第十八章分式中的新定义运算与规律探究 2026-2027学年人教版数学八年级上册

分式中的新定义运算与规律探究 目录导航 一、定义代入与嵌套运算 2 二、运算性质的检验与应用 4 三、差积关联关系的构造与条件研究 7 四、连续运算与周期规律 10 A、基础通关 13 B、难点突破 16 C、方法进阶 19 D、真题精选 22 2026—2027学年人教版八年级数学上册 教师解析版 姓名：________________　班级：________________　日期：________________ 本讲学习：读懂新定义，检查适用条件，研究运算性质，构造关联分式，并验证连续运算的循环规律。 使用前提：已学分式四则运算、因式分解及分式方程。较难题中的恒等比较与分支讨论用于提高训练。 一、定义代入与嵌套运算 【知识详解】新运算符号由题目临时规定。先读清输入、允许范围和计算规则，再把符号翻译成熟悉的分式。定义中字母的位置必须一一对应，左右输入不能任意交换。 输入为一个式子时，要将整个式子代入相应位置。若被减去的输入含有加减运算，应先加括号。嵌套计算从最内层开始，每得到一个结果，都要检查它是否满足下一层的定义。 限制条件分三层检查：题目规定的输入范围、原分式的分母非零条件、中间结果能否进入下一层。化简只改变形式，不会让原来被排除的值重新合法。 【解题方法】读定义与限制 → 对应位置代入 → 逐层运算 → 保留原条件。反求输入时，先化为普通方程，求解后回到原定义检验。 【易错提醒】两个输入交换后，分母中的差通常变号。最后的分母非零，不代表此前每一步都有意义。 例一、（2025·永康七下期末） 定义关于的一种新运算：其中、是实数，且例如， （）求的值。 （）是否存在的值，使成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 【答案】（）（）存在， 【解析】（）两个输入不相等，允许代入。 （）两处新运算都要求由定义得即两边同乘得解得 检验：原式左边为右边为因此存在符合要求的且 变式1-1、 对实数、且定义 当所给运算有意义时，化简 【答案】 【解析】记左输入为首先其次不为因而外层新运算也有意义。 由原式这个结果只在原范围内使用。分子为不妨碍计算，所以是允许值。 变式1-2、 对实数、且定义记 （）有意义时的取值范围是________；有意义时的取值范围是________。 （）当、均有意义时，化简 【答案】（）且（） 【解析】先看计算要求所得还必须不同于外层右输入由可知还须因此的范围为且 再看所以只须内外次序不同，所需条件也不同。 在共同范围内， 变式1-3、 对实数、且、定义解方程 【答案】无解。 【解析】设内层先要求、且外层要求所以还须 在、、的范围内，原方程即由于非零，可以约去这一因子，得到 再乘非零的得到这是矛盾。因此没有任何允许的使原方程成立，原方程无解。 二、运算性质的检验与应用 【知识详解】交换律比较调换两个输入后的结果，结合律比较三个输入的两种组合次序。新运算不能直接套用普通加法、乘法的运算律。 证明一个性质恒成立，要取定义允许的任意输入，分别按定义展开两边，在各式都有意义的前提下化简。几个成立的数值例子不能代替证明；否定普遍结论时，一个合法反例就足够。 含分式的运算还要检查中间结果。例如，正数、使仍为正数，因此它能够继续作为下一层的正数输入。输入范围扩大后，原来成立的性质可能需要新增条件。 【解题方法】先检查两边均有意义，再分别化简；若怀疑不成立，选取便于计算且全部合法的输入构造反例。由恒等关系反求常数时，求出必要值后还要验证。 【易错提醒】只有已经给出或证明的运算律，才能用来简化后续运算。不能把普通运算中的“约去同一项”直接搬到新符号上。 例二、（2025·青岛中考） 【定义新运算】对正实数、定义新运算满足例如，当时， （）当时，计算：________。 【探究运算律】运算是否满足交换律 因为且所以 （）对正实数、、运算是否满足结合律请说明理由。 【应用新运算】（）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，且若正方形与正方形的面积分别为和则的值为________。 【答案】（）（）满足；（） 【解析】（）因为分母非零。 （）当、、均为正数时，及均为正数，内外各层都有意义。 两式相等，故该运算满足结合律。 （）由四个全等直角三角形的总面积，得所以 由图可知，在线段上，在线段上，在线段上，在线段上。△与△全等，与对应，所以于是小正方形的边长 小正方形面积为所以由且得 利用交换律和第（）问已证明的结合律，每一步的输入均为正数。 变式2-1、 对实数、且定义下列等式在其中各式均有意义时恒成立的是（  ）。 ． ． ． ． 【答案】 【解析】交换两个输入，得到因此在各式有意义时恒成立。 可取、而 可取、、左边右边各层输入均不相等，反例合法。 可取、、左边右边两边不等。故只有正确。 变式2-2、 对正实数、定义正数使 对任意正实数、都成立。求的值。 【答案】 【解析】按定义展开两边，得正数、、保证和两个分母都非零。 同乘两个分母并约去得到即因必要条件为 把放回两边，左边右边输入全部为正，所以确实成立。 变式2-3、 对实数、且定义 （）在、时，化简 （）固定实数若对任意满足、的实数、等式都能推出则的取值范围是________。 【答案】（）（） 【解析】（）根据定义通分：已知条件保证分母非零。 （）若两个输出相等就使上述差为于是只能有 若取、这两个输入均符合分母非零要求，且却有因此必须排除，所求范围为 三、差积关联关系的构造与条件研究 【知识详解】若题目规定是的关联分式对应就必须保留这个方向。已知求与已知求是不同任务，不能互换公式。 由得当时，反过来，当时，构造新式后仍要保留原分母限制。 能够满足关系，不能因分子可能为零就提前约去。含参数时，先去分母、整理恒等式，再利用系数对应或因式乘积为零分类处理。 “在共同范围内恒成立”要求对每个允许的都成立，可以比较同次项系数；“在某个处成立”则是条件方程，应求出这个并检验。 【解题方法】翻译关系方向 → 整理求式 → 追踪各层限制 → 代回验证。 【易错提醒】恒等关系不能只用一组取值验证；方程中的合法零分子分支不能被约掉。 例三、 若分式、在共同有意义的范围内恒有则称是的关联分式，记作→ 设其中、、 （）在、、中，每次选取两个不同的分式，用箭头列出全部关联关系。 （）若→且→是否一定有→根据第（）问作出判断。 【答案】（）→、→（）不一定。 【解析】（）对于、分别取、、且有两式的积为因此前一式指向后一式的条件恰为 符合条件的只有和所以全部箭头为→、→ （）而所以→不成立。前后两个关联关系都成立，不能推出跨过中间一式的关联关系。 变式3-1、 若分式、在共同有意义的范围内恒有则称是的关联分式。 已知是的关联分式，是的关联分式。 求、 【答案】 【解析】关联等式可写为会使等式变为所以在关系成立处必须有 的原范围要求由还须于是 再将整理为因为新增限制并得 在、、时，直接相减可得故两次构造均正确。使三式都为仍满足两条等式。 变式3-2、 若分式、在共同有意义的范围内恒有则称是的关联分式。 设、为常数，当和时，等式都成立。 （）求全部符合条件的数对 （）对第（）问求出的每一组参数，判断是否为的关联分式。 【答案】（）、（）两组参数均使为的关联分式。 【解析】（）时，即时，即两式相减得 代入得即所以或不能约去而丢掉零分子分支。 （）共同范围为、时，等式恒成立。时，也恒成立。 这里能从两个点值条件得到结论，是因为参数已经被这两条条件确定并逐组完成了恒等检验；不能把任意两个数值例子都当作恒等证明。 变式3-3、 若分式、在共同有意义的范围内恒有则称是的关联分式。 已知是的关联分式，是的关联分式。若在某个使、、均有意义的处，还有求的值及对应的的值。 【答案】当时，当时， 【解析】两次运用分别得到全过程须有、、 在这个共同范围内，而 所以额外条件等价于即因此候选值为、两者均未触犯限制。 时，所以时，、、且 这里的额外等式只要求在所求的处成立。处理中不能约去否则会错误删掉第一组解。 四、连续运算与周期规律 【知识详解】连续运算要先写清初值和规则，再按顺序计算前几项。若某一步回到原来的数，且下一步继续使用同一规则，此后的过程就会重复。 只发现数值重复还不够。规则若与项号奇偶有关，还要核对下一步所用规则是否相同；同时要确认一轮中每一步都能计算。 若从第一项开始每项重复，把所求项号写为当时，取一轮中的第项；当时，取第项，不能写成第项。 求很多项的和或统计某类项的个数时，先处理完整轮，再处理剩余项。由远处几项之间的关系反求初值时，应先用一轮表达式建立方程，再检查全过程是否合法。 【解题方法】逐项计算 → 验证完整状态恢复 → 用项号余数定位 → 处理完整轮与尾项。 【易错提醒】几项数值相同只提供线索，不能省略循环成立的依据；方程求出的初值也可能让后续某一步失效。 例四、 对实数规定从开始，依次按计算，其中 （）化简 （）若这一列数的每一项都相等，求的值。 （）求用含的式子表示。 【答案】（）（）或（） 【解析】（）所以下一步仍有意义。 因此初值时，后续每一步都能进行，奇数项均为偶数项均为 （）所有项相等当且仅当由得即故或两值均不等于并满足原式。 （）为偶数，为奇数，所以当或时，此结论仍成立。 变式4-1、 一列数的第一项为从第二项起，每一项都是用除以与前一项之差所得的数，即 （）前项中，负数共有________个。 （）求前项的和。 【答案】（）个。（） 【解析】从初值出发，依次得到、、、四种输入都不等于因此没有一步分母为第五项回到初值且后续规则不变，四项便构成一个循环。 前项包括个完整循环和末尾的、每个循环只有一个负数，末尾还有一个负数，故负数共有个。 每个循环的和为所求总和为 变式4-2、 设从第二项起按依次计算，且所有计算均有意义。若 求的值。 【答案】 【解析】由递推式先算得要使这三步全部有效，须、满足这两个条件后，每三项重复同样的数值与规则。 因为除以余余余已知等式化为 在允许范围内，上式等价于进而所以或不符合全过程条件。 时，循环为、、所需的三项依次是、、确有因此 变式4-3、 设其中、对整数当为偶数时，当为奇数时， （）已知求的值。 （）在第（）问求出的初值下，写出前七项，并求使这列数每项一组完全重复的最小正整数 【答案】（）（）前七项为、、、、、、 【解析】（）依次有由得即因为所以 （）直接按奇偶规则计算，前七项为、、、、、、所有取倒数的输入均非零。 且项号、同为奇数，下一步都采用偶数项规则，所以六项以后按相同次序重复。 若则从第一项起向后平移项应得到相同数值。由前六项，只有可能；但排除因此最小为虽等于下一步所用规则不同，不能据此认定三项循环。 A、基础通关 A1、 对非零实数、规定 已知非零实数、、满足求的值。 【答案】 【解析】由定义， 所以例如、、满足两个已知关系，题设能够成立。 A2、（2021·北京昌平八上期中） 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么称这个分式为“和谐分式”。下列分式中，是“和谐分式”的有________（填序号）。 ①②③ 【答案】②。 【解析】①的分子、分母均为一次式，不能再分解为含字母的整式因式的积，不满足第一个条件。②的分母而分子与分母无可约去的公因式，满足两个条件。③的分母可与分子约去公因式不满足“不可约分”的条件。故选②。 这里判断的是分式的一般代数结构，不是在任取的某个数值下判断。各分式有意义分别要求、、因式分解指教材通常意义下分解为两个以上非恒定整式因式，而不是添乘常数 A3、 对正实数、规定从、、、、中选出所有使下式有意义的并分别求出对应的值： 【答案】时，式子的值为时，式子的值为 【解析】该定义要求两个输入都为正数，不能只看最终分母。右输入已经合格，只须逐一检查左输入 时分母为时左输入为时左输入为这三个数都不能使用。 时左输入为运算值时左输入为运算值因此恰有和两种允许情形。 A4、 若两个分式在共同有意义的范围内的和恒等于非零整数则称它们互为定和分式，为定和值。 已知与的定和值为与的定和值为且求 【答案】 【解析】由、两式相减得因此 原式要求此时代回有、两条关系均恒成立。 A5、 将四个数、、、按两行两列排列，规定： 当、均不为时，化简： 【答案】 【解析】由四位置规则，所求差为 展开得因为、均非零，所有分式都有意义。 A6、 对实数、且、规定当下列各运算有意义时，化简： 【答案】原式要求、 【解析】原式要求且按定义， 相加得化简后仍须保留这一原限制。 B、难点突破 B1、 对非零实数、规定当所有运算都有意义时，化简： 【答案】 【解析】内层两项是、这一步需要、均非零。 外层的两个输入也必须非零，因此再要求此时两输入的积为 按定义取这个乘积的倒数，结果为完整原范围仍为、、不能由简化结果反过来放宽。 B2、 设为实数。从开始，依次按计算。已知、均能算出，而不能算出，求的值。 【答案】 【解析】第四项无法计算而第三项已存在，说明第四项的分母为即 从倒推得再由得到 代入核验：依次生成、、前两次除法的分母分别、第三次分母为失败恰好发生在故答案只有 B3、 对实数、记为其中较大的数；若则取它们的共同值。 设 （）用表示结果可以含绝对值。 （）若求的所有值。 【答案】（）（）、、、 【解析】（）若则两项分别为、若则两项分别为、故 （）由绝对值定义，或 第一种情形同乘得即得或 第二种情形得即得或 四个数均非零，代入均为所以没有增根或漏解。 B4、 若分式、在共同有意义的范围内恒有则称是的关联分式。 分式、、有相同且非空的定义域，并且是的关联分式，是的关联分式，又是的关联分式。 判断：、、是否必定都恒等于说明理由。 【答案】必定都恒等于 【解析】任取一个允许的此时三个数满足 若其中一个数为由相邻的关联等式立刻得到另外两个数也为 若三个数均非零，分别用、、除对应等式，得三式相加得矛盾。 因此对每个允许的三个数都只能为故、、都恒等于反过来三个零分式确实满足全部条件。 B5、 对实数、且规定已知关于的方程有解，求的取值范围，并用含的式子表示这个解。 【答案】且 【解析】方程在时写成去分母后得到 若等式变成没有解。若唯一候选为但还须检查 候选与之差为它不为当且仅当因此在、时，候选合法并使原式为 时，原式在范围内恒等于不可能等于综上、且解为 B6、 对任意实数规定例如， （）解方程 （）方程是否有实数解？ 【答案】（）或（）无实数解。 【解析】对每个实数分母都为正；并且因此两层运算都始终有意义。 （）设则由得结合只有再解得到即代入时内层为外层为两解都成立。 （）若外层结果为则给出但不可能满足这个条件，故不存在实数解。 排除的是内层输出无法达到的数值，不是某个实数令分母为 C、方法进阶 C1、 对正数规定 正数、、满足且求的值。 【答案】 【解析】由条件， 因此、、中至少有一个等于不妨设由得即 且所以所求和为其他两种情况完全相同。全部输入为正，各分母非零。 C2、 若两个关于的分式、的和与积都不随改变，则称它们具有“双恒定关系”。 设、为常数，若、在的范围内具有双恒定关系，求、及对应的和、积。 【答案】 【解析】设由恒成立，比较项与常数项得、所以 再设于是恒成立。比较项得比较项得即 因此此时对每个都有所以和为、积为确实都不随改变。 C3、 设 （）化简 （）在、、前各选一个“”或“”号，再将三项之和取绝对值。求所有可能的结果；在范围内恒相等的两个代数式视为同一种结果。 【答案】（）（）共有种：、、、 【解析】（）所以 （）任意一种符号选择与三个符号全部反过来的选择，取绝对值后结果相同。因此只需列出前为正号的四种情形。 四种结果均能出现。取时，它们分别为、、、两两不同，所以没有两种在整个共同范围内恒等。故恰有种结果。 C4、 对实数、且规定其中、是非零常数。 已知 （）这两个条件能否唯一确定、若不能，写出两组符合条件的 （）若再知求、并求的值，其中 【答案】（）不能，例如、（）、 【解析】（）第一个条件给第二个条件给与第一条相同，没有提供新的限制。 、均满足且、非零，因此不能唯一确定参数。 （）补充条件给即联立解得、 于是因为分母非零；代回三组原样本也均符合条件。 C5、 对实数、且若关于的方程有唯一解，而且这个解为则称为“关联数对”。 （）若为关联数对，用含的式子表示并求的取值范围。 （）使成为关联数对的实数共有________个。 【答案】（）且、、 （）个。 【解析】（）定义中的保证指定解存在且非零。把该解代入得也就是 时这个等式不可能成立，因此且由此结合还要 若则必有方程成为所有非零都是解，违背唯一性。因此还须 检验充分性：当、、并取上述时，非零。原方程在内等价于恰有一个解正好等于且不为 （）对两数之和恒为所以定义要求唯一解为将代入对应方程，得到故只有候选 然而对应会有无穷多个非零解，不能成为关联数对。因此符合条件的实数共有个。 D、真题精选 D1、（2025—2026·广州天河八上期末） 定义新运算“”： 当时，当时， 如果那么的值为（  ）。 或或　 或　 或　 或 【答案】或 【解析】按定义，不能等于 当时，使用这一支：解得满足且分母非零。 当时，使用这一支：解得满足且分母非零。 因此或选两支都要讨论；所得根还要分别回验分支条件，不能只验分母。 D2、（2025·丹阳七上期中） 是不为的有理数，我们把称为的“伴随数”，如的“伴随数”是的“伴随数”是已知是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，……，以此类推，则等于（  ）。 　 　 　 【答案】 【解析】 四个状态、、、都不等于因此后续运算可持续进行。每回到相同值，就继续使用相同规则，故按、、、循环。所以选 D3、（2025—2026·成都实外八下期中） 新定义：如果两个实数、使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数、组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”。 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”。 （）判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”，若不是，打“”。 ①（  ）；②（  ）。 （）请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由。 （）若数对是关于的分式方程的“友好数对”，试比较、的大小。 【答案】（）、√；（）可能，（） 【解析】定义要求且令代回得即这只是由定义得到的必要等式，求得候选后仍回验原分式方程及相关分母。 （）①、时，原方程的解为而不相等，填②、时，原方程的解为而且填√。 （）若可能，则且由定义，整理得即故检验：这时数对为原方程的解为合法。因此可能，且 （）将、代入必要等式，得故于是由得因此所给分式的分母、、、均非零；定义中的也非零。 因此 因分子分母中的、分母乘积所以故 D4、（2025—2026·江门八上期末） （本题分）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”。 如分式 则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为 （）已知分式判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”。 （）已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是求所代表的代数式。 （）已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是求的值。 【答案】（）是，雅中值为（）（） 【解析】（）在原分式有意义的范围内，是正常数，所以是的“雅中式”，雅中值为 （）共同范围为、根据定义， 因为所以得代回后恒为 （）共同范围为由得 展开分子，得 因此在共同范围内恒成立。比较项与常数项，得 将代入第二式，得所以检验：、原差为满足正数条件。 D5、（2025·青岛李沧八下期末） （本题满分分）定义：若分式与分式的和等于它们的积的倍（为常数，），即则称分式互为“倍和积分式”。 例如与因为 所以与互为“倍和积分式”。 （）下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是________；（填序号） ①与②与 ③与④与 （）已知与互为“倍和积分式”，则的值为________； （）若分式是分式的“倍和积分式”，则分式为________； （）若关于的分式与（为常数）互为“倍和积分式”，则的值为________。 【答案】（）②④；（）（）（） 【解析】对分子非零的已知分式，可等价变为所得必须是与字母无关的非零常数。 （）①倒数和为不是常数；②倒数和为③倒数和为不是常数；④倒数和为所以填②④。 对应的共同范围为：①②、③且④、 （）且共同范围为、 （）记由得故共同范围为、 核验：而也为此式。 （）若或则一式恒为而另一式不恒为不可能满足定义，因此且 在两原分母均非零的共同范围内，按定义去分母，得即 右边与无关，故因此 常数项还给出由还得取、、时，原关系成立，说明条件能够满足。 D6、（2026·李沧城阳八下期末） （本题满分分）定义：如果一个分式的平方与一个分式的和等于即那么就称分式是分式的“方和分式”。 例如： 因为 所以是的“方和分式”。 （）请判断是否为的“方和分式”，并说明理由； （）若分式是的“方和分式”，求分式 （）若分式（为常数）是的“方和分式”，求的值。 【答案】（）是；（）或（） 【解析】（）共同范围为根据定义计算： 所以是的“方和分式”。 （）原分式要求由定义， 因此 所以或两式的平方均为代回均满足定义，不能漏去负号对应的分式。 （）共同范围为由定义， 去分母得所以得两值代回后均满足定义。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分式中的新定义运算与规律探究 目录导航 一、定义代入与嵌套运算 2 二、运算性质的检验与应用 4 三、差积关联关系的构造与条件研究 7 四、连续运算与周期规律 10 A、基础通关 13 B、难点突破 15 C、方法进阶 18 D、真题精选 21 2026—2027学年人教版八年级数学上册 学生版 姓名：________________　班级：________________　日期：________________ 本讲学习：读懂新定义，检查适用条件，研究运算性质，构造关联分式，并验证连续运算的循环规律。 使用前提：已学分式四则运算、因式分解及分式方程。较难题中的恒等比较与分支讨论用于提高训练。 一、定义代入与嵌套运算 【知识详解】新运算符号由题目临时规定。先读清输入、允许范围和计算规则，再把符号翻译成熟悉的分式。定义中字母的位置必须一一对应，左右输入不能任意交换。 输入为一个式子时，要将整个式子代入相应位置。若被减去的输入含有加减运算，应先加括号。嵌套计算从最内层开始，每得到一个结果，都要检查它是否满足下一层的定义。 限制条件分三层检查：题目规定的输入范围、原分式的分母非零条件、中间结果能否进入下一层。化简只改变形式，不会让原来被排除的值重新合法。 【解题方法】读定义与限制 → 对应位置代入 → 逐层运算 → 保留原条件。反求输入时，先化为普通方程，求解后回到原定义检验。 【易错提醒】两个输入交换后，分母中的差通常变号。最后的分母非零，不代表此前每一步都有意义。 例一、（2025·永康七下期末） 定义关于的一种新运算：其中、是实数，且例如， （）求的值。 （）是否存在的值，使成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 变式1-1、 对实数、且定义 当所给运算有意义时，化简 变式1-2、 对实数、且定义记 （）有意义时的取值范围是________；有意义时的取值范围是________。 （）当、均有意义时，化简 变式1-3、 对实数、且、定义解方程 二、运算性质的检验与应用 【知识详解】交换律比较调换两个输入后的结果，结合律比较三个输入的两种组合次序。新运算不能直接套用普通加法、乘法的运算律。 证明一个性质恒成立，要取定义允许的任意输入，分别按定义展开两边，在各式都有意义的前提下化简。几个成立的数值例子不能代替证明；否定普遍结论时，一个合法反例就足够。 含分式的运算还要检查中间结果。例如，正数、使仍为正数，因此它能够继续作为下一层的正数输入。输入范围扩大后，原来成立的性质可能需要新增条件。 【解题方法】先检查两边均有意义，再分别化简；若怀疑不成立，选取便于计算且全部合法的输入构造反例。由恒等关系反求常数时，求出必要值后还要验证。 【易错提醒】只有已经给出或证明的运算律，才能用来简化后续运算。不能把普通运算中的“约去同一项”直接搬到新符号上。 例二、（2025·青岛中考） 【定义新运算】对正实数、定义新运算满足例如，当时， （）当时，计算：________。 【探究运算律】运算是否满足交换律 因为且所以 （）对正实数、、运算是否满足结合律请说明理由。 【应用新运算】（）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，且若正方形与正方形的面积分别为和则的值为________。 变式2-1、 对实数、且定义下列等式在其中各式均有意义时恒成立的是（  ）。 ． ． ． ． 变式2-2、 对正实数、定义正数使 对任意正实数、都成立。求的值。 变式2-3、 对实数、且定义 （）在、时，化简 （）固定实数若对任意满足、的实数、等式都能推出则的取值范围是________。 三、差积关联关系的构造与条件研究 【知识详解】若题目规定是的关联分式对应就必须保留这个方向。已知求与已知求是不同任务，不能互换公式。 由得当时，反过来，当时，构造新式后仍要保留原分母限制。 能够满足关系，不能因分子可能为零就提前约去。含参数时，先去分母、整理恒等式，再利用系数对应或因式乘积为零分类处理。 “在共同范围内恒成立”要求对每个允许的都成立，可以比较同次项系数；“在某个处成立”则是条件方程，应求出这个并检验。 【解题方法】翻译关系方向 → 整理求式 → 追踪各层限制 → 代回验证。 【易错提醒】恒等关系不能只用一组取值验证；方程中的合法零分子分支不能被约掉。 例三、 若分式、在共同有意义的范围内恒有则称是的关联分式，记作→ 设其中、、 （）在、、中，每次选取两个不同的分式，用箭头列出全部关联关系。 （）若→且→是否一定有→根据第（）问作出判断。 变式3-1、 若分式、在共同有意义的范围内恒有则称是的关联分式。 已知是的关联分式，是的关联分式。 求、 变式3-2、 若分式、在共同有意义的范围内恒有则称是的关联分式。 设、为常数，当和时，等式都成立。 （）求全部符合条件的数对 （）对第（）问求出的每一组参数，判断是否为的关联分式。 变式3-3、 若分式、在共同有意义的范围内恒有则称是的关联分式。 已知是的关联分式，是的关联分式。若在某个使、、均有意义的处，还有求的值及对应的的值。 四、连续运算与周期规律 【知识详解】连续运算要先写清初值和规则，再按顺序计算前几项。若某一步回到原来的数，且下一步继续使用同一规则，此后的过程就会重复。 只发现数值重复还不够。规则若与项号奇偶有关，还要核对下一步所用规则是否相同；同时要确认一轮中每一步都能计算。 若从第一项开始每项重复，把所求项号写为当时，取一轮中的第项；当时，取第项，不能写成第项。 求很多项的和或统计某类项的个数时，先处理完整轮，再处理剩余项。由远处几项之间的关系反求初值时，应先用一轮表达式建立方程，再检查全过程是否合法。 【解题方法】逐项计算 → 验证完整状态恢复 → 用项号余数定位 → 处理完整轮与尾项。 【易错提醒】几项数值相同只提供线索，不能省略循环成立的依据；方程求出的初值也可能让后续某一步失效。 例四、 对实数规定从开始，依次按计算，其中 （）化简 （）若这一列数的每一项都相等，求的值。 （）求用含的式子表示。 变式4-1、 一列数的第一项为从第二项起，每一项都是用除以与前一项之差所得的数，即 （）前项中，负数共有________个。 （）求前项的和。 变式4-2、 设从第二项起按依次计算，且所有计算均有意义。若 求的值。 变式4-3、 设其中、对整数当为偶数时，当为奇数时， （）已知求的值。 （）在第（）问求出的初值下，写出前七项，并求使这列数每项一组完全重复的最小正整数 A、基础通关 A1、 对非零实数、规定 已知非零实数、、满足求的值。 A2、（2021·北京昌平八上期中） 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么称这个分式为“和谐分式”。下列分式中，是“和谐分式”的有________（填序号）。 ①②③ A3、 对正实数、规定从、、、、中选出所有使下式有意义的并分别求出对应的值： A4、 若两个分式在共同有意义的范围内的和恒等于非零整数则称它们互为定和分式，为定和值。 已知与的定和值为与的定和值为且求 A5、 将四个数、、、按两行两列排列，规定： 当、均不为时，化简： A6、 对实数、且、规定当下列各运算有意义时，化简： B、难点突破 B1、 对非零实数、规定当所有运算都有意义时，化简： B2、 设为实数。从开始，依次按计算。已知、均能算出，而不能算出，求的值。 B3、 对实数、记为其中较大的数；若则取它们的共同值。 设 （）用表示结果可以含绝对值。 （）若求的所有值。 B4、 若分式、在共同有意义的范围内恒有则称是的关联分式。 分式、、有相同且非空的定义域，并且是的关联分式，是的关联分式，又是的关联分式。 判断：、、是否必定都恒等于说明理由。 B5、 对实数、且规定已知关于的方程有解，求的取值范围，并用含的式子表示这个解。 B6、 对任意实数规定例如， （）解方程 （）方程是否有实数解？ C、方法进阶 C1、 对正数规定 正数、、满足且求的值。 C2、 若两个关于的分式、的和与积都不随改变，则称它们具有“双恒定关系”。 设、为常数，若、在的范围内具有双恒定关系，求、及对应的和、积。 C3、 设 （）化简 （）在、、前各选一个“”或“”号，再将三项之和取绝对值。求所有可能的结果；在范围内恒相等的两个代数式视为同一种结果。 C4、 对实数、且规定其中、是非零常数。 已知 （）这两个条件能否唯一确定、若不能，写出两组符合条件的 （）若再知求、并求的值，其中 C5、 对实数、且若关于的方程有唯一解，而且这个解为则称为“关联数对”。 （）若为关联数对，用含的式子表示并求的取值范围。 （）使成为关联数对的实数共有________个。 D、真题精选 D1、（2025—2026·广州天河八上期末） 定义新运算“”： 当时，当时， 如果那么的值为（  ）。 或或　 或　 或　 或 D2、（2025·丹阳七上期中） 是不为的有理数，我们把称为的“伴随数”，如的“伴随数”是的“伴随数”是已知是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，……，以此类推，则等于（  ）。 　 　 　 D3、（2025—2026·成都实外八下期中） 新定义：如果两个实数、使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数、组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”。 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”。 （）判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”，若不是，打“”。 ①（  ）；②（  ）。 （）请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由。 （）若数对是关于的分式方程的“友好数对”，试比较、的大小。 D4、（2025—2026·江门八上期末） （本题分）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”。 如分式 则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为 （）已知分式判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”。 （）已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是求所代表的代数式。 （）已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是求的值。 D5、（2025·青岛李沧八下期末） （本题满分分）定义：若分式与分式的和等于它们的积的倍（为常数，），即则称分式互为“倍和积分式”。 例如与因为 所以与互为“倍和积分式”。 （）下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是________；（填序号） ①与②与 ③与④与 （）已知与互为“倍和积分式”，则的值为________； （）若分式是分式的“倍和积分式”，则分式为________； （）若关于的分式与（为常数）互为“倍和积分式”，则的值为________。 D6、（2026·李沧城阳八下期末） （本题满分分）定义：如果一个分式的平方与一个分式的和等于即那么就称分式是分式的“方和分式”。 例如： 因为 所以是的“方和分式”。 （）请判断是否为的“方和分式”，并说明理由； （）若分式是的“方和分式”，求分式 （）若分式（为常数）是的“方和分式”，求的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $