3.3抛物线测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

抛物线测试卷 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义列方程，由此求得的值. 【详解】根据抛物线的定义，是其准线， 因为的准线方程为， 所以，解得. 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由抛物线的定义可得，得，代入抛物线方程求出纵坐标即可得到点的坐标. 【详解】抛物线的焦点为,准线方程为， ； 因为点到的焦点的距离为5，所以由抛物线的定义得，得； 又因为为抛物线上一点，所以，所以， 所以点的坐标为； 故选：A 3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 4．（25-26高二下·河南许昌·期中）双曲线和抛物线的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为5，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】双曲线，则. ，得. 双曲线右焦点为，故抛物线焦点，即. 则抛物线方程为. 设，中点横坐标，得. 由抛物线焦点弦长公式. 代入得. 5．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知抛物线：上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】 抛物线：的焦点，准线：， 设点到准线的距离为，点到准线的距离为， 所以. 6．（25-26高二上·安徽合肥·期中）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件列方程求，结合抛物线性质可求结论． 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 抛物线焦点到顶点的距离为． 故选：D． 7．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设，，由点差法即可求解. 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 8．（25-26高二上·浙江·期中）已知抛物线为上的动点，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】如图，作直线，直线，取抛物线焦点为F.由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由圆外一点到圆上距离最小值相关结论可得答案. 【详解】由题可得抛物线焦点为：，准线为：. 如图，作直线，直线，取抛物线焦点为F， 则点到直线的距离与之和为， 由抛物线定义可得：， 则当四点共线时，取最小值为， 又由题可得，，则最小值为：. 故选：A 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，，延长交抛物线于，则（   ） A． B． C． D．以为直径的圆与相切 【答案】AD 【分析】求出焦点坐标与准线方程，结合焦半径公式判断A，即可求出，从而判断B、C，根据抛物线的定义证明D. 【详解】对于A：抛物线：，则，准线方程为，由，解得，故A正确； 对于B：由，即，解得，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：设，则，设的中点为，过作准线的垂线段，垂足分别为， 则，， 由梯形中位线定理知， 所以以为直径的圆与准线相切，故D正确.    故选：AD 10．（25-26高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过且垂直于的直线交准线于，则（   ） A．准线方程为 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据抛物线的性质、焦点弦公式、韦达定理等知识逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，，准线方程为，所以A正确； 设直线的方程为，. 联立，得，即. 根据韦达定理. 由抛物线的焦点弦长公式，C正确； 因为，所以直线的斜率为，则直线的方程为. 令，可得，即. 点到直线的距离. 所以，所以D错误. 当时，轴，此时， 则，此时，所以B错误. 11．（25-26高二上·福建南平·期中）已知直线：过抛物线：的焦点，且与交于，两点，点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为4 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A项，由抛物线的几何性质及斜率公式求解；对于B项，当与轴垂直时，取得最小值；对于C项，联立直线与抛物线方程，由韦达定理及弦长公式求解；对于D项，由数量积公式及弦长公式求解． 【详解】由题可得，则. 因为，所以，则，A正确. 设，，由得， 方程的判别式， 所以，. 所以 ， 所以当时，取最小值， 所以当与轴垂直时，取得最小值，且最小值为4，B正确. 由，可得，又，. 所以， 则，C不正确. ，， 由， 可得， 则，解得， 则，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知为抛物线：的焦点，过点的直线与相交于，两点，若轴，，则______. 【答案】5 【分析】结合题意确定点的坐标，代入抛物线方程求出的值，得到抛物线的具体方程， 进而联立直线与抛物线的方程，求出点的坐标,再结合焦半径公式求解. 【详解】不妨设点在第一象限内，，则， 代入，解得，即， 所以直线的方程为，即， 由得，则， 所以， 所以根据抛物线的定义可知，. 13．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 14．（2026高二下·湖北十堰·专题练习）直线l与抛物线相交于A，B两点，当时，弦AB中点M到x轴的距离的最小值为_______. 【答案】 【分析】分别过点往准线作垂线，垂足分别为，利用抛物线的定义以及三角形的性质即可求出. 【详解】拋物线即的准线为，焦点为， 分别过点往准线作垂线，垂足分别为， 则点M到x轴的距离为， 等号成立时，三点共线， 故弦AB中点M到x轴距离的最小值为. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点； (2)焦点在直线上； (3)焦点到准线的距离是4． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或或或． 【分析】（1）分过点的抛物线开口向左或开口向上两种情况设抛物线的标准方程求解即可； （2）由直线与坐标轴的交点为焦点，再由抛物线的性质求解即可； （3）由抛物线的性质求解即可； 【详解】（1）由于点在第二象限，所以过点的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以， 所以抛物线的标准方程为； 若抛物线开口向上，焦点在轴上，设其标准方程为． 将点的坐标代入，可得，所以，所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （2）因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． （3）焦点到准线的距离，焦点可在轴或轴上，故有四种情况，所求抛物线的标准方程为或或或． 16．（25-26高二上·江苏扬州·期中）开口向上的抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点.当直线轴时，. (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若直线的斜率为1，求的面积. 【答案】(1)标准方程为.准线方程为 (2) 【分析】（1）根据直线轴得到，从而得到，然后求标准方程和准线方程即可； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到，然后根据求面积即可. 【详解】（1）由题可知：. 当直线轴时，可得，.所以. 因为，所以，解得， 故抛物线的标准方程为.准线方程为. （2） 由（1）知：，所以直线. 联立直线与抛物线方程，得， 设点，，则，， 所以. 所以的面积. 17．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线：的焦点到直线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用抛物线焦点到直线的距离公式列方程求出的值，即可确定标准方程； （2）设直线方程并与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式与点到直线距离公式表示三角形面积，建立方程求解即得. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 所以焦点到直线的距离为， 解得，则抛物线的标准方程为. （2）由题意设过点的直线方程为，设. 联立方程，消去得：， 所以，， 所以， 由弦长公式，. 原点到直线的距离为. 所以， 解得 ，即. 故直线方程为：或，即或. 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为，斜率为的直线l与抛物线C相交于两点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若，求l的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据抛物线的焦点即可求解方程， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据抛物线的焦半径即可求解. 【详解】（1）由焦点，可得，得， 因此抛物线C的标准方程为． （2）设， 联立方程组，得， 韦达定理知， ， ， 则l的方程． 19．（25-26高二上·河南漯河·期中）已知抛物线：（）经过点. (1)求抛物线的焦点的坐标； (2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算求出即可求解； （2）设直线的方程为点斜式，联立直线和抛物线，消去，整理得到关于的一元二次方程，利用计算得解. 【详解】（1）抛物线：（）经过点， ，，， 抛物线的焦点的坐标为； （2）设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为， 联立，消去整理得到， 与有2个交点，，或. 实数的取值范围为或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $抛物线测试卷 一、单选题 1.(25-26高二下：湖南长沙：期中)抛物线C:y'=2pxp>0的焦点为R,C上的点到P的距离等于到 直线x=-2的距离，则p=() A.8 B.4 C.2 D.1 2.(25-26高二上江苏淮安·期中)己知A为抛物线C:y=4x上一点，点A到C的焦点的距离为5，则点 A的坐标为() A.4,±4 B.3,±23 C.4,4 D.-4,±4 3.(25-26高二下·湖南长沙期中)已知P是抛物线x2=4y上任意一点，点P在x轴上的射影为点H,点 A的坐标为12,6，则PA+PH的最小值是() A.13 B.12 C.11 D.10 VA PA+PH=PA+PG-1=PA+PF-1>AF-1 根据抛物线的定义得 当且仅当P,A,F三点共线时PA+PF=AF, .AF=V12+6-12=13 ∴.PA+PH的最小值为13-1=12 日《25-26高下河降昌期中双曲线y和特物线y2Pxp>0的公共焦点为E,过点D 的直线交抛物线于A,B两点，若AB中点的横坐标为5，则AB=() A.12 B.14 C.16 D.18 5.(25-26高二下.安徽马鞍山·期中)已知抛物线C:y=4x上任意一点P,定点A2,1,若点M是圆 k-1+y广-子土的动点，则P1+PM的小植为《） 5 7 A.2 B. C. 2 D.4 6.(25-26高二上·安徽合肥期中)一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所 试卷第1页（共3页） 示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦 点F处，己知接收天线的口径（直径）为4.8m,深度为1m,则该抛物线焦点到顶点的距离为() 图1 图2 A.1m B.2.88m c.5.76m D.1.44m 7.(25-26高二上河北邢台·期中)已知过点P-1,-2且斜率为k的直线与抛物线C:y=-8x交于A, B两点，且P为线段AB的中点，则k=() A.2 B.-2 C.4 D.-4 8.(25-26高二上浙江期中）已知抛物线c:y=8X,P为C上的动点·Q为圆M:(x+2P+(y-3P=4 上的动点，则点P到直线：x=-1的距离与PQ之和的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 二、多选题 9.(25-26高二上·安微合肥期中)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,准线为1：点MX,y,在抛物线 C上，MF=4,延长MF交抛物线C于N,则() A.X0=3 B.y。=23 C.OM=21 D.以MN为直径的圆与l相切 10.(25-26高二下·浙江杭州·期中)设抛物线C:y=4x的焦点为F,过F的直线交C于A、B两点， 过F且垂直于AB的直线交准线于E,则() A.准线方程为X=-1 B.AE>AB C.AB≥4 D.SAABE≥8 1山.（25-：26高二上福建南平期中)已知直线，：x=y+1过抛物线C:y=2pxp>0的焦点F且与 C交于A,B两点，点M-1,1,则下列结论正确的是() A.若MF⊥AB,则m=2 1 B.AB的最小值为4 试卷第2页（共3页） C.若A丽=3弦，则AB=32 D.若AM·BM=0,则AB=5 三、填空题 12.(25-26高二下：河南平顶山期中）已知F为抛物线C:y'=2pxp>0的焦点，过点(20的直线与 C相交于A,B两点，若AF⊥x轴，AF=2,则BF= 13.(25-26高二下·广东深圳期中)已知F为抛物线C:y=4x的焦点，直线y=kx+1与C交于 A,B两点，则2AF+BF的最小值是 十堰专题练习)直线与抛物线y三)相交于A,B两点： 中点M到x轴的距离的最小值为 四、解答题 15.(24-25高二上·全国·课后作业)求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点M-6,6: (2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上： (3)焦点到准线的距离是4. 16.(25-26高二上江苏扬州期中)开口向上的抛物线C:X=2pyp>0的焦点为F:过点r作直线，与 抛物线C交于A,B两点，O为坐标原点当直线l⊥y轴时，AB=4 (1)求抛物线C的标准方程及准线方程： (2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积 17.（25-26高二下福建福州：期中)已知抛物线C:y'=2pxp>0的焦点F到直线y=X+2的距离为 2V2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点A4,0的直线与抛物线C交于M、N两点，O为坐标原点，且△OMN的面积为163，求直线！ 的方程 18。(25-26高二上浙江杭州·期中)己知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(1,0),斜率为-1的直线1与 抛物线C相交于A,B两点， (1)求抛物线C的标准方程： (2)若AF+BF|=8,求1的方程. 试卷第3页（共3页） 6高二上：河南漯河·期中)已知抛物线X=2pyp>0经过点 (1)求抛物线C的焦点F的坐标： (2)设直线1经过点-2,0，且斜率为k,若l与C有2个交点，求实数k的取值范围. 试卷第4页（共3页）