以，， 同理得，， ， ， 所以直线恒过定点，定点为． 【分析】（1）由双曲线标准方程确定，直接代入焦点在x轴的渐近线公式求解； （2）先计算长度，分三类等腰情况结合双曲线方程列方程求解，舍去不符合第一象限的解； （3）设出一条直线斜率，由垂直得另一条斜率，分别联立双曲线用韦达定理求坐标，推导直线方程并整理为点斜式，判定恒过定点． 【详解】（1）由，，得，， 所以的渐近线方程为． （2）设（，）， 由得： ①若，则在线段的垂直平分线上， 代入得，无解，舍去； ②若，则，代入，整理得：， 解得，由得，此时，符合题意； ③若，则，代入，整理得：， 解得或，由得，此时，符合题意； 综上，点的横坐标为或． （3）略，定点． 题型模版 1.特征：定点不在双曲线上由几何约束证明直线恒过定点 2.方法：设直线斜截式斜率存在讨论斜率不存在单独验证 联立双曲线韦达代换题干条件得到关系式 将关系式代回直线方程分离参数找到和参数无关的定点坐标 补充结论：定点结果必须带回检验保证直线和双曲线存在两个交点 变式6-1（26-27高二上·河南南阳·期中）已知封闭曲线由曲线：（，）和曲线：拼接而成，且的离心率为． (1)求的方程． (2)设，分别为的左、右顶点，是上位于轴上方的动点，过点作轴的垂线交于另一点，直线与相交于点． （i）证明直线与的斜率之积为定值，且点的轨迹为某双曲线的一部分； （ii）过点作不与坐标轴垂直的直线与（ⅰ）中的双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1) (2)（i）设，则且， 所以，．     又，，所以，．     所以，为定值．     设，则，整理，得， 故点的轨迹为双曲线的一部分．     （ii）设，，则． 易知直线的斜率存在且不为，设：． 由，消去并整理，得， 则，，．①     由对称性可知，直线所过定点必在轴上，设其为．     由，，三点共线，得，     整理，得， 代入，及①， 得，     故直线过定点，该定点的坐标为． 【分析】（1）结合拼接条件和离心率求椭圆方程. （2）（i）通过联立与的方程消参，证明斜率乘积为定值，就此得到双曲线轨迹. （ii）设直线，联立双曲线，利用、对称，结合韦达定理证明直线过定点. 【详解】（1）由：，得．     由，得，所以．     所以的方程为． （2）（i）略     （ii）略 变式6-2（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）由题意得直线PF的方程为， 如图，过作PF的垂线，垂足为，点坐标为. 当时，直线的方程为. 由韦达定理可知. 直线令，得. 将代入右边式子， 得. 因为，所以两边同除以，得. 因此无论为何值，直线HN恒过定点. 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）直线与曲线联立方程组，根据判别式可得，由韦达定理可得，（ⅰ）由题意可得，联立方程组计算求解即可；（ⅱ）由题意可得点，点 ，根据直线点斜式方程及韦达定理，令，化简即可求证. 【详解】（1）由题意，，则. 双曲线方程可写为，即. 将点代入方程得. 所以.故双曲线的标准方程为. （2）由（1）可知，双曲线右焦点为. 因为，所以直线PF的方程为（垂直于轴）. 由直线方程，令得. 设，联立直线与双曲线方程. 整理得. 判别式. 由韦达定理得. （ⅰ）因为，且是QN的中点，所以在轴方向上有. 代入韦达定理得 从而. 两边同乘得. 因为，所以. 此时，满足，两交点均在右支. （ⅱ）略 题型七、双曲线中的定值问题 典例7 （26-27高三上·福建泉州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程： (2)不过原点的直线与的左、右两支分别交于点，记，直线的斜率分别为，且，过点作直线的垂线，垂足为，证明：存在定点，使得恒为定值． 【答案】(1) (2)存在定点，使得恒为定值.证明如下： 由（1）可得点坐标为， 因为不过原点的直线与的左、右两支分别交于点，所以直线的斜率存在， 设不过原点的直线方程为（，避免直线过原点），设. 将直线方程代入双曲线方程， 整理得： ，， 因为直线与双曲线左右两支各交于一点，所以，得， 同时满足韦达定理：. 由条件得，且， 代入得，， ， 化简整理得， 再将代入上式， ， ， ， 化简整理得，解得或. 当时，直线过，不符合题意，舍去； 当时，直线，此时线恒过定点. 因为，即，因此垂足的轨迹是以线段为直径的圆（除去原点，因为不过原点）， 该圆的圆心为中点，半径为， 因此恒为定值，即存在定点，使得恒为定值. 【分析】（1）直接由双曲线的几何性质可得，再由点到直线的距离可得，从而可得双曲线方程； （2）首先判断直线的斜率存在，再设直线方程为（），设，联立方程可得，再结合条件及斜率公式，化简可得，进而可得，从而判断直线恒过定点，垂足的轨迹是以线段为直径的圆（除去原点，因为不过原点），从而可得定点及定值. 【详解】（1）由双曲线的焦距为，得，即半焦距. 双曲线的渐近线方程为，取右焦点， 点到渐近线的距离为： 因此​，结合双曲线关系，代入得， 因此的方程为. （2）略 题型模版 1.特征：直线变化动点变化某个代数式斜率和斜率积距离乘积恒为常数 2.方法：设参数斜率或者参数联立得到韦达 写出目标表达式全部用替换 化简后参数消去结果为常数可以先用特殊位置垂直x轴预判定值 补充结论：预判定值是快速验算手段但正式解答不能只用特值法 变式7-1（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知双曲线：（，）过点，一条渐近线的方程为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)如图，曲线的左顶点为，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点，直线与直线：交于点，求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)过点作曲线的两条切线，，当与的斜率之积为时，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)设直线，联立得， 因为直线与双曲线有两个交点， ，且， 设则. ， 直线方程为，当时，. 为定值. (3)存在， 【分析】(1)利用双曲线渐近线得到 比例关系，再把已知点代入双曲线方程联立求解参数，直接得到标准方程； (2)设 ，联立双曲线用韦达定理，求出交点 P，把斜率乘积全部转化为韦达的整体代数式，消参得到定值；(3)设切线斜率，利用相切判别式为 0 得到关于斜率的二次方程，由斜率之积的条件推导出动点D的轨迹椭圆，再利用椭圆定义找到定点与定值. 【详解】（1） 由题意得，双曲线标准方程为. （2）略 （3）存在，， 设切线方程为， ， ，， ，， 整理得在以为焦点的椭圆上. 由椭圆定义可知，椭圆上任意点到两焦点距离和为， 存在点使为定值. 变式7-2（2026·贵州黔南·模拟预测）已知双曲线的两个焦点坐标分别为，，并且经过点． (1)求双曲线的标准方程． (2)设直线与曲线有唯一的公共点． （i）若直线与直线交于点，证明：； （ii）过作垂直于的直线分别交轴，轴于，两点，记点，在该平面内是否存在不重合的两定点、，使得为定值．若存在，求出定点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）直线与双曲线联立， 消去，整理得到关于的方程， 因为直线与双曲线有唯一公共点，所以， 则， 化简得到， 又切点为，由韦达定理得到， 直线与交于，将代入，解得， 则， ， ， 又， 则，故，得证. （ii）存在，定点， 【分析】（1）由焦点坐标得到，将的坐标代入双曲线方程，通过计算得到双曲线标准方程. （2）（i）直线与双曲线联立方程组，消去，整理得到关于的方程，由直线与双曲线有唯一公共点得到，结合切点和韦达定理得到，求出，求出的坐标，利用向量的数量积公式求出，从而得到，得证. （ii）求出过作垂直于的直线方程，求出轴截距和轴截距，从而得到满足，结合，可得，结合双曲线的定义得解. 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点坐标分别为 ，， 所以，， 因为双曲线过 ，所以 ，， 将代入， 整理得，解得（舍去），， 则双曲线标准方程. （2）（i）略. （ii）因为过且垂直于的直线斜率为， 所以过作垂直于的直线方程为， 令，得到轴截距为， 令，得到轴截距为， 于是满足， 结合 ，可得， 即， 因此在等轴双曲线 上，其半焦距为， 两焦点为， 对任意上述点 M，均有， 所以所求两定点存在，可取，，定值为. 题型八、双曲线中的定直线问题 典例8 （25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 题型模版 1.特征：动点或者动直线满足条件证明动点恒在某条固定直线上 2.方法：设动点坐标把题干几何条件翻译为等式 消去中间参数斜率参数得到关系式 整理为直线标准式 补充结论：定直线常是双曲线准线渐近线可优先结合二级结论猜想 变式8-1（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为； （ii）证明：，，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 【分析】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线的方程，联立得到，将代入，化简得到即可得证． 【详解】（1） 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ）略 变式8-2（25-26高三下·甘肃白银·阶段检测）已知双曲线经过点，且左顶点到双曲线的一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程． (2)直线与双曲线的左、右两支分别交于两点（均在轴上方），为坐标原点． （i）若，作，垂足为，求点的轨迹长度； （ii）设两点关于点对称，为右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i） （ii）证明: ，设， 由共线，得，即①， 由共线，得，即②， 由①②得， 因为， 所以， 则，即． 故直线的方程为， 联立，得，即点在定直线上． 【分析】（1）利用点到直线的距离和点在曲线上列方程组求解； （2）（i）设直线的方程为，根据韦达定理以及求出，从而得出点的轨迹为圆的一段弧，利用弧长公式求出即可； （ii）利用共线、共线得出直线的斜率，联立直线的方程即可. 【详解】（1）由题意，，渐近线方程为， 易知左顶点到双曲线的一条渐近线的距离，即， 又，得，解得， 双曲线的标准方程为． （2）（i）由题意可知直线的斜率存在， 故设直线的方程为， 由，得， 则， ，则， 则， 若，则， 得，可得点到直线的距离， 即直线与圆相切，故点的轨迹为圆的一段弧． 联立，易得轴上方两交点分别为， 则，则，则， 故点的轨迹长度为． （ii）略. 题型九、双曲线中的定比点差法 典例9 （25-26高三下·山东·阶段检测）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）显然直线不为0，故设直线为 ， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与 联立可得， ， 设，则， 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则； 【法二：定比点差法】 由， 设， 由分点公式： 在双曲线上 代入： 两边同乘 两式相减（点差）： 由是不同两点，，两边约去 故为定值 （ii） 【分析】（1）根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程； （2）（i）设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解； （ii）在（i）基础上，用表达出，求出取值范围. 【详解】（1）由题意得， 当直线与轴垂直时，，即，即， 故，将其代入 中，得 ， 所以双曲线方程为 ； （2）（i）略 （ii）由于，由几何关系可得， 其中，故，整理可得， 又，， 所以， 由（i）知，，， 故，又，， 故，整理得，， 令，则，， 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 故. 题型模版 1.特征：出现分点已知比例求定点定值直线方程 2.方法：由定比写出坐标以及对称点坐标 两点代入双曲线方程两式相减消元避开复杂韦达 结合比例条件化简求解 补充结论：定比点差法适合带分点向量条件大幅减少联立计算量注意就是普通点差法 变式9-1（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）先设点，根据题设条件推得，结合离心率代入求出即可； （2）设，利用向量共线的坐标运算即可求解； （3）设，由联立方程组可得，再结合平面向量共线，分类讨论的取值即可. 【详解】（1）的渐近线方程为，设双曲线上一点， 则， 又在上，所以， 即，代入可得， 又，代入可得，所以的方程为. （2）由（1）易得，设， 由，可得， 即得，(*)， 又，所以， 即， ，即， 又，所以. 因为，所以，， 又，所以， 即， 所以，所以， 又，所以， 所以， 解得，即为定值. （3）设， 由消元得， 由，解得， 则有. 因为，所以 因为点在上，所以， 即， 因， 故得，即， 即， 代入韦达定理，可得 整理得. 当时，等式左边，右边，因为左边右边，不合题意； 当时，因，则，解得，产生矛盾，舍去； 当时，，解得或，故或. 综上，的取值范围为. 变式9-2（2025·河南·一模）已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 【答案】(1)的方程为，的方程为 (2) 设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； (3) 由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 【分析】（1）设，，由焦距为4即可求出； （2）设点，，由直线的斜率之积为1以及点在双曲线上即可求证； （3）由题意，设点，，， 得，点在双曲线上，代入方程即可求解. 【详解】（1）设，， 因此，所以， 的方程分别为，； （2）略 （3）略 题型十、双曲线中的存在性问题探究 典例10 （26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C：的左顶点为A，P为C右支上一点且位于第一象限，P，Q关于x轴对称． (1)若，求的面积； (2)设M为x轴正半轴上一点，N为x轴负半轴上一点，直线与直线交于点D． （ⅰ）设，，求P的横坐标（用a，m表示）． （ⅱ）证明：存在定点M，N使得始终平分． 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）法一：由（i）知， 将点代入中，有， 化简整理得（I） 设点，因为始终平分，所以， 所以， 化简整理得，（II） 即点在圆（部分）上运动（阿波罗尼斯圆）， （I）（II）对照系数可得，解得． 经检验，此时（I）（II）的方程均为， 即存在使得直线始终平分． 方法二：与（i）同理：由等比定理易知：， 所以． 作的外角平分线交轴于点，易知，所以， 因为，所以， 所以直线， 令得：， 因为在双曲线上， 所以， 所以， 易知为定点，所以，解得或， 因为，所以，所以， 由角平分线定理易知，即， 解得，故存在定点和，使得始终平分． 【分析】（1）直接求出，再利用面积公式即可得到答案； （2）（i）法一：计算出直线的方程，再联立即可得到点坐标；法二：设，利用三点共线得到两方程，再利用等比定理即可得到答案； （ii）将点坐标代入双曲线方程，再结合角平分线性质即可得到点的轨迹，再对比系数即可得到关于的方程组，解出即可；法二：根据等比定理得到的表达式，再作的外角平分线交轴于点，从而求出的坐标，最后利用角平分线定理得到方程，解出即可. 【详解】（1）易知， 代入双曲线得，解得，所以． （2）（i）法一：由题意得， 因为，所以， 所以， 联立，解得， 则． 法二：设，易知： 因为，，三点共线，所以， 因为，，三点共线，所以， 所以， 由等比定理易知， 解得，所以． 题型模版 1.特征：问是否存在斜率点直线满足指定几何条件 2.方法：先假设存在设出参数联立双曲线写出韦达与 把条件转化为参数方程求解 有解并且满足则存在无解或者解不满足范围则不存在 补充结论：存在性问题最后一定要写结论存在要写出对应值不存在写明理由 变式10-1（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点的直线交的右支于，两点，且当与轴垂直时，． (1)求的方程． (2)证明：点在以为直径的圆外． (3)在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)由（1）得，，设直线的方程为，点，，联立方程整理得，则，，由直线与双曲线的右支交于，两点，得． 要证点在以为直径的圆外，只需证即可， 又，， 又，， 所以 ， 由，得， 所以， 所以，即点在以为直径的圆外． (3)不存在，理由如下： 假设在轴上存在点，使为等边三角形，设线段的中点为， 则，且， 由上，． 因为，所以直线的斜率， 所以． 又， 所以， 因为方程无解， 所以在轴上不存在点，使为等边三角形． 【分析】（1）由题意建立方程求得，，代入可得的方程； （2）由题意，只需证即可，设出直线方程，直线与双曲线联立方程组，由直线与双曲线的右支交于，两点，得，根据韦达定理及平面向量数量积坐标运算计算即可证明； （3）假设存在点，设线段的中点为，根据结合弦长公式建立等式得，因上述方程无解，故假设不成立. 【详解】（1）设双曲线的半焦距长为， 当直线与轴垂直时，，两点的横坐标为， 所以，解得，即， 所以， 又，，得，，， 故的方程为． （2）略 （3）略 变式10-2（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围； （ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）在轴上存在点，使得. 【分析】（1）由离心率和短轴长结合关系求值，写出方程即可； （2）（i）设直线的方程为，，的中点为，与椭圆方程联立后，利用根与系数的关系求得，进而利用点在上以及可求得实数的取值范围；（ⅱ）设，写出的方程，两式相乘，利用点在椭圆上，进而计算可得动点的轨迹方程，由得，设存在定点满足条件，由求得即可. 【详解】（1）由，得， 故椭圆方程为：. （2）（ⅰ）因为，关于直线对称，所以所在直线的斜率为， 设直线的方程为，，的中点为， 由得， 所以， 所以， 由，可得，， 所以，整理得，所以， 所以，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为； （ⅱ）存在这样的点，使得. 假设存在这样的点，使得， 如图，若，关于轴对称，则设， 则直线，直线， 两式相乘得， 因为在椭圆上，所以，即， 代入得，化简得，因为点不与顶点重合，所以. 即动点的轨迹方程为. 如图，因为， 所以，即，所以， 设过点的直线方程为，， 由，可得， 因为双曲线与直线有两个不同的交点， 所以有两个不同的解，所以， 所以， 设，则，即. 所以，化简得， 所以，因为，所以，解得， 故在轴上存在点，使得. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，则．将点的坐标代入，求出即可； （2）由（1）求出焦点坐标，从而求出直线的方程为，将其与双曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式求解即可； （3）用点差法，设，，则两式相减后整理得即，即，即可求出直线OP的斜率. 【详解】（1）根据题意可得，则． 将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为． （2）由（1）得，即，则，则直线的方程为． 设，由得， ， 所以． （3）设， 则两式相减得． 设，则所以， 即，所以，即， 所以直线OP的斜率．    2．（26-27高二上·吉林长春·期中）已知双曲线：的渐近线方程为． (1)求的值． (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点． （i）若直线，的斜率之积为，求直线的方程； （ii）若直线的斜率为2，求． 【答案】(1) (2)（i）或（ii） 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程为，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. （ii）先设直线的方程为，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. 【详解】（1）已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得. （2）由（1）知，双曲线：，则， 所以右焦点，设， （ⅰ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去整理得：， 则 由韦达定理，， 因， 则 ， 因为直线，的斜率之积为， 所以，化简得，解得或， 所以直线的方程为或. （ⅱ）因直线的斜率为2，则其方程为，即， 联立，消去整理得：， 由韦达定理，， ； 3．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知双曲线的离心率为2，其上有一点． (1)求E的方程； (2)直线与E的左，右两支分别交于B，C两点，点A不在上． （ⅰ）求斜率k的取值范围； （ⅱ）若直线AB与AC的斜率之和为3，证明：过定点． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，再将点代入求解； （2）（ⅰ）根据直线与曲线的两支各有一个交点，联立直线与曲线方程，利用判别式及两根之积异号可求解；（ⅱ）将直线AB与AC的斜率之和表示出来，结合韦达定理，化简求解. 【详解】（1）由题意可知：则， 又有在曲线上，代入方程：，解得 所以E的方程：. （2） （ⅰ）由题意可知直线斜率存在，假设直线： 与曲线方程联立，得 直线与曲线有两个交点 ，化简得 B，C两点分别在双曲线的左、右支， ，，解得 所以直线斜率k的取值范围为. （ⅱ）设 （*）                            整理得： 将（*）式代入得： 整理得：，即 解得：或 当时，直线：，恒过定点； 当时，直线：，过定点，与题意矛盾 综上：过定点. 4．（2026·广东广州·模拟预测）已知双曲线：的左焦点为，且离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1). (2)（ⅰ）, （ⅱ）. 【分析】（1）易知，再由离心率定义得到，再由得到，从而得到双曲线方程. （2）（ⅰ）先设直线方程并与双曲线方程联立得到  ①，  ②，再由可得到   ③，联立①②③可解得：，从而得到直线方程.（ⅱ）先通过向量数量积得到，再通过，从而得到，最后通过函数在上是单调递增函数，求得的取值范围. 【详解】（1）已知双曲线：的左焦点为，因此， 由离心率定义，代入可得：，即， 又因为，所以，将代入双曲线方程， 可得到双曲线的方程为：. （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，与双曲线方程联立： 消去整理得：， 设，，,，由韦达定理得：   ① ，           ②. 由双曲线的中心对称性可知：若直线与的另一个交点为，则. ， ， 又，即，即， 又因为，， 所以，即，即  ③， 联立①，③可得：，， 所以，即，解得： ，又因为，所以. 故直线的方程为，即. （ⅱ）因为，在双曲线上， 所以有，作差可得：， 即，即， 又，， 所以，即. 由弦长公式得：， ， ，， ， ，即， ， ， 函数在上是单调递增函数， 当时，， 当时，， 因此，的取值范围为. 5．（2026·湖南长沙·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程． (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②在轴上存在定点，使得为定值2． 【分析】(1)通过虚轴长度确定后再将点代入方程求解. (2)①设出直线后与双曲线联立通过韦达定理表示出后带入条件求解. ②通过联立椭圆与直线以及圆与直线判断为两者共同的根，因此联立后的方程应相同，以此求解出斜率以及方程，最后通过定值这一条件求出点. 【详解】（1）由条件，，所以， 又点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）①设点，，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立可得， 则 ，解得或， 由题意可得所以且， 所以， ， ， 即 ，． ②设的外接圆方程为，代入坐标， 则 将代入， 可得， 即， 同理 ， 所以，为关于的方程 的两根， 又因为，为关于的方程的两根， 所以方程 与方程为同解方程， 所以解得 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 设，，， 因此， 要使其为定值，只需即可. ， 故在轴上存在定点，使得为定值2． 【点睛】通过方程间的联立来求解直线并求出点. 6．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2) (3)设，由 关于原点对称得， 计算得直线 的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可； （3）先求得，设直线，与双曲线方程联立，由韦达定理得，即可求解定点. 【详解】（1）将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中 ，所以， 即离心率： ； （2） 设 ，直线 方程为， 令 ，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或 （因为此时与点 重合故舍去），即； （3）略 7．（26-27高二上·上海普陀·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作斜率为的直线交双曲线于、两点. (1)若，求点到直线的距离； (2)已知的右顶点为，点，若上存在一点使得，求正实数的值； (3)若点，直线、分别交双曲线于、两点，设直线的斜率为，问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，且. 【分析】（1）先求焦点坐标及直线方程，再用点到直线的距离公式求解. （2）将向量等式转化为坐标关系，求出动点坐标后代入双曲线方程. （3）用参数表示过定点的直线，联立双曲线方程求另一交点，进而确定两条直线斜率之间的关系. 【详解】（1）由双曲线方程得，所以，. 当时，直线的方程为，即. 因此点到直线的距离为. （2）双曲线的右顶点为，设. 由得，所以，解得，所以. 将点的坐标代入双曲线方程，得，即. 因为，所以. （3）设、，则，且，其中、， 由题意可知直线的斜率存在且不为零，则、为不同点，故. 设点，即， 即点，其中为坐标原点， 代入双曲线方程得. 由，整理得. 其中对应点；若，则只有这一个交点，与题设矛盾，故. 另一交点对应，因此. 同理，，且. 由及，可得， 可知、均在直线上. 又，所以. 从而，由得. 反之，取，由得，满足题意，因此所求实数存在. 8．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解, （2）根据向量共线的坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， 的方程为. （2）设点， 由可得 故：，代入双曲线方程得：， 同理，，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得：， 解得：或， 又， 由于或，故或， . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用 9．（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点. ①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值； ②满足，求直线方程. 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据双曲线的定义可得轨迹方程； （2）①利用点差法可得斜率乘积；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据，可得，结合韦达定理可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由已知，，动点满足， 则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义， 即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线， 即轨迹方程为； （2）    ①设点，，中点， 则，， 又点，在曲线上， 则，作差可得， 即， 则； ②设直线， 联立直线与双曲线，得， 恒成立， 且，， 又，，， 则， 则，， 所以， 解得，， 即直线方程为， 即或. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 10．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明：设直线与双曲线交于，点， 因为存在实数且，使得， 所以， ， 整理得：①，②， 得③， 同理④，⑤， 得⑥， 由于双曲线上的点的坐标满足， ③-⑥得， 即，又，所以， 表示点在直线上，又也在直线上， 所以直线的斜率为（定值）. 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程可得，结合计算即可求解； （2）设，，由，根据平面向量线性运算的坐标表示可得、，进而，进而求解. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由，得，即， 所以， 又双曲线的一条渐近线方程为，所以， 解得， 故双曲线的方程为. （2）略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 11．（高三数学临考冲刺原创卷（四））在平面直角坐标系中，双曲线，，分别为曲线的左焦点和右焦点，在双曲线的右支上运动，的最小值为1，且双曲线的离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)当过的动直线与双曲线相交于不同的点，时，在线段上取一点，满足．证明：点总在某定直线上． 【答案】(1) (2) ， 若点都在右支上，则方向相反，有共线， 则方向相反，即方向相同， 与点在线段上矛盾， 所以直线与曲线交在两支上， 如图， 设， 由，可得， 又共线，所以共线， 所以． 设，，， ，，，， 则，，，， 整理可得，① ，② ，③ ，④ 将①③，②④分别得到，⑤ ，⑥ 将⑤⑥可得， 点在定直线上． 【分析】（1）由条件列方程求，可得双曲线方程； （2）由条件证明直线与双曲线的交点不在同一支上，设，则， 设，，，由条件列方程，消去可得，由此证明结论. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，点的坐标为， 因为点在双曲线的右支上， 所以，， 所以， 所以， 所以当时，取最小值， 由题意可知，， 双曲线的离心率， 所以，， 所以， 所以双曲线的方程为． （2）略 【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于结合条件列出点的坐标关系，结合条件消元确定的轨迹方程，证明结论. 12．（2026·河北·二模）已知双曲线 的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明：直线的方程为，令，得. 直线的方程为， 直线的方程为. 联立两直线方程：， 代入，，结合， 即， 所以， ， ， ， ， ，即， 因在右支，不恒为，故. 即点在定直线上. 【分析】（1）通过离心率与点在曲线上的条件求解双曲线方程； （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算斜率乘积； （ii）联立直线方程，结合韦达定理关系化简，确定交点横坐标为定值. 【详解】（1）由双曲线离心率，得. 结合，得，故. 将点代入双曲线方程，得， 解得，则. 故双曲线的方程为. （2）（i）双曲线的左右顶点为，. 设过的直线为，与交于，. 联立方程，消去得，， 由韦达定理，，. 直线、的斜率分别为，，则， 代入，， 得 ， 因此. （ii）略 13．（河北省名校联盟2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题）已知点A，B分别是双曲线：的左、右顶点，，过C的左焦点F且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为6. (1)求C的方程. (2)若动点M在C上且位于第一象限，直线与C的另一个交点为N，的平分线交于点P. （i）证明：点P在定直线上； （ii）记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）由（1）知，，，， 由题意，设直线的方程为，，， 联立，得， 则， 且，则， 设直线与交于点， 因为直线的方程为，直线的方程为 联立可得， 则， 则，即在定直线上，则，其中， 而， 则， 即，故射线平分， 由题意平分，故点即为点， 所以在定直线上. （ii） 【分析】（1）由题意可得，点在双曲线上，进而结合关系求解即可； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，设直线与交于点，结合韦达定理分析可得在定直线上，进而结合二倍角公式及斜率公式可得平分，即点即为点，进而求证即可； （ii）结合（i）表示出，进而结合的范围求解即可. 【详解】（1）由题意，即， 因为过C的左焦点F且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为6， 所以点在双曲线：上，则， 又，则， 所以双曲线C的方程为. （2）（i）略 （ii）由（i）知，，， 则， ， 所以，因为，所以. 14．（2026·河南·二模）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线与直线交于点P，记直线，，的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）或（ⅱ）为定值2． 【分析】（1）利用点到直线的距离公式结合条件求出的值，即得双曲线方程； （2）（ⅰ）法一：考虑直线的斜率不存在时，检验直线符合题意；当斜率存在时，设，与双曲线方程联立，写出韦达定理，求出弦长与点到直线的距离，利用列方程求解即得；法二：基本步骤同法一，利用列方程求解；法三：设直线的方程为，与法一同法列方程求解；法四：设直线的方程为，与法二利用列方程求解；（ⅱ）设，与双曲线方程联立，消去，写出韦达定理，分别写出直线，的方程，联立推得，利用斜率公式化简计算即得. 【详解】（1）由已知得渐近线方程为，右焦点，知． 且，则得，又， 故双曲线的标准方程为； （2） （ⅰ） 法一：当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入双曲线方程， 求得，不妨设，，则，又， 故的面积，即直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 将其与双曲线方程联立：，消元可得 则，设，， 则，， 故， 而点到直线的距离， 故的面积为： ， 整理得，化简得 解得， 所以直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 法二：当直线的斜率不存在时，与上同法得到直线符合题意； 当直线的斜率存在时，与上同法得到：， 因， 故的面积， 即， 整理得，解得，则得直线方程为． 综上当时，直线的方程为或． 法三：由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设， 则，． 故 点到直线的距离， 故的面积 ， 即， 解得或， 所以当时，直线的方程为或． 法四：由题意设直线的方程为， 直线与双曲线交于两点，所以， 另设，， 则，． 故的面积 ， 即， 解得或， 所以当时，直线的方程为或． （ⅱ） 由题意知，，故可设，直线与双曲线方程联立得， 又因为直线与双曲线交于两点，则，， 设，， 则，， 所以直线，的方程分别为，， 联立得， ， 化简得， 因为，，所以， 所以 ， ， 得， 则可设点，故可得，， 所以， 所以为定值2． 15．（2026·山东潍坊·一模）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若与的右支交于两点，与的右支交于两点，线段与的中点分别为，且在第一象限． （i）证明：直线过定点； （ii）直线与交于点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明如下： 由题意可知斜率存在且都不为0， 设方程为，联立， 消去并整理得，，且，， 设，则， 所以，所以， 又直线互相垂直，用替换，则可得， 当，即时，直线的方程为，直线过； 当时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令， 所以直线过． （ii）6 【分析】（1）根据双曲线的焦距，渐近线方程及离心率分别求解即可求解； （2）（i）设方程为，与双曲线方程联立，得出韦达定理，求得点的坐标，分类讨论，当时得出直线过，当时，得出直线方程，令即可证明； （ii）先说明，再由弦长公式得出，进而得出，求解最小值即可． 【详解】（1）由题可知，，所以，又， 所以，所以的方程为． （2）（i）略 （ii）取中点，设交点为，交点为， 因为分别为的中点，所以， 所以，则， 同理可得，所以， 由（i）得， ， 则， 同理可得，， 所以 （*）， 因为直线与双曲线右支交于两点， 所以，解得， 同理直线与双曲线右支交于两点，则，解得， 所以， 所以（*）同时除以得，， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以设，则， 设函数 ， 因为，所以， 所以，当时取得最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 双曲线综合解答题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中点差法的应用 题型二、双曲线中弦长，三角形，四边形的面积计算 题型三、与面积有关的最值与范围 题型四、平面向量与双曲线的综合 题型五、“齐次化”求直线过定点问题 题型六、一般的直线过定点问题 题型七、双曲线中的定值问题 题型八、双曲线中的定直线问题 题型九、双曲线中的定比点差法 题型十、双曲线中的存在性问题探究 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线综合解答题围绕直线与双曲线位置关系、韦达翻译条件、几何条件代数化三大核心展开解题贯穿两条底线原则一是联立后必须检验二次项系数不为0防止退化为一次方程二是直线与双曲线交于两点时必须验证判别式所有参数、定点、定值结果最后都要核验是否满足交点约束条件常用工具点差法定比点差法齐次化韦达定理弦长面积公式向量坐标翻译 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线中点差法的应用 典例1 （25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 题型模版 1.特征：题干给出弦中点求直线斜率直线方程或者由直线探究中点轨迹 2.方法：设端点代入双曲线标准方程两式作差 利用中点满足整理得到斜率 写出直线方程联立回代检验 补充结论：双曲线中点弦极易不存在检验步骤不可省略焦点在y轴时公式改为 变式1-1（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 变式1-2（24-25高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. (3)在（2）的条件下，求弦长. 类型二、双曲线中弦长三角形四边形的面积计算 典例2 （25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 题型模版 1.特征：直线与双曲线相交求弦长焦点弦长三角形或四边形面积 2.方法：联立直线与双曲线方程整理一元二次方程标注二次项系数 韦达定理写出 弦长公式 面积单三角形为点到直线距离坐标型四边形优先拆成两个三角形求和 补充结论：同支焦点弦最小值为通径跨两支焦点弦最小值为 变式2-1（2026·江苏·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，且顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)已知点，，，在双曲线：上，点在上，若，． （ⅰ）求直线的方程（用，表示）； （ⅱ）求的面积． 变式2-2（2026·河南·三模）已知圆：，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，过点与直线平行的直线交直线于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设直线与圆：相切，与曲线交于，两点，记为坐标原点，求的面积. 题型三、与面积有关的最值与范围 典例3 （26-27高三上·河南许昌·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线方程为． (1)求的方程． (2)设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若，求的方程； （ⅱ）求面积的取值范围． 题型模版 1.特征：面积表达式含参数求面积最大值最小值或者取值范围 2.方法：按照面积计算公式写出关于斜率或者参数的函数 结合写出参数定义域 函数化简分式型对勾型二次函数型换元三角型求值域 注意区分直线与双曲线交于同支还是左右两支 补充结论：面积最值经常出现在斜率不存在斜率为0通径位置优先特值验证 变式3-1（26-27高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，左焦点为，过的直线与的右支交于、两点，且点在第一象限． (1)求的标准方程； (2)若，求的方程； (3)记的内心为，的内心为，的面积为，的面积为，求的最大值． 变式3-2（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为． (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，过的动直线与曲线交于，两点，且，直线与曲线的另一个交点为． （i）当时，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围． 题型四、平面向量与双曲线的综合 典例4 （26-27高二上·河南·阶段检测）已知双曲线（，）的焦距为4，虚轴端点到焦点的距离为． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求． 题型模版 1.特征：条件以向量等式向量共线向量垂直向量数量积形式给出 2.方法：向量全部转化为坐标式转化为坐标比例关系 将式子全部用韦达定理的代换 整理化简得到参数方程或者定值关系 补充结论：类中点向量条件等价于为弦中点可以优先点差法尝试 变式4-1（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． (1)求双曲线的方程； (2)若，且，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 变式4-2（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线过点且与双曲线交于，两点，若，求直线的方程． 题型五、齐次化求直线过定点问题 典例5 （26-27高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，的渐近线方程为． (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，且的周长为24，求直线的方程； (3)若，是上的两点，为的右顶点，直线与的斜率之积为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标． 题型模版 1.特征：定点在双曲线上斜率满足或者证明直线过定点 2.方法：设直线代入双曲线方程构造齐二次式 两边同除以构造关于的一元二次方程 由韦达定理得到两根之和/积对照条件化简求出直线恒过定点 补充结论：齐次化适合定点在曲线上双斜率和积条件不平移版本优先设避开坐标平移 变式5-1（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 变式5-2（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知双曲线：的一条渐近线为：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的右顶点，、是双曲线上与不重合的两点，且，直线斜率存在，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 题型六、一般的直线过定点问题 典例6 （26-27高三上·上海浦东新·期中）已知双曲线，为原点． (1)求的渐近线方程； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 题型模版 1.特征：定点不在双曲线上由几何约束证明直线恒过定点 2.方法：设直线斜截式斜率存在讨论斜率不存在单独验证 联立双曲线韦达代换题干条件得到关系式 将关系式代回直线方程分离参数找到和参数无关的定点坐标 补充结论：定点结果必须带回检验保证直线和双曲线存在两个交点 变式6-1（26-27高二上·河南南阳·期中）已知封闭曲线由曲线：（，）和曲线：拼接而成，且的离心率为． (1)求的方程． (2)设，分别为的左、右顶点，是上位于轴上方的动点，过点作轴的垂线交于另一点，直线与相交于点． （i）证明直线与的斜率之积为定值，且点的轨迹为某双曲线的一部分； （ii）过点作不与坐标轴垂直的直线与（ⅰ）中的双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 变式6-2（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 题型七、双曲线中的定值问题 典例7 （26-27高三上·福建泉州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程： (2)不过原点的直线与的左、右两支分别交于点，记，直线的斜率分别为，且，过点作直线的垂线，垂足为，证明：存在定点，使得恒为定值． 题型模版 1.特征：直线变化动点变化某个代数式斜率和斜率积距离乘积恒为常数 2.方法：设参数斜率或者参数联立得到韦达 写出目标表达式全部用替换 化简后参数消去结果为常数可以先用特殊位置垂直x轴预判定值 补充结论：预判定值是快速验算手段但正式解答不能只用特值法 变式7-1（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知双曲线：（，）过点，一条渐近线的方程为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)如图，曲线的左顶点为，过点且斜率不为的直线与曲线交于，两点，直线与直线：交于点，求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)过点作曲线的两条切线，，当与的斜率之积为时，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 变式7-2（2026·贵州黔南·模拟预测）已知双曲线的两个焦点坐标分别为，，并且经过点． (1)求双曲线的标准方程． (2)设直线与曲线有唯一的公共点． （i）若直线与直线交于点，证明：； （ii）过作垂直于的直线分别交轴，轴于，两点，记点，在该平面内是否存在不重合的两定点、，使得为定值．若存在，求出定点、的坐标；若不存在，请说明理由． 题型八、双曲线中的定直线问题 典例8 （25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 题型模版 1.特征：动点或者动直线满足条件证明动点恒在某条固定直线上 2.方法：设动点坐标把题干几何条件翻译为等式 消去中间参数斜率参数得到关系式 整理为直线标准式 补充结论：定直线常是双曲线准线渐近线可优先结合二级结论猜想 变式8-1（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 变式8-2（25-26高三下·甘肃白银·阶段检测）已知双曲线经过点，且左顶点到双曲线的一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程． (2)直线与双曲线的左、右两支分别交于两点（均在轴上方），为坐标原点． （i）若，作，垂足为，求点的轨迹长度； （ii）设两点关于点对称，为右顶点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 题型九、双曲线中的定比点差法 典例9 （25-26高三下·山东·阶段检测）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 题型模版 1.特征：出现分点已知比例求定点定值直线方程 2.方法：由定比写出坐标以及对称点坐标 两点代入双曲线方程两式相减消元避开复杂韦达 结合比例条件化简求解 补充结论：定比点差法适合带分点向量条件大幅减少联立计算量注意就是普通点差法 变式9-1（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 变式9-2（2025·河南·一模）已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 题型十、双曲线中的存在性问题探究 典例10 （26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C：的左顶点为A，P为C右支上一点且位于第一象限，P，Q关于x轴对称． (1)若，求的面积； (2)设M为x轴正半轴上一点，N为x轴负半轴上一点，直线与直线交于点D． （ⅰ）设，，求P的横坐标（用a，m表示）． （ⅱ）证明：存在定点M，N使得始终平分． 题型模版 1.特征：问是否存在斜率点直线满足指定几何条件 2.方法：先假设存在设出参数联立双曲线写出韦达与 把条件转化为参数方程求解 有解并且满足则存在无解或者解不满足范围则不存在 补充结论：存在性问题最后一定要写结论存在要写出对应值不存在写明理由 变式10-1（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点的直线交的右支于，两点，且当与轴垂直时，． (1)求的方程． (2)证明：点在以为直径的圆外． (3)在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 变式10-2（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围； （ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 2．（26-27高二上·吉林长春·期中）已知双曲线：的渐近线方程为． (1)求的值． (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点． （i）若直线，的斜率之积为，求直线的方程； （ii）若直线的斜率为2，求． 3．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知双曲线的离心率为2，其上有一点． (1)求E的方程； (2)直线与E的左，右两支分别交于B，C两点，点A不在上． （ⅰ）求斜率k的取值范围； （ⅱ）若直线AB与AC的斜率之和为3，证明：过定点． 4．（2026·广东广州·模拟预测）已知双曲线：的左焦点为，且离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于2的动直线与交于，两点，其中点在第三象限，直线与的另一个交点为． （ⅰ）若的面积是的面积的5倍，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 5．（2026·湖南长沙·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程． (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 7．（26-27高二上·上海普陀·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作斜率为的直线交双曲线于、两点. (1)若，求点到直线的距离； (2)已知的右顶点为，点，若上存在一点使得，求正实数的值； (3)若点，直线、分别交双曲线于、两点，设直线的斜率为，问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 8．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 9．（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点. ①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值； ②满足，求直线方程. 10．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值. 11．（高三数学临考冲刺原创卷（四））在平面直角坐标系中，双曲线，，分别为曲线的左焦点和右焦点，在双曲线的右支上运动，的最小值为1，且双曲线的离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)当过的动直线与双曲线相交于不同的点，时，在线段上取一点，满足．证明：点总在某定直线上． 12．（2026·河北·二模）已知双曲线 的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 13．（河北省名校联盟2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题）已知点A，B分别是双曲线：的左、右顶点，，过C的左焦点F且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为6. (1)求C的方程. (2)若动点M在C上且位于第一象限，直线与C的另一个交点为N，的平分线交于点P. （i）证明：点P在定直线上； （ii）记，的面积分别为，，求的取值范围. 14．（2026·河南·二模）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线与直线交于点P，记直线，，的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由. 15．（2026·山东潍坊·一模）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若与的右支交于两点，与的右支交于两点，线段与的中点分别为，且在第一象限． （i）证明：直线过定点； （ii）直线与交于点，求面积的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $