江苏省扬州市仪征市2026-2027学年度第一学期高二学情调研测试数学试题

2026-2027学年第一学期高二期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．已知直线与相互垂直，则实数a的值为（ ） A．3 B．0 C．3或0 D． 4．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．已知的顶点为，，，则的垂心坐标为（ ） A． B． C． D． 6．若点P（x，y）在直线l：上，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．方程表示的曲线长度为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线直线l与椭圆C交于M，N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列说法正确的是（ ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．是纯虚数 10．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆的短轴长为4 B．若，则 C．存在点，使得 D．面积的最大值为12 11．在中，，，的内心，的外心为，则下列说法正确的是（ ） A．的内切圆的半径为2 B．的外接圆的方程为 C．已知点是直线上任意一点，过作的外接圆的切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为 D．已知点是直线上任意一点，过作的内切圆的切线，切点分别为，，则直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线被圆截得的弦长为                        ． 13．已知复数满足，复数满足，则的最大值为                        ． 14．已知定点，为椭圆上一动点，满足当取得最小值时点恰为椭圆的下顶点，则实数的取值范围为                        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为B（i为虚数单位，）． （1）若点A，B关于虚轴对称，求的值； （2）若为实数，求的值． 16．（15分）已知的三个顶点为，，． （1）求边AC上的中线所在直线方程； （2）求的面积； （3）求一点D的坐标，使得四边形ABCD为平行四边形． 17．（15分）在平面直角坐标系中，点，动点满足． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若直线过点且与轨迹C相切，求直线的方程． 18．（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l：与椭圆C交于P，Q两点，设直线OP，OQ的斜率分别为，，已知． ①求k的值； ②当的面积最大时，求直线PQ的方程． 19．（17分）已知圆O的圆心为坐标原点，且经过点，圆O与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，与x轴负半轴交于点C． （1）求圆O的标准方程； （2）P是圆O上一点且不在坐标轴上，直线AP交y轴于点M，直线BP交x轴于点N，求证：为定值； （3）若直线l的斜率存在，且与圆O交于D，E两点（异于点C），直线CD与直线CE的斜率之积为3，求证：直线l过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高二数学期中检测试卷 参考答案及评分标准 1．A 2．D 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．BCD 10．BD 11．BCD 12．2 13．18 14． 15．【详解】（1）由题意有，，因为点A，B关于虚轴对称， 所以，， 4分 所以； 6分 （2）， 9分 因为为实数，所以， 11分 所以． 13分 16．【详解】（1）记AC的中点为M，M的坐标为， 1分 直线CM的斜率为， 3分 所以边AC上的中线所在直线的方程为， 即． 5分 （2）直线AB的方程为， 6分 ， 8分 点C到直线AB的距离， 9分 所以的面积为． 10分 （3）设点D的坐标为， 因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 12分 所以，即 所以，， 14分 故当D为时，四边形ABCD为平行四边形． 15分 17．【详解】（1）因为，由，得， 3分 化简得，即， 所以P点的轨迹C的方程为． 6分 （2）由（1）知，轨迹C：表示圆心为半径为2的圆， 当直线l的斜率不存在时，方程为， 此时圆心到直线的距离等于圆的半径， 故直线与C相切，满足题意； 9分 当直线l的斜率存在时，设，即， 于是圆心到的距离等于半径2， 即，解得， 13分 因此直线l的方程为，即， 14分 所以直线l的方程为或． 15分 18．【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，则． 因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以， 1分 ，所以，， 3分 所以椭圆C的标准方程为． 4分 （2）①设，，联立， 消去y得， ，化简得， 所以，， 6分 又OP的斜率，OQ的斜率， 所以， 化简得， 8分 所以．又因为，即，又，所以． 10分 ②由①得，直线PQ的方程为， 且，，， 11分 又，所以．所以 ， 13分 点O到直线PQ的距离， 14分 所以， 当且仅当，即时， 16分 的面积最大，所以直线PQ的方程为． 17分 19．【详解】（1）由已知得圆O的半径， 2分 所以圆O的标准方程为． 4分 （2）证明：由（1）可知，，设，则 ，由题意知，直线AP的方程为， 令，得，所以， 5分 由，得直线BP的方程为， 令，得，所以， 6分 所以 9分 所以为定值． 10分 （3）证明：设直线l的方程为，，， 已知，联立得， ，即， 所以，． 12分 所以 ， 所以， 13分 所以， 14分 整理得，所以或， 15分 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意． 16分 所以直线过定点． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $