专题3.2 代数式的值（9大题型小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年人教版数学七年级上册
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行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川
----【小模块·微专题·大压轴】《专题3.2 代数式的值》专题突破
【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！
题型清单 · 图表导航
模块1 直接代入求代数式的值
模块6 与几何图形有关的代数式求值
模块2 整体代入求代数式的值
模块7实际问题中的代数式求值
模块3 由非负数条件求代数式的值
微专题1规律探究中的代数式求值
模块4 绝对值化简求代数式的值
压轴1新定义运算求代数式的值
模块5 程序流程图与代数式的值
通关检测·实战演练
知识梳理 · 基础溯源
知识点1 代数式的值的概念
用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值．这个过程叫作求代数式的值．例如：当时，代数式，那么9就是当时，代数式的值．
知识点2 求代数式的值的步骤
求代数式的值有代入和计算两步．
第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入”．代入时，将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变．
第二步：按照代数式中给出的运算，计算出结果，简称“计算”．代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同．
模块通关·举一反 三
【模块一】直接代入求代数式的值
直接代入是求代数式的值的基本方法，适用于已知字母的具体取值，且直接代入后代数式结构清晰、运算简便的场景。解题时，首先将给定的数值准确替换代数式中的对应字母，注意字母与数值的一一对应，避免混淆不同字母的取值；若数值为负数、分数或需要体现运算顺序的部分，代入时要主动添加括号，防止因符号或运算优先级出错。完成代入后，严格遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算，有括号的先算括号内的部分，逐步运算得出最终结果。需要特别注意的是，代数式中省略的乘号在代入数字后要还原，例如数字与字母相乘时省略的乘号，代入数值后需补充写出，避免导致计算错误。
【典例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）当，时，求的值
【变式1-1】当，时，求下列代数式的值．
(1)；
(2)．
【变式1-2】已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，则（ ）
A．5 B． C．1 D．
【变式1-3】．当，时，求下列各代数式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【模块二】整体代入求代数式的值
整体代入是求代数式的值的常用技巧，适用于无法直接求出单个字母具体取值，或直接代入计算过程繁琐的场景。解题时，先观察已知条件与所求代数式的结构特征，找到二者之间的关联，将已知的某个含字母的式子看作一个整体，把其对应的数值直接代入所求代数式中，替代对应的整体部分，简化运算过程。应用该方法时，首先要准确识别可作为整体的部分，判断已知条件能否匹配所求代数式中的某一组结构，尤其要注意相同整体的不同变形形式，例如互为相反数、倍数关系的结构，需通过适当的变形让二者统一，再进行代入。代入过程中，若整体部分是多项式或带符号的式子，要注意保留其完整性，必要时添加括号体现整体运算，避免因拆分整体破坏原有结构导致符号错误。变形过程中需遵循等式的基本性质，对已知条件或所求代数式进行合理的恒等变形，确保变形前后代数式的值保持不变，最终通过整体替换完成计算，减少多字母求值时的复杂运算。
【典例2】已知，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．5 D．8
【变式2-1】若，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．
【变式2-2】当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知的值为3，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．3
【模块三】由非负数条件求代数式的值
解题时，先依据非负数的性质分析题干给出的条件，常见的非负数形式包括绝对值、平方数等，初中阶段中几个非负数的和为0时，可推出每一项都同时为0，由此列方程求出对应字母的具体取值。若题干给出多个非负数相加等于0的条件，需逐一确认每一项均符合非负数的特征，避免遗漏隐含的项，求出字母的取值后，再将其代入所求的代数式，按照常规运算顺序计算即可。
【典例3】（25-26七年级上·广东肇庆·期末）若与值互为相反数，下列代数式的值最大的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-1】则 ．
【变式3-2】．已知，则 ．
【变式3-3】已知，那么 ．
【模块四】 绝对值化简求代数式的值
解题时，首先需要根据题干给出的条件确定绝对值内表达式的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号。若给出了字母的具体取值，直接判断表达式的正负即可去绝对值；若未明确给出字母取值，则需结合题干中隐含的取值范围，或通过已知条件推导得出字母的限定范围，进而判断去绝对值后的符号方向。去绝对值后，再按照常规的运算规则代入计算代数式的值即可。解题过程中要注意区分不同条件下的绝对值化简逻辑，避免因正负判断错误导致符号偏差，同时也要核对题干是否存在隐藏的取值限制，防止忽略前提条件直接去绝对值造成计算失误。
【典例4】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的值为4，则的值为_____．
【变式4-1】如果 ，，那么 ．
【变式4-2】若，，
(1)求的值．
(2)若，求的值．
【变式4-3】如果 ，， 为有理数，且，，求 的值．
【模块五】程序流程图与代数式的值
解题时，首先需要明确程序流程图的运算逻辑，按照流程箭头的指示顺序，梳理出输入值与输出结果之间对应的代数式关系。一般情况下，先将给定的输入数值按照流程框内的运算规则逐步计算，前一个框的输出结果作为下一个框的输入量，依次执行运算步骤，最终得到输出结果即为代数式对应的值。若流程图中包含判断分支，需要先判断输入值或中间运算结果满足的条件，选择对应的运算路径进行计算，避免走错分支导致结果错误。解题过程中要注意识别流程中重复运算的结构，可通过先推导对应的代数式再代入计算，简化多步重复运算的过程，同时要留意流程图中的运算顺序和括号要求，防止因运算顺序错乱出现计算偏差，若存在循环类流程，需先理清循环次数与运算规律后再代入数值计算。
【典例5】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式5-1】按如图所示的运算程序，能使输出结果为23的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式5-2】根据如图所示的程序计算，若输入x的值是时，则输出的值是5．若输入x的值是3，则输出值为（ ）
A． B．7 C． D．1
【变式5-3】按如图的程序计算，若开始输入x的值为2，则最后输出的结果是 ；
【模块六】与几何图形有关的代数式求值
解题时，先结合几何图形的边长、周长、面积等相关已知条件，建立图形中线段长度与代数式的对应关系，通过几何公式推导出所求代数式的表达式，再代入已知数值完成计算。若涉及规则图形，可直接套用对应的周长、面积公式列出代数式；若为组合图形，可将其拆分为多个基本图形，通过面积或线段的和差关系推导代数式，注意拆分后不要遗漏重叠部分的加减调整。部分题目会结合动点、折叠等动态几何场景，此时需要先明确不同阶段下图形边长的变化规律，再对应列出符合题意的代数式。动态几何类题目还要注意自变量的取值范围，确保所求的代数式符合当前图形的实际状态。
【典例6】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，长方形的长为a，宽为4．当，时，阴影部分的面积是（ ）
A．6 B． C．7 D．
【变式6-1】学校准备修建一个长为米，宽为米的长方形休闲区．在左右两边修建半径为的扇形小广场，图中阴影部分种植花卉．
(1)用含有、的式子表示种植花卉部分的面积______；（结果保留）
(2)当，时，求种植花卉部分的面积．（取，结果精确到百分位）
【变式6-2】如图，将厚度0.02 cm的卷筒纸，在直径a cm的圆筒上卷成直径b cm的大小．
（1）求出阴影部分圆环的面积（用含a、b的式子表示）；
（2）若a=8，b=20，请求出这卷卷筒纸的总长度为多少米？（其中取3.14，计算结果精确到米）
【变式6-3】如图,正方形ABCD与正方形BEFG,点E在边AB上,点G在边BC上.已知AB=a,BE=b (b<a) .
(1)用a、b的代数式表示右图中阴影部分面积之和S
(2)当a=5cm，b=2cm时，求S的值
【模块七】实际问题中的代数式求值
解题时，先梳理实际问题中的数量关系，将题干里的已知量、未知量用字母和运算符号表示出来，列写出对应的代数式，再代入已知的具体数值计算得到结果。如果问题涉及分段计价、方案选择类场景，需要先结合题意梳理不同条件下的数量逻辑，匹配对应的代数式表达式后再代入计算，确保所选表达式符合当前的实际情境。解题过程中要注意结合实际意义核对计算结果，避免出现负数数量、超出合理范围的数值这类不符合现实逻辑的情况，同时留意题干中的单位是否统一，防止因单位换算偏差造成计算失误。
【典例7】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）“国庆”期间，甲、乙两家超市进行促销活动，各自推出不同的优惠方案；在甲超市一次性购买商品超过300元后，超出的部分按原价的收取；在乙超市购买商品无论多少一律按原价的收取．
(1)若一次性购物500元，分别计算在甲、乙两家超市所需的付款费用；
(2)设某顾客一次性购物x元
①当时，分别用代数式表示顾客在甲、乙两家超市购物所付的费用；
②当时，该顾客应选择哪一家超市购物比较合算？并说明理由．
【变式7-1】我校食堂杨师傅去批发市场采购大排，他看中了A、B两家的某种品质相同的大排．标价都为60元/千克，批发价各不相同．
A家规定：批发数量不超过50千克，按标价的优惠；批发数量超过50千克但不超过100千克，所有大排按标价的优惠出售：批发数量超过100千克，所有大排按标价的优惠出售．
B家则分段计价，规定如下表：
数量范围（千克）
0~50（含）
50（不含）~100（含）
100以上
价格（元）
标价的
标价的%
标价的
(1)如果他批发40千克大排，则他在A、B两家批发分别需要多少元？
(2)如果他批发x千克大排，请你分别用含字母x的式子表示他在A、B两家批发所需的费用；
(3)据了解：我校师生每天用餐的人数为1100人，每块大排的平均质量是120克．杨师傅要为全校师生购买供一餐用的大排（每人一块）．你能帮助他选择在哪家采购更优惠吗？请说明理由．
【变式7-2】某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分按每千米2.2元收费．
(1)若某人乘坐了千米，则他应支付车费 元（用含有x的代数式表示）；
(2)一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）．
第1批
第2批
第3批
第4批
①送完第4批客人后，王师傅在公司的 边（填“东”或“西”），距离公司 千米的位置；
②在整个过程中，王师傅共收到车费 元；
③若王师傅的车平均每千米耗油0.2升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？
【变式7-3】某商场销售的外套每件原价200元，围巾每条原价30元．“双十一”购物节到了，该商场决定举行促销活动，向客户提供了两种优惠方案：①买一件外套送一条围巾；②外套和围巾都按定价的80%付款．现某客户要到商场购买外套40件，围巾x条．
(1)若该客户按方案①购买，共需付款______元（用含x的式子表示）；
若该客户按方案②购买，共需付款______元（用含x的式子表示）；
(2)若，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能找到一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
专题攻坚·多题归一
【微专题一】规律探究中的代数式求值
解题时，先观察题干给出的数、式或图形的排列特征，对比相邻项的变化规律，提炼出对应序号与结果之间的通用数量关系，列出通用代数式后，再代入指定序号的数值计算得到对应结果。若为图形类规律，可结合图形数量的增减变化拆解规律，区分不变部分和按固定倍数递增的部分，推导通用表达式。解题过程中要注意多验证几组已知的对应数值，检查推导的代数式是否符合前期给出的示例，同时要明确序号对应的起始规则，避免因序号偏移导致代数式列写错误，代入数值计算时也要注意运算顺序，减少基础计算失误。
【典例8】（25-26七年级上·广东佛山·期末）某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，小黑球代表氢原子．按照这一规律，第50种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．100个 B．102个 C．50个 D．152个
【变式8-1】（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某电影院地面的一部分观影席座位分布是扇形，其每排座位个数如下表所示：
第1排
第2排
第3排
第4排
第5排
第6排
…
座位个数
60
64
68
72
76
…
(1)____________；
(2)根据表格中的数据，请写出座位个数与第排之间的关系式；
(3)第7排的座位个数是多少？
【变式8-3】（25-26七年级上·全国·期中）若一列数中的任意三个相邻数之和都是40，已知，则____．
压轴拓展·素养提升
【压轴一】新定义运算求代数式的值
解题时，先仔细阅读题干给出的新定义运算规则，明确新运算的符号、参与运算的数字顺序以及对应的转化逻辑，将陌生的新运算按照定义拆解为常规的四则混合运算，再代入给定的数值完成计算。如果新定义运算涉及多个数的嵌套运算，需要按照从内到外的顺序逐层计算，先算出内层运算的结果，再将该结果作为外层运算的输入量代入规则计算。解题过程中要注意新定义运算的运算优先级，若题干未额外说明，需遵循常规四则运算的优先级规则，同时要留意运算数字的顺序不可随意颠倒，避免因混淆新运算的左右操作数导致转化出错，计算完成后可反向对照新定义规则核验每一步的转化是否符合题干要求。
【典例9】（25-26七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意有理数，，有，如果，那么________．
【变式9-1】对于任意实数a和b，如果满足那么我们称这一对数a，b为“友好数对”，记为（a，b）．若（x，y）是“友好数对”，则2x﹣3[6x+（3y﹣4）]＝（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【变式9-2】若规定这样一种运算：a△b＝（|a﹣b|+a+b），例如：2△3＝（|2﹣3|+2+3）＝3．将1，2，3，…，50这50个自然数，任意分为25组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式a△b中进行计算，求出其结果，25组数代入后可求得25个值，这25个值的和的最大值为 ．
【变式9-3】我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列．
(1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则 ， ；
(2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值．
(3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值．
通关检测·实战演练
一 选择题
1.已知，则等于（ ）
A． B．1 C． D．
2．若x是5的相反数，，则的值是（ ）
A． B．11 C．或11 D．1或
3.当代数式的值取到最小时，代数式（ ）
A．0 B． C．0或 D．以上答案都不对
4.如果代数式4m2﹣2m+5的值为7，那么代数式2m2﹣m﹣3的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2
5.若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．728 D．729
【答案】C
二 填空题
6.．已知，则 ．
7.若a与b互为相反数，则= ．
8.代数式x2+3x﹣5的值是2，则代数式3x2+9x﹣10的值是 ．
9.若，则 ， ；
10.已知a、b、c为非零实数，请你探究以下问题：
当时， ；当时， ．
若那么的值为 ．
三解答题
11.已知：
求：m++cd的值
12对于实数，，定义关于“”的一种运算：，例如．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
13.已知代数式，当时，该代数式的值为-1.
（1）求的值．
（2）已知当时，该代数式的值为-1，求的值．
（3）已知当时，该代数式的值为9，试求当时该代数式的值．
（4）在第（3）小题已知条件下，若有成立，试比较与的大小．
14.数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若，则 ；
（2）已知，，求代数式的值；
（3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值．
15甲、乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店的价格为每千克6 元，在乙批发店，当一次购买数量不超过时，价格为每千克7元：当一次购买数量超过时，其中有的价格为每千克7元，超过部分的价格为每千克5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．
(1)下表中，=______，=_______，=________；
一次购买苹果的数量（单位：kg）
20
50
100
…
甲批发店花费（单位：元）
120
600
…
乙批发店花费（单位：元）
350
…
(2)分别用含的代数式表示：
①甲批发店所花费的钱数为 ；
②当一次购买数量不超过时，乙批发店所花费的钱数为 ；
③当一次购买数量超过时，乙批发店所花费的钱数为 ；
(3)如果小王在同一个批发店一次性购买的苹果，通过计算说明他在甲、乙两个批发店哪个更实惠．
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知识点1 代数式的值的概念
用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值．这个过程叫作求代数式的值．例如：当时，代数式，那么9就是当时，代数式的值．
知识点2 求代数式的值的步骤
求代数式的值有代入和计算两步．
第一步：用数值代替代数式里的字母，简称“代入”．代入时，将相应的字母换成已给定的或已算出来的数值，其他的运算符号、原来的数字及运算顺序都不改变．
第二步：按照代数式中给出的运算，计算出结果，简称“计算”．代入的值不同，最后计算出的结果也可能不同．
模块通关·举一反 三
【模块一】直接代入求代数式的值
直接代入是求代数式的值的基本方法，适用于已知字母的具体取值，且直接代入后代数式结构清晰、运算简便的场景。解题时，首先将给定的数值准确替换代数式中的对应字母，注意字母与数值的一一对应，避免混淆不同字母的取值；若数值为负数、分数或需要体现运算顺序的部分，代入时要主动添加括号，防止因符号或运算优先级出错。完成代入后，严格遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算，有括号的先算括号内的部分，逐步运算得出最终结果。需要特别注意的是，代数式中省略的乘号在代入数字后要还原，例如数字与字母相乘时省略的乘号，代入数值后需补充写出，避免导致计算错误。
【典例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）当，时，求的值
【答案】16
【分析】直接代入a、b值求解即可．
【详解】解：当，时，
原式．
【变式1-1】当，时，求下列代数式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将，直接代入即可；
（2）将，直接代入即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题的关键是正确计算．
【变式1-2】已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，则（ ）
A．5 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据有理数的分类得出a，b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，代数式求值，正确得出a，b的值是解题的关键．
【变式1-3】．当，时，求下列各代数式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）把，代入，再计算即可；
（2）把，代入，再计算即可；
（3）把，代入，再计算即可；
（4）把，代入，再计算即可；
【详解】（1）解：当，时，
；
（2）当，时，
；
（3）当，时，
；
（4）当，时，
．
【点睛】本题主要考查代数式的求值，准确的代入再正确的计算是解本题的关键．
【模块二】整体代入求代数式的值
整体代入是求代数式的值的常用技巧，适用于无法直接求出单个字母具体取值，或直接代入计算过程繁琐的场景。解题时，先观察已知条件与所求代数式的结构特征，找到二者之间的关联，将已知的某个含字母的式子看作一个整体，把其对应的数值直接代入所求代数式中，替代对应的整体部分，简化运算过程。应用该方法时，首先要准确识别可作为整体的部分，判断已知条件能否匹配所求代数式中的某一组结构，尤其要注意相同整体的不同变形形式，例如互为相反数、倍数关系的结构，需通过适当的变形让二者统一，再进行代入。代入过程中，若整体部分是多项式或带符号的式子，要注意保留其完整性，必要时添加括号体现整体运算，避免因拆分整体破坏原有结构导致符号错误。变形过程中需遵循等式的基本性质，对已知条件或所求代数式进行合理的恒等变形，确保变形前后代数式的值保持不变，最终通过整体替换完成计算，减少多字母求值时的复杂运算。
【典例2】已知，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．5 D．8
【答案】D
【分析】将式子化为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值，将被求代数式进行适当的变形是解决问题的关键．
【变式2-1】若，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选B．
【点睛】此题考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．
【变式2-2】当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入，得到，再利用整体思想进行求值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴时，；
故选A．
【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是求出，再利用整体思想进行求解．
【变式2-3】已知的值为3，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．3
【答案】B
【分析】原式变形后，把已知代数式的值代入计算即可求出值．
【详解】解：由题意得：
则原式=
故选：B．
【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【模块三】由非负数条件求代数式的值
解题时，先依据非负数的性质分析题干给出的条件，常见的非负数形式包括绝对值、平方数等，初中阶段中几个非负数的和为0时，可推出每一项都同时为0，由此列方程求出对应字母的具体取值。若题干给出多个非负数相加等于0的条件，需逐一确认每一项均符合非负数的特征，避免遗漏隐含的项，求出字母的取值后，再将其代入所求的代数式，按照常规运算顺序计算即可。
【典例3】（25-26七年级上·广东肇庆·期末）若与值互为相反数，下列代数式的值最大的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值非负性，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
先利用绝对值的非负性求得，，再分别求出四个代数式的值，比较后作出判断．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
，
∵，
∴代数式的值最大的是，
故选：D．
【变式3-1】则 ．
【答案】6
【分析】根据绝对值和平方运算的非负性，求出、，再代入求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查绝对值和平方运算的非负性，以及代数式求值，熟练运用相关性质是解题关键．
【变式3-2】．已知，则 ．
【答案】1
【分析】根据非负数的和为零则它们均为零的性质，即可完成求值．
【详解】∵，，且，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了求代数式的值，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．七年级所学的两类常见非负数：平方数非负、绝对值非负．
【变式3-3】已知，那么 ．
【答案】
【分析】根据非负数的性质列出算式，求出、的值，代入计算即可．
【详解】解： 由题意得，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，求代数式的值；掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
【模块四】 绝对值化简求代数式的值
解题时，首先需要根据题干给出的条件确定绝对值内表达式的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号。若给出了字母的具体取值，直接判断表达式的正负即可去绝对值；若未明确给出字母取值，则需结合题干中隐含的取值范围，或通过已知条件推导得出字母的限定范围，进而判断去绝对值后的符号方向。去绝对值后，再按照常规的运算规则代入计算代数式的值即可。解题过程中要注意区分不同条件下的绝对值化简逻辑，避免因正负判断错误导致符号偏差，同时也要核对题干是否存在隐藏的取值限制，防止忽略前提条件直接去绝对值造成计算失误。
【典例4】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的值为4，则的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，化简绝对值，整式的加减运算，正确掌握相关性质是解题的关键．
先整理得，则把代入进行化简绝对值，即可作答．
【详解】解：由，得，
则，
∴，
∴
，
∵，
∴，
则，
∴，
故答案为：．
【变式4-1】如果 ，，那么 ．
【答案】 或 或 或
【分析】绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数，由此即可计算．
【详解】解：，，
，，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．
【变式4-2】若，，
(1)求的值．
(2)若，求的值．
【答案】(1)的值为5或3或或；
(2)的值为5或3．
【分析】（1）根据a和b值的正负分四种情况讨论，求得的值；
（2）根据（1）中求得的的值，找出符合条件的a和b值，再代入计算题目所问．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
综上，的值为5或3或或；
（2）解：由可得，或．
当时，；
当时，．
综上，的值为5或3．
【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值问题的分类讨论是解决此题的关键．
【变式4-3】如果 ，， 为有理数，且，，求 的值．
【答案】或
【分析】由，或，然后分两种情况，利用绝对值的性质化简后，再计算加减即可．
【详解】解：∵，
∴或，
当，时，
原式；
当，时，
原式；
综上，原式的值为或．
【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘法和除法法则的理解以及代数式求值，熟练掌握基本知识是解题的关键．
【模块五】程序流程图与代数式的值
解题时，首先需要明确程序流程图的运算逻辑，按照流程箭头的指示顺序，梳理出输入值与输出结果之间对应的代数式关系。一般情况下，先将给定的输入数值按照流程框内的运算规则逐步计算，前一个框的输出结果作为下一个框的输入量，依次执行运算步骤，最终得到输出结果即为代数式对应的值。若流程图中包含判断分支，需要先判断输入值或中间运算结果满足的条件，选择对应的运算路径进行计算，避免走错分支导致结果错误。解题过程中要注意识别流程中重复运算的结构，可通过先推导对应的代数式再代入计算，简化多步重复运算的过程，同时要留意流程图中的运算顺序和括号要求，防止因运算顺序错乱出现计算偏差，若存在循环类流程，需先理清循环次数与运算规律后再代入数值计算。
【典例5】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据程序求解即可．
【详解】解：当输入，，，此时，
，两个结果不相等，无法输出，不符合要求；
当输入，，不满足，此时无法计算，无法输出，不符合要求；
当输入，，，此时，
，两个结果相等，可以输出，符合要求；
当输入，，，此时，
，两个结果不相等，无法输出，不符合要求．
【变式5-1】按如图所示的运算程序，能使输出结果为23的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】把个选项的值代入运算程序中计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、当，时，，
∴ ，故本选项不符合题意；
B、当，时，，
∴，故本选项符合题意；
C、当，时，，
∴，故本选项不符合题意；
D、当，时， ，
∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，熟练掌握运算法则，理解运算程序是解本题的关键．
【变式5-2】根据如图所示的程序计算，若输入x的值是时，则输出的值是5．若输入x的值是3，则输出值为（ ）
A． B．7 C． D．1
【答案】C
【分析】先根据输入输出的是5，即可求得b的值，再输入3计算即可．
【详解】解：∵输入的x值为时，输出的值为5，
，
解得，
当输入的值为3时，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了程序框图，有理数的运算，确定b的值是解决本题的关键．
【变式5-3】按如图的程序计算，若开始输入x的值为2，则最后输出的结果是 ；
【答案】12
【分析】按照程序进行计算，当时，得到4，，继续计算，当时，输出12．
【详解】解：当时，，
，继续计算，
当时，，
∵，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了代数式求值，理解题意，结果大于10才输出，理解输出的条件是解题的关键．
【模块六】与几何图形有关的代数式求值
解题时，先结合几何图形的边长、周长、面积等相关已知条件，建立图形中线段长度与代数式的对应关系，通过几何公式推导出所求代数式的表达式，再代入已知数值完成计算。若涉及规则图形，可直接套用对应的周长、面积公式列出代数式；若为组合图形，可将其拆分为多个基本图形，通过面积或线段的和差关系推导代数式，注意拆分后不要遗漏重叠部分的加减调整。部分题目会结合动点、折叠等动态几何场景，此时需要先明确不同阶段下图形边长的变化规律，再对应列出符合题意的代数式。动态几何类题目还要注意自变量的取值范围，确保所求的代数式符合当前图形的实际状态。
【典例6】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，长方形的长为a，宽为4．当，时，阴影部分的面积是（ ）
A．6 B． C．7 D．
【答案】D
【分析】根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个三角形的面积，用a和b表示出长方形和三角形的面积，然后代入数值计算即可．
【详解】解：根据题意可得，阴影部分的面积．
【变式6-1】学校准备修建一个长为米，宽为米的长方形休闲区．在左右两边修建半径为的扇形小广场，图中阴影部分种植花卉．
(1)用含有、的式子表示种植花卉部分的面积______；（结果保留）
(2)当，时，求种植花卉部分的面积．（取，结果精确到百分位）
【答案】(1)
(2)平方米
【分析】（1）将两边的扇形小广场拼一起，可以看成一个半圆，用长方形的面积减去半圆的面积即为阴影部分的面积；
（2）将，代入（1）中求出的式子即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴种植花卉部分的面积为．
（2）解：当，时，种植花卉部分的面积为：
（平方米），
∴种植花卉部分的面积为平方米．
【点睛】本题考查了列代数式及已知字母的值求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解答本题的关键．
【变式6-2】如图，将厚度0.02 cm的卷筒纸，在直径a cm的圆筒上卷成直径b cm的大小．
（1）求出阴影部分圆环的面积（用含a、b的式子表示）；
（2）若a=8，b=20，请求出这卷卷筒纸的总长度为多少米？（其中取3.14，计算结果精确到米）
【答案】（1）；（2）132米．
【分析】（1）用大圆的面积减去小圆的面积得到环形的面积；
（2）从卷筒纸的侧面看，可以利用圆环的面积计算出来．可以在头脑里想象着把纸拉直，这样就把卷筒纸的侧面拉成了一个宽0.02厘米的长方形，而这个长方形的面积就是圆环的面积，然后只要把长方形的面积除以0.02就求出纸的长度了．
【详解】解：（1）；
（2）若，
则
（平方厘米）
（厘米）
厘米=米米
答：这卷卷筒纸的总长度为132米.
【点睛】此题考查列代数式，求代数式的值，有理数的除法运算，正确理解题意是解题的关键.
【变式6-3】如图,正方形ABCD与正方形BEFG,点E在边AB上,点G在边BC上.已知AB=a,BE=b (b<a) .
(1)用a、b的代数式表示右图中阴影部分面积之和S
(2)当a=5cm，b=2cm时，求S的值
【答案】（1）S；（2）8
【分析】（1）用含a、b的代数式表示AE、CG的长，再利用三角形面积公式即可完成；
（2）将a=5cm，b=2cm代入（1）中代数式即可解答.
【详解】（1）解：AE=a-b，EF=b，CG=a-b，CD=a，
阴影面积之和：
阴影部分面积之和S
（2）当a=5cm，b=2cm时，S.
【点睛】本题考查列代数式表示面积，熟练掌握代数式以及三角形面积公式是解题关键.
【模块七】实际问题中的代数式求值
解题时，先梳理实际问题中的数量关系，将题干里的已知量、未知量用字母和运算符号表示出来，列写出对应的代数式，再代入已知的具体数值计算得到结果。如果问题涉及分段计价、方案选择类场景，需要先结合题意梳理不同条件下的数量逻辑，匹配对应的代数式表达式后再代入计算，确保所选表达式符合当前的实际情境。解题过程中要注意结合实际意义核对计算结果，避免出现负数数量、超出合理范围的数值这类不符合现实逻辑的情况，同时留意题干中的单位是否统一，防止因单位换算偏差造成计算失误。
【典例7】（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）“国庆”期间，甲、乙两家超市进行促销活动，各自推出不同的优惠方案；在甲超市一次性购买商品超过300元后，超出的部分按原价的收取；在乙超市购买商品无论多少一律按原价的收取．
(1)若一次性购物500元，分别计算在甲、乙两家超市所需的付款费用；
(2)设某顾客一次性购物x元
①当时，分别用代数式表示顾客在甲、乙两家超市购物所付的费用；
②当时，该顾客应选择哪一家超市购物比较合算？并说明理由．
【答案】(1)在甲超市付款费用是460元，在乙超市付款费用是450元
(2)①在甲超市的费用是元，在乙超市的费用是元；②该顾客应选择甲超市购物比较合算，见解析
【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式和代数式求值，解题的关键是正确理解题意．
（1）根据甲乙超市的优惠方案求解即可；
（2）①根据甲乙超市的优惠方案列式即可；
②将代入①中的代数式求解比较即可．
【详解】（1）解：根据题意，∵，
在甲超市付款费用是（元），
在乙超市付款费用是（元）．
（2）解：①当时，
在甲超市的费用是（元），
在乙超市的费用是（元）．
②当时，
在甲超市购物所付的费用是（元），
在乙超市购物所付的费用是（元）．
∵，
∴该顾客应选择甲超市购物比较合算．
【变式7-1】我校食堂杨师傅去批发市场采购大排，他看中了A、B两家的某种品质相同的大排．标价都为60元/千克，批发价各不相同．
A家规定：批发数量不超过50千克，按标价的优惠；批发数量超过50千克但不超过100千克，所有大排按标价的优惠出售：批发数量超过100千克，所有大排按标价的优惠出售．
B家则分段计价，规定如下表：
数量范围（千克）
0~50（含）
50（不含）~100（含）
100以上
价格（元）
标价的
标价的%
标价的
(1)如果他批发40千克大排，则他在A、B两家批发分别需要多少元？
(2)如果他批发x千克大排，请你分别用含字母x的式子表示他在A、B两家批发所需的费用；
(3)据了解：我校师生每天用餐的人数为1100人，每块大排的平均质量是120克．杨师傅要为全校师生购买供一餐用的大排（每人一块）．你能帮助他选择在哪家采购更优惠吗？请说明理由．
【答案】(1)在A、B两家批发分别需要、元
(2)在A家批发需要元，在B家批发需要元
(3)在B家批发更便宜，理由贾见详解
【分析】（1）根据两家商家的优惠政策直接列式计算即可；
（2）根据两家商家的优惠政策直接列式计算即可；
（3）先求出食堂需要的大排数量，在结合（2）中的结果，计算比较即可作答．
【详解】（1）两家的标价都为60元/千克，
A家批发：（元），
B家批发：（元），
答：在A、B两家批发分别需要、元；
（2）因为批发的大排重量在100千克以上，两家的标价都为60元/千克，
即：A家批发：（元），
B家批发：（元），
答：在A家批发需要元，在B家批发需要元；
（3）在B家批发更便宜，理由如下：
需要的大排数量为：（千克），
即批发的大排重量在100千克以上，
根据（2）中的结果，可得：
A家批发：（元），
B家批发：（元），
∵，
∴在B家批发更便宜．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，列代数以及求解代数式的值等知识，明确题意正确列式是解答本题的关键．
【变式7-2】某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分按每千米2.2元收费．
(1)若某人乘坐了千米，则他应支付车费 元（用含有x的代数式表示）；
(2)一出租车公司坐落于东西向的大道边，驾驶员王师傅从公司出发，在此大道上连续接送了4批客人，行驶记录如下：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）．
第1批
第2批
第3批
第4批
①送完第4批客人后，王师傅在公司的 边（填“东”或“西”），距离公司 千米的位置；
②在整个过程中，王师傅共收到车费 元；
③若王师傅的车平均每千米耗油0.2升，则送完第4批客人后，王师傅用了多少升油？
【答案】(1)
(2)①西；13.7 千米；②58.4；③4.46升
【分析】（1）根据题意，可以用含的代数式表示出某人应支付的车费；
（2）①将表格中的数据相加，即可解答本题；
②根据表格中的数据和题意，可以计算出送完第4批客人后，王师傅共收到的车费；
③根据题意，可以计算出在整个过程中，王师傅用了多少升油．
【详解】（1）解：由题意可得：
他应支付车费：元．
（2）解：①，
即送完第4批客人后，王师傅在公司的西边，距离公司13.7千米．
②在整个过程中，王师傅共收到车费：
(元)．
③
(升)．
答：送完第4批客人后，王师傅用了4.46升油．
【点睛】本题考查了列代数式，明确题意，列出相应的代数式，求出相应的式子的值是解答本题的关键．
【变式7-3】某商场销售的外套每件原价200元，围巾每条原价30元．“双十一”购物节到了，该商场决定举行促销活动，向客户提供了两种优惠方案：①买一件外套送一条围巾；②外套和围巾都按定价的80%付款．现某客户要到商场购买外套40件，围巾x条．
(1)若该客户按方案①购买，共需付款______元（用含x的式子表示）；
若该客户按方案②购买，共需付款______元（用含x的式子表示）；
(2)若，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能找到一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)按方案②购买较为合算
(3)找不到一种更为省钱的方案，还是按方案②购买较为合算
【分析】（1）根据方案①和方案②的优惠方法列出代数式解答即可；
（2）把代入（1）题的两个代数式进行计算，进而可得结论；
（3）可以先按方案①购买40件外套，再按方案②购买10条围巾进行计算，然后与（2）小题的结果比较即可得出结论.
【详解】（1）若该客户按方案①购买，共需付款元；
若该客户按方案②购买，共需付款元；
故答案为：，；
（2）当时，按方案①购买所需费用：（元），
按方案②购买所需费用：（元），
∵，
∴按方案②购买较为合算.
（3）如果先按方案①购买40件外套，则所需费用为：元，
再按方案②购买10条围巾，则所需费用为：元，
此时总费用为（元）
但，
∴找不到一种更为省钱的方案，还是按方案②购买较为合算.
【点睛】本题考查了列代数式和代数式求值，属于常考题型，正确理解题意、列出相应的代数式是解题的关键.
专题攻坚·多题归一
【微专题一】规律探究中的代数式求值
解题时，先观察题干给出的数、式或图形的排列特征，对比相邻项的变化规律，提炼出对应序号与结果之间的通用数量关系，列出通用代数式后，再代入指定序号的数值计算得到对应结果。若为图形类规律，可结合图形数量的增减变化拆解规律，区分不变部分和按固定倍数递增的部分，推导通用表达式。解题过程中要注意多验证几组已知的对应数值，检查推导的代数式是否符合前期给出的示例，同时要明确序号对应的起始规则，避免因序号偏移导致代数式列写错误，代入数值计算时也要注意运算顺序，减少基础计算失误。
【典例8】（25-26七年级上·广东佛山·期末）某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，小黑球代表氢原子．按照这一规律，第50种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A．100个 B．102个 C．50个 D．152个
【答案】B
【分析】本题考查了图形规律，根据图形找出规律是关键，由图形得到第n种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个，由此即可求解．
【详解】解：第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：；
第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：；
第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：；
第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：；
第5种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：；
第6种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：；
……
∴第n种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个，
∴当时，氢原子的个数为（个），
故选：B ．
【变式8-1】（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得．
【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10，
第2次输出的结果为5，
第3次输出的结果为，
第4次输出的结果为，
第5次输出的结果为，
第6次输出的结果为，
第7次输出的结果为，
第8次输出的结果为，
第9次输出的结果为，
……
这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，
∵，
∴第2026次计算输出的结果是，
故选：D．
【变式8-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某电影院地面的一部分观影席座位分布是扇形，其每排座位个数如下表所示：
第1排
第2排
第3排
第4排
第5排
第6排
…
座位个数
60
64
68
72
76
…
(1)____________；
(2)根据表格中的数据，请写出座位个数与第排之间的关系式；
(3)第7排的座位个数是多少？
【答案】(1)80；
(2)；
(3)84．
【分析】本题考查了从特殊到一般找规律、用代数式表示数量关系以及代入求值的知识点，掌握先观察具体数据的变化，再归纳出通用规律，最后用规律解决问题的方法是解题的关键．
（1）第1排到第2排增加了4个，第2排到第3排也增加了4个，每一排都比前一排多4个座位，已知第5排有76个座位，所以第6排的座位数就是第5排的数量加4
（2）第1排有60个座位，第2排有个，第3排有个，以此类推，第排的座位数就是，再把这个式子化简；
（3）将代入关系式计算第7排的座位数．
【详解】（1）解：∵第1排到第2排增加了个，
第2排到第3排增加了个，
第3排到第4排增加了个，
第4排到第5排增加了个，
∴每排比前一排多4个座位
∴
（2）解：∵第1排有60个座位，
第2排有 个，
第3排有 个，
第4排有 个，
∴ 第排的座位数
∴，即 ；
（3）解：当时，．
故第7排的座位个数是84．
【变式8-3】（25-26七年级上·全国·期中）若一列数中的任意三个相邻数之和都是40，已知，则____．
【答案】14
【分析】本题考查了数字规律，由任意三个相邻数之和为40，推导出序列具有周期性，周期为3，根据确定的值，再利用求出，最后再列式求出的值，即可作答．
【详解】解：∵ 任意三个相邻数之和为40，
∴，
两式相减得，
∴
两式相减得，
同理得，
故序列以为周期循环，
∵，
∴，
即，
∵，
则，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
即
故答案为：14．
压轴拓展·素养提升
【压轴一】新定义运算求代数式的值
解题时，先仔细阅读题干给出的新定义运算规则，明确新运算的符号、参与运算的数字顺序以及对应的转化逻辑，将陌生的新运算按照定义拆解为常规的四则混合运算，再代入给定的数值完成计算。如果新定义运算涉及多个数的嵌套运算，需要按照从内到外的顺序逐层计算，先算出内层运算的结果，再将该结果作为外层运算的输入量代入规则计算。解题过程中要注意新定义运算的运算优先级，若题干未额外说明，需遵循常规四则运算的优先级规则，同时要留意运算数字的顺序不可随意颠倒，避免因混淆新运算的左右操作数导致转化出错，计算完成后可反向对照新定义规则核验每一步的转化是否符合题干要求。
【典例9】（25-26七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意有理数，，有，如果，那么________．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，解题时要熟练掌握并理解．
先依据，可得，再根据题意代入求值即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【变式9-1】对于任意实数a和b，如果满足那么我们称这一对数a，b为“友好数对”，记为（a，b）．若（x，y）是“友好数对”，则2x﹣3[6x+（3y﹣4）]＝（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【答案】C
【分析】根据（x，y）是“友好数对”得出，再将原式化成，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵（x，y）是“友好数对”，
∴，
∴，
整理得：，
∴
=
=
=
=-2
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，理解“友好数对”的意义是正确计算的关键．
【变式9-2】若规定这样一种运算：a△b＝（|a﹣b|+a+b），例如：2△3＝（|2﹣3|+2+3）＝3．将1，2，3，…，50这50个自然数，任意分为25组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式a△b中进行计算，求出其结果，25组数代入后可求得25个值，这25个值的和的最大值为 ．
【答案】950
【分析】不妨设，然后去掉绝对值号化简为a，所以当25组中的较大的数恰好是26到50时，这25个值的和最大，再根据求和公式列式计算即可得解．
【详解】假设，
则()=()，
所以，当25组中的较大的数恰好是26到50时，这25个值的和最大．
最大值为26+27+28+…+50=．
故答案为：950．
【点睛】本题考查了代数式求值以及有理数的混合运算，通过假设，把所给代数式化简，然后判断出各组中的恰好是26到50时这50个数时取得最大值是解题的关键．
【变式9-3】我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列．
(1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则 ， ；
(2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值．
(3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值．
【答案】(1)5，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据理想数列的定义代入计算即可；
（2）根据理想数列的定义代入计算，求出，再整体代入整式计算即可；
（3）m，n，p，q，是理想数列，所以，，求出，
结合得，结合问题变形为或，代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：5，；
（2）由题意可知：
，
即，
；
（3）m，n，p，q，…，是理想数列，
，
，
，
，
，
，
，
即或，
．
【点睛】本题考查了新定义下的有理数的运算和整式的化简求值；正确理解新定义、根据所求整式整体代入求值是解题的关键．
通关检测·实战演练
一 选择题
1.已知，则等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】由得出，再代入代数式求值即可得到答案．
【详解】解：，
，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查的是求代数式的值，利用代入法求解是解题的关键．
2．若x是5的相反数，，则的值是（ ）
A． B．11 C．或11 D．1或
【答案】D
【分析】首先根据相反数的概念和绝对值的意义求出x和y的值，然后代入求解即可．
【详解】∵x是5的相反数，，
∴，，
∴当时，；
∴当时，；
∴的值是1或．
故选：D．
【点睛】此题考查了代数式求值，相反数的概念和绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3.当代数式的值取到最小时，代数式（ ）
A．0 B． C．0或 D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】由题意，当时，代数式取到最小值，则有，根据绝对值的意义进行化简，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵，
∴当时，代数式的值取到最小值2020，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了乘方的定义，绝对值的意义，以及求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确得到和．
4.如果代数式4m2﹣2m+5的值为7，那么代数式2m2﹣m﹣3的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2
【答案】D
【分析】由代数式4m2﹣2m+5的值为7，可得到4m2﹣2m=2，两边除以2得到2m2﹣m=1，然后把2m2﹣m=1代入2m2﹣m﹣3即可得到答案．
【详解】∵4m2﹣2m+5=7，
∴4m2﹣2m=2，
∴2m2﹣m=1
把2m2﹣m=1代入2m2﹣m﹣3得，
2m2﹣m﹣3=1-3=-2．
故选D．
【点睛】本题考查了代数式求值：先把代数式变形，然后利用整体代入的方法求代数式的值．
5.若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．728 D．729
【答案】C
【分析】令，可得，令，可得，进而可求的值．
【详解】解：∵
∴令，可得
令，可得
∴
故选C．
【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在令和时得到与代数式相关的式子的值．
二 填空题
6.．已知，则 ．
【答案】6
【分析】由，可得，，再求解的值，从而可得答案.
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴.
故答案为：6.
【点睛】本题考查的是偶次方与绝对值非负性的应用，有理数的乘法运算，求解代数式的值，理解非负数的含义是解本题的关键.
7.若a与b互为相反数，则= ．
【答案】0
【分析】根据相反数之和为0可得，进而可得的值．
【详解】解：∵a与b互为相反数，
∴，
∴．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，相反数，熟知互为相反数的两个数的和为零是解题的关键．
8.代数式x2+3x﹣5的值是2，则代数式3x2+9x﹣10的值是 ．
【答案】11
【详解】利用代数式x2+3x﹣5的值是2得到x2+3x=7，再把3x2+9x﹣10变形为3（x2+3x）﹣10，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x2+3x﹣5=2，
∴x2+3x=7，
∴3x2+9x﹣10=3（x2+3x）﹣10=3×7﹣10=11．
故答案为11．
9.若，则 ， ；
【答案】 -4 5
【详解】此题采用特殊值法．
当x=0时，代入
得=-1
当x=1时，代入
得0①
当x=-1时，代入
得8②
①-②得：
①+②得：
=8
因为=-1
所以
10.已知a、b、c为非零实数，请你探究以下问题：
当时， ；当时， ．
若那么的值为 ．
【答案】 1 -1 0
【分析】由给出条件和绝对值的意义，易得结论；
由条件先确定a、b、c及abc的正负，再计算代数式的值．
【详解】当时，；
当时，．
故答案为1；．
，a、b、c均不为0，
、b、c两正一负或两负一正．
当a、b、c两正一负时，，
；
当a、b、c两负一正时，，
故答案为0．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及代数式的化简，解决需分类讨论，需掌握互为相反数的两数除外的商是，相等两数的商为1．
三解答题
11.已知：
求：m++cd的值
【答案】3或-1
【详解】试题分析：先根据相反数、倒数、绝对值，分别求出a、b、c、d、m的关系或值，然后代入求解即可.
试题解析：因为a、b互为相反数，
所以a+b=0.
因为c、d互为倒数，
所以cd=1.
因为m的绝对值为2，
所以m=±2.
所以m++cd=±2+0+1，
即m++cd的值为3或-1.
12对于实数，，定义关于“”的一种运算：，例如．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）5；（2）14
【分析】(1)利用题目中的新定义进行计算即可；
(2)根据新定义，对式子进行化简后得到x-5y=2，然后整体代入即可.
【详解】（1）根据题中的新定义得：
（2）∵
∴
∴
∴
【点睛】本题借助新定义题型考查了有理数的运算以及求代数式的值，新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，整体代入求值是本题的关键.
13.已知代数式，当时，该代数式的值为-1.
（1）求的值．
（2）已知当时，该代数式的值为-1，求的值．
（3）已知当时，该代数式的值为9，试求当时该代数式的值．
（4）在第（3）小题已知条件下，若有成立，试比较与的大小．
【答案】（1）；（2）-4；（3） 8；（4）
【分析】（1）将x=0代入代数式求出c的值即可；
（2）将x=1代入代数式即可求出a+b+c的值；
（3）将x=3代入代数式求出35a+33b的值，再将x=-3代入代数式，变形后将35a+33b的值代入计算即可求出值；
（4）由35a+33b的值，变形得到27a+3b=-2，将5a=3b代入求出a的值，进而求出b的值，确定出a+b的值，与c的值比较大小即可．
【详解】（1）当x=0时，=-1，则有c=﹣1；
（2）把x=1代入代数式，得到a+b+3+c=﹣1，
∴a+b+c=﹣4；
（3）把x=3代入代数式，得到35a+33b+9+c=9，即35a+33b+c=0，
35a+33b=-c
当x=﹣3时，原式=﹣35a﹣33b﹣9+c=﹣（35a+33b）﹣9+c=c-9+c=2c-9=-2-9=-11；
（4）由（3）题得35a+33b=1，即9a+b=，
又∵3a=5b，
∴15b+b=，
∴b=，
则a=b>0，
∴a+b＞0，
∴a+b＞c．
【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若，则 ；
（2）已知，，求代数式的值；
（3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值．
【答案】（1）-1；（2）42；（3）-10
【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解；
（2）根据已知条件先求出a-c的值，再整体代入到所求代数式中即可；
（3）根据已知可得2a+4b=9，再整体代入到所求代数式中即可．
【详解】解：（1）因为x2-3x=2，
所以1+3x-x2=1-（x2-3x）
=1-2=-1
故答案为：-1．
（2）∵a-b=5，b-c=3，
∴a-b+b-c=a-c=5+3=8，
∴（a-c）2-3a+2+3c=（a-c）2-3（a-c）+2=82-24+2=64-24+2=42；
（3）∵当x=-1，y=2时，代数式ax2y-bxy2-1的值为8，
即2a+4b-1=8，
所以2a+4b=9，
∴当x=1，y=-2时，代数式ax2y-bxy2-1=-2a-4b-1=-（2a+4b）-1=-9-1=-10．
【点睛】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入思想．
15甲、乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店的价格为每千克6 元，在乙批发店，当一次购买数量不超过时，价格为每千克7元：当一次购买数量超过时，其中有的价格为每千克7元，超过部分的价格为每千克5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．
(1)下表中，=______，=_______，=________；
一次购买苹果的数量（单位：kg）
20
50
100
…
甲批发店花费（单位：元）
120
600
…
乙批发店花费（单位：元）
350
…
(2)分别用含的代数式表示：
①甲批发店所花费的钱数为 ；
②当一次购买数量不超过时，乙批发店所花费的钱数为 ；
③当一次购买数量超过时，乙批发店所花费的钱数为 ；
(3)如果小王在同一个批发店一次性购买的苹果，通过计算说明他在甲、乙两个批发店哪个更实惠．
【答案】(1)
(2)①；②；③
(3)乙批发店更实惠，理由见解析
【分析】（1）根据图表求值即可；
（2）根据题意，列出对应的代数式即可；
（3）分别计算出甲、乙两个批发店需要花费的钱数，比较大小即可．
【详解】（1）根据题意有，
，
，
，
故答案为：300；140；600；
（2）根据题意有，
，
故答案为：①；②；③；
（3）当时，
（元）；
（元）；
∵，
∴乙批发店史实惠．
【点睛】本题考查了列代数式知识点，根据图表列出合适的代数式是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
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