福建省龙岩市某校2026-2027学年高二上学期数学周末作业09.19

**基本信息** 高二数学周测试卷涵盖数列、解析几何等核心模块，通过基础巩固题（如数列递推）、能力提升题（如直线夹角平分线）及创新应用题（如最小覆盖圆），培养数学抽象、几何直观与运算推理能力，适配阶段性学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列性质、基本不等式、直线方程|第8题结合取整函数，考查数列求和与数学抽象| |多选题|3/18|数列综合、直线倾斜角、圆的切线|第11题通过圆上点距离与动直线位置，考查逻辑推理| |填空题|3/15|递增数列参数、动直线定点、曲线面积|第14题曲线面积计算，融合几何直观与空间观念| |解答题|5/77|直线与坐标轴交点最值、数列证明、最小覆盖圆|第19题以曲线最小覆盖圆为载体，体现数学建模与创新意识|

2028届高一数学校本作业三：周末作业 2028届高二上学期数学周末作业2026.9.19 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列对于任意， 都有，若，则（ ） A． B． C． D． 2．设是等差数列，则下列结论中正确的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，则的最小值为 （ ） A． B． C． D． 4．直线和直线的夹角平分线的方程为 （ ） A． B． C．或 D．或 5．若既是，的中点，又是直线与直线 的交点，则线段的垂直平分线的方程是 （ ） A． B． C． D． 6．若方程所表示的圆取得最大面积，则直线的 倾斜角等于 （ ） A． B． C． D． 7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于 点，则（异于，两点）的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．符号表示不超过实数的最大整数，如，. 已知数列满足，，. 若，为数列的前项和，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知数列满足，，记，则下列说法正确的是（ ） A．数列是等比数列，公比为3 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和为 D．数列的前项和大于 10．下列说法正确的是（ ） A．直线经过两点，那么直线的斜率的取值范围为 B．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 C．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角的取值范围是 11．已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列为递增数列，，则的取值范围为 ． 13．已知，动直线过定点，动直线过定 点，若与交于点（异于，两点），则的最大值为： ． 14．由曲线围成的图形面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．过点作直线分别交轴的正半轴和轴的正半轴于、两点． （1）求的最小值及此时直线的方程； （2）求最小值及此时直线的方程． 16．已知数列的前项和为，，，，其中为常数， （I）证明：； （II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由． 17．（本小题满分12分） 已知二次函数 有且只有一个零点，数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）设，定义所有满足的正整数的个数，称为这个数列的变号数，求数列的变号数． 18．已知直线方程为． （1）证明：直线恒过定点； （2）当为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时 直线的方程． 19．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆 盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段的最小覆盖圆就是以为直径的圆；② 锐角的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线：，，， ，为曲线上不同的四点． （1）求实数的值及的最小覆盖圆的方程； （2）求四边形的最小覆盖圆的方程； （3）求曲线的最小覆盖圆的方程． 2028届高二上学期数学周末作业参考答案2026.9.19 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C D D D B B ABD BD ABD 8．【详解】因为，则，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则①， 又由可得，且， 所以数列为常数列，则②， 由①②可得，因为， ，则， 所以，所以，则， 所以， 化简可得， 因此. 11．【详解】对于A,将配方得标准方程，显然圆心到轴距离为1，一条切线为，A正确； 对于B，令，，则，其中，所以的最大值为16，B正确； 对于C，直线，亦即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，但不能重合，所以没有最小值，C错误； 对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，即，解得，所以的取值范围是，D正确. 12．; 13． 14． 14.【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称， 当，时，解析式为， 故可得此曲线所围的封闭图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是． 15．【解析】（1）根据题意可设直线l的方程为，则， 直线过点，， 又(当且仅当，即时取等号)， ，即， 的最小值为8，此时直线l的方程为； （2）由（1）可知，，则， (当且仅当，即时取等号)． 的最小值为4，此时直线的方程为． 16．【解析】（I）， ， ， 又， ． （II）由（I）可知：的奇数项和偶数项均为等差数列． 若为等差数列，则，又， ，即． 由，，可得:,． ，即，解得， ，又， 当时，是以2为公差的等差数列． 17．【解析】（1）依题意，，所以或． 又得，所以，所以． 当时，； 当时，． 所以数列的通项公式为． （2）由题意得． 由可知，当时，恒有． 又，，，，，， 即，，， 所以数列的变号数为． 18．【解析】（1）证明：直线方程为， 可化为， 对任意都成立，所以，解得，所以直线恒过定点； （2）点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，即． 又 ， 且的斜率为，故，解得． （3）由（1）可知，直线过定点，且分别与轴，轴的负半轴交于两点， 设直线方程为，，分别令，，可得，， 则， 当且仅当时取等号，面积的最小值为． 此时直线的方程． 19．【解析】（1）因为在曲线：上，所以令得，． 由于为锐角三角形，外接圆就是的最小覆盖圆． 设外接圆方程为，则， 解得． 所以的最小覆盖圆的方程为，即． （2）由题意，曲线关于原点成中心对称，且． 所以四边形的最小覆盖圆就是的最小覆盖圆，即以为直径的圆， 所以的最小覆盖圆的方程为． 所以四边形的最小覆盖圆的方程为． （3）曲线关于原点成中心对称．设曲线上一点，则． 又，且． 故， 所以当时，， 所以曲线的最小覆盖圆的方程为． 第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $