精品解析：广东珠海市九洲中学2026-2027学年 九年级上学期数学期中试题

珠海九洲中学教育集团2026-2027学年第一学期期中考 试九年级数学试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一．单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知是反比例函数， 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：， 其顶点坐标为． 3. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】无需解出方程的根，利用根与系数的关系直接计算两根之积. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， 又∵该方程二次项系数为，常数项为， ∴由根与系数的关系得． 4. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则0＜ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数的性质对选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、， ∴图象必经过点，正确，不符合题意； B、， ∴图象在第一、三象限内，正确，不符合题意； C、， ∴图象在第一、三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意； D、∵当时，， ，正确，不符合题意， 故选：C． 5. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律： 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数的图象． 故选：B． 6. 若，，均在抛物线上，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 7. 根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 8. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，     设小路宽为x米， 根据题意得：， 故选：C． 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（ ） A. 3 B. 12 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作轴于点E，根据k的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得 k，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E， 对角线轴， , 四边形是矩形， ， k， ∵菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，， ． 二．填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 求抛物线与y轴的交点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可． 【详解】解：把代入得， 所以抛物线与y轴的交点坐标为； 故答案为：． 12. 反比例函数的图象过点，则这个函数的解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，设出函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 13. 如图，二次函数 的图象与直线相交于点和点，那么关于的一元二次方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，理解函数解析式就是方程，函数图象上点的坐标就是方程的解是本题的关键． 方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：一元二方程变形为， ∵方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标， ∵二次函数 的图象与直线相交于点和点， ∴的解是，， 故答案为：，． 14. ，均在二次函数图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将、两点坐标代入二次函数解析式，结合建立关于的不等式，化简求解即可． 【详解】解：∵点，均在二次函数的图象上． ∴ ． ∵ ∴． 两边消去，得． 移项得． 两边同时除以，不等号方向改变，得． 15. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有______． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口方向和对称以及与轴的交点情况可以对①进行判断；根据时，，可对②进行判断；利用抛物线的对称轴可得时，，可对③进行判断；由对称轴为直线可得与的关系，将代入可判断④；利用二次函数的最值则可对⑤进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∵抛物线与轴交于负半轴， 故①正确； ②当时，， 故②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线， ∴与时的函数值相同， ∴时，，即， 故③错误； ④∵， 将代入，得， 故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， 当时，， ∴（为实数且）， 故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 三．解答题（一）（共3题，每题8分，共24分） 16. 小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）小明的解答过程是从第_____步开始出错的； （2）请用适当的方法解方程． 【答案】（1）一； （2）． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）第一步，移项时没有变号，出现错误； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：第一步，移项时没有变号，出现错误； 故答案为：一． 【小问2详解】 解： 解得． 17. 已知二次函数． （1）请计算出函数图像的顶点坐标； （2）当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1）函数图像的顶点坐标为 （2）函数值的取值范围是 【解析】 【分析】（1）对二次函数配方得到顶点式，求出顶点坐标； （2）利用二次函数的性质确定y的取值范围即可． 【小问1详解】 解：， 函数图像的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， 二次函数开口向上， 由（1）得二次函数对称轴为， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，函数值的取值范围是． 18. 已知阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别为和． （1）计算动力关于动力臂的函数关系式． （2）若想使动力不超过，求动力臂的长至少为多少米？ 【答案】（1） （2）动力臂的长至少为2米 【解析】 【分析】（1）根据题目所给条件列出等式，整理即可得到动力关于动力臂的函数关系式； （2）根据列出不等式，结合求出不等式的解集得到的最小值． 【小问1详解】 解：阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别为和， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 动力臂的长至少为2米． 四．解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 为弘扬地方文化，让更多游客了解济南，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为元，当售价为元时，每天可以售出件；经调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． （1）为让利于游客，该款文创产品应该降价多少元，这个文旅公司每天的利润为元； （2）设该文旅公司每天售卖该款文创产品的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）元 （2）售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）设该款文创产品降价元，根据每件的利润销售数量销售利润，即可列出方程，解方程即可得解； （2）设该款文创产品降价元，根据每件的利润销售数量销售利润，即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款文创产品降价元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 因为要让利于游客，在保证利润目标实现的情况下，降价幅度越大，对游客越有利，所以取，舍去， 故保证每天利润为元的前提下，为最大程度让利于游客，该款文创产品应该降价元． 【小问2详解】 解：设该款文创产品降价元， 则， ． ∵， ∴当时，取最大值为元，此时销售价为元， 故售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 21. 如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； （2）如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】（1），； （2）①； ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①抛物线的顶点，得到．②将E点横坐标代入，则，当水面宽为时，将代入，得，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． 【小问2详解】 ①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②略 五、解答题（共2题，每题12分，共24分） 22. 定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）判断方程是否为“差积方程”？并验证； （2）若方程是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】（1） 解：方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， 【小问3详解】 解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 23. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线解析式和点坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最大．求出此时点的坐标和的最大值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为，点的坐标为． （2）点的坐标为，的最大值为． （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据，得到，则当P、A、C三点共线时，有最大值，最大值为线段的长，据此求解即可； （3）求出直线的解析式为；设，则，，求出，，进而求出，则，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可知点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入解析式得， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴当P、A、C三点共线时，有最大值，最大值为线段的长， 在中，当时，， 在中，， ∴， ∴点的坐标为，的最大值为． 【小问3详解】 解：如图所示， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 设，则，， ∴，， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴当有最大值时，点M的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海九洲中学教育集团2026-2027学年第一学期期中考 试九年级数学试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一．单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则0＜ 5. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 6. 若，，均在抛物线上，则正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A. B. C. D. 8. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（ ） A. 3 B. 12 C. D. 6 二．填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 求抛物线与y轴的交点坐标为_______． 12. 反比例函数的图象过点，则这个函数的解析式为____． 13. 如图，二次函数 的图象与直线相交于点和点，那么关于的一元二次方程的解为______． 14. ，均在二次函数图象上，若，则的取值范围是________． 15. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有______． 三．解答题（一）（共3题，每题8分，共24分） 16. 小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）小明的解答过程是从第_____步开始出错的； （2）请用适当的方法解方程． 17. 已知二次函数． （1）请计算出函数图像的顶点坐标； （2）当时，直接写出函数值的取值范围． 18. 已知阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别为和． （1）计算动力关于动力臂的函数关系式． （2）若想使动力不超过，求动力臂的长至少为多少米？ 四．解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 为弘扬地方文化，让更多游客了解济南，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为元，当售价为元时，每天可以售出件；经调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． （1）为让利于游客，该款文创产品应该降价多少元，这个文旅公司每天的利润为元； （2）设该文旅公司每天售卖该款文创产品的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 21. 如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； （2）如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 五、解答题（共2题，每题12分，共24分） 22. 定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）判断方程是否为“差积方程”？并验证； （2）若方程是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 23. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标为，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线解析式和点坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最大．求出此时点的坐标和的最大值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $