专题03 相似三角形的性质及判定综合（题型专练）数学新教材人教版九年级下册

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 相似三角形的性质及判定综合 (题型突破举一反三) 】题型01对应线段（高、中线、角平分线）之比等于相似比 典例精析 【典例1】 【答案】C 【详解】解：，两个相似三角形的面积之比为25：9， .相似比为5：3 对应边上的高之比为5：3 举一反三 【变式11】 【答案】C 【详解】解：：△ABC△A'B'C',AD和D'是对应中线，AD=10,A'D'=6, .两个三角形的相似比为AD:AD'=10:6=5:3, .对应角平分线的比为5：3 【变式1-2】 【答案】4：3 【详解】解：，两个三角形相似，相似三角形对应中线的比和对应高的比都等于相似比. :已知两个相似三角形对应中线之比为4：3 它们对应高的比等于相似比，为4：3。 【变式13】 【答案】(1)见详解：(2)MN=√5 【详解】(1)证明：矩形ABCD ,∠ADC=LABC=90°，AD∥BC, .∠DAC=∠ACB」 1150 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,MN垂直平分对角线AC, .∠MOC=90° ·.∠MOC=∠ADC=90°， .OMC△DCA (2)解：：矩形ABCD,AB=2,BC=4, .AB=CD=2,AD=BC=4.AC=AD2+CD2=22+4=25, :MN垂直平分对角线AC, 5∠M0c-40N=0,01=0c=4c=5, ,∠DAC=∠ACB. ·aOMC≌aONA(ASA). ∴.ON=OM, :△OMCr△DCA, OM OC CD AD' OM 5 2 4 解得OM=5 ∴.ON=OM= √5 2, ..MN=ON+OM=5 题型02周长比与面积比 典例精析 【典例2) 【答案】A 【详解】解：AABCAA'B'C',相似比为3：2， △ABC与△AB'C'的周长的比为3：2. 三举一反目 2150 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式21】 【答案】D 【详解】解：，两个相似三角形的面积比为：2， 相似比为1：√2 它们的周长之比为1：√2 【变式22】 【答案】30 【详解】解：△ABCOADEF,S。ABc:SDEF=1:4, ∴两三角形的相似比为V1:√4=1：2 ,相似三角形的周长比等于相似比， C.ABC=1 C.DEF :C。Aac=l5cm, .Cper=15×2=30(cm). 【变式23】 【答案】(1)10：(2)50 CD CE 3 【详解】(1)解： CACB5'∠ECD=∠BCA' .△ECD∽△BCA, ED CD 3 6 3 ABCA5,即AB5,解得：AB=10 ED CD 3 (2)解：“△ECD∽△BCA'ABCA5 广△ECD∽△BCA的相似比为5： 、2 3 189 即 S。BCA 25解得SC4=50 .△ABC的面积为50 3150 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型03在网格中画与已知三角形相似的三角形 三典例精析 【典例3】 【答案】见详解 【详解】(1)解：根据题意，画图如下： 则 即为所求； △BDE (2)解：根据题意，画图如下： c则点F,点 即为所求 F 举一反目 【变式3-1】 【答案】(1见详解 【详解】(1) 如图所示： △ABD 图1 (2)根据图形可知△ABC的三边长分别为V2,2,V10, 相似三角形对应边成比例， 设△4BC1的三边分别为V2k,2k,V10k,k≠0， 正方形网格中最长线段长V52+52=√50=5√2， :k的最大值为V5, 此时△4B,C的三边分别为V10,25,5√2， 4/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图所示： △AB,C A 图2 *2x1=1, 1 S48G=k2SMBc=5x1=5」 【变式3-2】 【答案】见详解 【详解】(1)解：BC2=5,AC2=20,AB2=25, :AB2=AC2+BC2, .∠ACB=90°，AC=2BC, :CD=1,DE=2,CE=V5,∠CDE=90°， ·.DE=2CD, 如图， 即为所求， △CDE B E (2)解：由图 可得： AD B AD∥CE ∴.△ADP∽△CEP AP AD 1 PC CE 3 S4P=} SBCP 3 【变式3-3】 5150 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】()2： (2)3)见详解 【详解】(1)解：AB∥CD. ∴.△AEBP△DEC, BE AB ·.CECD AB=1,CD=2, BE 1 .'CE 2' 故答案为：2 (2)如图②，点 即为所求： F 图② (3)如图③，点 即为所求 C D M 图③ 1题型04相似三角形结合动点问题 三典例精析 【典例4) 【答案】D 【详解】解：：BP=3tcm,AQ=2tcm,AB=10cm, .AP=(10-3t)cm :∠PAQ=∠BAC, 6150 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·分两种情况讨论。 当△AP2aABC时， APA0 10-3t2t ABC,即 20 10 8, 解得t= 11 当△APO∽△ACB时， AP AO 10-3t2t 50 AC AB 即 810,解得1= 23 2050 综上所述，当，为i或23时，△APQ与。ABC相似， 举一反目 【变式41】 30 【答案】4或6或 【详解】解：设BP=x,则DP=BD-BP=10-x, 分两种情况： BP AB 30 当△PABn△PCD时，DPCD,即10-x8:解得x 11 BP AB x 3 当△PABn△CPD时，DCPD,即810-x,解得x=4或x=6 30 综上可知， BP为4或6或T时，APAB与aPCD是相似三角形， 【变式42】 3212 【答案】四1或3：Q1斤或5 【详解】(I)解：四边形ABCD是矩形， .∠ABC=∠BCD=90°， .BC=VAC2-AB2=V102-62=8, 设t秒后△PCQ的面积为3， ∴.BP=2t,CQ=t, :PC=BC-BP=8-2t, 7150 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的面积为，PCC9=。x(8-2t) :△PCQ的面积为3， ∴.-t2+4t=3,解得t=1或t=3, ∴经过1或3秒时，△PC卫的面积为3： (2)解：经过1秒时，由C、PQ三点组成的三角形与△ABC相似， 由(1)得CQ=t,PC=8-2t,BC=8, ①当△ABC∽△PCQ时， AB BC 68 PC-CO8-217 ,解得1=32 11 ②当△ABCOAOCP时， AB_BC、68 OC CP1-2解得13 3212 综上可知经过1行或5秒时，由C、P、Q三点组成的三角形与。ABC相似. 【变式43】 【特米102m(02-0)m:@汽，=3时，P0半分ABC面锅：61-0 11 【详解】(1)解：根据题意得，CP=2tcm,BQ=tcm, ..Co=BC-BO=(12-t)cm; (2)解：AC=9cm,BC=12cm, “点0到C点的时间为12÷1=12(S),点P到4点的时间为9÷2=4.5(S), :P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动. .0≤t≤4.5， :·PQ平分△ABC的面积， .5-7S c 22-小-*x9x2, 22 8150 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 t2-12t+27=0,解得4=3,43=9（舍）， ·.当t=3时，PO平分△ABC面积： (3)解：∠C=∠C, ∴.以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况， CP-C≌ 情况一：当△CPO∽△CAB时，则CACB· 2t12-t, 36 912，t= 11: CP CO 情况=：当△CPQ∽△CBA时，则CBC4, 2t_12-t 24 129,1= 5 .0≤t≤4.5， ·此情况不符合实际情况， 36 综上所述，当I=1时，以C、R、为顶点的三角形与。4BC相似. 题型05相似三角形结合圆问题 典例精析 【典例5】 169 【答案】（四见详解：(2②）10 【详解】(1)证明：连接 AE B ,以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点D、E, AE⊥BC, ..BE=CE. ∴.AE垂直平分BC, 9150 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=AC (2)解：，AB=AC ∴.∠ABC=∠ACB BE=CE,BC=13, E=cE-号c-2 1 2 ,以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点D、E, .∠CDB=90° ,∠AEB=∠CDB=90° .△ABEABCD AB BE :BC CD 13 AB-2, 解得4B=169 13 5 10 举一反王 【变式5-1】 【答案】1)见详解：(2)⊙0的半径为4 【详解】(1)证明：D为弧EF的中点， .ED=FD ·.∠CAD=∠BAD .OA、OD都是⊙O的半径， ∴.OA=OD. ∴.∠BAD=∠ODA, ∴∠CAD=∠ODA, .AC∥OD (2)解：设⊙O的半径为T,则OA=OD=OE=r .'.OB=OE+BE=r+4,AB=AE+BE=2r+4, .AC∥OD .△BOD∽△BAC. 10/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OD BO AC BA' OD=r,AC=6,B0=r+4,BA=2r+4, rr+4 小62+4：解得，=4,5=3（伴径不为负数，舍去）， 将r=4代入原方程分母21+4，得2×4+4=12≠0， ·r=4是原分式方程的解： .⊙0的半径为4. 【变式52】 9 【答案】CD的长为3 【详解】解：连接AD,BC, C B 在⊙O中，∠A与∠C均对BC, ∴∠A=∠C 又'∠AED=∠CEB, .，∴AEDACEB AE DE 2 DE CE BE,即35， 解得DE= 3 1019 ..CD=CE+DE=3+ 33 19 答：CD的长为3： 【变式5-3】 【答案】(1)45°：(2)2 【详解】(1)解：~BC是⊙0的直径， .∠BAC=90° 11/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC, :.AB=AC, ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴.∠ABC=45° AC=AC, .∠ADC=∠ABC=45° (2)连接BD,如答图. 是等腰直角三角形， .△ABC .BC=√AB2+AC2=VAB2+AB2=√2AB, :BC是⊙O的直径， ∴.∠BDC=90° BE⊥AD .∠AEB=90°， ∠BDC=LAEB」 ∠BCD=∠BAE, .△BCD∽△BAE, .CD:AE BC:BA=2:1. :AE=√2， .CD=2 题型06相似三角形结合四边形问题 三典例精析 【典例6】 【答案】()见详解：（②）3 12/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是矩形， ∠EAF=90°=LABC, ∠BAC+∠DAC=90°， EF⊥AC, ∴.∠APE=∠DAC+∠AFE=90°， .∠AFE=∠BAC, :∴.△AEF∽ABCA (2)解：AB=BP, ∴.∠BAP=∠BPA, :∠BAP+∠E=90°=∠BPA+∠BPE, .∠E=∠BPE .BP=BE, :.AB-BP-BE-TAE. 2 如图，设BC交FE于G, G 四边形 是矩形， ABCD AD∥BC,AD=BC, ∴.△EBG∽△EAF BG BE 1 AF AE 2 :.BG-IAF 2 AF-1AD. 1 ..BG=BC= AD 4 :.CG=BC-BG=34D 4 13/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .ADII BC, .△AFPACGP AP AF 2 PC GC 3 AD 3 举一反三 【变式6-1】 【答案】()见详解： (②AR=24 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD/BC,∠B+∠C=180°，AB=CD ADlIBC, ·∠ADF=∠DEC. :∠AFE+∠AFD=180°，∠B=∠AFE, .∠B+∠AFD=180° 又：∠B+∠C=180°， ∴∠AFD=∠C」 [∠ADF=∠DEC 在 ADF和aDEC中 ∠AFD=∠C ∴△ADFP△DEC」 (2)解：~四边形ABCD是平行四边形， .DC=AB=4. ,△ADF~△DEC, AF AD DC DE AD=6,DE=7,DC=4, 47· ÷AF=24 4 7 14/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式62】 68 【答案】四见详解：Q0E5): ②y= 25x+3x 24 12 【详解】(I)证明：过E作EG⊥CD交于G,作EH⊥BC交于H, D H 图1 ∴.∠BHE=∠FGE=∠CHE=90° :四边形ABCD是矩形， ∠HCG=90°， ∴四边形CGEH是矩形， ∴∠GEH=90°， ∴.∠FEG+∠FEH=90°. BE⊥EF, .∠BEH+∠FEH=90°， .∠BEH=∠FEG, 又：BE=EF, :.△BEH≌aFEG(AAS), ∴EH=EG, .EG⊥CD,EH⊥BC, .CA平分∠BCD: (2)解：①过E作EN⊥CD交于N,作EM⊥BC交于M, E BO M Cx 图2：AB=4BC=2 ∴A(0,4).C(2,0)」 15/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设直线AC的解析式为y=@+b, 2k+b=0 k=-2 b=4 解得b=4· ∴直线AC的解析式为y=-2x+4, 设E(m,-2m+4), .BM=m,EM=-2m+4, 同(1)可证，四边形EMCV是矩形， .EN CM=2-m,CN=EM=-2m+4, :EN⊥CD,EM⊥BC, ∴∠BME=∠FNE=90°， 同(1)可证，∠BEM=∠FEN, ∴.△BME AFNE, BM BE EM FN FE EN m BE -2m+4 “FNFE2-m =2, 2.FN 1 BE=2FE' :.BE2=4FE2 CF=CN-FN=-2m+4- m4、 1 2, :△EFC为等腰三角形， FE=CF=4- 5 在Rt△BME中，BE2=BM2+EM2, .BM2+EM2=4FE2, m+(-2m+42-44-5m月 6 42m整理得， 5m2-16m+12=0解得：m=5m,=2（舍去)， -2m+4=-2×6+4=8 6 5 16/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 68 55月 ②由①得， CF=4 56=1, 一X一 25 F(2,1), 68 E B(0,0) 55 ∴.设二次函数解析式为y=ax2+bx+c, 25 250+96 36.6, 8 a=- 24 5 5 解得1b= 1, 4a+2b=1 12 c=0 c=0 252 31 二次函数解析式为y=- -x"+ X 2412 【变式6-3】 【答案】(1)见详解；(2)6 【详解】(1)证明：：DE2=EF·AE, DE EF AE DE' :∠DEF=∠AED, △DEFAAED, .∠EDF=∠EAD :∠ABD=∠EAD. .∠ABD=∠EDF, .AB∥CD (2)解：△DEFP△AED,DE=4,EF=2, DF EF 2 1 AD DE 4 2 .DF AD 17/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠ABD=∠EAD,∠ADB=∠FDA, △ADBAFDA, AD DB DF+BF DF+9 DF AD AD AD .AD2=DF.(DF+9). 六40D合4D+9得D6AD=0去 ∴AD=6 题型07相似三角形结合反比例函数问题 E 典例精析 【典例7) 【答案】()-4,5：(2)x<-1或0<x<5:(3)存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似，点D的 坐标为(6,0)或(20,0) 【详解（山解：直线y:+h与双准线y交于点41-5) -5-1+65= -1 .b=-4,m=5: (②解：令x-4= x,解得x=5或x=-1 +h:受的解集为x<或0X5 (3)解：令x=0得y=0-4=-4, 令y=0得x-4=0,解得x=4, ∴.B(0,-4),C(4,0) ..OB=OC=4. .BC=VOC2+0B2=42, 18/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(-1,-5), AB=[0-(-I)]+[-4-(-5]=2. :∠OBC=∠OCB=45°， ∠AB0=135°， ∴要使点D、C、B构成的三角形与△OAB相似，则有∠BCD=135°， BC-CcD时， 42 CD OB AB 42’CD=2' 此时△BCD∽△OAB,点D的坐标为(6,0)： 当 BC CD 2 CD 时， AB OB √24’CD=16' 此时△DBC∽△OAB,点D的坐标为(20，O), 综上所述，存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似，点D的坐标为(6，O)或(20,0) 三举一反目 【变式7-1】 AD 3 【答案】四k=12:(②)DB2 【详解】(1)解：如图所示，过点A作AE⊥OB于E,OC与AE相较于点F,OC与AB相交于点D, 6 5 01234567 :OA=AB,等腰三角形三线合一， :.OE=BE=1OB=2. 在RtA0AE中：AE=V0AP-0E2=V(2W102-2=√40-4=6 ∴A(2,6) 19/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k k 把A2,6)代入y=:6=2,解得：k=12 (2)解：BC⊥OB,OB=4. .C点横坐标为4。 12 把x=4代入y=,得y=3C(4,3) 设直线OC解析式为y=mx,代入C(4,3): 3 3=4m’解得：m 4 3 :直线0Cy=4x. 4 把x=2代入=子，得= 3 , 交点F2, :OC与AE 39 AF=AE-EF=6- 22 :AE⊥OB,BC⊥OB,AE BC. ,.△AFDP△BCD(平行线得相似). 9 AD AF 2 3 DB BC 32 【变式72】 【答案】1)5：（②）kk2=16,3)见详解 【详解】(1)解：AB‖x轴，A(3,5), “点B的纵坐标为5，设B(亿，5)， AB=2, 3-b=2,解得b=1, .B(1,5), ·B(L,5)在反比例函数y=上 的图象上， 20/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :5 1 解得k2=5 ·k2的值为5. (②解：点4的横坐标为2，且点在反比例函数y=名(x>0)的图象上， 点的坐标为 A 2,2 ·AB‖x轴，AC∥y轴， ∴点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等， 点B的纵坐标为2，点c的横坐标为2， k :点BC在y=的图象上， 2k2 2,即。 k·yc= 2 :CD∥x轴， ∴点C与点D的纵坐标相等， 六点D的纵坐标为n=气， :点D在y=的图象上， ..XD= k D (2k k2 .AB=X4-X8 2(k-k2 k ,4C=4-o-5,点，CD=x- 2(飞-k) 2 k2 21/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△ABC∽△CAD. AB AC CA CD' 2(k-k) k-k2 2 k-k2 2(k-k2)' k2 4k2 k4' .kk2=16 (3)解：当点A在函数图象上运动时，点P在y轴上，理由如下： 如图所示， 设点的坐标为a,。 a :AB‖x轴，AC∥y轴， ∴点A与点B的纵坐标相等，点A与点C的横坐标相等， 一点B的纵坐标为 点C的横坐标为a a :点BC在y=是的图象上， 飞=店 a xB ,即Xg= :CD∥x轴， ,点C与点D的纵坐标相等， 22/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 六点D的纵坐标为 k2 a 点D在少=名的图象上， ak XD ·角军得寻：XD一化，· .D ak k2 k2’a .AB=x4-xg= a(k-k2) k 4C=,4-点，CD=-x-） a ABk上， CD k w(B+cD)-AC-传-)6-) 2k k2 根据题目条件得：AB‖CD, ,∠PBA=∠PCD,∠PAB=∠PDC, .△PBA△PCD, SPL-Scn-S形B四 SPCD S.PCD &SpcD-SB形8cD=S.noDf :S.PCD (长-)&-=3m )2 k(k-k2) 2k k2 2k2 SAPCD=SArc+SDC =54Ck,-)54c-(。-)54C(-) = 2 -点-x …2a（k 2k2 1（ak-xp= k a ka 飞-2=飞 k a k2' 23/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 卫=0， a :a≠0， .xp=0,即点P在y轴上， 当点A在函数图象上运动时当点A在函数图象上运动时，点P在y轴上， 【变式73】 【答案】1)8：(2(-2，-4)：24：3)存在，点B的坐标为(-4，-2)或(-2，-4) 【详解】(1)解：…A(a,4)在直线y=-x+6上， ∴.4=-a+6,解得a=2, A(2,4), ，得：4= 将A(2,4)代入y=m 2,解得m=8 (2)解：设直线A0的解析式为y=x, 将A(2,4)代入，得：4=2k,解得k=2, 直线AO的解析式为y=2x, 由山得反比例函数解析式为y=8 y=2x 联立 y= 8,解得x=2(舍去)，或x=-2 y=4 y=-4 :.点C的坐标为(-2，-4)： 令y=-x+6=0,解得x=6, .点B的坐标为(6,0) =5m+8By+号Bx6x4+分6x4=24, 2 24/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D y=-x+6 3③)解：联立y=8 ,解得x=2(舍去)，或x=4 y=4 y=2 点D的坐标为(4,2)： 设4(0别如0).如园袋0t证长5 .:∠AOF=∠AEO+∠EAO>∠AEO,∠DOF=∠DEO+∠EDO>∠DEO. .∠AOF+∠DOF>∠AEO+∠DEO,即∠AOD>∠AED, ∠AOD<90°， .∠AED<90° ∴△ADE为直角三角形时，∠EAD=90°或∠EDA=90°， 当∠EAD=90°时，如图，作直线I∥x轴，EM⊥I于点M,DN⊥I于点N, 则EM=4-8 ’AM=2-n’AN=4-2=2’DN=4-2=21 :∠EMA=∠AND=90°，∠EAM=∠ADN=90°-∠DAN, ∴.△EMAAAND」 25/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P 4- EM-AM,即n= 2-n,解得 或 (舍去)， AN DN 2 n=-4n=2 8=-2 n 点B的坐标为(-4，-2)： 当∠EDA=90°时，如图，作直线I∥y轴，EM⊥I于点M,AN⊥I于点N, 同理可证△EMD∽△DNA, EM_DM,即4-n_ 2、8 n,解得或（舍去）， DN AN 22 n=-2n=4 2-4 ∴点E的坐标为(-2，-4)， 综上可得，当点E的坐标为(-4，-2)或(-2，-4)时，△4DE为直角三角形 题型08相似三角形结合二次函数问题 典例精析 【典例8】 【案10p=+分42：@(6-10)0-1s:o. 【详解】(1)解：设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 根据题意可知，OA=OC=2,OB=4, 则点A的坐标为(-2,0)，点C的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,0) 将坐标代入抛物线的表达式， 26/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 a=- 4 1 可得4a-2b+c=0,解得b= 2 c=2 C=2 16a+4b+c=0 1 1 故抛物线的表达式为y=一 x2+5x+2 42 (2)解：已知OC=2,OB=4,设点P的坐标为(x,y), 如图，当点P位于y轴左侧时，过点P作PF⊥y轴， VA PF=-x,CF=2-y. ,∠PCO=∠ABC,∠PFC=∠COB. ∴.△PFC∽aCOB, PF CO -x1 :FC0B,即2-y2,可得-2x=2-y 则直线PC的解析式为y=2x+2, 代入y=- 2.可图2x+2++2,解有05 4 41 当x=0,y=2,此时点P与点C重合，舍去， 当x=-6,y=-10,此时点P的坐标为(-6，-10)： 如图，当点P位于y轴右侧时，过点P作PF上y轴， 27/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PF=x,CF=2-y, 同上可得△PFC∽aCOB, PF CO x 1 可得FCO8,即2-y2,可得2x=2-y: 则直线PC的解析式为y=-2x+2, 入少=x2+x+2,可得2x+2=-x2+x+2,解得x=0”5 4 2 当x=0,y=2,此时点P与点C重合，舍去， 当x=10,y=-18,此时点P的坐标为(10，-18)， 综上，点P的坐标为(-6，-10)或(10，-18)」 (3)解：如图，设点Q的坐标为(a,b),过点Q作QE⊥x轴，交BC于点N,连接A9,BQ,CQ, 连接AC并延长与EQ的延长线交于点M, 点Q为直线BC上方抛物线上一点，则0<a<4, ME⊥x轴， ∴.ME∥CO. ∴.∠ACO=∠AME, ∠OAC=∠EAM, ∴.△OAC△EAM, A0 OC 22 :AEME,即a+2ME解得MB=a+2 则点M的坐标为(a,a+2), .MO=ME-OE =a+2-b .S.ow-zxMQxOE-x(a+2-)xa, 1 28/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 So×M0×AE=)×(a+2-b)x(a+2). 1 S.4Co=S.MO-S.cve= (a+2-bx(a+2)-×a+2-创xa=a+2-b, 设直线BC的解析式为y=ka+n, k、1 将 代入，可得4+n=0,解得2， B(4,0)C(0,2) n=2 n=2 则直线BC的解析式为y=-)x+2, 当 ，y= =a 20+2,点N的坐标为a,2a+2 可得0v=b-(0+26+5a-2, 则amx08×0v=分4×b+0-2=20+a-4, Sce-S.4ce=2b+a-4-(a-b+2)=3b-6, 可知当b取最大值时，S。Bc0-SAcQ取得最大值， 抛物线y=一 +2=-开n下 4 2 4 9 当a=1时，b取得最大为4： 9 3 9 故S,B00-S40 的最大值为3× -6= 4 ,点Q的坐标为 举一反目 【变式81】 27 3 【答案】①2：②2：5 【详解】(1)解：当x=0时，y=3, .C(0,3),则0C=3, 2950 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 色，=0时，曲0=合女+分+3架得：-3成x-6 62 .A(-3,0),B(6,0) AB=9, m4800=9x3- 2 6 3 ·该抛物线的对称轴为直线X=2, :C(0,3),CD∥x轴， ·D(3,3),∠DCE=∠ABC, .CD=3, :DE∥AC, .∠DEC=∠ACB, .△DEC∽△ACB, SDEC CD S。ABC 7 SAABC=2 1273 .S.DEc=gx22. (3)解：如图，过点D作DF∥y轴交BC于点F,过点E作EH⊥DF于点H, y本 C D H A :DE∥AC,DF∥y轴， .∠EFD=LOCB,∠DEC=∠ACB,则LDEF=I80°-LDEC, 30/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴LDEF的度数不变，LEFD的度数不变， “在点D的移动过程中△DEF的形状保持不变， ∴当DF最大时，DE的长度也最大， 设直线BC的解析式为y=c+b, k=- 则6k+b=0,解得： b=3 b=3 ·直线BC的解析式为少= x+3 设点D的坐标 6 p(g3-名+=-+ <0 6 当x=3时，DF有最大值，此时，点D的坐标为(3,3)， ∴直线DE是由直线AC向右平移3个单位所得， 设直线AC的解析式为y=mx+n 「-3m+n=0 m=1 则 n=3 ,解得： n=3’ ∴直线AC的解析式为y=x+3, ∴直线DE的解析式为y=x+3-3=x, y=x 联立直线 的解析式和直线的解析式，得 1 x=2 DE BC y=- +3’解得 y=2 ·点E的坐标为(2,2)， “·DE的最大值=V(3-2)2+(3-2)=V2 【变式82】 27 (315 【爷】0y=-+2x+3:@△CPB面积的最大值为名，时，点P2日) (B)点 的坐标为： 31/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (0,2)或(0-2) 【详解】(1)解：C0=B0=3,则点C(03), 设抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3). 则-3a=3,则a=-1, 则抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3: (2)解：过点P作PH∥y轴交BC于点H, 设直线BC为y=a+b, :y=c+b过B(3,0),C(0,3), [3=b ÷0=3张+b:解得k=-1'b=3 直线BC的表达式为：y=-x+3, 设点P(x-x2+2x+3),则点H(x-x+3), 用ACPR面积=5x+5mm08r+2x+31) 8 7 则△CPB面积的最大值为 (3)解：设M的坐标为(0，m),在OC上取ON=OA=1,则N(0,1), 当点M在y轴的正半轴时， ON=OA=1.OC=OB=3.OC LAB. .AW=V1+12=√2，∠0CB=∠0BC=45°，∠0NA=∠OAN=45°，CN=3-1=2, MN=m-1, .∠OCB=∠ONA, 32/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠OCA=∠OCB-∠OMA, .∠OCA=∠ONA-∠OMA, ,∠OCA=∠ONA-∠CAN, .∠CAN=∠OMA, .∠ANM=∠CAN, .△AWM∽CMA. AN CN2 2 MN AN m-1V2,解得m -即 =2' ∴·M的坐标为(0,2)， A M 当点M(M2)在y轴负半轴时，点M(0,-2), 综上，点M的坐标为：(0,2)或(0，-2)」 【变式8-3】 【答案】（①） =+3r-4四1-0或-4oN0到0-引 【详解】(1)解：：OA=OC=4, .A(-4,0),C(0-4), 将点A、C代入y=x2+br+c, [16-4b+c=0 b=3 .c=-4 ,解得1c=4' y=x2+3x-4: (2)解：令x2+3x-4=0,解得x=-4或x=1, .BL,0), 如图，过点P作PG⊥x轴交于点G,过点O作QH⊥x轴交于点H, 33/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B PG∥QH, 设直线AC的解析式为y=x+b, -4k+b=0 k=-1 :b=-4，解得6=-4 ∴y=-x-4, 设P(t,+3t-4),直线BP的解析式为y=k+b', tk'+b'=t2+3t-4 [k'=t+4 .k'+b'=0 解得16=-1-4' ∴.y=(t+4)x-(t+4). t+5 联立方程组[y=-x-4 ，解得 -5t-20 y=(t+4)x-(t+4) y= t+5 .05,二20》 5t+5 :AC分△ABP的面积为3：5两部分， .Pg_3P2_5 B05或B03· PG∥QH. PO GH BO HB' t -t 3 当Pg_3时，GH3,可得 1+5 BO 5 HB 5 1-1 5,解得 或， t+5 t=-1t=-3 .P(-1,-6)或(-3，-4)： 3450 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 t +5 -t5 当P9_5时，GH3,可 1-t3 BO 3 HB 5 t+5 此时方程无解， 综上所述，P(-1,-6)或(-3,4)： (3)解：存在一点N,使得∠BC0+∠BN0=45°，理由如下： 在y轴上取点F(0,-1). 当N在y轴负半轴时，如图， B1,0),C(0,-4), BO=OF=1,BF=V√2，CF=3, ∴∠OFB=45° ∴.∠FBC+∠BCO=∠BFO=45°， :∠BCO+∠BNO=45°， ∴.∠BNO=∠FBC 又∠BFN=∠CFB, .ABFN∽ACFB, BF FN 2 FN ..CF BF ,即3=2 FV-2 ON=OF+FN=5 , 0引 当V在y轴正半轴时，记为W',如图， 35/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则N'和N关于x轴对称， 5 5 综上，N的坐标为 题型09相似三角形结合旋转问题 E 典例精析 【典例9】 【答案1003② 24410.12V10 5；(②) 5或 5 【详解】(1)解：①根据旋转得AC=CD=3,BC=CE=4,∠ACD=∠BCE, AC CD 3 …BC CE 4' .△ACDP△BCE, AD 3 BE4: ②AC=3,BC=4,∠ACB=90° 根据勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5. 过点C作CH⊥AB,交AB于点H, :S.ABC= CHAB=)4CBC,解得CH=号 ÷AH=VAC2-CH=9 1 :AC=CD,CH⊥AD 36/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴，AD=2AH= 18 5 AD 3 :BE4' .BE= 24 B (2)解：当顶点C,D在AB的异侧时，如图所示，连接AD,BE,H为AB、CD的交点，此时 CD⊥AB 则∠AHC=90°， 由4D得AH=5CH2 9 5 :.DHI=CD-CH=3-12_3 55 根据勾股定理，得AD=VAH+DH2 AD 3 同理(1)得BE4' ∴，BE= 4W10 5 B 当顶点C,D在AB的同侧时，直线CD垂直于AB,垂足为H, 则∠AHC=90°， 根据题意可知CH=!2 AH=9 37/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DH=CH+CD= 2+3=2 根据勾股定理，得AD=√AH+DH=, 27 2= 9W10 5 AD 3 同理(1)得BE4' .BE=12v10 所以BE=40成12W10 了或 举一反三 【变式9-1】 3V3+2 【答案】(1)6：(2)见详解：(3) 【详解】(1)解：∠A=∠E, .AB∥DE ,∠B=∠D .△ABC∽△EDC, AB AC 1 ED CE 2' ED=2AB=2×3=6: (2)证明：：△ABC∽△EDC, AC BC1 EC CD 2' :点F,G为CD,CB的中点， :.CG=1BC,CF=1CD. 2 2 38/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CG C BC 1 CF 2 1 CD CD2. AC CG …ECCF' AC EC CG-CF' :LACB=∠DCE, .LACE+∠ACD=∠ACD+∠FCG, ·∠ACE=LFCG, ∴.△ACE∽△GCF (3)解：取CD的中点H,作直线I过点P,H, :H是CD中点， :.CH=HD-CD-2. 2 EC=3, CH 2 EC3’ 设AC=3t,则BC=4t, P是CB的中点， CP=BC=21 CP 2t 2 AC3t3· CH CP EC AC' ,∠ACB=∠ECD=90° 3950 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠ACB-LACD=LECD-∠ACD, .∠ACE=∠PCH, .△ACEr△PCH, .∠CHP=∠CEA=30°. 即直线1与CD的夹角为30°， ,点P在直线I上， 过点C作直线I的对称点K,连接HK,EK,设直线I交EC的延长线于点S,直线I交EK于点O,连接 OC,如图所示： 由对称性可知，OC=OK,HC=HK,∠CHO=∠KHO=30°， ..CO+EO=KO+EO, 两点之间线段最短， ,当点P在点O处时，CP+EP最小，且最小值为EK的长度， :∠CH0=∠KH0=30°， ∴.∠CHK=60°， ,△CHK是等边三角形， .CH=CK=KH=2,∠CKH=60°， 如图，过点K作KM⊥CD于点M, 则cM-0H=1, ∠KMN=90°' .KM=CK?-CM2=3, ,∠CHS=30°，CH=2,∠SCH=180°-90°=90°， .SH =2CS, 根据勾股定理得： SH=CS2+CH即(2C)}2=CS2+22,解得：C5=2N 负值舍去， 3 如图，过点P作PV⊥MK于点N,延长NP交CS于点G,以点C为原点，直线CD为x轴，直线CE为 40/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y轴建立平面直角坐标系， H(2,0) 设直线EK的解析式为y=+b,把E(O,3),K1,-V3)代入得： b=3 k=-3-5 k+b=-3,解得： b=3 “直线EK的解析式为y=(3-V5)x+3, √325 同理：直线SH的解析式为y= 31 3 令(3-v3)x+3=5x-2 9+2V5 X- 3 ,解得：术 9+4W5 9+25 点P的横坐标为9+4 .PG= +2W3 +4V3' :PW=1-9+2V5 25 9+4V39+43' :∠PGE=∠PNK=90°，LEPG=∠KPN, .△PGE∽△PNK, 9+25 EP-PG_9+4_9+2V3_33+2 KP PN 2√32W3 2 9+4N3 .CP=KP, EP 3V3+2 CP 2， EP 3V5+2 即当CP+EP和最小时，Cp的值为 2 【变式92】 41/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】00正方形：②5@见详解：O8C=3)5 【详解】(1)解：①，四边形ABCD是正方形， .∠BCD=90°，∠BCA=45° :GE⊥BC、GF⊥CD, ·∠CEG=LCFG=LECF=90°， ∴.四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， .EG=EC, ∴四边形CEGF是正方形： ②由①知四边形CEGF是正方形， .∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°， CG=2.GEN AB' : GE‖AB. CG CE AG BE' CG AG=2 ·CEBE (2)AG=√2BE,理由：连接CG, 由旋转性质知∠BCE=LACG=a, 在RtACEG和Rt△CBA中，∠GCE=∠BCA=45°， CG_CA= CE CB ∴.∠ACG=∠BCE, .△ACG∽△BCE, 42/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AG_CA= BE CB ∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=√2BE (3)解：，A、G、F三点共线， ∠AGH=LCGF=45°， ∠CAH=45°， LAGH=∠CAH, :∠CHA=∠AHG, .△ACH∽△GAH, AG GH AH ∴AC AH CH' 设BC=CD=AD=a,则AC=V2a, AG_GH ACAH’AG=3'GH=V2' 32 2a治解得AH=。 a, DH-AD-AH=3a.CH=JCD+DH=1 1 则 3, AG AH AC CH' 2 3 :a 10解得35，即 35· 3 -a a= BC= 2 2 【变式93】 E 【答案】(1)；(2)如图， 即为所求： D 多 1:(3) 4 CD 20 3 △AB'C B A'D 7 43/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：由旋转的性质得： ∠A'=∠A=∠ACA',∠ACB=∠A'CB', :AB'∥AC,∠ACA=∠BCB, ∠ADC=180°-∠ACB=180°-90°=90°， .∠A'DC=∠ACB=90° .△ACDP△ABC, CD A'D BC AC CD BC 六ADAC :AC=3,BC=4, CD 4 AD3 2)解：作图略， 由作法得：A'C⊥AB, 设A'C,AB交于点F,则∠ACF+∠A=90°， .∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°，∠ACF+LBCF=90°， ∠ACF=∠B,∠BCF=∠A, 由旋转的性质得：∠A'=∠A, ∴∠A'=LBCF, .A'D=CD. CD 4D=1: (3)解：如图，过点A作AG⊥AB于点G, 在Rt△ABC中，，∠C=90°，AC=3,BC=4 .AB=AC2+BC2 =5, 4450 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Sm4CxBC=CGxB,可x3x4-CGx5,解得：CG-号 2 4G=VAC2-4G2_9 , 由旋转的性质得：A'C=AC=3,B'C=BC=4,∠B=∠B, .44=24G=18 ’ 六4B=AB-AA=7 ∠B'=∠B,∠B'DC=∠BDA', ,△B'DC∽△BDA, CD B'C 4 20 .A'D A'B T 7. 题型10相似三角形结合折叠问题 典例精析 【典例10】 【答案】(1)3：(2)EF=1:(3)CD'的长为V85或V5 【详解】解：(1)：四边形ABCD是矩形， ∠A=∠B=90°，AB=CD=5,BC=AD=4, 由折叠的性质得：CD=CD=5, :AC'=VC'D2-AD2=52-42=3 故答案为：3： (2)由(1)得：AC'=3, .BC'=BC-AC'=2, 由折叠的性质得：CE=CE, 设BE=x,则C'E=CE=4-x, 在Rt△BEC中，BE2+BC2=C'E2, 45/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 六x2+22=(4-x)2,解得：= 即E=cE=4 3 22’ 连接EE,如图所示： D D C 由平移的性质得：E'E=BC'=2,EE'∥AB∥CD,D'E∥DE, .△FEE'r△FCD'∽△ECD, 5 EF-CE-2-1 EE-CD-52 .EF= 上EE'=1: (3)如图，过点D作DM⊥BC交CB的延长线于点M, 由(2)得：BC=2,CE= 2, 由旋转的性质得：∠DEB=90°， .DE∥CM,BE∥DM, ∴.四边形BEDM是平行四边形， .DM=BC=2,BM=C'D=5. .CM=9, ∴.CD=VDM2+CM2=V85: 46/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，过点D作DN⊥BC交BC的延长线于点N,则DN=BC'=2,BN=CD=5, D B E ..CN=1, .CD=DN2+CN2=5: 终上所述，CD的长为V85或V5. E 举一反三 【变式101】 3 【答案】)见详解：（②）4：③)AB=√6BG 【详解】(I)证明：如图，四边形ABCD是矩形， H G ∴∠A=∠D=LC=90°， .∠1+∠3=90°， :点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上， .∠EPH=∠A=90°， .∠1+∠2=90°， .∠3=∠2， ∴.△DEP∽ACPH (2)解：：四边形ABCD是矩形，AB=2,AD=3, ,∠A=LD=∠C=90°，AB=CD=2, P为CD的中点， 47/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DP=CP=1CD-1, 折叠， .EP=AE,PG=AB=2, 设EP=AE=x,则ED=AD-AE=3-x, .EP2 DE2+DP2, 六x2=(（3-)}+1,解得，x= , ÷E=EP= , :ED=AD-AE=4 由(I)知△DEP ACPH, 4 5 ED-EP,即3=3， PC PH 1 PH .PH=5 .GH=PG-PH=2- 53 449 (3)解：AB=V6BG.理由如下： 如图，延长AB、PG交于M点，连接AP, D B H M ,点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上， ∴EF垂直平分AP, .MA=MP, P为CD中点， 48/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设DP=CP=y, ..AB=PG=CD=2y, H为BC中点 ..BH=CH, :∠BHM=∠CHP,∠MBH=∠PCH=90°， .△MBH≌aPCH(ASA), :.BM=CP=y,HM=HP, .MP=MA=MB+AB=3y, ÷HP=PM=3y. 3 21 在RIAPCH中，CH=VPH-PC-5 y, ÷BC=2CH=V5y, :AD=BC=5y, 在Rt△APD中，AP=VAD+PD2=√6y, .MA=MP,AB=PG. ∴.MA-AB=MP-PG,即MB=MG, ; MB MG MA MP 又：∠BMG=∠AMP, ∴△BMGr△AMP, GB BM 1 ·APAM3' BG=v 3， AB2y=√6 ..BG ,即 AB=6BG 【变式102】 49/50 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】四见详解：②)BF氵 【详解】(I)证明：△ABC是等边三角形， ∴.LA=B=∠C=60°，AC=AB=BC=3,根据折叠可知LEDF=∠C=60°， .∠ADE+∠BDF=120°， ∠A=60°， ∴.∠ADE+∠AED=120°， .∠BDF=∠AED, ∠A=∠B, AED△BDF: (2)解：设BF=x,则CF=BC-BF=3-x,根据折叠可知DF=CF=3-x,CE=DE, AD:DB=2:1,AB=3, AD=2,BD=1, .△AED∽△BDF, AD AE DE BF BD DE' 2AE DE x13-x AE=2,DE=23- X DE-CE= (3-x) AE+CE=AC=3. 2,23-》-3,解得x=号经检验，x一亏是所列方程的根， 8 8 一十 X 8 即BF的长为 50/50 专题03 相似三角形的性质及判定综合 （题型突破·举一反三） 题型01 对应线段（高、中线、角平分线）之比等于相似比 题型02 周长比与面积比 题型03 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型04 相似三角形结合动点问题 题型05 相似三角形结合圆问题 题型06 相似三角形结合四边形问题 题型07 相似三角形结合反比例函数问题 题型08 相似三角形结合二次函数问题 题型09 相似三角形结合旋转问题 题型10 相似三角形结合折叠问题 ▌题型01 对应线段（高、中线、角平分线）之比等于相似比 1．相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 2．对应关系：必须是同类型的线段，且落在对应边上。 【典例1】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知两个三角形相似，若它们的对应中线之比为，那么它们对应高的比为______． 【变式1-3】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，垂直平分对角线，交边，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． ▌题型02 周长比与面积比 1．相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方。 2．换算方向：已知相似比求面积比需要平方运算；已知面积比求相似比需要开方运算，切记运算千万不能弄反。 3．常见题型的三条入口：①已知相似比直接写周长比、面积比；②已知周长（或面积）的和、差可以通过设设份数间接列方程；③已知面积比与周长先开方得相似比，再由周长比求值。 【典例2】（26-27九年级上·山东潍坊·阶段检测）若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，，的周长为，的周长为______． 【变式2-3】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，连接．若，， (1)求的长． (2)若的面积为，请求出的面积 ▌题型03 在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．网格作图法：利用勾股定理进行求边长，再按相似比确定新三角形各边长。 2．构造技巧：利用格点构造对应边成比例的三角形，对应乘或除以相应倍数，优先选择格点进行画图。 【典例3】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； (2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 【变式3-1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在方格纸中，点都在格点上，用无刻度直尺作图． (1)在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）； (2)在图2中的线段上找一个点，使 【变式3-3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接、，使． ▌题型04 相似三角形结合动点问题 1．动点问题的三个要素：起点与终点（决定自变量范围）、速度（决定时间参数）、运动路径（在线段、射线还是折线上）。 2．核心公式：路程=速度×时间，路程多为动点走过的线段长。 3．动点产生相似的三种基本构造：①过动点作平行线构造 A字型、X字型；②动点与两个定点构成共角构造母子型（共角共边）；③动点使某角等于已知角用AA判定。 4．必须分类讨论的情形：①对应关系不明确；②动点运动到不同线段上（分段函数）；③“以某三点为顶点的三角形与已知三角形相似”未指明顶点顺序；④等腰、直角等特殊条件有多种情形。 5．易错提醒：①忽略“点在线段上”的约束，产生增根；② 漏掉时间的取值范围或端点；③把面积比当成相似比使用；④分类时漏掉其中一种对应关系。 【典例4】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 【变式4-2】（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 【变式4-3】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． ▌题型05 相似三角形结合圆问题 1．圆中提供“等角”的工具：①同弧（或等弧）所对的圆周角相等；②直径所对的圆周角是直角；③弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；④圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，提供等角为利用AA判定相似提供条件。 2．圆中提供“等边与垂直”的工具：①切线垂直于过切点的半径直接得到直角三角形；②垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，得中点与直角；③等弧对等弦、等弦对等弧。 3．常见思路：先用圆的性质找等角，再找公共角或对顶角，用AA判定相似，按对应边写比例式，交叉相乘化为等积式。 【典例5】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式5-1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点O是上一点，以点O为圆心、为半径作，与交于点D，且D为弧的中点，与交于点E，与交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式5-2】（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，内两条弦，相交于，，，．求的长． 【变式5-3】（2026·辽宁·模拟预测）如图，为的直径，点A，D在上，并在的两侧，连接，，，．若，，垂足为E． (1)求的度数； (2)若，求线段的长． ▌题型06 相似三角形结合四边形问题 1．平行四边形中的相似：对边平行，天然提供平行线，容易得到A字型、X字型。 2．矩形中的相似（一线三等角/ K字型）：矩形的四个直角加上同一直线上的一个角，若出现“三个等角”，必有一对相似三角形。 3．菱形、正方形中的相似：对角线互相垂直平分，常与“共斜边的双垂直”结合；正方形绕顶点旋转，常产生“手拉手”型相似。 4．梯形中的相似：两底平行结合对角线交点把两条对角线分成的四段成比例。 5．常用辅助线：①过顶点作平行线；②延长两腰相交，补成一个大三角形；③连对角线，利用对角线交点的比例关系；④取中点或作中位线。 【典例6】（26-27九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含，两点），过点作分别交射线，射线于点，． (1)求证：； (2)如图（2），连接，若，且为的中点，求的值． 【变式6-1】（26-27九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在平行四边形中，为上一点，连接，为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【变式6-2】（2026九年级上·上海·专题练习）已知四边形是矩形，点E在对角线上，点F在边上（点F与C、D不重合），且． (1)如图1，如果，求证：平分； (2)设，，为等腰三角形．如图2，以B点为坐标原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． ①求点E的坐标； ②如果二次函数的图象过点B、点E和点F，求这个二次函数的解析式． 【变式6-3】（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． (1)求证：； (2)若,,，求的长． ▌题型07 相似三角形结合反比例函数问题 1．利用相似寻找线段比进行求解线段长度。 【典例7】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，直线与双曲线交于点．并分别与轴、轴交于点、． (1)直接写出________，________； (2)根据图像直接写出不等式的解集为________； (3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、构成的三角形与相似？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴有一点，．连接，，且． (1)求的值； (2)过点作，交反比例函数（其中）的图象于点，连接交于点，求的值． 【变式7-2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点A在反比例函数的图象上，过A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数，的图象相交于点B，C，过C作x轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点D（其中，为常数，且）． (1)若点，，则_________． (2)若点A的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点P，当点A在函数图象上运动时，点P在y轴上吗？请说明理由． 【变式7-3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点及点，与轴交于点． (1)求的值； (2)若直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，求点的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数的图象上，是否存在点，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型08 相似三角形结合二次函数问题 1．利用相似将角关系转变为线段比例关系 2．利用相似求面积 【典例8】（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)抛物线上有一点，且满足，求点的坐标； (3)点为直线上方抛物线上一点，连接，交于点，请直接写出的最大值，并直接写出此时点的坐标． 【变式8-1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是上方抛物线上的一点，过作的平行线，交于点． (1)求的面积； (2)连接，当轴时，求的面积； (3)求的最大值． 【变式8-2】（2023·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为轴正半轴一点，． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)点为该抛物线在第一象限上的点不与点、重合，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)点是轴上的动点，当时，求的坐标． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型09 相似三角形结合旋转问题 1．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角；旋转前后的两个图形全等（对应边相等、对应角相等）。 2．常见步骤：①找公共顶点（旋转中心）；②找两组对应边并算其比；③用夹角相等（原有角＋旋转角）证SAS相似；④得出第三组对应边成比例与对应角的关系，再用于求线段或角。 3．常用辅助线：把其中一个三角形绕公共顶点旋转到与另一个三角形共线（或垂直）的位置，构造标准的手拉手图形，使分散的线段集中到一对相似三角形中。 【典例9】（26-27九年级上·全国·阶段检测）在中，，，，将绕点旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． (1)如图，点在上时， ①求的值．②求的长． (2)当直线与垂直时，的长是 ． 【变式9-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）按要求解答问题： (1)如图①，已知，若，且，则的长是________； (2)将图①中绕着点逆时针旋转，如图②，取线段，的中点，，连接，，证明； (3)如图③，在中，，，，以为边逆时针方向作，点是线段上的一点，以为边向下构造，且满足，点是的中点，当的和最小时，求出的值． 【变式9-2】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)【推断】： ①四边形的形状是______________ ②的值为______________； (2)【探究与证明】：将正方形绕点C顺时针方向旋转度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点H．若，，求的长． 【变式9-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． (1)如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． (2)当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 (3)如图③，当点恰好落在边上时，求的值． ▌题型10 相似三角形结合折叠问题 1．折叠后常出现直角（矩形、直角三角形折叠），可与“双垂直”母子型、“一线三等角”结合；若折叠后某点落在某条边上，则可用勾股定理或相似比例式列方程。 【典例10】（2024·吉林松原·二模）【问题背景】 如图①，在矩形中，，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处． 【问题解决】 （1）的长为________； （2）如图②，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； 【拓展探究】 （3）将图①中的绕点旋转得（点、的对应点分别为点、），当、、三点共线时，请直接写出的长． 【变式10-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 【变式10-2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形的性质及判定综合 （题型突破·举一反三） 题型01 对应线段（高、中线、角平分线）之比等于相似比 题型02 周长比与面积比 题型03 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型04 相似三角形结合动点问题 题型05 相似三角形结合圆问题 题型06 相似三角形结合四边形问题 题型07 相似三角形结合反比例函数问题 题型08 相似三角形结合二次函数问题 题型09 相似三角形结合旋转问题 题型10 相似三角形结合折叠问题 ▌题型01 对应线段（高、中线、角平分线）之比等于相似比 1．相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 2．对应关系：必须是同类型的线段，且落在对应边上。 【典例1】（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴相似比为， ∴对应边上的高之比为． 【变式1-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，和是对应中线，，， ∴两个三角形的相似比为， ∴对应角平分线的比为． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知两个三角形相似，若它们的对应中线之比为，那么它们对应高的比为______． 【答案】 【详解】解：∵ 两个三角形相似，相似三角形对应中线的比和对应高的比都等于相似比． ∵ 已知两个相似三角形对应中线之比为． ∴ 它们对应高的比等于相似比，为． 【变式1-3】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，垂直平分对角线，交边，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴． ▌题型02 周长比与面积比 1．相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方。 2．换算方向：已知相似比求面积比需要平方运算；已知面积比求相似比需要开方运算，切记运算千万不能弄反。 3．常见题型的三条入口：①已知相似比直接写周长比、面积比；②已知周长（或面积）的和、差可以通过设设份数间接列方程；③已知面积比与周长先开方得相似比，再由周长比求值。 【典例2】（26-27九年级上·山东潍坊·阶段检测）若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，相似比为， 与的周长的比为． 【变式2-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴相似比为， ∴它们的周长之比为． 【变式2-2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）已知，，的周长为，的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵，. ∴两三角形的相似比为. ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，，分别为，上的点，连接．若，， (1)求的长． (2)若的面积为，请求出的面积 【答案】(1)10；(2)50 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，即，解得：． （2）解：∵，， ∴的相似比为， ∴，即，解得：， ∴的面积为50． ▌题型03 在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．网格作图法：利用勾股定理进行求边长，再按相似比确定新三角形各边长。 2．构造技巧：利用格点构造对应边成比例的三角形，对应乘或除以相应倍数，优先选择格点进行画图。 【典例3】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； (2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 【答案】见详解 【详解】(1)解：根据题意，画图如下：则即为所求； (2)解：根据题意，画图如下：则点F，点即为所求． 【变式3-1】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】(1见详解 【详解】（1）如图所示：； （2）根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 如图所示：； ， ． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在方格纸中，点都在格点上，用无刻度直尺作图． (1)在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）； (2)在图2中的线段上找一个点，使 【答案】见详解 【详解】（1）解：，，， ， ，， ，，，， ， 如图，即为所求，； （2）解：由图可得：， ， ， ． 【变式3-3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接、，使． 【答案】(1)；(2)(3)见详解 【详解】（1）解：∵， ， ， ，， ， 故答案为：； (2)如图②，点即为所求； (3)如图③，点即为所求 ▌题型04 相似三角形结合动点问题 1．动点问题的三个要素：起点与终点（决定自变量范围）、速度（决定时间参数）、运动路径（在线段、射线还是折线上）。 2．核心公式：路程=速度×时间，路程多为动点走过的线段长。 3．动点产生相似的三种基本构造：①过动点作平行线构造 A字型、X字型；②动点与两个定点构成共角构造母子型（共角共边）；③动点使某角等于已知角用AA判定。 4．必须分类讨论的情形：①对应关系不明确；②动点运动到不同线段上（分段函数）；③“以某三点为顶点的三角形与已知三角形相似”未指明顶点顺序；④等腰、直角等特殊条件有多种情形。 5．易错提醒：①忽略“点在线段上”的约束，产生增根；② 漏掉时间的取值范围或端点；③把面积比当成相似比使用；④分类时漏掉其中一种对应关系。 【典例4】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即，解得， 当时， ，即，解得， 综上所述，当为或时，与相似． 【变式4-1】（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 【答案】或或 【详解】解：设，则， 分两种情况： 当时，，即，解得； 当时，，即，解得或； 综上可知，当为或或时，与是相似三角形． 【变式4-2】（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 【答案】(1)或；(2)或． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设秒后的面积为， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∵的面积为， ∴，解得或， ∴经过或秒时，的面积为； （2）解：经过秒时，由三点组成的三角形与相似， 由得，，， 当时， ∴，∴，解得； 当时， ∴，∴，解得； 综上可知经过或秒时，由三点组成的三角形与相似． 【变式4-3】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)，；(2)当时，平分面积；(3) 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， ∴， ，解得，（舍）， ∴当时，平分面积； （3）解：∵， ∴以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时，则， ，∴； 情况二：当时，则， ，∴， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． ▌题型05 相似三角形结合圆问题 1．圆中提供“等角”的工具：①同弧（或等弧）所对的圆周角相等；②直径所对的圆周角是直角；③弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；④圆内接四边形对角互补、外角等于内对角，提供等角为利用AA判定相似提供条件。 2．圆中提供“等边与垂直”的工具：①切线垂直于过切点的半径直接得到直角三角形；②垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，得中点与直角；③等弧对等弦、等弦对等弧。 3．常见思路：先用圆的性质找等角，再找公共角或对顶角，用AA判定相似，按对应边写比例式，交叉相乘化为等积式。 【典例5】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：连接， ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ （2）解：∵ ∴ ∵， ∴， ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，解得 【变式5-1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点O是上一点，以点O为圆心、为半径作，与交于点D，且D为弧的中点，与交于点E，与交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解；(2)的半径为4 【详解】（1）证明：为弧的中点， ， ， 、都是的半径， ， ， ∴， （2）解：设的半径为r，则． ∴，， ∵， ， ∴， ∵，，，， ∴，解得，（半径不为负数，舍去）， 将代入原方程分母，得， ∴是原分式方程的解； 的半径为． 【变式5-2】（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，内两条弦，相交于，，，．求的长． 【答案】的长为 【详解】解；连接，， 在中，与均对， ． 又， ， ，即，解得． ． 答：的长为． 【变式5-3】（2026·辽宁·模拟预测）如图，为的直径，点A，D在上，并在的两侧，连接，，，．若，，垂足为E． (1)求的度数； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)；(2)2 【详解】（1）解：是的直径， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵， ． （2）连接，如答图． 是等腰直角三角形， ， 是的直径， ． ， ， ． ， ， ． ， ． ▌题型06 相似三角形结合四边形问题 1．平行四边形中的相似：对边平行，天然提供平行线，容易得到A字型、X字型。 2．矩形中的相似（一线三等角/ K字型）：矩形的四个直角加上同一直线上的一个角，若出现“三个等角”，必有一对相似三角形。 3．菱形、正方形中的相似：对角线互相垂直平分，常与“共斜边的双垂直”结合；正方形绕顶点旋转，常产生“手拉手”型相似。 4．梯形中的相似：两底平行结合对角线交点把两条对角线分成的四段成比例。 5．常用辅助线：①过顶点作平行线；②延长两腰相交，补成一个大三角形；③连对角线，利用对角线交点的比例关系；④取中点或作中位线。 【典例6】（26-27九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含，两点），过点作分别交射线，射线于点，． (1)求证：； (2)如图（2），连接，若，且为的中点，求的值． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， （2）解：， ， ， ， ∴， ， 如图，设交于， 四边形是矩形， ，， ∴ ， ， ， ∴， ， ， ∴， ． 【变式6-1】（26-27九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在平行四边形中，为上一点，连接，为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． （2）解：四边形是平行四边形， ． ， ． ， ． ． 【变式6-2】（2026九年级上·上海·专题练习）已知四边形是矩形，点E在对角线上，点F在边上（点F与C、D不重合），且． (1)如图1，如果，求证：平分； (2)设，，为等腰三角形．如图2，以B点为坐标原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． ①求点E的坐标； ②如果二次函数的图象过点B、点E和点F，求这个二次函数的解析式． 【答案】(1)见详解；(2)①；② 【详解】（1）证明：过作交于，作交于， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， ，， 平分； （2）解：①过作交于，作交于， ，， ，， 设直线的解析式为， ∴，解得， 直线的解析式为， 设， ，， 同（1）可证，四边形是矩形， ，， ∵，， ， 同（1）可证，， ， ， ， ，， ，， 为等腰三角形， ， 在中，， ∴， ，整理得，，解得：，（舍去）， ， ； ②由①得，， ， ，， 设二次函数解析式为， ∴，解得， 二次函数解析式为． 【变式6-3】（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． (1)求证：； (2)若,,，求的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，，， ， ， ，， ， ， ， ,解得或（舍去） ． ▌题型07 相似三角形结合反比例函数问题 1．利用相似寻找线段比进行求解线段长度。 【典例7】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，直线与双曲线交于点．并分别与轴、轴交于点、． (1)直接写出________，________； (2)根据图像直接写出不等式的解集为________； (3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、构成的三角形与相似？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5；(2)或；(3)存在以点、、构成的三角形与相似，点的坐标为或 【详解】（1）解：直线与双曲线交于点， ，， ，； （2）解：令，解得或， 的解集为或； （3）解：令得， 令得，解得， ，， ， ， ， ， ， ， 要使点、、构成的三角形与相似，则有， 当时，，， 此时，点的坐标为； 当时，，， 此时，点的坐标为， 综上所述，存在以点、、构成的三角形与相似，点的坐标为或． 【变式7-1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴有一点，．连接，，且． (1)求的值； (2)过点作，交反比例函数（其中）的图象于点，连接交于点，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：如图所示，过点作于,与相较于点,与相交于点． ，等腰三角形三线合一， ． 在中： ． 把代入：，解得：． （2）解：，， 点横坐标为． 把代入，得，． 设直线解析式为，代入： ，解得： 直线：． 把代入，得， 与交点． ，，． （平行线得相似）． 【变式7-2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点A在反比例函数的图象上，过A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数，的图象相交于点B，C，过C作x轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点D（其中，为常数，且）． (1)若点，，则_________． (2)若点A的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点P，当点A在函数图象上运动时，点P在y轴上吗？请说明理由． 【答案】(1)5；(2)；(3)见详解 【详解】（1）解：∵轴，， ∴点B的纵坐标为5，设 ， ∵， ∴，解得， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴的值为5． （2）解：点的横坐标为2，且点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为2， ∵点、在的图象上， ∴，即，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点A在函数图象上运动时，点P在y轴上，理由如下： 如图所示，       设点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵点、在的图象上， ∴，即，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∴，， 根据题目条件得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即点P在y轴上， ∴当点A在函数图象上运动时当点A在函数图象上运动时，点P在y轴上． 【变式7-3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点及点，与轴交于点． (1)求的值； (2)若直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，求点的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数的图象上，是否存在点，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8；(2)；24；(3)存在，点E的坐标为或 【详解】（1）解：在直线上， ，解得， ， 将代入，得：，解得； （2）解：设直线的解析式为， 将代入，得：，解得， 直线的解析式为， 由（1）得反比例函数解析式为， 联立，解得（舍去），或， 点的坐标为； 令，解得， 点B的坐标为 ； （3）解：联立，解得（舍去），或， 点D的坐标为； 设，如图，连接并延长至F， ，， ，即， ， ． 为直角三角形时，或， 当时，如图，作直线轴，于点M，于点N， 则，，，， ，， ， ，即，解得或（舍去）， 点E的坐标为； 当时，如图，作直线轴，于点M，于点N， 同理可证， ，即，解得或（舍去）， 点E的坐标为， 综上可得，当点E的坐标为或时，为直角三角形． ▌题型08 相似三角形结合二次函数问题 1．利用相似将角关系转变为线段比例关系 2．利用相似求面积 【典例8】（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)抛物线上有一点，且满足，求点的坐标； (3)点为直线上方抛物线上一点，连接，交于点，请直接写出的最大值，并直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)；(2)或；(3)， 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 根据题意可知，，， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 将坐标代入抛物线的表达式， 可得，解得， 故抛物线的表达式为． （2）解：已知，，设点的坐标为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴， ，， ∵，， ， ，即，可得， 则直线的解析式为， 代入，可得，解得，， 当，，此时点与点重合，舍去， 当，，此时点的坐标为； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴， ，， 同上可得， 可得，即，可得， 则直线的解析式为， 代入，可得，解得，， 当，，此时点与点重合，舍去， 当，，此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或． （3）解：如图，设点的坐标为，过点作轴，交于点，连接，，，连接并延长与的延长线交于点， 点为直线上方抛物线上一点，则， 轴， ， ， ， ， ，即，解得， 则点的坐标为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入，可得，解得， 则直线的解析式为， 当，，点的坐标为， 可得， 则， ， 可知当取最大值时，取得最大值， 抛物线，开口向下， 当时，取得最大为， 故的最大值为，点的坐标为． 【变式8-1】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是上方抛物线上的一点，过作的平行线，交于点． (1)求的面积； (2)连接，当轴时，求的面积； (3)求的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：当时，， ∴，则， 当时，由解得：或， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过点D作轴交于点F，过点E作于点H， ∵，， ∴，，则， ∴的度数不变，的度数不变， ∴在点D的移动过程中的形状保持不变， ∴当最大时，的长度也最大， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标，则点F的坐标， ∴， ∵ ∴当时，有最大值，此时，点D的坐标为， ∴直线是由直线向右平移3个单位所得， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式，得，解得：， ∴点E的坐标为， ∴的最大值． 【变式8-2】（2023·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为轴正半轴一点，． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)点为该抛物线在第一象限上的点不与点、重合，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)点是轴上的动点，当时，求的坐标． 【答案】(1)；(2)面积的最大值为，此时，点；(3)点的坐标为：或． 【详解】（1）解：，则点， 设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴交于点， 设直线为， ∵过，， ∴，解得，， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， 则面积的最大值为，此时，点； （3）解：设的坐标为，在上取，则， 当点在轴的正半轴时， ∵，，， ∴，，，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即，解得， ∴的坐标为， 当点在轴负半轴时，点， 综上，点的坐标为：或． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点为直线下方抛物线上一点，连接并交于点，若分的面积为两部分，请求出点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得，若存在，请求出点．的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)或；(3)或． 【详解】（1）解：， ，， 将点、代入， ，解得， ； （2）解：令，解得或， ， 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ，解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 联立方程组，解得， ， 分的面积为两部分， 或， ， ， 当时，，可得，解得或， 或； 当时，，可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点，使得，理由如下： 在轴上取点， 当N在y轴负半轴时，如图， ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ， 当N在y轴正半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ∴ 综上，N的坐标为或． ▌题型09 相似三角形结合旋转问题 1．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角；旋转前后的两个图形全等（对应边相等、对应角相等）。 2．常见步骤：①找公共顶点（旋转中心）；②找两组对应边并算其比；③用夹角相等（原有角＋旋转角）证SAS相似；④得出第三组对应边成比例与对应角的关系，再用于求线段或角。 3．常用辅助线：把其中一个三角形绕公共顶点旋转到与另一个三角形共线（或垂直）的位置，构造标准的手拉手图形，使分散的线段集中到一对相似三角形中。 【典例9】（26-27九年级上·全国·阶段检测）在中，，，，将绕点旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． (1)如图，点在上时， ①求的值．②求的长． (2)当直线与垂直时，的长是 ． 【答案】(1)①②；(2)或 【详解】（1）解：①根据旋转得， ∴， ∴， ∴； ②， 根据勾股定理，得． 过点C作，交于点H， ∴，解得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：当顶点在的异侧时，如图所示，连接，H为、的交点，此时， 则， 由（1）得， ∴． 根据勾股定理，得． 同理（1）得， ∴； 当顶点在的同侧时，直线垂直于，垂足为H， 则， 根据题意可知， ∴． 根据勾股定理，得． 同理（1）得， ∴． 所以或． 【变式9-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）按要求解答问题： (1)如图①，已知，若，且，则的长是________； (2)将图①中绕着点逆时针旋转，如图②，取线段，的中点，，连接，，证明； (3)如图③，在中，，，，以为边逆时针方向作，点是线段上的一点，以为边向下构造，且满足，点是的中点，当的和最小时，求出的值． 【答案】(1)6；(2)见详解；(3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点，为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：取的中点H，作直线l过点P，H， ∵H是中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵P是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即直线l与的夹角为， ∴点P在直线l上， 过点C作直线l的对称点K，连接，，设直线l交的延长线于点S，直线l交于点O，连接，如图所示： 由对称性可知，，，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点P在点O处时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，过点K作于点M， 则，， ∴， ∵，，， ∴， 根据勾股定理得：，即，解得：，负值舍去， 如图，过点P作于点N，延长交于点G，以点C为原点，直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系， 则点，，，， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理：直线的解析式为， 令，解得：， ∴点P的横坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当和最小时，的值为． 【变式9-2】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． (1)【推断】： ①四边形的形状是______________ ②的值为______________； (2)【探究与证明】：将正方形绕点C顺时针方向旋转度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点H．若，，求的长． 【答案】(1)①正方形；②(2)见详解 ；(3) 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是正方形； ②由①知四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2），理由：连接， 由旋转性质知， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴线段与之间的数量关系为 （3）解：∵A、G、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，，， ∴解得， 则，， ∵， ∴解得，即． 【变式9-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． (1)如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． (2)当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 (3)如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 【答案】(1)；(2)如图，即为所求；；1；（3） 【详解】（1）解：由旋转的性质得： ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； （2）解：作图略， 由作法得：， 设交于点F，则， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点A作于点G， 在中，∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ▌题型10 相似三角形结合折叠问题 1．折叠后常出现直角（矩形、直角三角形折叠），可与“双垂直”母子型、“一线三等角”结合；若折叠后某点落在某条边上，则可用勾股定理或相似比例式列方程。 【典例10】（2024·吉林松原·二模）【问题背景】 如图①，在矩形中，，，点为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边上的点处． 【问题解决】 （1）的长为________； （2）如图②，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； 【拓展探究】 （3）将图①中的绕点旋转得（点、的对应点分别为点、），当、、三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）3；（2）；（3）的长为或 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴ 故答案为：3； （2）由（1）得：， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，， ∴，解得：， 即， 连接，如图所示： 由平移的性质得：，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点D作交的延长线于点M， 由（2）得：， 由旋转的性质得：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 如图，过点D作交的延长线于点N，则，， ∴， ∴； 终上所述，的长为或． 【变式10-1】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 【答案】(1)见详解；(2)；(3) 【详解】（1）证明：如图，四边形是矩形， ∴， ， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴， ∴， ， ∴ （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， 设，则， ∵， ∴，解得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 如图，延长、交于M点，连接， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵P为中点， ∴设， ∴， ∵H为中点 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ∴， 在中，， ∵，， ，即， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【变式10-2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则，根据折叠可知，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，解得，经检验，是所列方程的根， 即的长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $