专题19 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题19 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解分式方程 题型二、解分式方程错解复原问题 题型三、已知分式方程的增根求参数 题型四、已知分式方程的无解求参数 题型五、根据分式方程解的情况求值 题型六、分式方程中的规律探究问题 题型七、分式方程中的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：分式方程中含参数讨论解的情况，或呈现规律、新定义运算，需转化求解。 - 解题方法：先去分母化为整式方程；含参时解出用参数表示的解，再结合“有解/无解/增根”条件定参数；规律与新定义题严格按规则列分式方程。 - 易错提醒：忘记验根导致增根；参数讨论漏“无解”情形；新定义中分母为零条件遗漏；规律题未验证即推广。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解分式方程 典例1 （26-27八年级上·山东烟台·期中）解分式方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． （2）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程无解． 题型模版 1.特征：方程分母中含未知数，需去分母化为整式方程，解后必须检验是否增根。 2.方法：两边同乘最简公分母去分母，解整式方程，将解代入最简公分母检验，舍去使分母为零的根。 变式1-1（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【详解】（1）解：方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程无解； （2）解：方程两边同乘，得， ， ， ， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 变式1-2（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 变式1-3（2026八年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）先去分母，将原方程化为整式方程，求解后再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 在方程两边同乘以，得： ， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 整理得：， 在方程两边同乘以，得： ， 解得：， 检验：把代入，得： ∴是原分式方程的解． 题型二、解分式方程错解复原问题 典例2 （25-26七年级下·浙江台州·期末）在解分式方程时，李明的解法如下： 解：            …… 第①步     ……第②步            ……第③步     ……第④步 检验：当时，          …… 第⑤步 所以是原分式方程的解． (1)上面运算过程中第_______步开始出现了错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)， ， ， ， 解得：， 检验：当时，， 所以原分式方程无解． 【分析】（1）第②步去分母过程中没有将方程中的每一项都乘以最小公分母； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 1.特征：给出解分式方程的错误过程或错解，需找出错因并改正，重检验意识。 2.方法：逐步按正确步骤重解，对比错误点（如去分母漏乘、未检验增根），改正并验根得正确解。 变式2-1（25-26八年级上·江西赣州·期末）下面是某位同学解分式方程的过程： 解：方程两边同乘以，得：，① 去括号，得：，② 移项，得：，③ 解得：，④ 检验：当时，，⑤ 所以，原分式方程的解为． (1)填空：第___________步开始出现了错误（只填序号）； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2) 解：方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 【分析】（）根据去括号法则判断即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：该同学的做法从第②步去括号未变号，出现了错误， 故答案为：②； （2）略 变式2-2（2026·贵州·二模）下面是小颖和小轩同学解方程的过程： 小颖 小轩 解：去分母， 得………………第一步 去括号，得………………第二步 化简，得………………第三步 解： 移项，得………………第一步 分式相加，得………………第二步 提公因式，得………………第三步 约分，得………………第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： (1)你选择的是________同学，出错在第______步，错误的原因是________________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)解：选择的是小颖同学，出错在第一步， 错误原因是去分母时，未把分子作为整体加括号． 或选择的是小轩同学，出错在第四步， 错误原因是约分时，分子分母同时除以，没有考虑是否为零． (2)解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验，把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解． 【分析】（1）根据两位同学解分式方程的过程即可得出结果； （2）按去分母、去括号、求解、检验的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：选择的是小颖同学，出错在第一步， 错误原因是去分母时，未把分子作为整体加括号，导致符号错误； 选择的是小轩同学，出错在第四步， 错误原因是约分时未考虑； （2）略． 变式2-3（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式…………第一步 …………第二步 ．…………第三步 习题2：解方程 解：．…………第一步 …………第二步 ．…………第三步 检验：当时， 是原方程的增根， 原方程无解．…………第四步 (1)习题1的解答过程从第___步开始出现错误，习题2的解答过程从第___步开始出现错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，一 (2) 习题1： 习题2： 检验：当时， 是原方程的解． 【分析】（1）根据完全平方公式判断习题一的第二步；根据分式方程去分母这一步骤判断习题2的第一步； （2）习题1：根据分式的加减法则计算即可；习题2：根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：根据完全平方公式判断习题1的第二步开始出现错误， 根据分式方程去分母这一步骤判断习题2的第一步出现错误． （2）略 题型三、已知分式方程的增根求参数 典例3 （25-26八年级下·贵州毕节·期末）若关于的方程有增根，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的可能值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵原分式方程的最简公分母为，且方程有增根， ∴，解得， 原方程可整理为， 方程两边同时乘（）得， ∵是去分母后整式方程的根， ∴将代入整式方程，得，解得． 题型模版 1.特征：已知分式方程有增根，求其中参数，增根为使最简公分母为零的根。 2.方法：令最简公分母为0求出增根，将增根代入去分母后的整式方程，解出参数并验证。 变式3-1（26-27八年级上·河北唐山·阶段检测）关于 的分式方程 有增根，则 的值为____________． 【答案】 【分析】分式方程有增根时，增根为使原方程分母为零的未知数取值，将原方程去分母化为整式方程，代入增根即可计算得到的值． 【详解】解： 分式方程存在增根， ， 解得， 将代入，得， 解得． 变式3-2（26-27七年级上·上海闵行·期中）如果关于的方程有增根，则_________． 【答案】 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程转化为整式方程，把增根代入整式方程即可求得的值． 【详解】∵分式方程的分母为和， ∴最简公分母为． ∵方程有增根， ∴最简公分母为0，即． 解得增根为． 方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程， 得． ∵增根是该整式方程的根， ∴将代入整式方程． 得． 即． 解得． 变式3-3（26-27八年级上·山东济宁·阶段检测）若关于x的方程有增根，则m的值是________ 【答案】 【分析】原分式方程的最简公分母为，增根必为使公分母为0的根，得到，将方程去分母化为整式方程后，把增根代入整式方程即可求得的值． 【详解】解：∵分式方程的增根是使原方程分母为0的根， ∴令原方程的分母， 解得， ， 方程两边同时乘以最简公分母（），得 ∵增根是去分母后所得整式方程的根， ∴将代入上述整式方程，得 解得． 题型四、已知分式方程的无解求参数 典例4 （26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）若关于的分式方程无解，则的值为________． 【答案】 或1 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，结合分式方程无解的两类情形（整式方程无实根、整式方程的解为原方程的增根）计算对应值． 【详解】解：∵ 原分式方程的分母不能为0， ∴ 原方程的隐含取值限制为． 将原方程两边同乘（满足）去分母，得 整理得． 分两种情况讨论方程无解的条件： 当，即时，整式方程变为，无实数解，此时原分式方程无解． 当，即时，解得整式方程的解为． ∵ 原分式方程无解． ∴ 该解为原方程的增根，即． 代入得． 解得． 经检验，时，会使原方程分母为0，是增根，原方程无解． 综上，满足条件的值为或1． 题型模版 1.特征：已知分式方程无解，求参数，需考虑整式方程无解或解为增根两种情况。 2.方法：去分母得整式方程，分别令其无解（系数为0且常数不为0）或解为增根，列方程求参数并验证。 变式4-1（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是______ 【答案】 或 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母， 去分母，得，整理得：， 情况1：若整式方程无解， ∵当一次项系数为时，整式方程无解， ∴，解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， ∵原分式方程的增根满足，即， ∴把代入，得， 解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 变式4-2（2026·四川南充·二模）已知关于x的分式方程无解，则实数m的值为______． 【答案】 【分析】先转化成整式方程，分式方程无解，根据增根即可求解． 【详解】解：， 方程两边都乘以，得， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是方程的增根， 则， 解得：． 变式4-3（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于的方程无解，则实数的值为____． 【答案】或2或 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据分式方程无解分情况讨论，一是整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算求出的值即可． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘，即， 去分母得∶ ， 整理得：， 原方程无解， 分两种情况讨论：当整式方程无解时， 此时且，解得，符合条件． 当整式方程的解为原方程的增根时，原方程的增根为使分母为零的，即或，把代入， 得：，解得，符合条件． 把代入 得：，解得，符合条件． 综上，实数的值为或或． 题型五、根据分式方程解的情况求值 典例5 （26-27八年级上·山东烟台·期中）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为__________ 【答案】 且 【分析】先通过去分母解分式方程得到用表示的，再结合解为正数、分式方程分母不为0的限制条件列不等式，排除增根对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为，分式有意义的条件为，即， ∴方程两边同乘最简公分母去分母，得， ∴整理得整式方程的解为， ∵方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程的解不能为增根，即， ∴， 解得， ∴综合可得的取值范围为且． 题型模版 1.特征：已知分式方程解的范围（如正数、负数、整数），求参数取值，需解后检验增根。 2.方法：去分母解出含参数的根，按解的条件列不等式或等式，结合分母不为零排除增根，求参数范围。 变式5-1（25-26八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 【答案】 且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为负数，结合分式方程有意义的条件（分母不为0）求解k的取值范围即可． 【详解】解：给分式方程两边同乘， 化为整式方程得 ， 展开整理得 ，解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，得， 又∵分式方程中分母不为0，即， ∴，得， ∴k的取值范围为且． 变式5-2（25-26八年级下·四川巴中·期末）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为________． 【答案】且 【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，用含的式子表示出，再根据两个限制条件列不等式：①解；②分母不能为0，即，最后联立求出的取值范围． 【详解】解：， 变形分母：， 方程两边同乘最简公分母去分母： ， 去括号： ， 合并同类项： ， 移项求解： ， 条件1：解为非负数 ，， 解得：， 条件2：分式分母不为0， ， 两边乘2：， 解得：， 综合两个条件：且． 变式5-3（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和是______________ 【答案】7 【分析】先求解给定的一元一次不等式组，结合其解集确定的取值范围，再求解对应的分式方程，根据方程的解为正整数且排除增根的要求，筛选出所有符合条件的整数，计算这些整数的和即可． 【详解】解：， 解第一个不等式，得， 解第二个不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解分式方程， 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解为正整数， ∴是正整数，且， 即，为偶数，且， 结合的条件，筛选整数： 当时，，解得，满足，且，符合要求； 当时，，解得，此时为增根，舍去； 当时，，解得，满足，符合要求； 当时，，解得，满足，符合要求； 当时，解得的，不满足的条件，舍去； 所有符合条件的整数为，其和为． 题型六、分式方程中的规律探究问题 典例6 （25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）根据发现的规律回答问题 (1)解下列方程 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； (2)根据上述规律和形式继续写出： ________________；_____________； (3)请根据上述规律写出第个（为正整数）方程及它的解，并写出解题过程． 【答案】(1)；；；； (2)的解为；的解为； (3)第个（为正整数）方程为解为， ， 经检验：是原方程的解， ∴原分式方程的解为：． 【分析】（）根据解分式方程的方法分别进行求解即可； （）观察上述方程及解的规律可得到第个方程并求解即可； （）根据上述规律，第个方程为，再对该分式方程进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； （2）解：根据上述规律和形式可得 ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； （3）略 题型模版 1.特征：观察一组分式方程的解，发现解与方程系数的递推或对应规律，猜想并验证。 2.方法：列举前几个方程及其解，找解与系数的对应关系，用含n的式子表示通解，代入验证后推广。 变式6-1（25-26八年级上·山东聊城·期中）关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【答案】(1)或 (2)或， 方程的解为：或， 检验：当时，左边右边，故是方程的解， 当时，左边右边，故也是方程的解； (3)或 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将方程转化为的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为的形式，然后得到或，然后解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程的解为：或； 故答案为：或； （2）略 （3）解：将方程左边整理得： ； 方程右边整理为： ； ∴原方程可化为：， ∴或， 解得，或． 变式6-2（25-26八年级下·湖南益阳·期末）根据分式的减法法则，，由此得到公式“”，不难发现可以“拆”成与这两个分式的差．在此不妨称“”为“拆项公式”．求： (1)； (2)仿照上面运算将拆项； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的加减法及解分式方程，解答的关键是读懂材料，对所求的式子拆项． （1）利用计算即可； （2）先计算，再根据求解即可； （3）利用（2）的结论，将方程整理为，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解， ∴． 变式6-3（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； (2)若a，b满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 题型七、分式方程中的新定义型问题 典例7 （25-26八年级下·甘肃天水·期中）定义：如果两个分式M与N的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，， ，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．求所代表的代数式． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整数值” (2) 【分析】（1）先计算，再根据结果即可得解； （2）先求出，再+结合题意得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B是互为“和整分式”， “和整数值”； （2）解：∵，， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴ ． 题型模版 1.特征：定义与分式方程相关的新概念（如“友好方程”），按规则求解或判断，重理解迁移。 2.方法：将新定义转化为方程条件，去分母化为整式方程求解，检验增根并验证是否满足新定义。 变式7-1（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“同契方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“整契方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“同契方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程与是“整契方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)解：是“同契方程”， 理由：解一元一次方程，解得：， 解分式方程，解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴一元一次方程与分式方程是“同契方程” (2) 【分析】（1）先依次求出两个方程的解，再根据“同契方程”的定义即可得出结论． （2）根据两个方程有相同的整数解，列出关于x与m的式子，根据x为整数，m为正整数，进而确定m的值． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，两个方程有相同的整数解， ∴， ∴， ①当时，方程无解， ②当，即时，，即， ∵x，y均为整数， ∴， ∴， 又∵m取正整数， ∴． 变式7-2（25-26八年级上·湖南郴州·期末）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且，若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】(1)是互为“和整分式”， (2) (3)或 【分析】本题考查新定义“和整分式”的理解，分式的加减运算，分式方程的解法及无解问题，理解新定义是解题关键． （1） 先化简分式，再计算的结果，根据新定义判断是否为和整分式并确定值． （2）先根据和整分式的定义求出，再化简，结合为正整数及为正整数求解的值． （3）先确定的值，再根据列出方程，分一次项系数为0和方程有增根两种情况求解的值． 【详解】（1）解： 是正整数 与是互为“和整分式”，“和整数值” （2）解：， 与互为“和整分式”， （） 的值为正整数，为正整数 为的负约数 或 解得或 是正整数 舍去 答：正整数的值为1． （3）解：由（2）知 两边乘得 整理得 关于的方程无解 分两种情况 情况一： 解得，此时方程，无解 情况二：方程有增根，增根为 将代入 得 解得 综上，的值为或． 变式7-3（25-26八年级上·河北沧州·阶段检测）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】(1)是互为“和整分式”， (2)①；② (3)或 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． （1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数．为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ， 与B是互为“和整分式”，“和整数值”； （2）解：①∵， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴， ∴； ②∵，且分式的值为正整数为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）解：由题意可得：， ， ， ， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 当时， 解得：， 当，方程有增根， ， 解得：， 综上：的值为：1或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘以，解方程，检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ，解得 ． 检验，当时，， 故是原方程的解． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤．解分式方程，得到解x关于k的表达式，根据解为非负数且分母不为零，得到k的取值范围． 【详解】解：， 两边乘以，得， 解得， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴k的取值范围是且， 故选：D． 4．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验是分式方程的解． 故选A． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期中）观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 将分式方程两边通分后交叉相乘，化为整式方程求解，并检验分母是否为零． 【详解】解： ， ， ， ， ， 检验：当时，分母且， 故原方程的解为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）关于x的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是弄清分式方程无解的条件． 先把分式方程化为，再根据分式方程无解得到有增根，然后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， ∵关于x的分式方程无解， ∴， ∴有增根， ∴代入，得， 解得，． 故答案为：4． 8．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可． 【详解】解：由定义可知：， ∴， 解得； 经检验，当时，分母， 故是方程的解； 故答案为． 9．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到，再根据解为正数且方程不能有增根，列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴； 又∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， 综上所述，且， 故答案为：且． 10．（25-26八年级上·湖南张家界·期中）观察下列等式的规律，并回答下列问题： ； ； ； 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，分析等式特点得到规律，应用规律到方程是解决本题的关键．先根据上面的规律化简方程，解分式方程求出解，检验得结论． 【详解】解：， ， ， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东聊城·月考）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解： ， 去分母得：， 解得， 检验，当时，， 原分式方程的解是； （2）解：， 去分母得：， 解得， 检验：当时，最简公分母， 原分式方程无解． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）小珍解方程过程如下： 解：去分母，得……第一步 去括号，得 ……第二步 合并同类项，得……第三步 解得 ……第四步 检验：当时， 不是分式方程的根，原分式方程无解．……第五步 (1)你认为小珍从第______步出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步 (2)，过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．注意：解分式方程，最后需要检验，避免出现增根． （1）根据解题过程逐步判断解答； （2）根据解分式方程的步骤写出正确的解答过程即可． 【详解】（1）解：小珍从第一步出现错误，去分母时，方程右边没有乘以公分母， 故答案为：第一步 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 13．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 14．（25-26八年级上·河北沧州·月考）计算 （1）解下列方程，直接填空： ①的解为　　　； ②的解为　　　； ③的解为　　　； ④的解为　　　； ...... 归纳 （2）请根据“计算”中发现的规律写出第⑥个方程并直接写出该方程的解； 总结 （3）请用一个含正整数n的式子表示上述方程的规律，并求出该方程的解． 【答案】（1）①0，②1，③2，④3；（2），；（3）， 【分析】本题考查了分式方程的求解及规律探究． （1）根据解分式方程的法则分别进行求解即可； （2）观察上述方程及解的规律可得到第⑥个方程并求解即可； （3）根据上述规律，第n个方程为，再对该分式方程进行求解即可． 【详解】解：（1）①方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ②方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ③方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ④方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； 故答案为：①0，②1，③2，④3． （2）第⑥个方程为， 解得． （3）第n个方程为， 方程两边同乘，得，解得， 经检验是原分式方程的解． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． (1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（  ） ②分式 与 互为和谐分式；（  ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（  ） (2)当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； (3)已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 【答案】(1)① ×；②√；③ × (2) (3)或 或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解二元一次方程组，因式分解的应用，分式的加法运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据和谐分式和和谐整式的定义可判断①②；根据和谐分式的定义可得方程，解方程可判断③； （2）根据和谐分式的定义可得，则可得到，进而得到，解之即可得到答案； （3）根据题意可得，则可推出，再把5分解成2个整数的乘积，则可得到关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：①， ∵对于任意的x，的值不一定为1， ∴整式与对任意x不一定具有和谐关系，故错； ②， ∴分式 与 互为和谐分式，故对； ③当分式与互为和谐分式时，则， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，故错； （2）解：∵当时， 如果分式与始终互为和谐分式， ， ∴， ∴， ∵当时，等式恒成立， ∴， ∴； （3）解：∵与互为和谐整式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或 或 或 解得或 或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题19分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解分式方程 题型二、解分式方程错解复原问题 题型三、已知分式方程的增根求参数 题型四、已知分式方程的无解求参数 题型五、根据分式方程解的情况求值 题型六、分式方程中的规律探究问题 题型七、分式方程中的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，动力能力迁移 ·题型特征：分式方程中含参数讨论解的情况，或呈现规律、新定义运算，需转化求解。 ·解题方法：先去分母化为整式方程：含参时解出用参数表示的解，再结合“有解无解增根”条件定参数： 规律与新定义题严格按规则列分式方程。 ·易错提醒：忘记验根导致增根；参数讨论漏“无解”情形：新定义中分母为零条件遗漏；规律题未验证 即推广。 ◆ 同题型归纳一精讲典型题法，寺夹解题报基 题型一、解分式方程 典例1(2627八年级上山东烟台期中)解分式方程. 6 X=4 (1)2x-33-2x 十 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 g1-x+2】 题型模版 1特征：方程分母中含未知数，需去分母化为整式方程，解后必须检验是否增根。 2方法：两边同乘最简公分母去分母，解整式方程，将解代入最简公分母检验，舍去使分母为零的根。 变式1-1(26-27八年级上山东淄博·阶段检测)解方程： x-81=8 ()x-77-x 3 2x+1 (22x+12x-14r2-1· 变式1-2(26-27八年级上山东聊城阶段检测)解方程： )-3-1=2 (1) x-3: x+1_4=1 (2)x-1X2-1 变式1-3(2026八年级上全国专题练习)解方程： 52 543 (2②)x2-xx-1x 题型二、解分式方程错解复原问题 典例2 x-3+2=,1 (25-26七年级下·浙江台州：期末)在解分式方程x-2 2-x时，李明的解法如下： x-3 解：x-2 x-2 …第①步 -2+2=-2刘 …第②步 x-3+2=-1 …第③步 x=-1+3-2…第④步 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=0 检验：当x=0时，x-2≠0 …第⑤步 所以x=0是原分式方程的解 (1)上面运算过程中第」 步开始出现了错误： (2)请你写出正确的解答过程. 题型模版 1.特征：给出解分式方程的错误过程或错解，需找出错因并改正，重检验意识。 2方法：逐步按正确步骤重解，对比错误点（如去分母漏乘、未检验增根），改正并验根得正确解。 23 1 变式21(25-26八年级上江西赣州期末)下面是某位同学解分式方程x+2x-2x2-4的过程： 解：方程两边同乘以c+2x-2）.符：2x-2)-3x+2)- ,① 去括号，得：2x-4-3x+6=1,② 移项，得：2x-3x=1+4-6,③ 解得：x=1,④ 检验：当x=1时，(x+2x-2)≠0 同 所以，原分式方程的解为x=1, (1)填空：第 步开始出现了错误（只填序号）： (2)请写出正确的解题过程， 2-12x 3 变式2-2(2026贵州：二模)下面是小颍和小轩同学解方程x-2 x-2的过程： 小颖 小轩 3 解：x-2 2-1-2x x-2去分母， 解：x-2 =2-1-2x 3 x-2 =2(x-2)-1-2x 得 …第一步 3+1-2x 移项，得x-2x-2 2…第一步 去括号，得3=2x-4-1-2x…第二 3+1-2x=2第二步 分式相加，得x-2 步 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2(x-2) 提公因式，得 化简，得3=-5…第三步 x-2 =2…第三步 约分，得-2=2…第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： (1)你选择的是 同学，出错在第 步，错误的原因是」 (2)请写出正确的解答过程， 变式2-3(25-26九年级下·河北邯郸阶段检测)习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： x2 习愿2：解方程+x=1 2+1 习题1：计算 +1x1 x2-x(x+1)=1 解： …第一步 x2+1(x+1)2 解：原式x+1x+1…第一步 x2-x2-x=1 …第二步 =2+1x2+1 x=-1 …第三步 x+1x+1 …第二步 检验：当x=-1时x+1=0, =0 …第三步 .x=-1是原方程的增根， ∴原方程无解。…第四步 (①)习题1的解答过程从第一步开始出现错误，习题2的解答过程从第步开始出现错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程. 题型三、已知分式方程的增根求参数 典例3 2-x m （25-26八年级下贵州毕节期末)若关于x的方程二33”x=0有增根，则m的值是 题型模版 1特征：已知分式方程有增根，求其中参数，增根为使最简公分母为零的根。 2方法：令最简公分母为0求出增根，将增根代入去分母后的整式方程，解出参数并验证。 2+m=1有增根，则m的值 变式31(26-27八年级上河北唐山阶段检测)关于x的分式方程x一1-x 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为 童这32(267七年级上上何打期)果关于，的方程，241有培限，则收 +2=m-x 变式3-3(26-27八年级上山东济宁·阶段检测)若关于*的方程x-2+2=2-x有增根，则m的值是 题型四、已知分式方程的无解求参数 典例4 (26-27八年级上湖南岳阳阶段检测)若关于x的分式方程x-22-x +2m.=2m无解，则m的值为 题型模版 1特征：己知分式方程无解，求参数，需考虑整式方程无解或解为增根两种情况。 2方法：去分母得整式方程，分别令其无解（系数为0且常数不为0）或解为增根，列方程求参数并验证。 5+m=-3无解，那么实数心的 变式41(26-27九年级上~陕西西安开学考试)若关于x的分式方程x-+-x 值是 2-1=m 变式42(2026四川南充二模)已知关于x的分式方程x-1一1=x-无解，则实数m的值为 变式43(2526八年级下河南南阳期中已知关于的方程x什3+3十号无解，则实数m的值为 题型五、根据分式方程解的情况求值 2x+1a 典例5(26-27八年级上山东烟台期中)若关于x的分式方程x-33一x的解为正数，则的取值范围 题型模版 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：已知分式方程解的范围（如正数、负数、整数），求参数取值，需解后检验增根。 2方法：去分母解出含参数的根，按解的条件列不等式或等式，结合分母不为零排除增根，求参数范围。 x+k-2-1 变式5-1(25-26八年级下·宁夏银川：期末)已知关于x的分式方程x+1-2=1+x的解为负数，则k的取值 范围为， -3=k 变式5-2(25-26八年级下四川巴中期末)己知关于x的分式方程x-4 34-x的解为非负数，则k的取 值范围为 x-a≤0 变式53(25-26七年级下四川遂宁期末)已知关于的一元一次不等式组x-1≥48 3的解集为x≤a' -。2-5-1的解为正整数，则所有清足条件的整数。的和是 且关于y的分式方程y-22-y 题型六、分式方程中的规律探究问题 典例6(25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测)根据发现的规律回答问题 (1)解下列方程 12 ①x+1x+i1的解为x= 24 ②x+x+l的解为x=一： 36 ③x+1x+1 一1的解为x=一 48 ④x十x+11的解为x=— (2)根据上述规律和形式继续写出⑤⑥： ⑤ ⑥ (3)请根据上述规律写出第n个(n为正整数)方程及它的解，并写出解题过程. 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：观察一组分式方程的解，发现解与方程系数的递推或对应规律，猜想并验证。 2方法：列举前几个方程及其解，找解与系数的对应关系，用含的式子表示通解，代入验证后推广。 变式6-1(25-26八年级上山东聊城期中)关于x的方程： 1 1 1 x+xc+。的解为x=c或x=。 2 2 t+=c+c的解为r=cx3 c; 3 3 +=c+C的解为rc≤3 根据材料解决下列问题： 15 ()方程x+x2的解是： ②猜想方程x+?-c+?(m≠0)的解，并将所得的解代入方程中检验， C x-1=at a 3)请用这个规律解关于x的方程：x+ a-1· 11n+1n1 变式6-2(25-26八年级下湖南益阳期末)根据分式的减法法则，nn+1nn+1)nn+)nn+), 111 1 1 由此得到公式“n+Dnn+”,，不难发现+)可以“拆”成n与n+这两个分式的差.在此不 111 妨称“n+)nn中”为“拆项公式”.求： 1 (①)xx+)(x+10x+2) 十。·。十 (x+2025)(x+2026): 1 (②)仿照上面运算将xx+2)拆项： 1 1 1 2 3)灵活利用规律解方程：xx+2+x+2x+4+…+Gx+98x+10,x+100: 变式6-3(25-26八年级上山东聊城阶段检测)类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上 的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题 7/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的途径和方法 阅读下面一道例题的解答过程： 观察下列计算过程： 因式分解：x2+3x+2 1 1,1,1 1x2+2×3+3×4+4x5 解：我们可以将3x拆成x和2x即原式 =x2+2x+x+2 G66》4 =x(x+2)+(x+2) 114 55 =(x+2)(x+1) 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法， 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆 即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵 成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分 消，简化计算. 解，像这样的方法称为拆项法. 请用类比的方法，解决以下问题： 1 1111111 1 =1 (10已知1×21-22×323’3×434“，则依据此规律n(n+) ②请你利用拆项法进行因式分解：x2+5x+6= a2-2a+1+2a-b=0 (2)若a,b满足 ，,求 b*a+b+o+20+2a+br到a+2046+20西份雀： 1 1 1 1 1 (3)受此启发，解方程x2+9x+20x2+11x+30x2+13x+42x2+15x+56x+28· 题型七、分式方程中的新定义型问题 典例7(25-26八年级下甘肃天水期中)定义：如果两个分式M与N的和为常数k,且k为正整数，则 8/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整数值”.例如，M= x+1 M+N=x+ 1 x十十x+1,则M与N互为“和整分式”，“和整数值”k=1 分式武三+3-，刘断4与8足香互为“和整分武”，若是，减我。 值”k；若不是，请说明理由； ②已知分式C=3x4.D= P x-2, x2-4,C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k=3,求p所代表的代 数式 题型模版 1特征：定义与分式方程相关的新概念（如“友好方程”），按规则求解或判断，重理解迁移。 2方法：将新定义转化为方程条件，去分母化为整式方程求解，检验增根并验证是否满足新定义。 变式7-1(26-27八年级上山东聊城阶段检测)“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之， 并列为行，故谓之方程.”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释.对于一 些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“同契方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这 两个方程为“整契方程”. x+1-1=3 (四)判断一元一次方程3-2(1-x)=x与分式方程x+2=x-2是否是“同契方程”，并说明理由： (②)已知关于x,y的二元一次方程y=mx+5与y=x+4m是“整契方程”，求正整数m的值. 变式7-2(25-26八年级上湖南郴州·期末)定义：如果两个分式M与N的和为常数k,且k为正整数，则 称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整数值”. 例如，M-,N=M+N=十中1，则M与V为“壁分式，“和整数室°= x+1, x2-6x+9 ()已知分式A=x+2,5x+2x-3)判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值” k；若不是，请说明理由： 9/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②尼知分式C=3x-4 D=- E x-2, =x子-4，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k=3·若分式D的值为 正整数，求正整数x的值. t-3,0sm-3 )记(2)中分式D的值为正整数，已知分式P-3x3。 3-x,且P+Q=t,若关于x的方程无解， 直接写出m的值。 变式7-3(25-26八年级上河北沧州阶段检测)定义：如果两个分式M与N的和为常数k,且k为正整数， 则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整数值”. ,MNM+心吃+白则MN为“和整分武”·“和整数值kD x+1, x2+6x+9 ①尼知分式=。一2，Bx+3x-2判断4与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值 k；若不是，请说明理由： ②已知分式C=3x4.D E X-2, D=x-4,C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k=3: ①求E所代表的代数式： ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值. 3,0mr-3 )记（②）中分式D的值为正整数，已知分武P=3-3。 3-x,且P+Q=1,若关于x的方程无解， 直接写出m的值. ◆◆ 同压轴挑战一支克高难压轴，突威思绵上保 一、单选题 5 3 1.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)方程x+2x的解为（) A,x=3 B.x=-2 C.x=-3 D.x=1 +m+1 2。（25-26八年级上广东汕头期未)若关于x的方程x-2十2-x3有增根，则m的值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3。（(25-26八年级上河南新乡期末)已知关于x的分式方程2-xx一22的解是非负数，则k的取值范 围是() A.k≤3 B.k≥3 C.k≤3且k≠2 D.k≤3且k≠-1 4.(2025八年级下河南郑州专题练习)新定义对于实数a、b,定义一种新运算“⊕”为： a⊕b= 3 a2-ab,这里等式右边是实数运算.按此规定，则方程 A.x=4 B x=6 C.x=7 D.x=8 5.(25-26八年级上山东烟台·期中)观察下列式子的变形规律： 1 111 111111 ①1×21-2，②2323，®3x434,④4x545,… 请尝试回答下面问题： 1 1 1 1 若+0x+2+20x+)(c+3)0e+④…+(+9j0x+100)x+100,则x的值为（) A.1000 B.998 C.1 D.2 二、填空题 6。(25-26八年级上福建厦门期末)分式方程+12” =2x+1的解是一 7x2m--5无解，则m的值为— 7.(25-26八年级上河北石家庄月考)关于x的分式方程x-1x-1 8。（25-26八年级上湖南岳阳期中)定义一种新运算：对于任意的非零实数a,0,a®6= ab.若 (x+1)⑧x=0 ,则x的值为 9（2526无4级上铝龙江装化期未)关于：的方程，产21= k =2-x的解为正数，则k的取值范围为一 10.(25-26八年级上湖南张家界·期中)观察下列等式的规律，并回答下列问题： 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1111 62×323: 1111 123×434: 1-1_11 204×545: … 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为_ 1 1 1 1 +…十 x(x+1)(x+1)(x+2)(x+9)(x+10)(x+10) 三、解答题 11.(25-26八年级上山东聊城月考)解下列方程： (0①112r x-11-x 3416 (②)x+22-x-4 12.(25-26九年级上河北邯郸期末)小珍解方程x一2+-21过程如下： x+-3 解：去分母，得 +(-3)-1…第一步 去括号，得x+x-3=1…第二步 合并同类项，得2x-3=1…第三步 解得x=2…第四步 检验：当x=2时，x-2=0 ∴x=2不是分式方程的根，原分式方程无解。…第五步 (1)你认为小珍从第 步出现错误； (2)写出正确的解答过程。 13。（25-26八年级上山西昌梁期末)定义新运算：对于非零的两个实数a:6,规定a心6- ba,如 2©3=11、1 32-6 、2⊕(-6) (1)求 的值； 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)计算 -4x+4®2-2x x-2 x+2· -3⊕(2x-1)=2 (3)若 ,求的值 14.(25-26八年级上河北沧州月考)计算 (1)解下列方程，直接填空： 12 ①x+1x+1 1的解为一 24 ②x本中x+1的解为一 36 ③x+1x+11的解为一： 48 ④x+1x+11的解为： 归纳 (2)请根据“计算”中发现的规律写出第⑥个方程并直接写出该方程的解： 总结 (3)请用一个含正整数的式子表示上述方程的规律，并求出该方程的解。 15.(25-26八年级上湖南长沙期末)不妨定义：如果两个代数式A,B的值满足A+B=1,则称A,B具 有和谐关系.当具有和谐关系的两个代数式A,B都是整式时，则称A,B互为和谐整式：当具有和谐关系 的两个代数式A,B都是分式时，则称A,B互为和谐分式， (1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”. ①整式x-1与x+2对任意x都具有和谐关系；() 2n-1,1-n ②分式”与”互为和谐分式：（） 2 ③如果分式x+1与x-i互为和谐分式，则x=3·（) b (②)当x≠3时，如果分式x-3与x-3始终互为和谐分式，求a和b的值； ③)尼知x,y都是整数，当整式（+川与4+)互为和谐整式时，求、y的值。 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14/14