考点08 随机事件及其发生的可能性6题型突破+能力强化（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级下册

考点08 随机事件及其发生的可能性 考点一：事件的分类 事件类型 定义关键语 结果情况 可能性 必然事件 在一定条件下必定出现 结果一定出现 1 不可能事件 在一定条件下必定不出现 结果一定不出现 0 随机事件 可能出现也可能不出现（不确定事件） 结果不止一种，事先不能确定 0 与 1 之间 考点二：判断事件类型 ① 定条件：题目是在什么条件下做这件事——袋里有几个什么颜色的球、骰子是否均匀、是否在标准大气压下。条件变了，答案往往会变。 ② 列结果：把可能的结果尽量列全，例如摸球题列出“红、白、黑”，掷骰子题列出“1 至 6 点”。结果列不全，后面一定判错。 ③ 比可能：看题目所指的那个结果，是一定出现、一定不出现，还是两种都可能；对应必然、不可能、随机。 三类常用依据可以让第③步更快：一是生活常识与科学事实，如水在标准大气压下 100 ℃ 沸腾、铁块在水中下沉、太阳从东方升起；二是数学定义与性质，如三角形内角和为 180°、实数的平方非负、三角形两边之和大于第三边；三是条件本身给出的信息，如袋中球的颜色与数量。凡是能靠定义、定理定的，直接引用；靠生活事实定的，要说清“在什么条件下”。 最需要提醒学生的一点：“结果只有一种”不等于“一定会出现”。例如“掷一枚骰子，向上一面的点数是 3”，这句话把结果说得很死，但点数为 3 只是六种可能中的一种，可能出现也可能不出现，所以它是随机事件。判断看的是这个结果会不会出现，不是这句话说没说死。 考点三：事件发生的可能性有大有小 在同一条件下，不同事件发生的可能性一般不同。教材用“可能性极小”“不大可能”“可能”“很可能”“可能性极大”等说法作定性描述。这些词不是随口形容，它们必须带着比较对象才有意义：“明天下雨的可能性很大”，是相对“明天不下雨”而言的；脱离同一条件去说大小，没有意义。 三条基本认识要一次说清。第一，必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件夹在两者之间。第二，可能性大小是事件本身的属性，不因某一次试验的结果而改变——掷十次硬币都是正面，下次正面朝上的可能性仍然是原来那么大，这是 33.3 讲频率稳定性的伏笔。第三，可能性大小可以比较，但“可能性大”只说把握大，不说“一定发生”；“可能性小”只说把握小，不说“不发生”。 考点四：比较可能性大小的四条依据 比较之前先确认一件事：这些事件必须是在同一条件下发生的。条件不同的两个事件，不能拿来比大小。确认之后，按情境选依据： ① 数量（份数）：袋中球的个数、卡片张数、抽签人数。所占份数越多，可能性越大。 ② 面积：转盘各扇形的面积（圆心角）。面积占比越大，指针落入的可能性越大。 ③ 时间：信号灯各色的持续时间、某时段的长短。持续越久，随机经过时遇上的可能性越大。 ④ 实际条件与经验：降雨、堵车、彩票中奖、抛图钉针尖朝上。按已知规律和生活经验作比较，说清依据即可。 情境 判断依据 典型数据 摸球、抽卡片、抽签 数量（份数）占比 袋中 5 红 3 黄 2 白，摸到红球的可能性最大 转盘、掷飞镖 扇形面积（圆心角）占比 红 120°、黄 90°、蓝 150°，蓝的可能性最大 信号灯、时段 持续时间长短 红 30 秒、绿 50 秒、黄 3 秒，绿灯的可能性最大 生活情境 实际条件与经验 明天有雨，带伞的可能性更大；彩票中奖可能性极小 注：四条依据的共同点是“看占比”，而不是“看种数”。转盘分成 4 个扇形不等于每个扇形各占四分之一。 考点五：用 0 到 1 之间的数刻画可能性 把可能性大小放到数轴上，两端是确定的：必然事件的可能性为 1，不可能事件的可能性为 0，随机事件的可能性在 0 与 1 之间。设 P 表示某个随机事件发生的可能性大小，则 P 越接近 1，可能性越大；越接近 0，可能性越小。这里有两组说法千万不能混：可能性为 0 与不可能事件是同一件事；可能性极小则仍是随机事件，只要大于 0 就有可能发生。反过来，可能性为 1 与必然事件是同一件事；可能性非常大仍只是随机事件。端点只有 0 和 1 两个，其余一切都是随机事件。 考点六：可能性的应用：公平性与简单决策 判断游戏是否公平，标准只有一条：双方获胜的可能性是否相同。相同则公平，不同则不公平，且可能性大的一方占优。操作时先把每种结果的可能性写出来再比，不要按“结果有几种、各占几种”去数份数——份数相同而面积或数量不等时，可能性并不相同。 决策类问题（选哪种抽奖方式、哪天办活动、走哪条路不容易堵）本质上是把可能性大小当作依据排序，选可能性大的方案；同时要说清这只是提高把握程度，不保证这一次的结果。 题型一：事件的分类 1．下列为必然事件的是（   ） A．下周有一天不下雨 B．国足输球 C．太阳从西边升起 D．在1标准大气压下，水加热到后沸腾 【答案】D 【详解】解：A、下周有一天不下雨，是随机事件，故此选项不符合题意； B、国足输球，是随机事件，故此选项不符合题意； C、太阳从西边升起，是不可能事件，故此选项不符合题意； D、在1标准大气压下，水加热到后沸腾，是必然事件，符合题意； 故选：D． 2．下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放天气预报 B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球 C．今年的除夕夜会下雪 D．任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有6次 【答案】B 【详解】解：A．打开电视机，正在播放天气预报，是随机事件，不符合题意． B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球，是不可能事件，符合题意． C．今年的除夕夜会下雪，是随机事件，不符合题意． D．任意抛掷一枚硬币次，正面朝上有次，是随机事件，不符合题意． 3．下列事件属于随机事件的是（     ） A．太阳从东方升起 B．标准大气压下水在沸腾 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．三角形内角和为 【答案】C 【详解】解：A、B、太阳从东方升起、标准大气压下水在沸腾是必然事件； D、三角形内角和为，故三角形内角和为是不可能事件； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件． 4．下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【答案】D 【详解】解：A． 掷一次骰子，朝上一面的点数最小为，必然大于，是必然事件，不符合题意； B． 从装有个白球的袋中摸出红球，是不可能事件，不符合题意； C．明天太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意； D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，可能命中环，也可能不命中，是不确定事件，符合题意． 5．一组对边平行的四边形是梯形是________．（选题“随机事件”或“必然事件”） 【答案】随机事件 【详解】解：∵一组对边平行的四边形可能是梯形，也可能是平行四边形， ∴一组对边平行的四边形是梯形是随机事件， 故答案为：随机事件． 题型二：判断事件发生的可能性的大小 6．下列成语所反映事件中，发生的可能性最大的是（     ） A．竹篮打水 B．水中捞月 C．守株待兔 D．水涨船高 【答案】D 【详解】解：竹篮打水、水中捞月均为不可能事件，发生可能性为； 守株待兔是随机事件，发生可能性介于与之间； 水涨船高是必然事件，发生可能性为； 故水涨船高发生的可能性最大，答案为D． 7．抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则下列选项中的说法正确的是（　　） ①全是正面；②一正一反；③全是反面． A．事件①发生的可能性最大 B．事件②发生的可能性最大 C．事件③发生的可能性最大 D．事件①②③发生的可能性相等 【答案】B 【详解】抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反， ∴全是正面的可能性：， 一正一反的可能性：， 全是反面可能性：， ∴“一正一反”发生的可能性大． 故选：B． 8．下列五个事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？根据你的判断，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． ①1个标准大气压下水加热到时开始沸腾； ②手机号码的末位数字为偶数； ③的绝对值小于0； ④掷一枚质地均匀的骰子所得点数小于3； ⑤从装有3个白球和6个红球的不透明的袋子（袋中只有白球和红球，它们除了颜色不同以外没有任何其他区别，且球已搅匀）中摸出1个球是红球． 【答案】①必然事件；②随机事件；③不可能事件；④随机事件；⑤随机事件；可能性从小到大的顺序排列为 【难度】0.85 【详解】解：①1个标准大气压下水加热到时开始沸腾是必然事件，∴发生的概率． ②手机号码的末位数字为偶数是随机事件，从0到9的数字中有5个奇数、5个偶数， 手机号码的末位数字为偶数的概率． ③的绝对值小于0是不可能事件， 发生的概率． ④掷一枚质地均匀的骰子所得点数小于3是随机事件，点数小于3的概率． ⑤从装有3个白球和6个红球的不透明的袋子（袋中只有白球和红球，它们除了颜色不同外没有任何其他区别，且球已搅匀）中摸出1个球是红球是随机事件，摸到红球的概率． ， ∴这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为． 9．一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：白球数量为，黄球数量为3，红球数量为n， 要使摸出红球的可能性最小，需满足， 又n是正整数， n的值为1或2（答案填写一个即可）． 题型三：改变条件使事件发生的可能性相同 10．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 11．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【答案】2 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 12．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【详解】(1)盒中只有100个黄球，摸出1个红球； (2)盒中只有100个红球，摸出1个红球； (3)盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 13．不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从这个盒子里任意摸出一个球． (1)能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ (2)小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ (3)如果想让小丽摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案． 【答案】(1)不能 (2)不一样，摸到红色球的可能性最大，白色球次之，绿色球最小 (3)答案不唯一，如把1号球先取出来，再摸球 【详解】（1）解：∵盒子中的小球有红色、白色、绿色， ∴不能够事先确定小丽摸出的球的颜色； （2）解：∵红色球有3个，白色球有2个，绿色球有1个，， ∴小丽摸到每一种颜色的球的可能性不一样； （3）解：答案不唯一，如把1号球先取出来，再摸球． 题型四：列举随机实验的所有可能结果 14．从中取三个不同的数，使它们的和能被3整除，且至少有一个是偶数，则不同的取法共有___________种． 【答案】 【详解】解：先将按除以的余数分为三类：余的数有，共个，其中奇数个，偶数个；余的数有，共个，其中奇数个，偶数个；余的数有，共个，其中奇数个，偶数个； 三个数和能被整除的情况分为四类：三个都余；三个都余；三个都余；一个余一个余一个余， 三个都余的总取法：含有的组合有4个，含有的组合有3个，含有的组合有2个，含有的组合有1个，共个，即含有3的组合有10个； 同理含有6的组合（不含有3）有6个；含有9的组合（不含有3、6）有3个；含有12的组合（不含有3、6、9）有1个， 一共有个； 同理三个都余的组合有35种；三个都余的组合有35种；一个余一个余一个余的组合有294种； 总取法有种， 三个都是奇数且和能被3整除的取法： 其中被3整除的类中奇数组合有，1个； 被3除余1的类中奇数组合有、、、，共4个； 被3除余2的类中奇数组合有，1个； 从三列奇数中各取一个的取法有种， 全为奇数的取法共有种， 故至少有一个偶数的不同取法为：种. 15．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【详解】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 16．在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：．根据以上信息．请判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是______和______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，十个数字互不重复，五人每人两张卡片，所有数字不重复， 由丁：，可知中两个不同数字和为只有，因此丁手中数字为和； 由甲：，可知和为的不同数字组合为和，和，和，和已被使用，因此甲手中数字只能为和； 此时已使用数字为，剩余未使用数字为， 由乙：，剩余数字中和为的组合只有，其他组合均包含已使用数字，因此乙手中数字为和； 此时已使用数字新增，剩余未使用数字为 ， 由丙：，剩余数字中和为的组合只有，因此丙手中数字只能为和； 此时剩余未使用数字为和，因为，符合戊的和，因此戊同学手里拿的两张卡片上的数字是和． 17．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 【答案】 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 题型五：判断实验所得结果是否是等可能的 18．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 19．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 20．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 【答案】B 【详解】解：A、试验次数多与试验次数少所得的规律不一定相同，故此选项错误； B、试验次数越多，所得数据越接近真实值，此选项正确； C、试验次数越少，所得数据不可能越接近真实值，故此选项错误； D、抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会不相同，故此选项错误； 故选：B． 21．准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示）．将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片．你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？收集拼图片活动的试验数据，检验恰好拼成原图的频率是否随试验次数的增加而趋于稳定． 【详解】猜测：抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会不大，若尝试20次，大概平均次里会有一次成功； 收集拼图片活动的试验数据如下： 实验者 试验次数（） 成功次数（） 成功的频率（） 同学A 20 4 0.20 同学B 20 5 0.25 同学C 20 3 0.15 同学D 20 4 0.20 同学E 20 6 0.25 同学F 20 2 0.10 合计 120 24 0.20 检验发现：少量试验时，各组的频率会出现波动（0.20、0.25、0.15、0.10各不相同）；把多组试验合并，总试验次数变多，总频率就接近理论值 0.2，即大量重复试验时，拼成原图的频率会逐渐稳定在 0.2 附近 题型六：游戏的公平性 22．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 23．用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 24．家里只剩一块儿巧克力了，哥哥和弟弟都想得到它，妈妈给他们一个骰子，让他们设计一个游戏，获胜的就得到巧克力．哥哥说“掷出2时哥哥胜，掷出1时弟弟胜，若掷出其它数字就再掷一次，直到掷出1或2”，弟弟说这不公平，2比1大．你认为这个游戏公平吗？填空：________．（填“公平或不公平”） 【答案】公平 【详解】解：任意掷一次骰子，共有6种等可能的结果，掷出1和掷出2的概率都是， 哥哥与弟弟获胜的概率是完全相等的，都为，因此这个游戏公平． 25．桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【详解】解：总共有3张卡片，每次抽取后放回，因此所有可能的结果数为种， 数字之和为偶数当且仅当两个数字均为奇数或均为偶数， 数字中奇数为1和3，偶数为2， 两个数字均为奇数的情况有种，均为偶数的情况有1种， 故数字之和为偶数的情况共5种，概率为， 数字之和为奇数的概率为， 两者概率不相等，因此游戏不公平． 故答案为：不公平． 26．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 【详解】这个游戏对甲乙双方公平，理由如下： 标有数字1的扇形的圆心角为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角均为；标有数字3，5的扇形的圆心角均为， 指针指向奇数的有：，指针指向偶数的有：， 甲获胜乙获胜， 这个游戏对甲、乙双方公平． 27．小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 【详解】解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2． 列表如下： 白1 白2 红1 白3 （白1，白3） （白2，白3） （红1，白3） 红2 （白1，红2） （白2，红2） （红1，红2） 可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种． ∴小明获胜的概率为． 小颖获胜的概率为． ∵两人获胜的概率相等， ∴这个游戏公平． 28．在庙会上，佳佳和琪琪看到这样一个游戏．商家准备一枚硬币，每局游戏参与者投硬币3次，每局报名费30元．如果3次全部正面朝上，则参与者得50元奖品；如果2次正面朝上，1次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果1次正面朝上，2次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果3次全部反面朝上，则参与者得50元奖品．佳佳说，投3次硬币，共4种可能，全正，二正一反，一正二反，全反．其中全正全反占两种，正好是所有情况的一半，得的奖品价值却比另两种情况多，这种游戏挺划算．琪琪却说，首先，这种游戏就是赌博根本就不能玩．其次，这种游戏肯定是不划算的．请你用数学知识解释这种游戏到底划算不划算． 【详解】不划算，理由如下： 由题意知，三次投硬币共有8种等可能的结果，分别是：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反， 其中：“全正”的情况有1种，概率为； “全反”的情况有1种，概率为； “一正二反”的情况有3种，概率为； “二正一反”的情况有3种，概率为； 参与者平均每次的期望收益为：（元）， 扣除报名费30元，亏损（元）， 所以这种游戏肯定是不划算的． 一、单选题 1．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 2．下列事件为必然事件的是（    ） A．购买两张彩票，一定中奖 B．太阳东升西落 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．三角形三个内角和小于 【答案】B 【详解】解：A、C选项的事件均可能发生也可能不发生，是随机事件． B．太阳东升西落是必然发生的，是必然事件． D．三角形三个内角和为，故三个内角和小于是不可能事件． 3．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果， 故选：D． 4．下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是必然事件 B．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式 【答案】C 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是随机事件，本选项说法不正确，不符合题意； B、“明天降雨的概率为”，表示明天有一半的可能性降雨，本选项说法不正确，不符合题意； C、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，本选项说法正确，符合题意； D、了解某型号电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式，本选项说法不正确，不符合题意． 故选：C． 5．下列说法正确的是（    ） A．做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 【答案】D 【详解】A.做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A选项不正确，不符合题意； B.某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B选项不正确，不符合题意； C.射击运动员射击一次中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C选项不正确，不符合题意； D.抛硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件，再抛一次正面朝上的概率是二分之一，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 6．众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态， ∴每纲有种可能， ∴病症的种类共有：（种）， 即共有种病症． 故选：B． 7．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 二、填空题 8．有张数字卡片（如下图），倒扣着混放在一起，每次反过来张，记下数字后再放回去和其他卡片混合． （1）每次翻开的数字有______种可能．    （2）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有______种可能，可能是______．    （3）翻开的数字卡片大于和小于的可能性______． 【答案】 或 相等 【详解】解：（）每次翻开的数字有种可能；   （）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有种可能，可能是或； （）翻开的数字卡片大于和小于的可能性相等； 故答案为：，，或，相等． 9．在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 【答案】10 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 10．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有______种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为______． 4 【答案】 6 9182 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1，2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182． 11．袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 【答案】4 【详解】解：根据可能性的意义，球的数量越多，摸到该种球的可能性越大， 摸到红球的可能性最大，红球有5个，黑球有3个，白球有个， ，，即， 摸到黑球的可能性最小， ， 即， 又三种球的数量互不相等，为正整数， ∴． 12．已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为____________． 【答案】13 【详解】解∶①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 三、解答题 13．一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 【详解】解：（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球； （2）不能事先确定摸到的一定是红球； （3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小； （4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可． 14．下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景．第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示．将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： (1)这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ (2)这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ (3)这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 【答案】(1)4种 (2)3种 (3)3种 【详解】（1）解：所有可能的结果列表如下：(用表示第一堆的数为x，第二堆的数为y） 1 4 6 2 5 共6种等可能性结果． 有奇数的结果共有4种，分别是、、、． （2）和是偶数的结果有3种，分别是、、． （3）数字的乘积大于10的结果有3种，分别是、、． 15．在一个不透明的口袋中装有除颜色外无其他差别的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下事件是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出1个球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有1个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 【详解】（1）解：口袋里有白球，也有红球、蓝球．取一个球，可能拿到白球，也可能拿不到． 所以这是随机事件； （2）解：蓝球加白球一共只有个，就算把全部蓝球、白球都取出，最多拿出5个不是红球的球，取第6个一定是红球，这件事一定发生，所以是必然事件； （3）解：口袋中蓝球只有3个，最多只能取出3个蓝球，不可能取出5个蓝球，这件事一定不会发生，所以是不可能事件． 16．投掷一枚普通的正方体骰子，你同意以下说法吗？请说明理由． (1)“掷得的数是奇数”是不可能发生的，因为骰子上不全是奇数，还有偶数； (2)“掷得的数是奇数”是必然发生的，因为骰子上有奇数； (3)“掷得的数不会超过7”是可能发生的，因为骰子上的数没有超过7的． 【详解】(1)解：不同意该说法． ∵普通正方体骰子的点数为，其中包含奇数， ∴掷得的数是奇数是可能发生的随机事件，不是不可能事件； (2)解：不同意该说法． ∵骰子的点数中包含偶数，掷骰子时可能得到偶数， ∴掷得的数是奇数是随机事件，不是必然事件； (3)解：不同意该说法． ∵骰子的最大点数为，所有点数均不超过， ∴“掷得的数不会超过”是必然事件，一定会发生，并非可能发生也可能不发生的随机事件． 17．现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏，规定：小花先随意抽取一张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)现还有下面两种游戏规则，你认为公平吗？为什么？ ①猜是奇数还是偶数； ②猜是不是3的倍数． (3)如果你是小佳，为了获胜，你选择上面哪一种猜法？ 【详解】(1)解：这个游戏对双方不公平，理由如下： ∵一共有12个数字，小佳猜对的数字只有一个，猜错的数字有11个， ∴小佳获胜的概率为，小花获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏对双方不公平； (2)解：①公平，理由如下： ∵一共有12个数，其中奇数和偶数分别有6个， ∴猜奇数或者猜偶数获胜的概率都为， ∴公平； ②不公平，理由如下： ∵一共有12个数，其中3的倍数有4个，不是3的倍数有8个， ∴猜3的倍数获胜的概率为，猜不是3的倍数获胜的概率为， ∵， ∴不公平； （3）解：由（2）可得，猜不是3的倍数的获胜概率比较大，故为了获胜，选择猜不是3的倍数． 18．【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【答案】(1)3 (2)1；4 (3)；先手；6 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点08 随机事件及其发生的可能性 考点一：事件的分类 事件类型 定义关键语 结果情况 可能性 必然事件 在一定条件下必定出现 结果一定出现 1 不可能事件 在一定条件下必定不出现 结果一定不出现 0 随机事件 可能出现也可能不出现（不确定事件） 结果不止一种，事先不能确定 0 与 1 之间 考点二：判断事件类型 ① 定条件：题目是在什么条件下做这件事——袋里有几个什么颜色的球、骰子是否均匀、是否在标准大气压下。条件变了，答案往往会变。 ② 列结果：把可能的结果尽量列全，例如摸球题列出“红、白、黑”，掷骰子题列出“1 至 6 点”。结果列不全，后面一定判错。 ③ 比可能：看题目所指的那个结果，是一定出现、一定不出现，还是两种都可能；对应必然、不可能、随机。 三类常用依据可以让第③步更快：一是生活常识与科学事实，如水在标准大气压下 100 ℃ 沸腾、铁块在水中下沉、太阳从东方升起；二是数学定义与性质，如三角形内角和为 180°、实数的平方非负、三角形两边之和大于第三边；三是条件本身给出的信息，如袋中球的颜色与数量。凡是能靠定义、定理定的，直接引用；靠生活事实定的，要说清“在什么条件下”。 最需要提醒学生的一点：“结果只有一种”不等于“一定会出现”。例如“掷一枚骰子，向上一面的点数是 3”，这句话把结果说得很死，但点数为 3 只是六种可能中的一种，可能出现也可能不出现，所以它是随机事件。判断看的是这个结果会不会出现，不是这句话说没说死。 考点三：事件发生的可能性有大有小 在同一条件下，不同事件发生的可能性一般不同。教材用“可能性极小”“不大可能”“可能”“很可能”“可能性极大”等说法作定性描述。这些词不是随口形容，它们必须带着比较对象才有意义：“明天下雨的可能性很大”，是相对“明天不下雨”而言的；脱离同一条件去说大小，没有意义。 三条基本认识要一次说清。第一，必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件夹在两者之间。第二，可能性大小是事件本身的属性，不因某一次试验的结果而改变——掷十次硬币都是正面，下次正面朝上的可能性仍然是原来那么大，这是 33.3 讲频率稳定性的伏笔。第三，可能性大小可以比较，但“可能性大”只说把握大，不说“一定发生”；“可能性小”只说把握小，不说“不发生”。 考点四：比较可能性大小的四条依据 比较之前先确认一件事：这些事件必须是在同一条件下发生的。条件不同的两个事件，不能拿来比大小。确认之后，按情境选依据： ① 数量（份数）：袋中球的个数、卡片张数、抽签人数。所占份数越多，可能性越大。 ② 面积：转盘各扇形的面积（圆心角）。面积占比越大，指针落入的可能性越大。 ③ 时间：信号灯各色的持续时间、某时段的长短。持续越久，随机经过时遇上的可能性越大。 ④ 实际条件与经验：降雨、堵车、彩票中奖、抛图钉针尖朝上。按已知规律和生活经验作比较，说清依据即可。 情境 判断依据 典型数据 摸球、抽卡片、抽签 数量（份数）占比 袋中 5 红 3 黄 2 白，摸到红球的可能性最大 转盘、掷飞镖 扇形面积（圆心角）占比 红 120°、黄 90°、蓝 150°，蓝的可能性最大 信号灯、时段 持续时间长短 红 30 秒、绿 50 秒、黄 3 秒，绿灯的可能性最大 生活情境 实际条件与经验 明天有雨，带伞的可能性更大；彩票中奖可能性极小 注：四条依据的共同点是“看占比”，而不是“看种数”。转盘分成 4 个扇形不等于每个扇形各占四分之一。 考点五：用 0 到 1 之间的数刻画可能性 把可能性大小放到数轴上，两端是确定的：必然事件的可能性为 1，不可能事件的可能性为 0，随机事件的可能性在 0 与 1 之间。设 P 表示某个随机事件发生的可能性大小，则 P 越接近 1，可能性越大；越接近 0，可能性越小。这里有两组说法千万不能混：可能性为 0 与不可能事件是同一件事；可能性极小则仍是随机事件，只要大于 0 就有可能发生。反过来，可能性为 1 与必然事件是同一件事；可能性非常大仍只是随机事件。端点只有 0 和 1 两个，其余一切都是随机事件。 考点六：可能性的应用：公平性与简单决策 判断游戏是否公平，标准只有一条：双方获胜的可能性是否相同。相同则公平，不同则不公平，且可能性大的一方占优。操作时先把每种结果的可能性写出来再比，不要按“结果有几种、各占几种”去数份数——份数相同而面积或数量不等时，可能性并不相同。 决策类问题（选哪种抽奖方式、哪天办活动、走哪条路不容易堵）本质上是把可能性大小当作依据排序，选可能性大的方案；同时要说清这只是提高把握程度，不保证这一次的结果。 题型一：事件的分类 1．下列为必然事件的是（   ） A．下周有一天不下雨 B．国足输球 C．太阳从西边升起 D．在1标准大气压下，水加热到后沸腾 2．下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放天气预报 B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球 C．今年的除夕夜会下雪 D．任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有6次 3．下列事件属于随机事件的是（     ） A．太阳从东方升起 B．标准大气压下水在沸腾 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．三角形内角和为 4．下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 5．一组对边平行的四边形是梯形是________．（选题“随机事件”或“必然事件”） 题型二：判断事件发生的可能性的大小 6．下列成语所反映事件中，发生的可能性最大的是（     ） A．竹篮打水 B．水中捞月 C．守株待兔 D．水涨船高 7．抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则下列选项中的说法正确的是（　　） ①全是正面；②一正一反；③全是反面． A．事件①发生的可能性最大 B．事件②发生的可能性最大 C．事件③发生的可能性最大 D．事件①②③发生的可能性相等 8．下列五个事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？根据你的判断，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． ①1个标准大气压下水加热到时开始沸腾； ②手机号码的末位数字为偶数； ③的绝对值小于0； ④掷一枚质地均匀的骰子所得点数小于3； ⑤从装有3个白球和6个红球的不透明的袋子（袋中只有白球和红球，它们除了颜色不同以外没有任何其他区别，且球已搅匀）中摸出1个球是红球． 9．一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是_________．（填写一个符合要求的正整数即可） 题型三：改变条件使事件发生的可能性相同 10．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 12．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 13．不透明的盒子里有1号球（红色）、2号球（红色）、3号球（红色）、4号球（白色）、5号球（白色）、6号球（绿色），这6个球的形状和大小完全一样．小丽从这个盒子里任意摸出一个球． (1)能够事先确定小丽摸出的球的颜色吗？ (2)小丽摸到每一种颜色的球的可能性一样吗？ (3)如果想让小丽摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案． 题型四：列举随机实验的所有可能结果 14．从中取三个不同的数，使它们的和能被3整除，且至少有一个是偶数，则不同的取法共有___________种． 15．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 16．在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：．根据以上信息．请判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是______和______． 17．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 题型五：判断实验所得结果是否是等可能的 18．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 19．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 20．用试验寻找规律时，下列说法中，正确的是（    ） A．试验次数多与试验次数少所得的规律相同 B．试验次数越多，所得数据越接近真实值 C．试验次数越少，所得数据越接近真实值 D．抛掷硬币与抛掷纽扣出现正面的机会相同 21．准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示）．将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片．你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？收集拼图片活动的试验数据，检验恰好拼成原图的频率是否随试验次数的增加而趋于稳定． 实验者 试验次数（） 成功次数（） 成功的频率（） 同学A 20 4 0.20 同学B 20 5 0.25 同学C 20 3 0.15 同学D 20 4 0.20 同学E 20 6 0.25 同学F 20 2 0.10 合计 120 24 0.20 题型六：游戏的公平性 22．小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 23．用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 24．家里只剩一块儿巧克力了，哥哥和弟弟都想得到它，妈妈给他们一个骰子，让他们设计一个游戏，获胜的就得到巧克力．哥哥说“掷出2时哥哥胜，掷出1时弟弟胜，若掷出其它数字就再掷一次，直到掷出1或2”，弟弟说这不公平，2比1大．你认为这个游戏公平吗？填空：________．（填“公平或不公平”） 25．桌面上有3张背面相同的卡片，正面分别写着数字“1”“2”“3”，将卡片背面朝上洗匀．从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，再从中随机抽出一张卡片，抽到的两张卡片上的数字之和为偶数，则小红胜，否则小亮胜．这个游戏_____．（填“公平”或“不公平”） 26．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 27．小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 28． 在庙会上，佳佳和琪琪看到这样一个游戏．商家准备一枚硬币，每局游戏参与者投硬币3次，每局报名费30元．如果3次全部正面朝上，则参与者得50元奖品；如果2次正面朝上，1次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果1次正面朝上，2次反面朝上，则参与者得10元奖品；如果3次全部反面朝上，则参与者得50元奖品．佳佳说，投3次硬币，共4种可能，全正，二正一反，一正二反，全反．其中全正全反占两种，正好是所有情况的一半，得的奖品价值却比另两种情况多，这种游戏挺划算．琪琪却说，首先，这种游戏就是赌博根本就不能玩．其次，这种游戏肯定是不划算的．请你用数学知识解释这种游戏到底划算不划算． 一、单选题 1．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 2．下列事件为必然事件的是（    ） A．购买两张彩票，一定中奖 B．太阳东升西落 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．三角形三个内角和小于 3．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 4．下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是必然事件 B．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式 5．下列说法正确的是（    ） A．做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是 D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一 6．众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 7．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 二、填空题 8．有张数字卡片（如下图），倒扣着混放在一起，每次反过来张，记下数字后再放回去和其他卡片混合． （1）每次翻开的数字有______种可能．    （2）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有______种可能，可能是______．    （3）翻开的数字卡片大于和小于的可能性______． 9．在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 10．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有______种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数，则表中空白处可以填写的数为______． 4 11．袋子里有5个红球，个白球，3个黑球，三种球的数量互不相等，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，且摸到黑球的可能性最小，则的值为_______． 12．已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为____________． 三、解答题 13．一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 14．下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景．第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示．将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： (1)这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ (2)这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ (3)这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 15．在一个不透明的口袋中装有除颜色外无其他差别的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下事件是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出1个球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有1个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球． 16．投掷一枚普通的正方体骰子，你同意以下说法吗？请说明理由． (1)“掷得的数是奇数”是不可能发生的，因为骰子上不全是奇数，还有偶数； (2)“掷得的数是奇数”是必然发生的，因为骰子上有奇数； (3)“掷得的数不会超过7”是可能发生的，因为骰子上的数没有超过7的． 17．现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏，规定：小花先随意抽取一张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)现还有下面两种游戏规则，你认为公平吗？为什么？ ①猜是奇数还是偶数； ②猜是不是3的倍数． (3)如果你是小佳，为了获胜，你选择上面哪一种猜法？ 18．【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $