培优01 相似三角形的性质与判定8大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版九年级下册
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内容正文：
专题01 相似三角形的性质与判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、 成比例的线段 1
题型二、 比例的性质 4
题型三、 相似多边形 7
题型四、 平行线分线段成比例 13
题型五、 相似三角形的判定 22
题型六、 相似三角形的性质 50
题型七、 相似三角形的实际应用 68
题型八、 位似 76
B综合攻坚・能力跃升
题型一、成比例的线段
1．如图是由小正方形组成的网格，点A，B，C，D，E，F均在格点上，，网格中的这两个三角形相似吗?请说明理由．
【答案】解：相似．理由如下：
设小正方形的边长为1，由勾股定理，得，，，
又，
，
又，
．
【分析】先利用勾股定理推导出，再根据相似三角形的判定可证得结论．
【详解】略
2．下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例．
【详解】解：A．∵，，，
∴不成比例．
B．∵，，，
∴成比例．
C．∵，，，
∴不成比例．
D．∵，，，
∴不成比例．
3．已知线段a，b，c，d是成比例线段，，且a，b，c的长度分别为1，2，4，则d的长为（ ）
A．2 B．4.5 C．18 D．8
【答案】D
【详解】解：∵，
将，，代入得，
解得．
4．下列四条线段a，b，c，d中，不是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【分析】若四条线段a，b，c，d成比例，即，则．通过计算每组线段中与的值，对比是否相等来判断是否成比例．
【详解】解：A、∵，，∴四条线段成比例，不符合题意；
B、∵，，∴四条线段成比例，不符合题意；
C、∵，，，∴四条线段不成比例，符合题意；
D、∵，，∴四条线段成比例，不符合题意．
5．下列四组数中，成比例的一组是（ ）
A．1，2，4，5 B．2，3，3，6 C．1，2，2，4 D．2，4，8，18
【答案】C
【分析】根据比例的性质，即最小的数和最大的数相乘与另外两个数相乘的积相等，即可判断．
【详解】解：A选项：，本选项的数不成比例；
B选项：，本选项的数不成比例；
C选项：，本选项的数成比例；
D选项：，本选项的数不成比例．
6．下列各组线段中，成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【分析】先将各选项中的线段按长度从小到大排序，再根据最小与最大线段乘积是否等于中间两线段乘积进行验证即可．
【详解】解：A、 ，，，，，，相等，是成比例线段；
B、，，，，，不是成比例线段；
C、，，，，，不是成比例线段；
D、 ，，，，，不是成比例线段．
7．已知为成比例线段，其中，则的长度为__________．
【答案】
【分析】根据成比例线段的定义得到线段之间的关系，代入已知边长计算即可．
【详解】解：∵ 为成比例线段，
∴ ，即，
∵，
∴．
8．已知四条线段、、、成比例，则的值为______．
【答案】
【分析】根据成比例线段的定义，按题目给出的线段顺序列出比例式，再利用比例的基本性质计算求解.
【详解】解：∵四条线段，，，成比例，顺序与给出顺序一致，
∴，
根据比例的基本性质得 ，
解得
9．已知线段，，则，的比例中项线段为__________．
【答案】6
【分析】根据比例中项的定义列方程求解，注意线段长度为正数，需舍去负解．
【详解】解：设线段，的比例中项为，
∴，
解得或，
∵线段的长度为正数，
∴舍去，
因此，的比例中项线段为．
题型二、比例的性质
10．若四条线段满足，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由可得，，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
11．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴．
12．已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴选项变形正确，选项变形错误．
13．已知（），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据比例关系，将和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
．
14．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵（），
∴等式两边同时除以6，得
.
15．如果，则___________．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴．
16．如果，那么直线必过______象限．
【答案】第一、四
【分析】由连等比设公共比值为，列出关于的等式；分与两种情况求出，再分别讨论直线经过的象限．
【详解】解：由题意，得
．
∴，，．
三式相加，得．
当时，，直线为，经过第一、三、四象限；
当时，，则，直线为，经过第一、二、四象限．
∴直线一定经过第一、四象限．
17．已知：，，求、、的值．
【答案】，，
【分析】设连等比例的公共比值为参数，将、、用统一表示，代入已知等式求解后回代得到各值．
【详解】解：设．
可得，，．
将上述表达式代入，
得 ．
化简得．
解得．
∴，，．
18．已知：，且，求a，b，c的值．
【答案】，，.
【分析】设，得，，，代入求得，故可求得a，b，c的值．
【详解】解 ∵，
∴设，
∴，，，
代入得：，
解得：，
∴，，．
题型三、相似多边形
19．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．四个内角对应相等的两个四边形 B．四条边对应成比例的两个四边形
C．一个内角对应相等的两个菱形 D．一条边对应相等的两个矩形
【答案】C
【分析】相似多边形需同时满足对应角相等，对应边成比例两个条件,以此为依据判断各选项．
【详解】解：A. 四个内角对应相等的两个四边形，对应边不一定成比例，不一定相似，不符合题意；
B. 四条边对应成比例的两个四边形，对应角不一定相等，不一定相似，不符合题意；
C. 菱形的四条边相等，故对应边成比例，
∵菱形的一个内角对应相等，
∴所有对应内角均相等，
∴两个菱形一定相似，符合题意；
D. 一条边对应相等的两个矩形，其余边长不确定，对应边不一定成比例，不一定相似．
20．下列各组图形属于相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形，
项中一个是四边形，一个是三角形，形状不同，不是相似图形；
项中一个是五边形，一个是六边形，形状不同，不是相似图形；
项中一个是平行四边形，一个是正方形，对应角不相等，形状不同，不是相似图形；
项中两个图形形状相同，大小不同，是相似图形．
21．在研究相似问题时，两位同学的观点如下：
甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．
对以上两人的观点，下列判断正确的是（ ）
A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对
【答案】A
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断．
【详解】解：如图所示，
甲：设原矩形边长为，，
向外扩张一个单位后边长变为，，
则，
∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确；
乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，
因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似，
故乙正确．
22．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形的相似比为，
∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为，
∵矩形的对角线为，
∴矩形的对角线，
依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为，
∴矩形的对角线，
∴矩形的对角线，
按此规律第个矩形的对角线
．
23．如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中点定义得到线段倍数关系，然后利用矩形相似得到对应边成比例，再设未知数代入比例建立等式，最后化简计算求出线段比值．
【详解】解：，分别是，的中点，
．
矩形与矩形相似，
．
设，，则．
代入比例式：
，
．
，
．
．
24．如图所示，四边形四边形，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似多边形的性质得到，进而求出的度数．
【详解】解：四边形四边形，
．
四边形的内角和为，
．
25．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的周长比为___________．
【答案】
【详解】解：设网格的单位长度为1，则由网格图可知：，
∵五边形五边形，
∴相似比为，
∴五边形与五边形的周长比等于相似比，即为．
26．如图，四边形与四边形相似，且A、B、C、D分别与、、、对应，则的度数是__________．
【答案】
【详解】解：由已知，，
∴．
27．如图四边形四边形，依据所标数据，解答下列问题．
(1)求的度数．
(2)求边x，y的长．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据相似图形对应角相等，即可求解；
（2）根据相似图形对应边成比例，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形四边形，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形四边形，
∴，即，
∴，．
28．数学活动课上，老师布置了一个任务：在长为6，宽为2的矩形纸片内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，甲同学的设计方案如图①，乙同学的设计方案如图②．请你判断选择谁的方案剪下的两个矩形的周长之和最大，并说明理由．
【答案】解：选择乙同学的设计方案．
理由如下：如答图①，设甲同学的设计方案中剪下的小矩形的宽，
原矩形的长与宽之比为，
，
，
，
甲同学的设计方案中两个矩形的周长之和为．
如答图②，设，同理可得剪下的两个矩形的周长之和为．
，
，
当时，两个矩形的周长之和最大，最大值为．
，
选择乙同学的设计方案剪下的两个矩形的周长之和最大．
【分析】先算出原矩形长宽比为，利用相似矩形边长比例，再分别设未知数写出甲、乙方案两个小矩形的边长，进而求出甲方案周长之和恒为16，同理求出乙方案周长表达式，结合自变量范围算出乙的最大周长，最后比较大小，得到乙方案剪下矩形的周长之和更大．
【详解】略
题型四、平行线分线段成比例
29．如图，已知，，，则的长为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
30．图1是某班级摆放绿植的花架，其侧面示意图如图2所示，已知，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行线分线段成比例定理，由三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式代入数值求解．
【详解】解：，
．
把，，代入，得
解得．
31．如图，，若，，，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
32．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，，
∴，
解得：．
33．如图，已知直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，即可求解．
【详解】解：∵直线，
∴，即
∴．
34．如图，，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
35．如图，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 根据平行线分线段成比例定理，由 可得对应线段成比例 ，变形后代入已知数据计算即可．
【详解】∵，
．
．
，
．
36．如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理得出，结合求解．
【详解】解：∵
∴
∴．
37．已知线段、、，求作线段，使得的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系，找出符合即的图形．
【详解】解：A、选项中，即，不符合题意；
B、选项中，即，即，符合题意；
C、选项中，即，不符合题意；
D、选项中，即，不符合题意．
38．如图，小钦使用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是且点与刻度尺上的0刻度重合，则点表示的数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据题意，设点表示的数为，根据平行线分线段成比例定理列方程即可求解．
【详解】解：设点表示的数为，
点A在数轴上表示的数是，且两条线段相互平行，
，即
解得，．
点表示的数为．
39．如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________．
【答案】
【分析】由题意得出，再代入求值即可．
【详解】解：∵直线，
，
∵，，，
，
．
40．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，，，则的长为______．
【答案】8
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得，再结合，，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴．
41．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长为________．
【答案】4
【分析】根据平行线分线段成比例得到，得到，结合即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
42．如图，，，．
(1)填空：的值为______；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用平行线分线段成比例，直接写出对应线段的比值；
（2）根据比值设参数，得出，再结合列关系求出．
【详解】（1）解：，，，
．
（2）解：据（1）可知，，
设，，
可得，
则．
43．如图，已知，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，，
(1)求的长；
(2)将图中与的交点记作，，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)
(2)的长为或
【分析】（1）根据线段的和差关系求出，根据平行线分线段成比例定理得出，即可求出的长；
（2）根据平行线分线段成比例定理得出，可得，分和两种情况，利用平行线分线段成比例定理及等边对等角，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
解得．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
如图，当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，当时，，
同理可得，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
综上所述：的长为或．
题型五、相似三角形的判定
44．如图，已知：在和中，，，，，若使，嘉嘉和琪琪分别添加如下条件，“嘉嘉：”，“琪琪：”，以下说法正确的是（ ）
A．嘉嘉对、琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对
C．嘉嘉和琪琪都对 D．嘉嘉和琪琪都错
【答案】C
【分析】利用相似的判定方法进行判断即可．
【详解】解：当时，
，，，，
，
，
；
当时，
，，，，
，
，
，
，
；
故两人的说法都正确．
45．如图，在五角星中，若，则下列选项中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】已知条件是黄金分割的典型定义式，意味着点是线段的黄金分割点，为较长段，该比值等于黄金比，五角星中各交点通常对应相应线段的黄金分割关系．
【详解】解：∵，
∴点是线段的黄金分割点，
选项A，变形为，表示是的黄金分割点，为较长段，符合五角星性质，选项正确，不符合题意；
选项B，左边为黄金比，在五角星中也是上的黄金分割点，与对称位置，对应较长段比例关系成立，选项正确，不符合题意；
选项C，两边分母相同，则需，即为中点，但在五角星中，和的长度不相等，因此该比例不成立，该式错误，符合题意；
选项D，变形为，表示是的黄金分割点，为较长段，符合五角星性质，选项正确，不符合题意．
46．下列条件中，不能判定的是（ ）
A．， B．
C．，且 D．，且
【答案】D
【详解】解： 选项A中，，两角分别相等；选项B中，三边成比例，均符合相似判定条件，
均可判定；
选项C中，且为成比例两边的夹角，
可判定.
选项D中，但不是成比例两边的夹角，
不能判定
47．如图，，点E在上，点F在上，相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
48．下列与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】两三角形相似需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可．
【详解】解：题干给出的三角形两边比为，夹角为，
选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意；
选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意；
选项C，三角形两边比为，夹角为，符合三角形相似的判定定理，故与原三角形相似，C符合题意；
选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意．
49．如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可．
【详解】 解： 由可得，
，
，
只有选项D符合题意．
50．如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ）
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
【答案】B
【分析】由对顶角相等及已知线段比例，利用相似三角形判定定理即可得出结论．
【详解】解：由图可知
即①和③相似．
51．如图，，，请你添加一个条件，使，这个条件是___________（写一个即可）．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】已知，，可得，要使，根据相似三角形的判定方法，只需再添加一组对应角相等或夹直角的两边对应成比例即可．
【详解】解：，，
，
若添加，
，，
；
若添加，
，，
；
若添加，
，，
．
52．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，即．如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离为_____________分米．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割点，配方法解一元二次方程知识．根据，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：根据题意有：，，，
∴，
整理得：，
解得：（负值舍去）．
53．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点B为的黄金分割点（），若，则的长为____．（结果保留根号）
【答案】/
【分析】根据黄金分割比例得到，据此求出的长，再由线段的和差关系求解即可．
【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），
∴，
∵，
∴，
∴．
54．如图，正方形网格上的三角形①，②，③中，与相似的是_______．（填序号）
【答案】①②/②①
【分析】设网格小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算出以及三角形①、②、③的三边长度，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断即可．
【详解】解：设网格小正方形的边长为1，
则在中，，，；
在三角形①中，三边长分别为，，2；
在三角形②中，三边长分别为，，4；
在三角形③中，三边长分别为，，6；
∵，，
∴三角形①和②都与相似，
∵三角形③的三边与的三边不对应成比例，
∴三角形③与不相似，
综上，与相似的是①②．
55．图中的三角形相似的是______．
【答案】（1）和（2）
【分析】通过判断三边是否对应成比例来确定相似三角形．
【详解】解：图（1）中；
图（2）；
图（3）；
图（4），
∵（1）和（2）中，
∴这两个三角形相似，
所以答案为（1）和（2）．
56．如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：．
【答案】证明：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【分析】根据两边成比例且夹角相等证明即可．
【详解】略
57．如下图，在中，E为上一点，连接，点F在线段上，且满足．求证：．
【答案】
证明：∵四边形是平行四边形，
，
．
，
，
．
【分析】由平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，再证明，即可证明．
【详解】略．
58．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接．
(1)若，则与是否相似？为什么？
(2)若，则与是否相似？为什么？
【答案】(1)与相似，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)与相似，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）根据两角相等，两三角形相似证明即可；
（2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
59．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：．
【答案】证明：，
，即，
又，
．
【分析】根据可得，结合可证．
【详解】略
60．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴．
【分析】由平行四边形的性质可得，可得，，即可证．
【详解】略
61．如图，中，，于点，于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形．
【答案】(1)证明：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)、、、
【分析】（1）证明即可；
（2）根据两组角对应相等，两三角形相似求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴
∴
∵
∴
综上所述，与相似的三角形有、、、．
62．在平面直角坐标系中，点A，C分别是y轴的正半轴和x轴的正半轴上的动点，四边形是矩形，反比例函数在第一象限的图象与边交于点P，与边交于点Q（P，Q不重合），连接．
(1)若点P的坐标为
①如图1，连接，则的面积为___________；
②如图2，当点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴时，求线段的长．
(2)如图3，若点P和点Q同时都在一次函数的图象上，且线段．
①求k的值．
②分别作点P和点Q关于直线的对称点，连接．若线段与此时反比例函数的图象有交点，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)①4；②4
(2)①24；②
【分析】（1 ）① 先用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，再根据面积公式计算即可；② 过点P作于点E，连结，，设，，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可；
（2 ）① 设，，根据，列方程求解，得到，从而得到，再将P，Q两点的坐标代入反比例函数的解析式，列方程求解， 解得答案；
② 分别求出线段与此时反比例函数的图象有交点的两个临界状态时的m的值，即可求得答案．具体是先求出，的坐标，求出直线的解析式，并利用一元二次方程根的判别式求出当直线与双曲线有唯一交点时的m的值，再根据轴对称的性质，求出点，在双曲线上时的m的值，最后根据图象即可得到答案．
【详解】（1）解：① 把的坐标代入，得，
，
反比例函数的解析式为，
设，
则，，
的面积为；
② 过点P作于点E，连接，，
四边形是矩形，
，，，，，
四边形和都是矩形，
，，，
设，，则，，，
，，
点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
即线段的长为4；
（2）解：① 设，，（），
，
，
解得，
，
，
，
点P和点Q都在反比例函数在第一象限的图象上，
，
解得，
∴；
② 由① 知，，，反比例函数解析式为，
对于直线，
当时，
当时，
，两点均在直线的上方，
点，均在直线的下方，
若线段与此时反比例函数的图象有交点，
则点，应都在第三象限，
过点P作轴，交直线于点M，连结，过点Q作轴，交直线于点N，连结 ，
直线与直线平行，且直线与x轴成角，
直线与x轴成角，
与直线成角，
点P和点Q关于直线的对称点，，
被直线垂直平分，
，
，
，
当时，
，且，
，即，
同理可得，，
当时，，
，且，
，即，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
令，
方程整理得，
当直线与双曲线只有一个交点时，，
即，
解得，
，
，
由对称性可知，当时，即直线经过原点时，点恰在反比例函数的图象上，
，
解得或11（舍去），
同时，
解得或10（舍去），
；
根据图形可得．
63．如图，在中，平分，点E在边上，且．求证：．
【答案】证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【分析】首先证明，再结合，即可证明结论．
【详解】略
64．完成以下问题
(1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ；
(2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可；
（2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：M为中点，
，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
设，则，
，
，，
，解得，
．
65．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)，
，
，
，
，是的中线，
，
，
，
又，
．
(2)
【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论；
（2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：在中，根据勾股定理，得，即，
，
由（1）知：，
，
，
．
是的中线，
，
．
，
，
，
，
．
66．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明：∵，
∴，即，
又∵，
∴；
(2)
【分析】（1）由，两边同时加，推得；结合已知边的比例关系，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得；
（2）由得对应角，结合对顶角，可证．根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
67．已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G．
【问题发现】
(1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______；
【拓展研究】
(2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______；
【解决问题】
(3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：．
【答案】(1)1
(2)
(3)证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案；
（2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案；
（3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）略
68．解答下列问题：
【思路梳理】
(1)如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____；
(2)如图2，在矩形中，，点、分别在边和的延长线上，连接，，求证：；
【问题解决】
(3)如图3，某生态园区计划修建一个形状为的绿地，其中，点在边上，且，连接米，以为边在左侧作等边，在点处修建一个观景亭，连接，沿铺设石子小路，沿修筑篱笆，将区域规划为郁金香园，为了节约成本，需要石子小路尽可能的短，请你帮助设计师求出当最小时，郁金香园（即）的面积．（观景亭的大小以及小路、篱笆的宽度均忽略不计）
【答案】(1)10
(2)证明：∵在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
(3)平方米
【分析】（1）得出，则，据此计算即可；
（2）先得出，再根据相似三角形的判定即可得证；
（3）先求出当点三点共线时，最小，再根据三角形的面积关系可得，进而可得的长，则可得的长、的面积，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵点在边上，且，
∴，
∵的边上的高与的边上的高相等，
∴，
∵的面积为25，
∴，
解得，
即的面积为10．
（2）证明：略．
（3）解：∵是等边三角形，米，
∴米，，
∴点在以点为圆心、长为半径的一段圆弧上，
∴由圆的性质可知，如图，当点三点共线时，最小，最小值为，
过点作于点，作于点，过点作，交延长线于点，
∴米，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
∴，
∵的边上的高与的边上的高相等，且，
∴，
∴，即，
∴米，则米，
又∵，
∴，
∴，
∴米，米，
∵，
∴，即，
解得或（不符合题意，舍去），
∴米，
∴米，
∴（平方米），
∵的边上的高与的边上的高相等，且，
∴，
∴平方米，
答：当最小时，郁金香园（即）的面积为平方米．
【点睛】本题的难点在于正确判断出点的轨迹，进而确定当最小时，点的位置．
69．在中，（），D为上一点，过点D作交于点E．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），连接，过点D作，若，连接和，
①求证：；
②若平分，，请直接写出的值（用含n的式子表示）．
【答案】(1)
证明：，
，
，
；
(2)①证明：，
，
，
又，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
②
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）①证明，推出，从而证明，得到，进而证明，由此得到，根据三角形外角性质得到结论；
②设、交于点M，根据角平分线得到，由，推出，进而得到，设，由，得，勾股定理求出，由，得，结合，得到，由此得到答案．
【详解】（1）略；
（2）①略；
②设、交于点M，
∵平分，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
70．探究及解决问题
(1)如图1，在中，，，点是平面内一动点，连接、，若，则的最大值为________；
【问题探究】
(2)如图2，在和中，，，，连接、，求证：；
【问题解决】
(3)如图3，某体育馆计划修建一个四边形运动场，沿对角线铺设一条小路，沿对角线修一条健身跑道，并对区域进行绿化，为了容纳更多的市民锻炼，要求健身跑道要尽可能的长，且保证绿化部分面积不变（即区域面积不变）．已知，，的面积为．求健身跑道长度的最大值．（小路和健身跑道的宽度忽略不计）
【答案】(1)
(2)证明：，
,
，
,
，
,
,
；
(3)
【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据题意得到点在以为圆心，为半径的圆上，且当三点共线，且点在的右侧时，有最大值，进而求出最大值即可；
（2）根据同角的余角相等推出，再根据三角形面积推出，进而变形得到，即可证明；
（3）过点作，取，连接、，由（2）同理可证，结合相似三角形性质推出，取的中点为，以为圆心，长为半径作，则在的弧上运动，当运动到时，最大，再结合勾股定理求解，即可解题．
【详解】（1）解：，，
，
点是平面内一动点，，
点在以为圆心，为半径的圆上，
当三点共线，且点在的右侧时，有最大值，
的最大值为；
（2）略
（3）解：过点作，取，连接、，
，，
，
，
的面积为．
由（2）同理可证，
，
取的中点为，以为圆心，长为半径作，则在的弧上运动，
当运动到时，最大，
，
，
，
，
即的最大值为．
题型六、相似三角形的性质
71．如图，在中，，点在边上，且．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】A
【分析】根据等边对等角得到，则可证明，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
72．如图，在网格中，A、B都在格点处，现要在线段上找一点C，使得，甲乙两位同学给出了各自的作法（P，Q也为格点），则下列说法正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错
【答案】C
【分析】甲同学：证出，根据相似三角形的性质可得甲是对的；乙同学：连接，分别求出的长，则可得垂直平分，再分别求出，的长，据此可得乙是对的．
【详解】解：甲同学：由图可知，，，，
∴，
∴，甲的作法是对的；
乙同学：如图，连接，
由图可知，，，，，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∴在中，，
在中，，
∴，乙的作法是对的．
73．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点E作于点G，根据正方形的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可．
【详解】解：过点E作于点G，
，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
正方形，
∴，，，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
74．如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个阴影小三角形的面积，，分别是1，4和25，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设三个小三角形的顶点分别为D、E、F、G、H、I，先由可判定；再根据的面积，可得这三个三角形的相似比；然后判定四边形与四边形均为平行四边形，利用平行四边形的性质得；设，用x表示出的长，进而得与的相似比，最后根据相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图所示：
由题意可得：，
，
，
（图中阴影部分）的面积分别是1，4和25，
它们的对应边的边长比为，
，
四边形与四边形均为平行四边形，
，
设，
则，
，
，
．
75．如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求解可判断A；根据三角形的中位线性质证得，再证明，，，然后根据直角三角形的性质和相似三角形的性质可判断B；先求得，，，过点B作交的延长线于点N，结合题意以及直角三角形的性质，利用全等三角形的判定证明得到，再证明，进而利用相似三角形的性质可判断C、D．
【详解】解：当时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵垂直，
∴，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
如图，过点D作交于点M，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，垂直，
∴，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故B正确，不符合题意；
当时，，
∴，，，
过点B作交的延长线于点N，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，故D正确，不符合题意；C错误，符合题意．
76．如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由三角形内角和定理可得，再结合相似三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴．
77．如图，，和分别是和的角平分线．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的对应边的比，对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比均等于相似比，由此即可求解．
【详解】解：∵，，，
又∵和分别是和对应角的角平分线，
∴，
即．
78．如图，在矩形中，连接，过点作，垂足为，交于点，如果，有下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①
【答案】C
【分析】利用矩形性质和平行线性质证明三角形相似，结合线段比例关系推导各结论依次判断即可．
【详解】解： 四边形是矩形，
，
，
，
∵，
，
，
，
，故①正确；
∵，
，
，即，故②错误；
，
，即，
，
在中，，
，
又，
，
，即，
，
，
，故③正确；
综上所述，正确的结论是①③．
79．正方形中，点E是上的一点，连接，过点B作于点G，交于点F，下列结论正确的个数为（ ）
①；
②；
③若E是中点，则
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】解：∵正方形，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
设正方形的边长为，
∵E是中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
综上，①②③都是正确的．
80．在等腰三角形中，，是边上的高，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为___．
【答案】
【分析】由旋转得，由等腰三角形三线合一得、；设、把、都用表示，再由中以为对应角确定比例，求出，最后在中用勾股定理求．
【详解】解：∵是边上的高，
∴是直角三角形．
由旋转的性质可知(如图)．
∵，
设，则，
∴．
∵，且，
∴点与点对应，．
∴，
∴．
在中，由勾股定理得
，
∴，
∴．
∴，
∴．
81．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．若，，则的长为__________．
【答案】9
【分析】首先证明，再证明，最后证明，解比例式即可．
【详解】解：菱形，，
，，，
∵
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
82．如图，在中，是的中点，，为边上的点，且，与、分别交于，点，则等于________．
【答案】
【分析】过点作交的延长线于点，证明，利用全等三角形性质得，， 再利用相似三角形性质分别求出、占的比例，最后计算比值．
【详解】解：过点作交的延长线于点，
，
设，则，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
83．如图，在中，是边上一点，平分交于点．若，，，则的长为________．
【答案】
【分析】先证明，得出，求出即可求出结论．
【详解】解：∵，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
∵，，
，
，
．
84．如图，在正方形中，是延长线上一点，连接，是边上一点，连接并延长交于点，且．若，则的值为__________．
【答案】2
【分析】延长交的延长线于点，先证明，得出，通过证明，得出与以及与的数量关系，设，，可表示出，，进而可表示出，，再证明，由，可得与的数量关系，即可得，最后证明，即可求解．
【详解】解：延长交的延长线于点，如图，
在正方形中，有，，，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，，
设，，则，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
整理：，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
85．已知，如图1，在矩形中，，，点E在上，且，点F在边上，从点D运动到点C，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，设．
(1)如图1，当点G落在上时，________，________；
(2)如图2，点E、G、B共线时，求x的值；
(3)如图3，点G在下方，当时，________．
(4)在整个变化过程中，当点F移动1个单位长度时，的中点H移动d个单位长度，直接写出d的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先证明，即可求解，再由勾股定理求解，再由勾股定理求解即可；
（2）证明即可求解；
（3）过点作交的延长线于点，过点作于点，先证明，再证明，即可求解；
（4）以点为坐标原点，射线方向为轴正方向，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，表示出运动前后点以及中点的坐标，再由两点之间距离公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
由旋转可得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：同上可得，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）解：过点作交的延长线于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
同（1）可证明，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
（4）解：以点为坐标原点，射线方向为轴正方向，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图：
由上可得，，，，
∴中点为
当点向右移动个单位时，对应点记为点，即，
则点向下移动个单位，对应点记为点，即，
∴此时的中点的对应点记为，
∴；
当点向左移动个单位时，对应点记为点，即，
则点向上移动个单位，对应点记为点，即，
∴此时的中点的对应点记为，
∴，
综上，d的值为．
题型七、相似三角形的实际应用
86．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据可得得到，再将代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，
∴，
∴，解得．
87．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法：如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观测井水水面D，视线与井口的直径交于点E，若测得米，米，米，则水面以上深度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】首先证明，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解．
【详解】解：由题意得：，，
，
∵
，
．
米，
，
解得 米．
88．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题通过已知条件证明，再由相似三角形对应边成比例最终求得的长度．
【详解】解：由题意得，，，
，
．
，，，
，解得．
89．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得出及，判定，利用对应边成比例求解．
【详解】解：由题意知：，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴ ．
90．为了测量河宽，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽________米．
【答案】
【分析】先求出，再根据平行线分线段成比例定理得，然后代入数据计算即可．
【详解】解：由题意得米，
∵，
∴，
∴米．
91．如图，一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸边每隔有一棵树，在河的北岸边每隔有一根电线杆．小丽站在离南岸的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为______．
【答案】
【分析】过点作，交于点，交于点，根据，得到，，然后利用相似比等于对应高的比列式计算即可．
【详解】解：过点作，交于点，交于点，
如图，设河的宽度为米，
∵河的两岸有一段是平行的，
∴，
∴，，
∴ ，即，
∴，
即河的宽度为米．
92．在综合实践课上，数学活动小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
活动主题
测量旗杆的高度
活动工具
标杆、卷尺
测量示图
测量过程
【步骤一】三次测量标杆BE的长度；
【步骤二】三次测量活动小组成员嘉嘉的身高（地面到眼睛的高度)；
【步骤三】将标杆竖立在嘉嘉和旗杆之间，嘉嘉适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上；
【步骤四】小组其他同学三次测出嘉嘉到标杆的距离，旗杆到标杆的距离；
【步骤五】将以上测量数据分别记录（单位：），如下表：
测量数据
第一次
第二次
第三次
嘉嘉身高（地面到眼睛）
标杆高度
嘉嘉到标杆距离
旗杆到标杆距离
解决问题
计算旗杆的高度
结合活动报告，完成下面的问题：
(1)根据记录数据，计算旗杆的高度；
(2)反思：测量数据时为什么要进行多次操作？（写出一条即可）
【答案】(1)
(2)多次测量取平均值，可以减小测量误差，使结果更可靠．
【分析】（1）先对三组数据分别取平均值，再由“眼睛、标杆顶端、旗杆顶端三点共线”过眼睛作水平线构造相似三角形，用对应水平距离与高度差成比例求出旗杆的高度；
（2）从减小误差、提高结果可靠性的角度说明多次测量的作用．
【详解】（1）解：三次测量数据的平均值分别为
，
同理，，，．
过点 作 ，交 于点 （如图），
∵ ，，，
∴ 四边形 是矩形，
∴ ，，．
∴ ．
∵ 点 、、 在同一条视线上，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 旗杆的高度为 ．
（2）解：测量中身高、标杆长、两段水平距离都可能存在读数与操作误差，
多次测量取平均值，可以减小这些误差对结果的影响，使测得的旗杆高度更可靠．
93．小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．
【答案】路灯的高度为
【分析】设，，先证明，进而可得x、y的关系式，再同理证明，又可以得到一个新的关于x、y的关系式，问题随之得解．
【详解】解：设，，根据题意有：，
∵，，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
同理可证明：，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得：，
答：路灯的高度为．
94．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具，图1为圭表示意图，某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度，如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度米）竖直放置在影长的最远端点处，此时标杆的影长为．经测量，米，米．
(1)根据以上信息，求旗杆的高度；
(2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，并用新测量的的长度与原数据进行计算，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
【答案】(1)米
(2)不能准确得到旗杆的高度．理由如下：
间隔半小时后，太阳的位置已经发生了明显的偏移，此时测得的数据已经和同一时刻对应的标杆影长不匹配了，无法得到对应的相似三角形了，因此无法准确得到旗杆的真实高度了．
【分析】（1）直接根据同一时刻太阳光线平行的特点，利用相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据不同时刻太阳光线不平行，就不能得到对应的三角形相似，据此解答即可．
【详解】（1）解：同一时刻太阳光线平行，
由题意可知：
（米）
（2）详解见答案．
题型八、位似
95．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点A，O，三点在同一直线上
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，点A，O，三点在同一直线上，，
，即，
∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意．
96．如图，已知 与 是位似图形，点 是位似中心，若 是 的中点，则 与 的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似的性质解题即可．
【详解】解：由题意知，，，且相似比为，
∴与的面积比是．
97．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结果．
【详解】解：，
和的相似比为，
．
98．如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质列方程求解即可．
【详解】解：和是以点O为位似中心的位似三角形，
，
，，
，
．
99．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可．
【详解】解：∵ 以原点为位似中心，相似比为，把缩小．
∴ 点的对应点的坐标为或．
即或．
100．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点三点在同一条直线上
C． D．
【答案】C
【分析】根据位似图形性质，相似比为，对应边比为，对应点连线过位似中心，对应边互相平行，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此选出错误选项．
【详解】由题意知，与是位似图形，把放大为原图形的2倍得到，
因此相似比为．
选项A、因为相似图形的对应边成比例，所以，选项A正确；
选项B、因为位似图形的对应点的连线经过位似中心，因此点在同一直线上，选项B正确；
选项C、因为位似图形的周长比等于相似比，所以，选项C错误；
选项D、因为位似图形的对应边互相平行，所以，选项D正确．
101．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点位似，点、的坐标分别为、，如果四边形的面积为3，那么四边形的面积是_____．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质，位似图形是相似图形，其面积比等于相似比的平方，由对应点 和 的坐标求出相似比即可求解．
【详解】解：四边形与四边形关于原点位似 ，
四边形四边形 ，
点的坐标为，点的坐标为 ，
相似比为 ，
，
四边形的面积为 ，
四边形的面积．
102．如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，，五边形的面积为S，则五边形的面积为______（用含S的代数式表示）．
【答案】
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴五边形与五边形的位似比为，
∵五边形的面积为S，
∴五边形的面积为．
103．如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，位似比的绝对值即为相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵与关于原点O位似，
∴，
∵位似比是，
∴相似比为，
∴与的面积比为．
104．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________．
【答案】
【分析】利用位似图形的性质，可得与相似，再利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：与是位似图形，
，，
，
，
，
．
105．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的；
(2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2；
(3)若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标：
【答案】(1)
(2)
(3)
位似中心的坐标为．
【分析】（1）因为点平移后对应点为，所以可确定平移规则为向左平移3个单位、向上平移1个单位；将的三个顶点按此规则平移，得到对应点坐标后顺次连接，即可画出平移后的．
（2）因为以为位似中心、在轴右侧作相似比为2的位似图形，所以可利用位似变换的坐标规律，将原三角形各顶点的横、纵坐标同时乘以2，得到对应点坐标后顺次连接，即可画出．
（3）因为位似中心是两组对应顶点连线的交点，所以连接与两组对应顶点，两条连线的交点即为位似中心，再根据坐标系读出的坐标．
【详解】（1）解：由点平移后得到，
可知平移规则是：所有点向左平移3个单位，向上平移1个单位．
根据原顶点坐标、、，
计算平移后对应点坐标：
，，，
在坐标系中描出三点并顺次连接，就得到．
（2）解：以原点为位似中心，在轴右侧作相似比为2的位似图形，
位似变换规则是将原图形各点横、纵坐标都乘2：
可得，
，
点坐标保持不变，
描出三点顺次连接，就得到符合要求的．
（3）解：位似图形的位似中心是两组对应顶点连线的交点：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴延长到Q使，
再延长，，
这三条线交于点Q，点就是位似中心，
∵，
∴轴，，
∴，
∴．
106．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出以原点O为位似中心，将在第二象限内放大2倍的；
(2)若内部有一点，则点P在内部的对应点的坐标为________；
(3)与的面积比是________．
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)
(3)
【分析】（1）把点A，B，C的横坐标分别乘以可得它们的对应点，，的坐标，描出，，，并顺次连接，，即可；
（2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标；
（3）根据相似三角形的性质求解．
【详解】（1）略
（2）解：点P在内部的对应点的坐标为；
（3）解：∵放大2倍得到
∴和的相似比为
∴与的面积比是．
107．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．
(1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使得它与位似（A、B、C的对应点分别为D、E、F）且相似比为．
(2)在（1）的条件下，若为内一点，请写出点在内的对应点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点，再顺次连接即可得出答案；
（2）由（1）知把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．
【详解】（1）略
（2）解：点为内一点，则点在内的对应点坐标为．
108．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将以点为旋转中心逆时针旋转得到图形，画出；
(2)以原点O为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
(3)与的面积比为________．
【答案】(1)如图所示：
(2)如图所示：
；
(3)．
【分析】（1）分别作出点，点绕点逆时针旋转得到的对应点，依次连接即可；
（2）分别连接，，并延长到，，，依次连接即可；
（3）根据面积比等于相似比的平方解答．
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）解：由（2）可知，相似比为，
．
1．如图，在菱形中，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速平移，速度为；过点作，交于点．点停止运动时，点也随之停止运动．连接．设运动时间为（），解答下列问题：
(1)当为何值时，？
(2)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)当为何值时，四边形的面积为菱形面积的；
(4)若为上一点，，点的速度改为，其它条件不变，当为何值时，能够使得值最小？
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
(4)
【分析】1）根据题意，，由可得，则，代入求解出即可；
（2）连接并延长，交的延长线于点，由平移的性质可得，，从而得到，计算得，，由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，由平行可判定，代入求解出即可；
（3）连接交于点O，根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，求出菱形的面积，可知四边形的面积分两部分根据相似三角形的判定和性质求出和的面积，得到四边形的面积，进而列方程求解即可；
（4）作F关于的对称点，根据菱形的对称性可知在线段上，则，可知当点、N、P共线，且时，的值最小，连接交于点O，由（3）知，根据菱形的性质得到，则，证明，，由求出，由求出，根据求解即可．
【详解】（1）解：∵在菱形中，，
∴，
由题意可知，，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴当时，；
（2）解：如图，连接并延长，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，即，
即，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得
∴当时，点在的平分线上；
（3）解：如图，连接交于点O，
∵在菱形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积为菱形面积的，
∴，
作交于点M，
可知，
∴
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
作交于点，可知，，
∴
∴，
即，
∴
∴，
∴，
解得：（舍去），
即当为何值时，四边形的面积为菱形面积的；
（4）解：作F关于的对称点，根据菱形的对称性可知在线段上，则，
可知当点、N、P共线，且时，的值最小，
如图，连接交于点O，由（3）知，
∵菱形，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，同理可得，
∵
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∵
∴．
2．在中，，，，点是边上的一个动点，过作，为垂足，在线段上取，连接，作，交射线于点，交射线于点．
(1)如图1所示，求证：；
(2)设，，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)当时，求线段的长．
【答案】(1)证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
(2)，；
(3)或.
【分析】（1）根据等边对等角，以及角的和差关系推出，再根据，即可得证；
（2）勾股定理求出的长，证明，得到，进而得到，，根据，得到，推出，得到，即可得出函数关系式，根据点的位置，以及线段的长为正数，列出不等式求出自变量的范围即可；
（3）根据，求出，分两种情况，进行求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是边上的一个动点，且，
∴，，
解得；
（3）解：由（2）可知，，，
∵，
∴，
∴，
当点在的延长线上时，则，
∴，解得；
当点在上时，则，
∴，解得；
综上：或.
3．已知：如图1，梯形，，
(1)若延长，交于点，过点的一条直线交、于点、（如图2），则线段、、、之间必有如下比例式：（结论1），请证明此结论；
(2)简单模仿：
若连接、交于点，过点的一条直线交、于点、（如图3），请直接写出线段、、、之间必成立的比例式：________（结论2）
(3)拓展应用：
请仅用一把无刻度的直尺在图1中画一条直线（直线与梯形上下底的交点分别为点和点），该直线把梯形的面积平分，并说明理由．（保留作图痕迹，无需作法，说理时如有需要可直接引用上述结论）
【答案】(1)证明：∵，
∴，
∴，
∴；
(2)；
(3)解：连接，交于点，延长，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，则即为所求，如图：
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
设梯形的高为，则梯形和梯形的高为，
∵
∴，
∴平分梯形的面积．
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质可得出答案；
（3）连接，交于点，延长，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，则即为所求，证明，，根据梯形的面积公式得到，可得答案．
【详解】（1）略；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（3）略
4．综合与实践课上，同学们以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
(1)【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形，则___________．
(2)【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由．
(3)【解决问题】如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心（即正方形两条对角线的交点），连接，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)解：仍然成立，理由如下：
图1中，，，
，
，
图2中，由旋转可得：，
，
，
由（1）知，
；
(3)的长为或
【分析】（1）证明，由相似三角形的性质计算即可得解；
（2）图1中，，，则，推出，图2中，由旋转可得：，推出，进而可得，由相似三角形的性质计算即可得解；
（3）分两种情况：①如图3，当点在线段上时，连接、；②如图4，当点在线段延长线上时，连接、；分别利用正方形的性质、相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：在矩形中，，
∴，
∴
，
，，
，
又，
，
，
，
，
即；
（2）略
（3）解：分两种情况：①如图3，当点在线段上时，连接、，
四边形，四边形为正方形，
，，
，
，
，
，，
，
；
②如图4，当点在线段延长线上时，连接、，
四边形，四边形为正方形，
，，
，
，
，
，，
，
，
综上所述，的长为或.
5．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，沿向匀速运动，运动速度为5单位，同时点从点出发，沿向匀速运动，运动速度为单位，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．
(1)线段的长为_____；
(2)为何值时，点在的垂直平分线上？
(3)连接、、，设的面积为，求与之间的函数关系式；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，点在的垂直平分线上
(3)
(4)的值为或
【分析】（1）作于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果；
（2）由题意可得，，，作于点，作于点，由（1）可得，，由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可得，证明，得出，代入计算即可得出结果；
（3）由题意可得，，，作于点，作于点，由（1）可得，，证明，求出，由勾股定理可得，求出，，再由计算即可得出结果；
（4）由题意可得，，，，作于点，作于点，由（1）可得，，证明，求出，由勾股定理可得，求出，，由勾股定理可得，作于点，则四边形为矩形，从而可得，，，由勾股定理可得，再分三种情况，结合勾股定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：如图，作于点，
∵在四边形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得，，
∴，
如图，作于点，作于点，
由（1）可得，，
∵点在的垂直平分线上，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理可得，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴当时，点在的垂直平分线上；
（3）解：由题意可得，，
∴，
如图，作于点，作于点，
由（1）可得，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
综上所述，；
（4）解：由题意可得，，
∴，，
如图，作于点，作于点，
由（1）可得，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
作于点，则
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点、、为顶点的三角形是直角三角形，
∴当时，，
∴，
解得（不符合题意，舍去），；
当时，，
∴，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），；
由题意可得，不可能为直角；
综上所述，的值为或．
6．问题探究：
(1)如图1，已知等腰直角，，．为斜边上一点，连接，过作，且，得到，连接，则__________，的度数为_________；
对比辨析：
(2)如图2，已知，，．为斜边上一点，连接，过作，且，得到，连接，求的度数；
变式拓展：
(3)如图3，已知，，．为上一点，连接，过作，且，得到，连接，，请写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，再证明得出，，即可得解；
（2）证明，得出，再结合，计算即可得出结果；
（3）证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵等腰直角，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）略．
7．问题探究
(1)如图1，在中，，过点C作，交的延长线于点D，则的长为______；
(2)如图2，在中，，点D在边上，过点D作于点E．若，，，求的长；
问题解决
(3)某养鱼场为进一步加强对鱼场的监测，准备安装两个监测探头．如图3，为鱼场，点D、点E是准备安装的两个监测探头，按照设计要求：监测点D到北门B点的距离要与相等（），监测点E监测AC的视角要与南门C点监测的视角相等（），且A、D、E三点共线．为节约成本，还要使得C点到E点铺设的电缆最短．已知，，．求满足设计要求的情况下，当最短时的长．
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用等角的余角相等求得，即可求得；
（2）证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）推出，求得，延长交于点，在射线上截取点，使，再证明，推出，得到点在过点且与垂直的直线上运动，作交直线于点，当点与点重合时，最短，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，则的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴点在以点为圆心，为半径的上，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
延长交于点，在射线上截取点，使，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在过点且与垂直的直线上运动，
作交直线于点，当点与点重合时，最短，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
连接交于点，
∴，
∵，
∴．
8．在菱形中，，点E在对角线上，点F，G分别在边上，且，连接，延长交于点P．
(1)如图1，当A，E重合时，求证：是等边三角形．
(2)如图2，已知．
①若，，求的长；
②连接，当时，求的值．
【答案】(1)证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，即是等边三角形；
(2)①8；②
【分析】（1）由菱形的性质得到，证明是等边三角形，得到；证明，得到，则可证明是等边三角形，即是等边三角形；
（2）①如图，在上截取，连接，易得是等边三角形，再证明可得，即；由可得，进而求得，最后利用线段的和差求解即可；②如图：在上截取，连接，结合（2）①可得，再利用相似三角形的性质可得；设，则，，，进而得到，，，最后代入化简即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：①如图：在上截取，连接，
由（1）知是等边三角形，
∴，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
菱形 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②如图，在上截取，连接，
同理可得是等边三角形，
∴，
由（2）①知是等边三角形，
∴，
根据（2）①得，
，
∴，
∴，
当时，则，
∴，
设，则，
根据（2）①得，
∴，
∴，，，
．
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专题01 相似三角形的性质与判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、 成比例的线段 1
题型二、 比例的性质 2
题型三、 相似多边形 3
题型四、 平行线分线段成比例 5
题型五、 相似三角形的判定 8
题型六、 相似三角形的性质 16
题型七、 相似三角形的实际应用 20
题型八、 位似 23
B综合攻坚・能力跃升
题型一、成比例的线段
1．如图是由小正方形组成的网格，点A，B，C，D，E，F均在格点上，，网格中的这两个三角形相似吗?请说明理由．
2．下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
3．已知线段a，b，c，d是成比例线段，，且a，b，c的长度分别为1，2，4，则d的长为（ ）
A．2 B．4.5 C．18 D．8
4．下列四条线段a，b，c，d中，不是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
5．下列四组数中，成比例的一组是（ ）
A．1，2，4，5 B．2，3，3，6 C．1，2，2，4 D．2，4，8，18
6．下列各组线段中，成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
7．已知为成比例线段，其中，则的长度为__________．
8．已知四条线段、、、成比例，则的值为______．
9．已知线段，，则，的比例中项线段为__________．
题型二、比例的性质
10．若四条线段满足，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
11．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
13．已知（），则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．如果，则___________．
16．如果，那么直线必过______象限．
17．已知：，，求、、的值．
18．已知：，且，求a，b，c的值．
题型三、相似多边形
19．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．四个内角对应相等的两个四边形 B．四条边对应成比例的两个四边形
C．一个内角对应相等的两个菱形 D．一条边对应相等的两个矩形
20．下列各组图形属于相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
21．在研究相似问题时，两位同学的观点如下：
甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．
对以上两人的观点，下列判断正确的是（ ）
A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对
22．如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（ ）
A． B． C． D．
24．如图所示，四边形四边形，，则（ ）
A． B． C． D．
25．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的周长比为___________．
26．如图，四边形与四边形相似，且A、B、C、D分别与、、、对应，则的度数是__________．
27．如图四边形四边形，依据所标数据，解答下列问题．
(1)求的度数．
(2)求边x，y的长．
28．数学活动课上，老师布置了一个任务：在长为6，宽为2的矩形纸片内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，甲同学的设计方案如图①，乙同学的设计方案如图②．请你判断选择谁的方案剪下的两个矩形的周长之和最大，并说明理由．
题型四、平行线分线段成比例
29．如图，已知，，，则的长为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．18
30．图1是某班级摆放绿植的花架，其侧面示意图如图2所示，已知，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
31．如图，，若，，，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
32．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
33．如图，已知直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
34．如图，，若，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
35．如图，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
36．如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
37．已知线段、、，求作线段，使得的是（ ）
A． B．
C． D．
38．如图，小钦使用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A在数轴上表示的数是且点与刻度尺上的0刻度重合，则点表示的数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
39．如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________．
40．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，，，则的长为______．
41．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，则的长为________．
42．如图，，，．
(1)填空：的值为______；
(2)若，求的长．
43．如图，已知，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，，
(1)求的长；
(2)将图中与的交点记作，，当为等腰三角形时，求的长．
题型五、相似三角形的判定
44．如图，已知：在和中，，，，，若使，嘉嘉和琪琪分别添加如下条件，“嘉嘉：”，“琪琪：”，以下说法正确的是（ ）
A．嘉嘉对、琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对
C．嘉嘉和琪琪都对 D．嘉嘉和琪琪都错
45．如图，在五角星中，若，则下列选项中错误的是（ ）
A． B． C． D．
46．下列条件中，不能判定的是（ ）
A．， B．
C．，且 D．，且
47．如图，，点E在上，点F在上，相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
48．下列与图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
49．如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
50．如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ）
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
51．如图，，，请你添加一个条件，使，这个条件是___________（写一个即可）．
52．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，即．如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离为_____________分米．
53．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点B为的黄金分割点（），若，则的长为____．（结果保留根号）
54．如图，正方形网格上的三角形①，②，③中，与相似的是_______．（填序号）
55．图中的三角形相似的是______．
56．如图，在中，、分别是、边上的点，，，，．求证：．
57．如下图，在中，E为上一点，连接，点F在线段上，且满足．求证：．
58．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接．
(1)若，则与是否相似？为什么？
(2)若，则与是否相似？为什么？
59．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：．
60．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：．
61．如图，中，，于点，于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形．
62．在平面直角坐标系中，点A，C分别是y轴的正半轴和x轴的正半轴上的动点，四边形是矩形，反比例函数在第一象限的图象与边交于点P，与边交于点Q（P，Q不重合），连接．
(1)若点P的坐标为
①如图1，连接，则的面积为___________；
②如图2，当点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴时，求线段的长．
(2)如图3，若点P和点Q同时都在一次函数的图象上，且线段．
①求k的值．
②分别作点P和点Q关于直线的对称点，连接．若线段与此时反比例函数的图象有交点，请直接写出m的取值范围．
63．如图，在中，平分，点E在边上，且．求证：．
64．完成以下问题
(1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ；
(2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长．
65．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
66．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
67．已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G．
【问题发现】
(1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______；
【拓展研究】
(2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______；
【解决问题】
(3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：．
68．解答下列问题：
【思路梳理】
(1)如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____；
(2)如图2，在矩形中，，点、分别在边和的延长线上，连接，，求证：；
【问题解决】
(3)如图3，某生态园区计划修建一个形状为的绿地，其中，点在边上，且，连接米，以为边在左侧作等边，在点处修建一个观景亭，连接，沿铺设石子小路，沿修筑篱笆，将区域规划为郁金香园，为了节约成本，需要石子小路尽可能的短，请你帮助设计师求出当最小时，郁金香园（即）的面积．（观景亭的大小以及小路、篱笆的宽度均忽略不计）
69．在中，（），D为上一点，过点D作交于点E．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），连接，过点D作，若，连接和，
①求证：；
②若平分，，请直接写出的值（用含n的式子表示）．
70．探究及解决问题
(1)如图1，在中，，，点是平面内一动点，连接、，若，则的最大值为________；
【问题探究】
(2)如图2，在和中，，，，连接、，求证：；
【问题解决】
(3)如图3，某体育馆计划修建一个四边形运动场，沿对角线铺设一条小路，沿对角线修一条健身跑道，并对区域进行绿化，为了容纳更多的市民锻炼，要求健身跑道要尽可能的长，且保证绿化部分面积不变（即区域面积不变）．已知，，的面积为．求健身跑道长度的最大值．（小路和健身跑道的宽度忽略不计）
题型六、相似三角形的性质
71．如图，在中，，点在边上，且．若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
72．如图，在网格中，A、B都在格点处，现要在线段上找一点C，使得，甲乙两位同学给出了各自的作法（P，Q也为格点），则下列说法正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错
73．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
74．如图，点是内一点，过点分别作直线平行于的各边，所形成的三个阴影小三角形的面积，，分别是1，4和25，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
75．如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F，则以下结论错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
76．如图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
77．如图，，和分别是和的角平分线．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
78．如图，在矩形中，连接，过点作，垂足为，交于点，如果，有下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①
79．正方形中，点E是上的一点，连接，过点B作于点G，交于点F，下列结论正确的个数为（ ）
①；
②；
③若E是中点，则
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
80．在等腰三角形中，，是边上的高，将线段绕点逆时针旋转，点旋转到点，与边交于点，且，如果与相似，那么的值为___．
81．如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．若，，则的长为__________．
82．如图，在中，是的中点，，为边上的点，且，与、分别交于，点，则等于________．
83．如图，在中，是边上一点，平分交于点．若，，，则的长为________．
84．如图，在正方形中，是延长线上一点，连接，是边上一点，连接并延长交于点，且．若，则的值为__________．
85．已知，如图1，在矩形中，，，点E在上，且，点F在边上，从点D运动到点C，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，设．
(1)如图1，当点G落在上时，________，________；
(2)如图2，点E、G、B共线时，求x的值；
(3)如图3，点G在下方，当时，________．
(4)在整个变化过程中，当点F移动1个单位长度时，的中点H移动d个单位长度，直接写出d的值．
题型七、相似三角形的实际应用
86．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A． B． C． D．
87．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法：如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观测井水水面D，视线与井口的直径交于点E，若测得米，米，米，则水面以上深度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
88．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
89．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
90．为了测量河宽，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使，并使点，，和点，，分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽________米．
91．如图，一条河的两岸有一段是平行的．在河的南岸边每隔有一棵树，在河的北岸边每隔有一根电线杆．小丽站在离南岸的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为______．
92．在综合实践课上，数学活动小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
活动主题
测量旗杆的高度
活动工具
标杆、卷尺
测量示图
测量过程
【步骤一】三次测量标杆BE的长度；
【步骤二】三次测量活动小组成员嘉嘉的身高（地面到眼睛的高度)；
【步骤三】将标杆竖立在嘉嘉和旗杆之间，嘉嘉适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上；
【步骤四】小组其他同学三次测出嘉嘉到标杆的距离，旗杆到标杆的距离；
【步骤五】将以上测量数据分别记录（单位：），如下表：
测量数据
第一次
第二次
第三次
嘉嘉身高（地面到眼睛）
标杆高度
嘉嘉到标杆距离
旗杆到标杆距离
解决问题
计算旗杆的高度
结合活动报告，完成下面的问题：
(1)根据记录数据，计算旗杆的高度；
(2)反思：测量数据时为什么要进行多次操作？（写出一条即可）
93．小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小言测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度．
94．圭表是中国古代根据日影长度变化测定季节、划分四季和推算历法的工具，图1为圭表示意图，某同学受到启发，利用一根标杆和一个卷尺轻松测量出学校旗杆的高度，如图2，旗杆的影长在水平地面上，将标杆（长度米）竖直放置在影长的最远端点处，此时标杆的影长为．经测量，米，米．
(1)根据以上信息，求旗杆的高度；
(2)若该同学在操作过程中，测量完的长度后，准备测量的长度时，发现卷尺不够长，又去寻找更长一点的卷尺，半小时后回来测量的长度，并用新测量的的长度与原数据进行计算，请问这样可以准确得到旗杆的高度吗？简单说明理由．
题型八、位似
95．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点A，O，三点在同一直线上
C． D．
96．如图，已知 与 是位似图形，点 是位似中心，若 是 的中点，则 与 的面积比是（ ）
A． B． C． D．
97．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
98．如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
99．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
100．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ）
A． B．点三点在同一条直线上
C． D．
101．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点位似，点、的坐标分别为、，如果四边形的面积为3，那么四边形的面积是_____．
102．如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，，五边形的面积为S，则五边形的面积为______（用含S的代数式表示）．
103．如图，已知与关于原点O位似，且位似比是，则与的面积比为______．
104．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________．
105．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出上述平移后的；
(2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2；
(3)若与是关于某一点为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标：
106．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出以原点O为位似中心，将在第二象限内放大2倍的；
(2)若内部有一点，则点P在内部的对应点的坐标为________；
(3)与的面积比是________．
107．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．
(1)以原点为位似中心，在轴的左侧作，使得它与位似（A、B、C的对应点分别为D、E、F）且相似比为．
(2)在（1）的条件下，若为内一点，请写出点在内的对应点的坐标．
108．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将以点为旋转中心逆时针旋转得到图形，画出；
(2)以原点O为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
(3)与的面积比为________．
1．如图，在菱形中，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速平移，速度为；过点作，交于点．点停止运动时，点也随之停止运动．连接．设运动时间为（），解答下列问题：
(1)当为何值时，？
(2)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)当为何值时，四边形的面积为菱形面积的；
(4)若为上一点，，点的速度改为，其它条件不变，当为何值时，能够使得值最小？
2．在中，，，，点是边上的一个动点，过作，为垂足，在线段上取，连接，作，交射线于点，交射线于点．
(1)如图1所示，求证：；
(2)设，，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)当时，求线段的长．
3．已知：如图1，梯形，，
(1)若延长，交于点，过点的一条直线交、于点、（如图2），则线段、、、之间必有如下比例式：（结论1），请证明此结论；
(2)简单模仿：
若连接、交于点，过点的一条直线交、于点、（如图3），请直接写出线段、、、之间必成立的比例式：________（结论2）
(3)拓展应用：
请仅用一把无刻度的直尺在图1中画一条直线（直线与梯形上下底的交点分别为点和点），该直线把梯形的面积平分，并说明理由．（保留作图痕迹，无需作法，说理时如有需要可直接引用上述结论）
4．综合与实践课上，同学们以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
(1)【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形，则___________．
(2)【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由．
(3)【解决问题】如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心（即正方形两条对角线的交点），连接，若，，求的长．
5．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，沿向匀速运动，运动速度为5单位，同时点从点出发，沿向匀速运动，运动速度为单位，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为．
(1)线段的长为_____；
(2)为何值时，点在的垂直平分线上？
(3)连接、、，设的面积为，求与之间的函数关系式；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
6．问题探究：
(1)如图1，已知等腰直角，，．为斜边上一点，连接，过作，且，得到，连接，则__________，的度数为_________；
对比辨析：
(2)如图2，已知，，．为斜边上一点，连接，过作，且，得到，连接，求的度数；
变式拓展：
(3)如图3，已知，，．为上一点，连接，过作，且，得到，连接，，请写出与的数量关系，并说明理由．
7．问题探究
(1)如图1，在中，，过点C作，交的延长线于点D，则的长为______；
(2)如图2，在中，，点D在边上，过点D作于点E．若，，，求的长；
问题解决
(3)某养鱼场为进一步加强对鱼场的监测，准备安装两个监测探头．如图3，为鱼场，点D、点E是准备安装的两个监测探头，按照设计要求：监测点D到北门B点的距离要与相等（），监测点E监测AC的视角要与南门C点监测的视角相等（），且A、D、E三点共线．为节约成本，还要使得C点到E点铺设的电缆最短．已知，，．求满足设计要求的情况下，当最短时的长．
8．在菱形中，，点E在对角线上，点F，G分别在边上，且，连接，延长交于点P．
(1)如图1，当A，E重合时，求证：是等边三角形．
(2)如图2，已知．
①若，，求的长；
②连接，当时，求的值．
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