精品解析：吉林松原市宁江区吉林油田第十二中学2026--2027学年度第一学期期中考试八年级数学试卷

吉林油田第十二中学2026—2027学年度第一学期期中考试 初二数学试卷 试卷满分120分，答题时间120分钟 一、选择题 1. 下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图，在中，平分，则的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 32 6. 小王准备在红旗街道旁建一个送水站，向居民区提供纯净水，要使两居民区到送水站的距离之和最小，则送水站的位置应该在（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标是________． 8. 如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁BC垂直，这样操作的数学依据是等腰三角形的底边上的__________互相重合． 9. 将一副直角三角板按照如图方式摆放，则的度数为_______． 10. 如图，已知在和中，，若用“”判定，则需要添加的条件是______（添一个即可）． 11. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 如图，与相交于点，连接、，，，求证：△△． 13. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为． （1）画出关于y轴成轴对称的，点A的对应点为点，并写出点的坐标． （2）直接写出的面积． 14. 如图，在中，，，点在上，沿折叠，点A恰好落在边上的点处． （1）填空：_______． （2）求的度数． 15. 已知三角形的三条边长分别为4、9和． （1）的取值范围为_________． （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 16. 如图，公园有一条“”字形道路，其中，在点，，处各有一个小石凳，且米，米，点为的中点，连接，，石凳到石凳的距离米．求石凳到石凳的距离． 17. 如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 18. 如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图，为等边三角形，过点作于点，过作，且，连接 （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的周长． 20. 如图，在中，、分别平分、，为外角的平分线，的延长线交于点． （1）若，则_______．_______． （2）若，求的度数（用含的式子表示） 21. 已知为等边三角形，点D在边上． 【基本图形】如图①，以为一边作等边三角形，连接．可得（无需证明）； 【迁移运用】如图②，点F是边上一点，以为一边作等边三角形，连接，过点D作，交于点G．求证：； 【类比探究】如图③，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形，过点D作，交于点H，连接，写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 22. 如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长并写出的取值范围； （2）当，且为等腰三角形时，直接写出的度数； （3）当，且点在边上时，若与全等，求和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田第十二中学2026—2027学年度第一学期期中考试 初二数学试卷 试卷满分120分，答题时间120分钟 一、选择题 1. 下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键． 【详解】解：A.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 3. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角，对应边是解决本题的关键．在中，根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的对应角相等即可解决． 【详解】解：在中，， ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，然后求周长即可． 【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于D， ∴AD=BD， ∵AC=3，BC=4 ∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BC=7． 故选A． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 5. 如图，在中，平分，则的面积为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，正确添加辅助线是解题关键，作于点F，求出，即可求出面积． 【详解】解：作于点F， 平分， ， 的面积为， 故选：A． 6. 小王准备在红旗街道旁建一个送水站，向居民区提供纯净水，要使两居民区到送水站的距离之和最小，则送水站的位置应该在（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质——最短距离，作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点，通过轴对称的性质和两点之间线段最短，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ∴， ∴， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ∴， ∵， ∴点到两小区送水站距离之和最小， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点，横坐标保持不变，纵坐标为的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 8. 如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁BC垂直，这样操作的数学依据是等腰三角形的底边上的__________互相重合． 【答案】中线、高线 【解析】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，结合题干中为中点及的条件，即可确定填空内容． 【详解】解： ∵ ， 是  的中点 ， ∴  ∴ 这样操作的数学依据是等腰三角形的底边上的中线、高线互相重合． 9. 将一副直角三角板按照如图方式摆放，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 10. 如图，已知在和中，，若用“”判定，则需要添加的条件是______（添一个即可）． 【答案】（或） 【解析】 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．已知一条直角边相等，则还需要一条斜边相等，据此作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴若用“”判定，则需要添加的条件是（或）， 故答案为：（或）． 11. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 如图，与相交于点，连接、，，，求证：△△． 【答案】 证明：在△与△中， ， △△． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记定理内容是解题关键． 根据证明三角形全等即可． 【详解】略 13. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为． （1）画出关于y轴成轴对称的，点A的对应点为点，并写出点的坐标． （2）直接写出的面积． 【答案】（1） （2）（或3.5） 【解析】 【分析】（1）因为关于y轴对称的点的坐标规律是纵坐标不变、横坐标变为相反数，所以先依据该规律确定三个顶点的对称点坐标，再在网格中描出对应点并顺次连接各点，得到，最后根据对称点坐标规律写出的坐标． （2）因为格点中斜三角形的面积可通过割补法求解，所以将置于能覆盖它的最小正方形内，用正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到的面积． 【小问1详解】 解：关于轴对称的点的坐标规律是：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数． ∵， ∴它关于轴的对称点的坐标为． 作图方法：先根据对称规律得到的对称点，原点在轴上，对称点仍为，描出点、、，依次连接、、，即可得到轴对称的． 【小问2详解】 解：用网格常用的割补法：把放在一个能完全包裹它的最小正方形内，这个正方形的边长为3，面积为． 周围3个直角三角形的面积： 左上角三角形面积：． 右上角三角形面积：． 右下角三角形面积：． ∴的面积（或3.5）． 14. 如图，在中，，，点在上，沿折叠，点A恰好落在边上的点处． （1）填空：_______． （2）求的度数． 【答案】（1）64 （2）的度数为 【解析】 【分析】（１）因为是直角三角形，且已知两个内角的度数，所以可利用直角三角形两锐角互余的性质，直接计算的度数． （２）因为折叠属于全等变换，所以折叠前后的对应角相等，由此可得到与的对应角相等．因为点落在上的点处，所以与相等，进而可得到的度数．因为是的外角，所以可利用三角形外角的性质，建立、与的关系，进而求解的度数． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴根据折叠的性质，， ∵ ， ∴ ． 15. 已知三角形的三条边长分别为4、9和． （1）的取值范围为_________． （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 【答案】（1） （2）该三角形的周长为． 【解析】 【分析】（1）利用三角形三边关系列不等式求解x的取值范围． （2）分腰长为4和9两种情况讨论，结合三边关系取舍后计算周长． 【小问1详解】 解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 当三角形为等腰三角形时，分两种情况： ①若腰长为4，则三边长为，，， ∵， ∴不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，则三边长为，，， ∵， ∴能构成三角形．此时周长为， 综上所述，该三角形的周长为． 16. 如图，公园有一条“”字形道路，其中，在点，，处各有一个小石凳，且米，米，点为的中点，连接，，石凳到石凳的距离米．求石凳到石凳的距离． 【答案】石凳M到石凳F的距离为12米 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，根据证明，得出． 【详解】解：， 又点M为中点， ， 在和中， ， ， 米， 答：石凳M到石凳F的距离为12米． 17. 如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）4 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 18. 如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 19. 如图，为等边三角形，过点作于点，过作，且，连接 （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的周长． 【答案】 （1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠ACB＝60°， 又∵DE＝DC， ∴△CDE为等边三角形； （2）6. 【解析】 【分析】（1）求出∠EDC＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行判定即可； （2）由等边三角形的性质求出CD＝2，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC， ∴AC＝AB＝4，AD＝CD＝AC＝AB＝2， 又∵△CDE为等边三角形， ∴DE＝CE＝CD＝2， ∴△CDE的周长＝2＋2＋2＝6． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 如图，在中，、分别平分、，为外角的平分线，的延长线交于点． （1）若，则_______．_______． （2）若，求的度数（用含的式子表示） 【答案】（1）115；25 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据角平分线的定义及平角的定义证明，然后根据三角形外角定理得，据此求解； （2）根据角平分线定义得出，，根据三角形外角的性质得出，根据，结合三角形内角和定理得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴ ， 根据（1）可得：， ∴． 21. 已知为等边三角形，点D在边上． 【基本图形】如图①，以为一边作等边三角形，连接．可得（无需证明）； 【迁移运用】如图②，点F是边上一点，以为一边作等边三角形，连接，过点D作，交于点G．求证：； 【类比探究】如图③，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形，过点D作，交于点H，连接，写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】 【迁移运用】：证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴； 【类比探究】：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 基本图形：只需要证明得到，即可证明； 迁移运用：证明得到，即可推出； 类比探究：证明，得到，再由，即可得到． 【详解】基本图形：证明：∵与都是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 迁移运用：略 类比探究：略 22. 如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长并写出的取值范围； （2）当，且为等腰三角形时，直接写出的度数； （3）当，且点在边上时，若与全等，求和的值． 【答案】（1）； （2）的度数为或或或； （3），或，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）分两种情况讨论，用的长度减去的长度即可； （2）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成； （3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：点在射线上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， 当点在线段上时， ； 当点在射线上时， ； 综上，； 【小问2详解】 解：若点P在线段上，分三种情况： 当时，则； 当时，则， 则； 当时，则， 则； 点P在线段的延长线上，当时，则， ， ； 综上，的度数为或或或； 【小问3详解】 解：中，，，点为的中点，， ， ，，， 当时，，， ，， 解得：，； 当时，，， ，， 解得：，； 综上所述，，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $