考点04 相似三角形的性质4题型突破+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级下册

考点04 相似三角形的性质 考点一：对应线段的比等于相似比 性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 其中 AD、A′D′ 是对应边上的高，AM、A′M′ 是对应边上的中线，AE、A′E′ 是对应角的平分线。 考点二：周长比等于相似比 性质定理2 相似三角形的周长比等于相似比。 证明：设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，记 a = BC，b = CA，c = AB，则 a = ka′，b = kb′，c = kc′，所以 【要点】 周长比等于相似比，是“一次”关系，不要平方。 已知周长比就等于已知相似比，可以由此出发求面积比。 三条边都按同一比例缩放，是“周长比等于相似比”的根本原因；这也是全等三角形周长相等的原因。 考点三：面积比等于相似比的平方 性质定理3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 推导：S△ABC = ·BC·AD，S△A′B′C′ =·B′C′·A′D′，两式作比得 考点四：推广：相似多边形的周长比与面积比 两个相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 理由：一幅相似多边形可以分割成若干对相似三角形，所有对应线段都按同一相似比 k 缩放，各边的和（即周长）按 k 缩放；每一对三角形的面积按 k² 缩放，求和后的总面积也按 k² 缩放。 【要点】 结论对一切相似图形成立：相似三角形、相似四边形、相似圆（半径比 k，面积比 k²）。 题目只给出一个图形的面积和相似比时，先求出另一个图形的面积，再处理“面积和、面积差”。 不规则图形只要相似，“面积比 = 相似比的平方”就直接可用，不必真的去算面积。 题型一：由相似比求对应线段 ① 先按相似式写清对应关系，再写“对应线段之比 = 相似比”，不要凭图形大小估计。 ② 已知一条线段、一条对应高（或中线、角平分线）和相似比，用一个比例式即可求出其余对应线段。 ③ 求“小三角形”中的量用除以 k，求“大三角形”中的量用乘以 k，方向不能反。 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知两个相似三角形相似比是，那么对应高的比是________． 2．已知，相似比为． (1)如果与分别为这两个三角形的对应高，且，求的长． (2)如果与分别为这两个三角形的对应中线，且，求的长． (3)如果与分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值． 3．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 4．（2025九年级·全国·专题练习）在中，．矩形DEFG的顶点D，G分别在边AC，BC上，EF在边AB上． (1)点C到AB的距离为_______． (2)如图①，若，求矩形DEFG的周长． (3)如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为_______． 5．（2024·贵州遵义·一模）阅读应用： 将生活中的问题抽象为数学问题的数学思想叫做建模思想．解决几何问题时，构建平面直角坐标系，利用坐标将图形的线段或角用数或式子表示，再根据相关几何关系、数量关系就可以利用代数方法解决几何问题，这就是平面几何解析思想，也是几何问题代数化的一种常用的转化思想． 生活现象： 如图1，在一直角边分别为20米、40米的直角三角形草地上修建正方形花坛，要求正方形与直角三角形的直角顶点重合，有一个直角顶点在斜边上，问：应怎样修建？ 【数学问题】 （1）如图2，以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，，求直线的函数解析式． 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，P为边上任意一点，过点P作，作，垂足分别为C，D，设点P的横坐标为t，那么可以用t表示出，当四边形是正方形时，请求出的长． 【初步应用】 （3） 如图3，在中，，当四边形是正方形时，______．（第3问不写解答过程） 题型二：周长比与相似比的互化 ① 周长比 = 相似比，一步到位；已知周长比也就是已知相似比。 ② 题干给“周长和”“周长差”时，按相似比设份数（如 3x、4x），列一次方程求解。 ③ 同一题中周长比与面积比同时出现，先用周长比定 k，再用 k² 得面积比。 6．（2025·天津红桥·一模）若两个相似多边形的相似比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A．1 B．2 C． D． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_________． 9．（26-27九年级上·全国·阶段检测）如果两个相似三角形的对应中线之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为________． 10．已知，，，，的周长为45，求的三边长． 11． （24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 题型三：面积比与相似比的互化 ① 面积比 = k²：见面积比先开方，见相似比先平方，两个方向都要练熟。 ② 开方结果写成最简整数比。 ③ 题目不给相似比时，面积比就是求 k 的“桥”；不给面积时，用 k² 直接算出面积比。 12．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，若，且，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 14．（24-25九年级上·河北唐山·期末）两个相似多边形的面积比是，其中较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·广东珠海·一模）如果，相似比为，且的面积为4，那么的面积为______． 16．（2025·江苏扬州·二模）如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为_____． 17．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，求． 18．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． (1)求证：； (2)若，，的面积为20，求的面积． 19．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： (1)的长度； (2)三角形与三角形的面积之比． 题型四：相似比与面积的最值 ① 先设“动线段”为 x，再用相似（或比例式）把另一条线段也用 x 表示。 ② 把面积写成关于 x 的二次函数，配方求顶点，或用“和一定时积最大”求最值。 ③ 别忘定义域：动线段必须落在边的范围内，最值点要落在定义域内才可取。 ④ 常用结论：三角形内接矩形的最大面积等于原三角形面积的一半。 20．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？ 21．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 22．材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令  ∴ ∴  ∴，∴的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： 如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．    (1)若，求矩形的面积； (2)设，求矩形的面积最大值． 23．如图，在中，，高．矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H．    (1)若矩形为正方形，求该正方形的边长． (2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值． 24．（25-26九年级上·河北邢台·期末）【典题重现】 课本中P91有一道例题，如图1，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长应为多少毫米？ 【变式拓展】 若从这块余料裁出一个矩形材料，其余条件不变，如图2，求这个矩形材料的最大面积． 25．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．设，． （1）______（用含的式子表示）； （2）这个矩形的最大面积是______． 26．（2026·辽宁丹东·一模）随着健康中国理念深入人心，全民健身需求日益增长，某小区物业决定在一块空地上修建运动场地．如图所示，为这块空地，已知空地的面积为，的长为，现计划在这块空地上修建一个矩形的运动场地，使在边上，点、点分别在边、边上． (1)求的边上的高； (2)为了充分利用空地，要使矩形运动场地的面积最大，求出其最大面积． 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）两个相似多边形的面积比为，其中较大的多边形的周长为，则较小的多边形的周长为______． 2．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若，且，且的周长为，求的周长． 3．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦与相交于点P，连接． (1)求证：； (2)判断当为何值时，． 4．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，连接．若，， (1)求的长． (2)若的面积为，请求出的面积 5．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 6．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：： (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 7．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． (1)求与的周长比； (2)若的面积是，求的面积． 9．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，分别为，，边的中点．求： (1)的周长与的周长之比； (2)的面积与的面积之比． 10．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，高线、交于点．    (1)求证：； (2)若，，，求． 11．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 12．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）【数学问题】如图，三角形中，，是边上的高且．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接交于E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求的长． 【问题迁移】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式=． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 (3)如图2，在三角形铁板中，，是边上的高且．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接交于E．若工人想在三角形铁板中切取一个矩形，请问的长为多少时，该矩形面积有最大值． 13．（26-27九年级上·湖南常德·阶段检测）如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 相似三角形的性质 考点一：对应线段的比等于相似比 性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 其中 AD、A′D′ 是对应边上的高，AM、A′M′ 是对应边上的中线，AE、A′E′ 是对应角的平分线。 考点二：周长比等于相似比 性质定理2 相似三角形的周长比等于相似比。 证明：设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，记 a = BC，b = CA，c = AB，则 a = ka′，b = kb′，c = kc′，所以 【要点】 周长比等于相似比，是“一次”关系，不要平方。 已知周长比就等于已知相似比，可以由此出发求面积比。 三条边都按同一比例缩放，是“周长比等于相似比”的根本原因；这也是全等三角形周长相等的原因。 考点三：面积比等于相似比的平方 性质定理3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 推导：S△ABC = ·BC·AD，S△A′B′C′ =·B′C′·A′D′，两式作比得 考点四：推广：相似多边形的周长比与面积比 两个相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 理由：一幅相似多边形可以分割成若干对相似三角形，所有对应线段都按同一相似比 k 缩放，各边的和（即周长）按 k 缩放；每一对三角形的面积按 k² 缩放，求和后的总面积也按 k² 缩放。 【要点】 结论对一切相似图形成立：相似三角形、相似四边形、相似圆（半径比 k，面积比 k²）。 题目只给出一个图形的面积和相似比时，先求出另一个图形的面积，再处理“面积和、面积差”。 不规则图形只要相似，“面积比 = 相似比的平方”就直接可用，不必真的去算面积。 题型一：由相似比求对应线段 ① 先按相似式写清对应关系，再写“对应线段之比 = 相似比”，不要凭图形大小估计。 ② 已知一条线段、一条对应高（或中线、角平分线）和相似比，用一个比例式即可求出其余对应线段。 ③ 求“小三角形”中的量用除以 k，求“大三角形”中的量用乘以 k，方向不能反。 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知两个相似三角形相似比是，那么对应高的比是________． 【答案】 【详解】解：∵两个相似三角形相似比是， ∴对应高的比是， 故答案为： ． 2．已知，相似比为． (1)如果与分别为这两个三角形的对应高，且，求的长． (2)如果与分别为这两个三角形的对应中线，且，求的长． (3)如果与分别为这两个三角形的对应角平分线，求的值． 【答案】(1)的长为（或） (2)的长为 (3)的值为 【详解】（1） 解：∵，相似比为 又∵与分别为两个三角形的对应高， ∴ ∵， ∴， 解得； （2）解：∵，相似比为 又∵与分别为两个三角形的对应中线， ∴ ∵， ∴， 解得； （3）解：∵，相似比为 又∵与分别为两个三角形的对应角平分线， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，中，，高， 矩形的两个顶点E、F在上， 另两个顶点G、H分别在上， 且， 求四边形的面积． 【答案】 【详解】解：∵， 设． ∵四边形 是矩形，中，高， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴， 则四边形的面积． 答：四边形 的面积为． 4．（2025九年级·全国·专题练习）在中，．矩形DEFG的顶点D，G分别在边AC，BC上，EF在边AB上． (1)点C到AB的距离为_______． (2)如图①，若，求矩形DEFG的周长． (3)如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：． 【提示】如图①，过点C作于点M， 在中， ∴， ∵， ∴， 解得：． 解：如图①，过点C作于点M，交DG于点N． 由（1）得． 四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ， ． 设，则， 解得， 矩形的周长为． （2）． 【提示】过点C作于点M，交DG于点N，如图②． 矩形的周长是DE长的8倍， 设，则， 由（2）知， ，解得，即， 矩形的周长是． 5．（2024·贵州遵义·一模）阅读应用： 将生活中的问题抽象为数学问题的数学思想叫做建模思想．解决几何问题时，构建平面直角坐标系，利用坐标将图形的线段或角用数或式子表示，再根据相关几何关系、数量关系就可以利用代数方法解决几何问题，这就是平面几何解析思想，也是几何问题代数化的一种常用的转化思想． 生活现象： 如图1，在一直角边分别为20米、40米的直角三角形草地上修建正方形花坛，要求正方形与直角三角形的直角顶点重合，有一个直角顶点在斜边上，问：应怎样修建？ 【数学问题】 （1）如图2，以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，，求直线的函数解析式． 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，P为边上任意一点，过点P作，作，垂足分别为C，D，设点P的横坐标为t，那么可以用t表示出，当四边形是正方形时，请求出的长． 【初步应用】 （3）如图3，在中，，当四边形是正方形时，______．（第3问不写解答过程） 【答案】（1）  （2）  （3） 【详解】解：（1）以O为原点，射线分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系，，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）∵直线的解析式为，设点P的横坐标为t， ∴， ∵， ∴， 当四边形是正方形时，， ∴， 解得，，即； （3）∵， ∴，是等腰三角形， 如图所示，过点作于点，交于点， ∴， 在中，， 当四边形是正方形时，， ∴， ∴， 同理，，且， ∴四边形是矩形， ∴设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 题型二：周长比与相似比的互化 ① 周长比 = 相似比，一步到位；已知周长比也就是已知相似比。 ② 题干给“周长和”“周长差”时，按相似比设份数（如 3x、4x），列一次方程求解。 ③ 同一题中周长比与面积比同时出现，先用周长比定 k，再用 k² 得面积比。 6．（2025·天津红桥·一模）若两个相似多边形的相似比为，则它们的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据周长比等于相似比，即可作答． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的周长之比为， 故选：B 7．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形与四边形的周长之比为． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵五边形与五边形的周长比为， ∴五边形与五边形的相似比为， ∴的值为． 故答案为：． 9．（26-27九年级上·全国·阶段检测）如果两个相似三角形的对应中线之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为________． 【答案】20 【详解】解：两个相似三角形的对应中线之比为， 两个相似三角形的相似比为， 两个相似三角形的周长之比为， 设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为， 由题意，得 ， 解得， 因此较小三角形的周长为． 10．已知，，，，的周长为45，求的三边长． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴的周长为， ∵，的周长为45， ∴， 即， ∴． 11．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 【答案】这两个三角形的周长为和 【详解】解：设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的周长比为，     ∴， 解得，则， 故这两个三角形的周长为和． 题型三：面积比与相似比的互化 ① 面积比 = k²：见面积比先开方，见相似比先平方，两个方向都要练熟。 ② 开方结果写成最简整数比。 ③ 题目不给相似比时，面积比就是求 k 的“桥”；不给面积时，用 k² 直接算出面积比。 12．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，若，且，则的面积与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：B． 13．（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 14．（24-25九年级上·河北唐山·期末）两个相似多边形的面积比是，其中较大多边形的周长为，则较小多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：两个相似多边形的面积比是， 两个相似多边形的相似比是， 两个相似多边形的周长比是， 设较小多边形的周长为为， 由题意得，， 解得，， 故选：A． 15．（2026·广东珠海·一模）如果，相似比为，且的面积为4，那么的面积为______． 【答案】16 【详解】解：，相似比为， ， ， ． 16．（2025·江苏扬州·二模）如图，四边形与四边形关于点位似，且．若四边形的面积为3，则四边形的面积为_____． 【答案】12 【详解】解∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，m ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为：12． 17．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，求． 【答案】 【详解】解： 设，则 ． 四边形ABCD是平行四边形， ， ． 18．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． (1)求证：； (2)若，，的面积为20，求的面积． 【详解】(1)证明：， ， 即， ， ． （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ，，， ， ． 19．（25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： (1)的长度； (2)三角形与三角形的面积之比． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 即三角形与三角形的面积之比为． 题型四：相似比与面积的最值 ① 先设“动线段”为 x，再用相似（或比例式）把另一条线段也用 x 表示。 ② 把面积写成关于 x 的二次函数，配方求顶点，或用“和一定时积最大”求最值。 ③ 别忘定义域：动线段必须落在边的范围内，最值点要落在定义域内才可取。 ④ 常用结论：三角形内接矩形的最大面积等于原三角形面积的一半。 20．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？ 【答案】这个矩形面积最大时，它的长为，宽为 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ． 设，则， ， 解得， 矩形的面积 ， 时，有最大值24， 即的长为，的长为，矩形面积最大． 答：这个矩形面积最大时，它的长为，宽为 21．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 【答案】 【详解】解：交于， 设，， ∵矩形， ∴， ∵在中，是高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，此时． 22．材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令  ∴ ∴  ∴，∴的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： 如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．    (1)若，求矩形的面积； (2)设，求矩形的面积最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵为高， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 整理得：， 解得：， 即， ∴矩形的面积； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积最大值为． 23．如图，在中，，高．矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H．    (1)若矩形为正方形，求该正方形的边长． (2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值． 【答案】(1) (2)当时,矩形的面积有最大值 【详解】（1）解：设该正方形的边长为， ∵矩形为正方形， ∴， ∴， ， ， ， 答：该正方形的边长为． （2）由(1)中的得 ， ， ， ， ， 当时,矩形的面积有最大值． 24．（25-26九年级上·河北邢台·期末）【典题重现】 课本中P91有一道例题，如图1，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长应为多少毫米？ 【变式拓展】 若从这块余料裁出一个矩形材料，其余条件不变，如图2，求这个矩形材料的最大面积． 【答案】[典题重现]；[变式拓展] 【详解】解：[典题重现] ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形零件的边长为，则， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴这个正方形零件的边长是； [变式拓展] 解：设，同（1）可得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， ∵， ∴当时，矩形面积最大，最大面积是． 25．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件如图，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上．设，． （1）______（用含的式子表示）； （2）这个矩形的最大面积是______． 【答案】 2400 【详解】（1）解：如图所示， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：矩形面积， 故当时， 此时矩形的面积最大，最大面积为． 故答案为：2400． 26．（2026·辽宁丹东·一模）随着健康中国理念深入人心，全民健身需求日益增长，某小区物业决定在一块空地上修建运动场地．如图所示，为这块空地，已知空地的面积为，的长为，现计划在这块空地上修建一个矩形的运动场地，使在边上，点、点分别在边、边上． (1)求的边上的高； (2)为了充分利用空地，要使矩形运动场地的面积最大，求出其最大面积． 【答案】(1)的边上的高为 (2)矩形的面积最大为 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵空地的面积为，长为210m ∴ ∴ ∴ 答：的边上的高为120m． （2）解：设交于点，的长为， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴拋物线开口向下， ∴当时，四边形面积最大，即 答：矩形的面积最大为． 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）两个相似多边形的面积比为，其中较大的多边形的周长为，则较小的多边形的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴相似比为， ∴周长比为， ∵较大的多边形的周长为， ∴较小的多边形的周长为． 2．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若，且，且的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，则，，， ． （2）解：设的周长为，则 ， ． 的周长为． 3．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，弦与相交于点P，连接． (1)求证：； (2)判断当为何值时，． 【详解】（1）解：证明：（同弧所对的圆周角相等）， ． （2）解：由（1）知，， ，即， （负值已舍）， 即当时，． 4．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，连接．若，， (1)求的长． (2)若的面积为，请求出的面积 【答案】(1)10 (2)50 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，即，解得：． （2）解：∵，， ∴的相似比为， ∴，即， 解得：， ∴的面积为50． 5．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【详解】(1)证明：， ， 即， 又， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 6．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：： (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 【详解】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【详解】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． (1)求与的周长比； (2)若的面积是，求的面积． 【答案】(1)与的周长之比为 (2)的面积为 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴与的周长比为； （2）解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴， ∵的面积是， ∴的面积为． 9．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，分别为，，边的中点．求： (1)的周长与的周长之比； (2)的面积与的面积之比． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，，分别为，，边的中点．， ，，，， ，， ， ， 即的周长与的周长之比为． （2）解：由（1）知， ， 即的面积与的面积之比为． 10．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，高线、交于点．    (1)求证：； (2)若，，，求． 【详解】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 11．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】(1)，． (2)①； 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：①如图：连接， ∵，， ∴， ∴． ②证明：由①知， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）【数学问题】如图，三角形中，，是边上的高且．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接交于E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求的长． 【问题迁移】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式=． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 (3)如图2，在三角形铁板中，，是边上的高且．P，N分别是边上的点，Q，M是上的点，连接交于E．若工人想在三角形铁板中切取一个矩形，请问的长为多少时，该矩形面积有最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，； ∵是边上的高，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，即； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，； ∵是边上的高，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，即； 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，； ∵是边上的高，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，即； 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当，即时取得等号， ∴当时，该矩形面积有最大值． 13．（26-27九年级上·湖南常德·阶段检测）如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 【答案】(1)或或（填一个即可） (2)①②6 (4) 【详解】（1）解：或或．理由如下： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴． （2）解：①由题意，∵， ∴． ∵， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴四边形的面积的面积； （3）证明：∵， ∴，， ∴，． ∴； （4）解：如图，过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $