精品解析：江苏宿迁市沭阳县沭阳部分校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题（第二次联考）

2026～2027学年度第一学期第二次定时作业初三年级数学 （测试时间：120分钟分值：150分） 一、单选题（共8题，共24分） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2. 《九章算术》“勾股”章有一道题，今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．大意：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，求门的高和宽．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如果反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，那么值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一个圆中，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 根据尺规作图的痕迹，可以判定点为外心的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共10题，共30分） 9. 若是方程的一个根，则a的值等于______． 10. 已知的半径是9，当时，则点P与的位置关系是点P在______．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 11. 已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 12. 设是方程的两个实数根，则的值为_________． 13. 如图，已知AB是⊙O的直径，PA=PB，∠P=60°，则所对的圆心角等于______． 14. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为____． 15. 已知反比例函数y＝，当﹣3≤x＜0或0＜x≤1时，y的取值范围是_____． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解集是_______． 17. 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是________ 18. 如图， 曲线 C₂是双曲线 绕原点O 顺时针旋转得到的图形，A 是曲线上任意一点，点B在直线上，且，若的面积为 则 k 的值为________ 三、解答题（共10题，共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 21. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求A，B两点的坐标； （2）若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 22. 如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）为上一点，连接，若，，，求的半径． 23. 某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． （1）求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； （2）已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 24. 点O是半圆的圆心，直径． （1）分别在半圆上取点C和点D（点C在点D右侧），顺次连接点A，O，C，D，使得以这四点为顶点的四边形是菱形．（尺规作图，不写作法） （2）求（1）中所作菱形的面积为______． 25. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 26. 在解方程时，我们可以把看作一个整体——令，则原方程可以转化为，解得． 当时，，解得；当时，，解得； 综上所述，原方程的解为． （1）解方程：； （2）已知关于的一元四次方程的根为，，，，则______． 27. 定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． （1）矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． （2）如图在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 28. 【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… （1）如图②，证明：． 【模型运用】 （2）如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 （3）如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （4）如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期第二次定时作业初三年级数学 （测试时间：120分钟分值：150分） 一、单选题（共8题，共24分） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵对于一元二次方程，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2. 《九章算术》“勾股”章有一道题，今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．大意：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，求门的高和宽．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】单位换算：6尺8寸尺，1丈尺．门高x尺，则宽为尺； 长方形对角线，使用勾股定理得：． 3. 如图，在中，弦，交于点，连接，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同弧对等角和对顶角相等推出和的度数，最后根据内角和定理即可求出度数． 【详解】解：由图可知，，， ，， ，， ． 4. 如果反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，那么值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】∵在反比例函数的图象的每一个象限内，y都随x的增大而减小， ∴， 即， 故选C． 【点睛】考查反比例函数的图象与性质，反比例函数当时，图象在第一、三象限，在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限，在每个象限，y随着x的增大而增大． 5. 在同一个圆中，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧相等得出弦相等，推出，再结合三角形三边关系比较大小． 【详解】解：如图，将三等分，分点为、，连接、、、， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，即， 即． 6. 根据尺规作图的痕迹，可以判定点为外心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，线段垂直平分线的尺规作图，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此求解即可． 【详解】解：∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， ∴由作图方法可知只有A选项的作图中点为三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 7. 如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作直径，连接，在上取点E，连接，根据圆内接四边形的性质可得的度数，再由直径，可求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质可得的度数，即可． 【详解】解：如图，作直径，连接，在上取点E，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， 综上所述，仅用一把无刻度的直尺能画出，则仅无法画出的是． 8. 如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数比例系数的几何意义． 作轴于D，如图，则，然后根据k的几何意义确定k的值． 【详解】解：作轴于D，如图， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． 故选：C． 二、填空题（共10题，共30分） 9. 若是方程的一个根，则a的值等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将代入方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 10. 已知的半径是9，当时，则点P与的位置关系是点P在______．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆内 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系进行解答即可得． 【详解】解：∵点到圆心的距离， ∴该点P在内， 故答案为：圆内． 11. 已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 12. 设是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程解的定义得到的表达式，结合根与系数的关系得到两根之和，将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 根据根与系数的关系可得， ∴ ． 13. 如图，已知AB是⊙O的直径，PA=PB，∠P=60°，则所对的圆心角等于______． 【答案】60° 【解析】 【分析】先利用PA=PB，∠P=60°得出△PAB是等边三角形，再求出△COA，△DOB也是等边三角形，得出∠COA=∠DOB=60°，可求∠COD． 【详解】连接OC，OD， ∵PA=PB，∠P=60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴∠A=∠B=60°， ∵OA=OC=OD=OB， ∴△COA，△DOB也是等边三角形， ∴∠COA=∠DOB=60°， ∴∠COD=180°-∠COA-∠DOB=60°． 故答案为60°. 【点睛】本题利用了：有一角等于60度的等腰三角形是等边三角形的判定方法和等边三角形的性质求解． 14. 已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，掌握垂径定理是解题的关键． 先求得，如图：过O作于F，连接，则、 ，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， 如图：过O作于F，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知反比例函数y＝，当﹣3≤x＜0或0＜x≤1时，y的取值范围是_____． 【答案】y＞3或y＜﹣1 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：如图所示： 当﹣3＜x＜0时，函数图象在点（﹣3，﹣1）的下方，即y＜﹣1； 当0＜x＜1时，函数图象在点（1，3）的上方，即y＞3． 即反比例函数y＝，当﹣3≤x≤1时，y的取值范围是y＞3或y＜﹣1． 故答案为y＞3或y＜﹣1． 【点睛】本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解集是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，通过图象直接得出一次函数的值大于或等于反比例函数值时自变量x的取值范围是解题关键． 将不等式变形为，根据A、B两点的横坐标和图象，直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为的解集．利用整体思想即可得出或， 【详解】解：由图可知：当或时，， ∴不等式成立时，或， 实际上就是一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围， 不等式的解集是或 故答案为：或． 17. 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是________ 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，连接，，，，根据垂径定理推得，求得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得出当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用直角三角形的性质求出和的长，即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接，，，，如图， ∵，为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 故在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 18. 如图， 曲线 C₂是双曲线 绕原点O 顺时针旋转得到的图形，A 是曲线上任意一点，点B在直线上，且，若的面积为 则 k 的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设点A 在上的对应点是点，过点作轴，连接，过点A作，先证明，可得，再证，再根据求出，最后求出k即可． 【详解】解：如图，设点A 在上的对应点是点，过点作轴，连接，过点A作， 由题意得：， 点B在直线上， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为 三、解答题（共10题，共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， 故； 【小问2详解】 解：化简得， ， 即， 故． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，再代入计算，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 21. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求A，B两点的坐标； （2）若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【小问1详解】 解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 22. 如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）为上一点，连接，若，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连，证明，可得，证明，可得，则，结论得证； （2）延长交于点，由（1）知，求出，可求出，设半径为，则，解方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，由（1）知， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 设半径为，则， ， ． 的半径为． 23. 某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． （1）求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； （2）已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 【答案】（1）线段的解析式为；反比例函数为 （2）18 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出线段和反比例函数的表达式，观察图像即可知道自变量取值范围． （2）将代入线段和反比例函数的表达式，即可求出对应的值，从而求出畅销持续的天数． 【小问1详解】 解：设线段的解析式为， ，， ，解得， 线段的解析式为． 设反比例函数的解析式为， 经过， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 满足的函数有线段的解析式和反比例函数， 时，代入得， 时，代入得． 时，， 畅销期持续的天数为（天）． 24. 点O是半圆的圆心，直径． （1）分别在半圆上取点C和点D（点C在点D右侧），顺次连接点A，O，C，D，使得以这四点为顶点的四边形是菱形．（尺规作图，不写作法） （2）求（1）中所作菱形的面积为______． 【答案】（1）解：如图， （2） 【解析】 【分析】（1）①以A为圆心，为半径作弧，交半圆于点D，②以D为圆心，为半径作弧，交半圆于点C，③连接，，，从而得到菱形． （2）连接，则，过点D作于点M，可得是等边三角形，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作图可得：， ∴四边形是菱形， 连接，则，过点D作于点M， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 25. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为25% （2）购买的这种健身器材的套数为150套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款22.5万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得： 整理得：， 解得：， 最低售价不得少于1200元， 解得：， 答：购买的这种健身器材的套数为150套． 26. 在解方程时，我们可以把看作一个整体——令，则原方程可以转化为，解得． 当时，，解得；当时，，解得； 综上所述，原方程的解为． （1）解方程：； （2）已知关于的一元四次方程的根为，，，，则______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）观察到方程中重复出现，通过换元将四次方程转化为一元二次方程求解，回代时注意平方数的非负性． （2）已知方程的四个根，将方程表示为因式乘积的形式，化简后对比系数得到各系数值，再计算和． 【小问1详解】 解：令，则原方程化为． 解得，． 当时，，，解得，． 当时，，整理得，舍去． 综上所述，原方程的解为． 【小问2详解】 解：∵方程的根为，，，， ∴原方程可写为． 即． 对比原方程对应项系数，得，，，． ∴． 27. 定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． （1）矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． （2）如图在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】（1）是 （2）①直线与双曲线相交于A，B两点， 联立，解得：，， 当时，；当时，， 点A在第二象限，点B在第四象限， 点A的坐标为，点B的坐标为； ，，， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ， ， 四边形是勾股四边形；     ②或或或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案； （2）①联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到求出A、B两点的坐标；先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论； ②设点Q的坐标为，分情况讨论：①当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；②当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，先证明是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可即可求得点的坐标；④当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，，， 在和中， ， ， 矩形是勾股四边形， 故答案为：是； 【小问2详解】 证明：① 略 ②解：由（2）可知，，，， 设点Q的坐标为， ①如图，当时， ，， ，解得：， ； ②如图，当时， ，， ，解得：， ； ③如图，当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，则， ，， 直线， 令，则，解得：， ， ，轴， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，解得：， ， ④如图，当时， ，， ，解：， ， 综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题是反函数综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 28. 【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… （1）如图②，证明：． 【模型运用】 （2）如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 （3）如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （4）如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 【答案】（1）证明：在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案； （2）先利用已知条件求出，再用（1）的结论得出，即可得出结论． （3）在上截取，连接、、、，证明，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）作与，因为，则为的中点，由（3）知，由条件可求，则可求，又可求，为等腰直角三角形，所以可解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在上截取，连接， 在中， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 的周长． 【小问3详解】 解： 证明：在上截取，连接、、、，如图3， 是弧的中点， ，， 又， △△， ， ， 又， ， ，即； 【小问4详解】 解：作与， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为的中点， 由（3）知， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ 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