江苏扬州市邗江区三校2026-2027学年高二上学期期中联考数学仿真模拟练习卷

参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B B C B C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．或（即或） 13．{或} 14．/0.5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）由z为实数，可得，解得或； （2）由z为纯虚数，可得，解得； （3）因复数z在复平面内所对应的点位于第四象限， 则，解得， 故的取值范围为. 16．（15分） 【详解】（1）由题意得，AC边上的高所在直线的斜率为，则直线的斜率为， 又直线AC过点，则其方程为，即； （2）设点的坐标为，因为AC边上的高过点B，故点B满足，即 ① 设AB的中点为D，则可得，将其代入整理得 ②， 联立①②，解得，，即得； （3）联立 ，解得，即， 又因，则直线BC的斜率为， 则其方程为，即. 17．（15分） 【详解】（1）因为直线即为， 不论取何值，必定使方程成立，即直线经过定点， 所以定点的坐标为. （2）由题意可知：圆的圆心为，半径. 当直线斜率不存在时，直线为， 圆心到该直线的距离为，满足切线条件； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为； 综上所述：过点的圆的切线方程为和. （3）设圆心到直线的距离， 则，即，解得， 则，解得. 18．（17分） 【详解】（1）依题意，， 解得，所以椭圆的标准方程为． （2）依题意得，设， （i）直线的方程为，联立， ，得， ，. 则的面积 . （ii）是定值，定值为，过程如下： 由题意可得，设直线的方程为， 联立方程，，得. ，. . 又，， ． 所以是定值，定值为．    19．（17分） 【详解】（1）由题意，即， 因为过C的左焦点F且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为6， 所以点在双曲线：上，则， 又，则， 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由（1）知，，，， 由题意，设直线的方程为，，， 联立，得， 则， 且，则， 设直线与交于点， 因为直线的方程为，直线的方程为 联立可得， 则， 则，即在定直线上，则，其中， 而， 则， 即，故射线平分， 由题意平分，故点即为点， 所以在定直线上. （ii）由（i）知，，， 则， ， 所以，因为，所以 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度高二上学期期中模拟练习卷 数 学 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 则，所以直线的倾斜角为. 2．过三点、、的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆为 ，代入得 ； 代入：，即 ， 代入：，即， 由 得，代入： ，，，，， 圆为 ，配方得 ． 3．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】曲线表示椭圆，可得，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 4．复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．圆 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，可将条件转化为，再结合双曲线的定义即可判断. 【详解】设， 根据复数的几何意义知，表示复平面内点与点的距离， 表示复平面内点与点的距离， 则， 则由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的左支， 故复平面内对应的点的轨迹为双曲线的一支. 故选：B 5．已知直线与相互垂直，则实数a的值为（     ） A．3 B．0 C．3或0 D． 【答案】C 【详解】因为直线与相互垂直， 所以，即，解得或． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点到的一条渐近线的距离为4，是上一点，且，则的面积为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】B 【分析】先由双曲线焦点到渐近线距离为，求得；设到两焦点距离为，利用双曲线定义和勾股定理联立，结合关系求出两线段乘积，再用直角三角形面积公式算出三角形面积. 【详解】∵双曲线 ， ∴渐近线：，左焦点 ，， 则 到渐近线距离：， 又∵ ，得 ， 设 ， 由双曲线定义：，则：， ，由勾股定理：， 将 代入 ：， 整理：， ∵ ，∴ ， . 7．已知圆：，圆：．若圆上存在点，使得过点可作圆的两条切线，切点分别为，，且．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的轨迹方程，再利用两圆有交点计算即可. 【详解】 如图所示，圆：，圆心为，半径为， 圆：，圆心为，半径为， 由题意得：，，， 所以，则，， 设，则，即：点的轨迹方程是圆， 则原题等价于和有公共点， 圆和圆圆心距为：，若两圆有交点，则需满足：，解得：. 8．已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列说法正确的是（     ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．是纯虚数 【答案】BCD 【详解】对于选项A，可知，所以，所以选项A错误； 对于选项B，，在复平面内对应的点为，所以选项B正确； 对于选项C，，所以选项C正确； 对于选项D，，所以选项D正确. 10．已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（     ） A．直线与圆相交 B．当时，圆上有四个点到直线的距离等于 C．当直线与圆相交于，两点时，的最小值为 D．直线与轴垂直时，直线与圆的交点中位置较上的交点为，则过点且与圆相切的直线方程是 【答案】ACD 【分析】分析可知直线过定点，对于A：可知点在圆内，所以直线与圆相交；对于B：求点到直线的距离，进而分析判断；对于C：根据垂径定理运算求解即可；对于D：求点的坐标，根据垂直关系求斜率和直线方程. 【详解】直线：即为， 令，解得， 可知直线过定点. 圆：即为， 可知圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则. 对于选项A：因为，即点在圆内， 所以直线与圆相交，故A正确； 对于选项B：当时，直线：， 圆心到直线的距离， 所以圆上有个点到直线的距离等于，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当直线时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：当直线与轴垂直时，则直线：， 联立方程，解得或，即， 则直线的斜率，可知切线斜率为1， 所以所求切线方程为，即，故D正确. 11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义可得 的周长为 ，从而判断A；由三角形内切圆半径与三角形周长和面积的关系可得内切圆半径的最大值，判断B；结合椭圆的定义及三角不等式求得的最大值，判断C；设直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，求得，判断D. 【详解】由 ，知. 所以 的周长为， 故A正确； 设内切圆半径为，， 的周长为， 面积为， 所以，得. 所以 内切圆半径的最大值小于 2，故B错误； 由椭圆的定义，得， 所以， 当为延长线与椭圆的交点时取等号，故最大值为，故C正确； 设， 由 ，得，所以. 当直线的斜率不存在时，其方程为， 代入，得，. 所以，不合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，得. 所以. 因为， 所以， 即，， 所以或. 当时，，无解； 当时，，，， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是_________. 【答案】或（即或） 【详解】当两截距均为0时，函数图象过原点， 设直线方程为，又直线过点，代入得， 直线方程为，整理得； 当两截距不为0时， 设直线方程为，又直线过点，代入得，解得， 直线方程为，整理得或； 综上所述，直线方程或（即或）. 13．若关于x的方程有唯一解，则b的取值范围是_______. 【答案】{或} 【分析】运用代数式的几何意义，将方程解的问题转化成半圆与直线两个函数交点的问题. 【详解】由题意，，即， 问题等价于在上有唯一解， 令表示圆心为，半径为1的圆的上半部分， 而表示斜率为的直线，如下图示： 只需与在上有唯一公共点， ①当直线与半圆右上部相切时，，由解得，此时有唯一公共点； 当直线过时，直线方程为，由图知当时恒有两个交点； 当直线过时，直线方程为，由图知时恒有一个公共点. 综上，的范围为或}，原方程有唯一解. 14．已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为___________． 【答案】/0.5 【分析】根据重心坐标公式以及内切圆的半径，结合等面积法，得到的关系，即可求解离心率. 【详解】设，由于G是的重心，由重心坐标公式可得， 由于，所以的纵坐标为， 由于是的内心，所以内切圆的半径为， 由椭圆定义得， ， ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数. (1)若z为实数，求的值； (2)若z为纯虚数，求的值； (3)若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据复数表示实数列出方程求解即得； （2）根据复数表示纯虚数列出不等式组求解即得； （3）根据复数的几何意义列出不等式组求解即得. 【详解】（1）由z为实数，可得，解得或； （2）由z为纯虚数，可得，解得； （3）因复数z在复平面内所对应的点位于第四象限， 则，解得， 故的取值范围为. 16．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求边所在直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用垂直直线斜率乘积为的性质求直线AC的斜率，结合点A坐标得AC方程； （2）设点B坐标，根据其在AC边的高线上、AB中点在AB边的中线上列方程组求解B坐标； （3）联立AC方程与AB边中线方程得点C坐标，再由两点坐标推导BC边的直线方程. 【详解】（1）由题意得，AC边上的高所在直线的斜率为，则直线的斜率为， 又直线AC过点，则其方程为，即； （2）设点的坐标为，因为AC边上的高过点B，故点B满足，即 ① 设AB的中点为D，则可得，将其代入整理得 ②， 联立①②，解得，，即得； （3）联立 ，解得，即， 又因，则直线BC的斜率为， 则其方程为，即. 17．已知点，直线及圆． (1)求直线所过的定点的坐标； (2)求过点的圆的切线方程； (3)若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值． 【答案】(1)定点的坐标为 (2)和 (3) 【分析】（1）整理可得，进而分析定点坐标； （2）分类讨论直线斜率是否存在，根据点到直线的距离公式运算求解； （3）根据垂径定理可得，根据点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）因为直线即为， 不论取何值，必定使方程成立，即直线经过定点， 所以定点的坐标为. （2）由题意可知：圆的圆心为，半径. 当直线斜率不存在时，直线为， 圆心到该直线的距离为，满足切线条件； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为； 综上所述：过点的圆的切线方程为和. （3）设圆心到直线的距离， 则，即，解得， 则，解得. 18．已知椭圆：的离心率为，左顶点为． (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为的直线交于，两点． （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设的右顶点为，直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是定值，定值为. 【分析】（1）由椭圆的左顶点为，离心率为，列出方程组，求解方程组即可得椭圆的方程； （2）（i）根据直线过和倾斜角，求出直线的方程，联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，再结合三角形面积公式即可得到的面积； （ii）根据题意设直线的方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得到点坐标关系，再根据斜率公式得到，的表达式，对代入韦达定理的结论，化简后即可得到的定值. 【详解】（1）依题意，， 解得，所以椭圆的标准方程为． （2）依题意得，设， （i）直线的方程为，联立， ，得， ，. 则的面积 . （ii）是定值，定值为，过程如下： 由题意可得，设直线的方程为， 联立方程，，得. ，. . 又，， ． 所以是定值，定值为．    19．已知点A，B分别是双曲线：的左、右顶点，，过C的左焦点F且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为6. (1)求C的方程. (2)若动点M在C上且位于第一象限，直线与C的另一个交点为N，的平分线交于点P. （i）证明：点P在定直线上； （ii）记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）由（1）知，，，， 由题意，设直线的方程为，，， 联立，得， 则， 且，则， 设直线与交于点， 因为直线的方程为，直线的方程为 联立可得， 则， 则，即在定直线上，则，其中， 而， 则， 即，故射线平分， 由题意平分，故点即为点， 所以在定直线上. （ii） 【分析】（1）由题意可得，点在双曲线上，进而结合关系求解即可； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，设直线与交于点，结合韦达定理分析可得在定直线上，进而结合二倍角公式及斜率公式可得平分，即点即为点，进而求证即可； （ii）结合（i）表示出，进而结合的范围求解即可. 【详解】（1）由题意，即， 因为过C的左焦点F且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为6， 所以点在双曲线：上，则， 又，则， 所以双曲线C的方程为. （2）（i）略 （ii）由（i）知，，， 则， ， 所以，因为，所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度高二上学期期中模拟练习卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．过三点、、的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．圆 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线 5．已知直线与相互垂直，则实数a的值为（     ） A．3 B．0 C．3或0 D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点到的一条渐近线的距离为4，是上一点，且，则的面积为（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 7．已知圆：，圆：．若圆上存在点，使得过点可作圆的两条切线，切点分别为，，且．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列说法正确的是（     ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．是纯虚数 10．已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（     ） A．直线与圆相交 B．当时，圆上有四个点到直线的距离等于 C．当直线与圆相交于，两点时，的最小值为 D．直线与轴垂直时，直线与圆的交点中位置较上的交点为，则过点且与圆相切的直线方程是 11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是_________. 13．若关于x的方程有唯一解，则b的取值范围是_______. 14．已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数. (1)若z为实数，求的值； (2)若z为纯虚数，求的值； (3)若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求边所在直线的方程． 17．已知点，直线及圆． (1)求直线所过的定点的坐标； (2)求过点的圆的切线方程； (3)若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值． 18．已知椭圆：的离心率为，左顶点为． (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为的直线交于，两点． （i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积； （ii）设的右顶点为，直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 19．已知点A，B分别是双曲线：的左、右顶点，，过C的左焦点F且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为6. (1)求C的方程. (2)若动点M在C上且位于第一象限，直线与C的另一个交点为N，的平分线交于点P. （i）证明：点P在定直线上； （ii）记，的面积分别为，，求的取值范围 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $