专题12 计数原理、概率初步（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题12 计数原理、概率初步 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 3 03 核心考点精讲 14 考点一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 14 考点二 排列与组合 18 考点三 二项式定理 20 考点四 随机事件的概率与古典概型 22 考点五 条件概率与全概率公式 25 考点六 离散型随机变量及其分布（高频考点） 29 考点七 抽样方法与用样本估计总体 32 考点八 变量间的相关性与独立性检验 37 04 实战演练 42 考情解读 考试要求 ①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能区分“分类”与“分步”，会用两个原理解决简单的计数问题． ②理解排列、组合的概念，掌握排列数、组合数的计算公式与组合数的性质，会处理有限制条件的排列与组合问题． ③掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，会用通项求指定项、常数项，会用赋值法求二项展开式的系数和． ④理解随机现象、样本空间与古典概型，掌握概率的基本性质与事件的独立性，会求条件概率与全概率，会写离散型随机变量的分布列并求期望与方差，了解二项分布、超几何分布与正态分布． ⑤理解简单随机抽样与分层抽样，会用样本的频率分布（频率分布直方图、茎叶图）与数字特征（平均数、方差、百分位数）估计总体，了解样本相关系数与一元线性回归模型，会用 列联表进行独立性检验． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 两个基本原理与排列组合 5年5考 2026年上海市春季高考 第7题 分类加法与分步乘法、有限制条件的排列、相邻与不相邻、分组分配、组合数性质 有限制条件的组合计数 2026年上海市春季高考第7题考查有限制条件的组合计数；预测2027年仍在填空题中考查分组分配与相邻不相邻问题 二项式定理 5年5考 2026年上海市春季高考 第5题 通项公式、指定项与常数项、二项式系数与各项系数和、赋值法 求二项展开式中指定项的系数 2026年上海市春季高考第5题考查二项展开式中指定项的系数；预测2027年继续以常数项与系数和为考查重点 随机事件的概率 5年4考 2026年上海市春季高考 第17题 古典概型、互斥事件与对立事件、事件的独立性、频率与概率 事件独立性的判断 2026年上海市春季高考第17题第（3）问考查独立事件的判断；预测2027年在选择题中考查独立性的判断 条件概率与随机变量 5年4考 条件概率、全概率公式、分布列、期望与方差、二项分布与正态分布 预测2027年以解答题形式考查分布列与期望 抽样方法与用样本估计总体 5年5考 2026年上海市春季高考 第17题 简单随机抽样、分层抽样与抽样比、频率分布直方图与茎叶图、平均数与方差、百分位数 分层抽样与样本均值的计算 2023年第7、14题、2023年秋考第9题、2025年春考第19题均以直方图、茎叶图或数字特征命题；2026年上海市春季高考第17题第（1）（2）问考查分层抽样与样本均值；预测2027年在解答题中以抽样＋数字特征的形式出现 变量间的相关性与独立性检验 5年1考 2024年秋季高考 第19题 样本相关系数的意义、一元线性回归方程、2×2 列联表与独立性检验 独立性检验的实际应用 2024年秋季高考第19题以体育锻炼时长与学业成绩考查独立性检验；预测2027年以选择或填空形式考查相关系数与回归方程的意义 知识梳理 知识点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1. 加法原理 做一件事，完成它有类办法，其中第一类办法有种不同的方法，第二类办法有种不同的方法，…，第类办法有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法. 2. 乘法原理 做一件事，需要依次完成个步骤，其中完成第一步有种不同的方法，完成第二步有种不同的方法，…，完成第步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法. 3. 异同点 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 不同点 运用加法运算；分类完成一件事，且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事，“类”与“类”独立并列（可类比“并联”电路） 运用乘法运算；分步完成一件事，只有各步骤都完成才算完成，“步”与“步”连续（可类比“串联”电路） 自主检测（2026·上海金山·二模）若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 知识点2 排列与组合 1. 排列、组合的定义 名称 定义（从个不同元素中取出个不同元素） 排列 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 2. 排列数的定义 从个不同元素中取出个不同元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示. 3. 组合数的定义 从个不同元素中取出个不同元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示. 4. 排列数、组合数的公式及性质 分类 内容 公式 (1) （、是正整数，且） (2) （、是正整数，且） 性质 (3) ； (4) ；（是自然数，是正整数，且） 自主检测（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 知识点3 二项式定理 1.二项式定理相关概念 （1）二项式定理 定理 设是正整数，等式 称为二项式定理，表示的二项展开式中的第项，其中. （2）二项展开式形式上的特点 ①项数为； ②各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为； ③字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到； ④二项展开式中的组合数从，一直到. （3）二项式定理的应用——组合数的性质 对称性：二项式定理中与首末两端“等距离”的两个组合数相等，即，，…，（是自然数，是正整数，且）； 增减性与最大值：在个组合数中，当为偶数时，最大值是中间的一项；而当为奇数时，最大值是中间的两项和； 各组合数的和： 在二项式定理中，特别令，就得到.令，就得到.由上述二式就得到 . （4）注意 ① 分清是第项，而不是第项； ②在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通项转化为方程(组)求出、，然后代入通项公式求解； ③求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项、常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求，计算时要注意和的取值范围以及它们之间的大小关系； ④在中，注意组合数与项的系数的区别，组合数与、的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数. 2.常见思想方法 （1）在应用通项公式时，要注意以下几点 ① 它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定； ② 是展开式中的第项，而不是第项； ③ 公式中，、的指数和为且、不能随便颠倒位置； ④ 对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题； ⑤ 在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法. （2）二项式定理问题的处理方法和技巧 运用二项式定理，一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分.前者只与和有关，恒为正，后者还与、有关，可正可负； 对于二项式定理中组合数的问题，应注意以下几点： ① 求二项式定理中所有组合数的和，可采用“特殊值法”(赋值法)，通常令字母变量的值为1； ② 关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③ 证明不等式时，应注意运用放缩法； (3) 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出； (4) 有些三项展开式问题可以转化为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏； (5) 对于二项式定理中组合数问题，首先要熟记组合数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式定理中组合数问题的一个重要手段. 3. 赋值法的应用 (1) 对形如、的式子求其展开式各项系数之和，常用赋值法，只需令即可； (2) 对形如、的式子求其展开式各项系数之和，只须令即可； (3) 一般地，对于多项式，令，则： 展开式中各项的系数的和为， 展开式中奇数项的系数和为（两次赋值，解方程组）， 展开式中偶数项的系数和为（同上）. 自主检测（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 知识点4 概率初步 1. 随机现象 具不确定性的现象称为随机现象. 2. 样本空间与基本事件 定义 一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现(发生)的结果所组成的集合称为一个样本空间(sample space)，用表示，其中的元素称为基本事件(elementary event)或者样本点.随机事件对应样本空间的一个子集. 3. 必然事件、不可能事件 在一个随机试验中，有两个特别的事件.一个必然发生，称为必然事件，它对应的子集就是样本空间，即所有基本事件的集合；另外一个必然不发生，称为不可能事件，对应的子集是空集，它们统称为确定事件，其余的称为不确定事件. 4. 古典概率 古典概率模型是满足下面两个条件的随机试验：(1) 有限多结果；(2) 等可能性. 古典概率 其中，表示事件中的基本事件个数，而表示样本空间中的基本事件个数.说明概率是事件中的元素个数与样本空间中元素个数的比值. 5. 互斥事件、对立事件 如果与没有共同的基本事件，即两个子集不相交：，那么这两个事件不可能同时发生，或者说互斥. “事件发生”的否定就是“事件不发生”，它也是一个事件，称为事件的对立事件，简称为“非”. 6. 概率的性质 概率是衡量一个随机事件发生可能性大小的度量. 概率性质1 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，即，. 概率性质2 设是一个事件，那么. 概率性质3（可加性） 两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和. 换言之，如果，那么. 概率性质4 对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1. 换言之，有. 7. 频率 作伯努利试验，假设我们可以独立地重复一个伯努利试验次，其中成功的次数记作，那么就被称为（次试验中）成功的频率(frequency). 频率是一个数，依赖于试验次数，它不是一个确定的数，而是一个随机的数. 8. 伯努利大数定律 伯努利大数定律 （law of large numbers） 独立地重复一个伯努利试验次，当很大时，频率逼近概率. 9. 事件的独立性 两个事件与（相互）独立(independent)是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即 10. 常用结论 从两个事件的可加性可以推出任意多个事件的可加性：如果是个两两互斥的事件，那么 自主检测（2026·上海黄浦·二模）某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______． 知识点5 概率初步（续） 1.条件概率与相关公式、随机变量的分布与特征 条件概率公式 注：(1) 前一个公式适用于古典概率模型，后一个公式适用于所有的情况； (2) 概率的乘法公式：. 全概率公式 所以实际上是条件概率的加权平均，而条件概率的权重为，. 随机变量的分布 (1) 随机变量：以样本空间作为定义域的一个函数称为一个随机变量(random variable)，即对样本空间中任意给定的元素，都有唯一的实数与之对应； (2) 随机变量的分布：随机变量所有可能的取值以及相应的概率； (3) 分布形式：. 随机变量的期望 期望的线性性质 (1) 如果是一个随机变量，是一个实数，那么； (2) 如果、是两个随机变量，那么. 随机变量的方差 (1) 定义：； (2) 性质： ① 如果是一个随机变量，是一个实数，那么； ②如果、分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，那么. 2.常用分布 二项分布 (1) 定义：独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，表示成功次数. 那么的分布为，，该分布称为二项分布； (2) 若服从二项分布，则，. 超几何分布 (1) 定义：从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋子中依次随机且不放回地取个球. 用表示其中白球的个数，则的分布称为超几何分布； (2) 若服从超几何分布，则. 正态分布 (1) 定义 由钟形曲线所刻画的分布称为正态分布. 其中有两个参数： ① 是该分布的期望或均值； ② 是该分布的方差，且总是假设. 定义 设是一个取实数值的随机变量，如果对任何给定的实数与，落在区间上的概率等于三条直线、、与正态密度函数图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积，如图所示），那么服从正态分布(normal distribution)，或更准确地说，服从参数为、的正态分布，记为. (2) 标准正态分布 当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数 称为标准正态分布的密度函数，简记作. 实际上，一般的正态分布的密度函数总是标准正态分布的密度函数的某种平移和伸缩变换，其形状保持钟形不变. 自主检测（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________． 知识点6 统计（一）抽样方法与用样本估计总体 （1）简单随机抽样：包括抽签法与随机数表法，从容量为 的总体中抽取容量为 的样本时，每个个体被抽到的可能性都是 ，与第几次抽取无关． （2）分层抽样：当总体由差异明显的几部分组成时，按各部分所占的比例抽样，抽样比 ，第 层应抽取 人；分层抽样时各层抽取的个体数之和等于样本量，各层抽样比相同． （3）频率分布直方图：横轴是数据的分组，纵轴是 ，每个小矩形的面积就是该组的频率，所有小矩形面积之和等于 ；由直方图求频率、频数（频率 × 样本量）与平均数（各组中点值加权）是最常见的考法． （4）数字特征：平均数 ，方差 ；方差（标准差）刻画数据的离散程度，把每个数据都加上 后方差不变，都乘以 后方差变为 ． （5）百分位数：把数据从小到大排列后，第 百分位数是这样一个数，使得至少有 的数据不超过它、也至少有 的数据不小于它；中位数就是第 百分位数． 自主检测某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（    ）人. A．16 B．18 C．20 D．24 知识点7 统计（二）变量间的相关性与独立性检验 （1）样本相关系数：，； 越接近 ，线性相关程度越强， 为正相关、 为负相关， 说明线性相关程度很弱． （2）一元线性回归：经验回归方程 ，其中，；回归直线一定经过样本中心点 ，这是求参数与检验的常用切入口． （3）残差与离差：残差为观测值减去预测值 ；把 代入方程得到的 是预测值，最小二乘法的目标是使残差平方和最小． （4）独立性检验：列出 列联表，计算 ，与临界值比较： 时有 的把握认为两变量有关， 时有 的把握认为两变量有关；注意结论的表述是“有把握认为有关”，不能写成“两变量相互独立”． 自主检测（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 必记结论 （1）两个原理：分类完成用加法，分步完成用乘法；关键是先判断“完成这件事”是分类还是分步． （2）排列组合：，，，；相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法． （3）二项式定理：，通项；令得各项系数和，令与联立可求奇偶项系数和． （4）抽样比：分层抽样中，第层抽取人；频率分布直方图中纵轴是，用小矩形面积求频率，各矩形面积之和为． （5）统计量：相关系数与的公式见知识点 7；回归直线必过样本中心点，方差满足，据此可快速判断数据整体平移、伸缩后的方差． ✅注意：二项式系数与项的系数不是一回事，前者恒为正、只与、有关；求常数项时先由的指数为零解出，再回代通项． ⚠️概念辨析 ①“互斥事件一定是对立事件”是错的：对立要求两者必有一个发生，即 ；互斥只要求不能同时发生，可以存在第三种结果． ②“两个事件独立就一定互斥”是错的：独立指 ，互斥指 ；只有其中一个事件的概率为零时，两者才可能同时成立． ③“分类加法与分步乘法可以随意选用”是错的：各类办法都能独立完成这件事才用加法原理，必须依次完成各步才成事用乘法原理，混用会造成重复或遗漏． ④“相关系数 越大，线性相关程度越强”是错的：要看 的大小，且 只表示正相关、 表示负相关；独立性检验中 越大才说明“有关的把握越大”，不能反过来说成“相互独立”． ⚠️避坑指南 ❌ 分步时“步”没有分全，或分类的标准不统一，导致重复计数与遗漏，做完后应换一种方法验算． ❌ 把通项 当成第 项，或求“各项系数和”时漏掉常数项，含负号与参数 时务必先定 再算系数． ❌ 直方图纵轴看错成“频率”，频率与频数混用；由直方图求平均数时用各组中点值加权，求百分位数前一定要先排序． 考点精讲 考点一：分类加法计数原理与分步乘法计数原理 例1（2025·上海金山·一模）已知正整数，满足，且，则有序数对有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 例2（2026·上海金山·二模）已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（   ） A． B． C． D． 解题策略 两个基本原理 （1）先判断“完成这件事”是分类还是分步：各类办法彼此独立且都能单独成事用加法原理，缺任何一步就不成事用乘法原理． （2）元素多、限制多时“先特殊后一般”：优先安排有限制的位置或元素，再处理其余，可避免重复与遗漏． （3）结果较大时用“间接法”检验：先求总的种数，再减去不合要求的种数，与直接计数相互印证． 【变式1】（2026·上海·模拟预测）现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到、两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件： ①系统的特征值之和的绝对值与系统的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）； ②系统中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块． 符合条件的分配方案共有________种． 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 【变式3】（2025·上海·模拟预测）由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（     ） A． B． C． D． 考点二：排列与组合 例3（2026·上海杨浦·模拟预测）将复旦附中顶呱呱七个字打乱，要求“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，构成一个新的七字排列词，则这样的七字排列词的个数为__________． 例4（2025·上海嘉定·二模）在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为______. 解题策略 排列与组合 （1）区分排列与组合看“顺序”：有序用，无序用；“至少”“至多”类问题常转化为分类讨论或间接法． （2）相邻问题用捆绑法：把必须相邻的元素捆成一个整体参与排列，再乘上整体内部的排列数；相邻元素多于两个时要逐个捆绑． （3）不相邻问题用插空法：先排没有限制的元素，再把不相邻的元素插入它们之间及两端的空位中． 【变式1】（2025·上海金山·一模）某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有___________种． 【变式2】（2025·上海奉贤·一模）从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有______种．（用数字表示答案） 【变式3】（2025·上海闵行·一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 考点三：二项式定理 例5（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 例6（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 解题策略 二项式定理 （1）一切从通项出发：，把“常数项”“含的项”“有理项”等条件都翻译成关于的方程． （2）求系数和用赋值法：令得各项系数和，令得常数项，再令与前者联立可求奇数项、偶数项的系数和． （3）分清“二项式系数”与“项的系数”：前者指恒为正，后者含符号与参数，求参数时应先定再代入． 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________． 【变式3】（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为__________． 考点四：随机事件的概率与古典概型 例7（2026·上海静安·二模）袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 例8（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 解题策略 随机事件的概率 （1）古典概型两步走：先数清样本空间的元素个数，再数出所求事件的元素个数，；列举时有序无序要前后统一． （2）互斥用加法，独立用乘法；“至少有一个”优先用对立事件． （3）判断事件的独立性必须回到定义检验，不能凭“看起来无关”下结论． 【变式1】（2026·上海杨浦·二模）事件、相互独立，若，，则A与同时发生的概率为（    ）. A．0 B． C． D． 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）若两个事件既互斥，又独立，，则__________. 【变式3】（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（   ） A． B． C． D． 考点五：条件概率与全概率公式 例9（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 例10（2026·上海杨浦·模拟预测）学生的考试成绩往往与上一门考试的情况有直接联系，某校分析了学生的考试情况，用频率估计概率，得到：学生第一门考好与考差的概率都是，从第二门考试起，若前一门考差，则这一门出现考差、考好的概率分别为，若前一门出现考好，则这一门出现考差、考好的概率分别为，则该校学生某次考试第五门考差的平均概率为__________．（精确到0.001） 解题策略 条件概率与全概率 （1）条件概率抓住“缩小样本空间”：，已知发生后样本空间变为中的基本事件． （2）全概率公式抓住“完备事件组”：先按原因把样本空间分成互斥的几类，再． （3）连续抽取、多次交换类问题用“状态转移”：设第次后的概率为，建立与的递推关系再求解． 【变式1】（2026·上海长宁·二模）对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【变式2】（2026·上海·二模）已知和分别表示事件和事件发生的概率，且 ，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（2026·上海黄浦·二模）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 考点六：离散型随机变量及其分布【高频考点】 例11（2026·上海·模拟预测）甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． (1)求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 例12（2026·上海·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 解题策略 随机变量及其分布 （1）写分布列三步：定取值、算概率、列成表格，最后一定要检验． （2）期望与方差用定义或性质：，；二项分布，． （3）正态分布用对称性：，把所求区间化为关于对称的区间再计算． 【变式1】（2026·上海·模拟预测）已知随机变量服从分布 ，则__________． 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）某企业开发了一款软件，已知下载该软件用户的“提问次数”（单位：千次）服从正态分布，且．现从下载该软件用户中随机抽取1名用户，则“提问次数”在区间的概率为（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【变式3】（2026·上海杨浦·模拟预测）若随机变量，，若，，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 考点七：抽样方法与用样本估计总体 例13在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（    ） A．样本容量 B．图中 C．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分 D．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等 例14某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两家商店营业额的极差相同 B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同 C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高 D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差 解题策略 抽样方法与用样本估计总体 （1）分层抽样先算抽样比，再按各层容量分配名额；题中给出“共抽取多少”“某层抽多少”时，用比例关系列方程最快． （2）频率分布直方图三步走：用小矩形面积求各组频率，用“频率 × 样本量”求频数，用各组中点值加权求平均数；注意纵轴是，不是频率． （3）比较两组数据用“一中心、两离散”：先比平均数（或中位数）看整体水平，再比方差（或极差、数据分布）看稳定性，结论要落到“谁更稳定、谁更集中”． 【变式1】本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图． (1)若数据分布均匀，记随机变量为各区间中点所代表的身高，写出的分布及期望； (2)已知本市身高在区间的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%，现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间，试估计此人是高中生的概率． 【变式2】（2024·上海静安·二模）某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）. (1)求身高不低于170cm的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ① 求从这三个组分别抽取的学生人数； ② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率． 【变式3】（2024·上海·三模）现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为．若该组样本的第百分位数为，第百分位数为，则的最小值为 ． 考点八：变量间的相关性与独立性检验 例15（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 例16（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 解题策略 相关性与独立性检验 （1）相关系数只回答“线性相关的强弱与方向”：看的大小定强弱，看的符号定正负，与回归方程中的符号一致． （2）求回归方程先算、，再用公式求，最后由得截距；预测时把代入方程，不要与“离差”“残差”混淆． （3）独立性检验按“列联表—代公式—比临界值—下结论”四步书写，结论格式为“有（或）的把握认为与有关”，不能写成“与相互独立”或“导致”． 【变式1】（2025·上海浦东新·二模）研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（   ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差Q变大 【变式2】（24-25高三下·上海虹口·期中）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【变式3】（2024·上海·三模）设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零 实战训练 1．（2025·上海宝山·二模）有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有________种. 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式中含有常数项，则n的最小值为__________． 3．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 4．（2026·上海徐汇·二模）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 5．（2026·上海·模拟预测）立德中学进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为_________． 6．（2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 7．（2026·上海静安·二模）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 8．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 9．（2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 10．（2026·上海闵行·模拟预测）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则__________． 11．（2026·上海·一模）从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 12．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 13．（2025·上海崇明·三模）某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为 . 14．（2025·上海·三模）如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为 ． 2 7 8 3 1 3 6 6 8 4 0 5 5 2 4 8 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 计数原理、概率初步 内容导航 01 命题精研与考情透视 1 02 知识网络梳理 3 03 核心考点精讲 14 考点一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 14 考点二 排列与组合 18 考点三 二项式定理 20 考点四 随机事件的概率与古典概型 22 考点五 条件概率与全概率公式 25 考点六 离散型随机变量及其分布（高频考点） 29 考点七 抽样方法与用样本估计总体 32 考点八 变量间的相关性与独立性检验 37 04 实战演练 42 考情解读 考试要求 ①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能区分“分类”与“分步”，会用两个原理解决简单的计数问题． ②理解排列、组合的概念，掌握排列数、组合数的计算公式与组合数的性质，会处理有限制条件的排列与组合问题． ③掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，会用通项求指定项、常数项，会用赋值法求二项展开式的系数和． ④理解随机现象、样本空间与古典概型，掌握概率的基本性质与事件的独立性，会求条件概率与全概率，会写离散型随机变量的分布列并求期望与方差，了解二项分布、超几何分布与正态分布． ⑤理解简单随机抽样与分层抽样，会用样本的频率分布（频率分布直方图、茎叶图）与数字特征（平均数、方差、百分位数）估计总体，了解样本相关系数与一元线性回归模型，会用 列联表进行独立性检验． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 两个基本原理与排列组合 5年5考 2026年上海市春季高考 第7题 分类加法与分步乘法、有限制条件的排列、相邻与不相邻、分组分配、组合数性质 有限制条件的组合计数 2026年上海市春季高考第7题考查有限制条件的组合计数；预测2027年仍在填空题中考查分组分配与相邻不相邻问题 二项式定理 5年5考 2026年上海市春季高考 第5题 通项公式、指定项与常数项、二项式系数与各项系数和、赋值法 求二项展开式中指定项的系数 2026年上海市春季高考第5题考查二项展开式中指定项的系数；预测2027年继续以常数项与系数和为考查重点 随机事件的概率 5年4考 2026年上海市春季高考 第17题 古典概型、互斥事件与对立事件、事件的独立性、频率与概率 事件独立性的判断 2026年上海市春季高考第17题第（3）问考查独立事件的判断；预测2027年在选择题中考查独立性的判断 条件概率与随机变量 5年4考 条件概率、全概率公式、分布列、期望与方差、二项分布与正态分布 预测2027年以解答题形式考查分布列与期望 抽样方法与用样本估计总体 5年5考 2026年上海市春季高考 第17题 简单随机抽样、分层抽样与抽样比、频率分布直方图与茎叶图、平均数与方差、百分位数 分层抽样与样本均值的计算 2023年第7、14题、2023年秋考第9题、2025年春考第19题均以直方图、茎叶图或数字特征命题；2026年上海市春季高考第17题第（1）（2）问考查分层抽样与样本均值；预测2027年在解答题中以抽样＋数字特征的形式出现 变量间的相关性与独立性检验 5年1考 2024年秋季高考 第19题 样本相关系数的意义、一元线性回归方程、2×2 列联表与独立性检验 独立性检验的实际应用 2024年秋季高考第19题以体育锻炼时长与学业成绩考查独立性检验；预测2027年以选择或填空形式考查相关系数与回归方程的意义 知识梳理 知识点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1. 加法原理 做一件事，完成它有类办法，其中第一类办法有种不同的方法，第二类办法有种不同的方法，…，第类办法有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法. 2. 乘法原理 做一件事，需要依次完成个步骤，其中完成第一步有种不同的方法，完成第二步有种不同的方法，…，完成第步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法. 3. 异同点 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 不同点 运用加法运算；分类完成一件事，且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事，“类”与“类”独立并列（可类比“并联”电路） 运用乘法运算；分步完成一件事，只有各步骤都完成才算完成，“步”与“步”连续（可类比“串联”电路） 自主检测（2026·上海金山·二模）若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种． 【答案】12 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【详解】先安排甲的位置，有种排法； 再安排其余3人的位置，有种排法. 根据分步乘法计数原理，满足条件的排法有种. 知识点2 排列与组合 1. 排列、组合的定义 名称 定义（从个不同元素中取出个不同元素） 排列 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 2. 排列数的定义 从个不同元素中取出个不同元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示. 3. 组合数的定义 从个不同元素中取出个不同元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示. 4. 排列数、组合数的公式及性质 分类 内容 公式 (1) （、是正整数，且） (2) （、是正整数，且） 性质 (3) ； (4) ；（是自然数，是正整数，且） 自主检测（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法. 【答案】6 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】结合组合知识求解即可. 【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可， 则一共有种选法. 故答案为：6. 知识点3 二项式定理 1.二项式定理相关概念 （1）二项式定理 定理 设是正整数，等式 称为二项式定理，表示的二项展开式中的第项，其中. （2）二项展开式形式上的特点 ①项数为； ②各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为； ③字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到； ④二项展开式中的组合数从，一直到. （3）二项式定理的应用——组合数的性质 对称性：二项式定理中与首末两端“等距离”的两个组合数相等，即，，…，（是自然数，是正整数，且）； 增减性与最大值：在个组合数中，当为偶数时，最大值是中间的一项；而当为奇数时，最大值是中间的两项和； 各组合数的和： 在二项式定理中，特别令，就得到.令，就得到.由上述二式就得到 . （4）注意 ① 分清是第项，而不是第项； ②在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通项转化为方程(组)求出、，然后代入通项公式求解； ③求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项、常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求，计算时要注意和的取值范围以及它们之间的大小关系； ④在中，注意组合数与项的系数的区别，组合数与、的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数. 2.常见思想方法 （1）在应用通项公式时，要注意以下几点 ① 它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定； ② 是展开式中的第项，而不是第项； ③ 公式中，、的指数和为且、不能随便颠倒位置； ④ 对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题； ⑤ 在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法. （2）二项式定理问题的处理方法和技巧 运用二项式定理，一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分.前者只与和有关，恒为正，后者还与、有关，可正可负； 对于二项式定理中组合数的问题，应注意以下几点： ① 求二项式定理中所有组合数的和，可采用“特殊值法”(赋值法)，通常令字母变量的值为1； ② 关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③ 证明不等式时，应注意运用放缩法； (3) 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出； (4) 有些三项展开式问题可以转化为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏； (5) 对于二项式定理中组合数问题，首先要熟记组合数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式定理中组合数问题的一个重要手段. 3. 赋值法的应用 (1) 对形如、的式子求其展开式各项系数之和，常用赋值法，只需令即可； (2) 对形如、的式子求其展开式各项系数之和，只须令即可； (3) 一般地，对于多项式，令，则： 展开式中各项的系数的和为， 展开式中奇数项的系数和为（两次赋值，解方程组）， 展开式中偶数项的系数和为（同上）. 自主检测（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数. 【详解】由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. 知识点4 概率初步 1. 随机现象 具不确定性的现象称为随机现象. 2. 样本空间与基本事件 定义 一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现(发生)的结果所组成的集合称为一个样本空间(sample space)，用表示，其中的元素称为基本事件(elementary event)或者样本点.随机事件对应样本空间的一个子集. 3. 必然事件、不可能事件 在一个随机试验中，有两个特别的事件.一个必然发生，称为必然事件，它对应的子集就是样本空间，即所有基本事件的集合；另外一个必然不发生，称为不可能事件，对应的子集是空集，它们统称为确定事件，其余的称为不确定事件. 4. 古典概率 古典概率模型是满足下面两个条件的随机试验：(1) 有限多结果；(2) 等可能性. 古典概率 其中，表示事件中的基本事件个数，而表示样本空间中的基本事件个数.说明概率是事件中的元素个数与样本空间中元素个数的比值. 5. 互斥事件、对立事件 如果与没有共同的基本事件，即两个子集不相交：，那么这两个事件不可能同时发生，或者说互斥. “事件发生”的否定就是“事件不发生”，它也是一个事件，称为事件的对立事件，简称为“非”. 6. 概率的性质 概率是衡量一个随机事件发生可能性大小的度量. 概率性质1 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，即，. 概率性质2 设是一个事件，那么. 概率性质3（可加性） 两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和. 换言之，如果，那么. 概率性质4 对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1. 换言之，有. 7. 频率 作伯努利试验，假设我们可以独立地重复一个伯努利试验次，其中成功的次数记作，那么就被称为（次试验中）成功的频率(frequency). 频率是一个数，依赖于试验次数，它不是一个确定的数，而是一个随机的数. 8. 伯努利大数定律 伯努利大数定律 （law of large numbers） 独立地重复一个伯努利试验次，当很大时，频率逼近概率. 9. 事件的独立性 两个事件与（相互）独立(independent)是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即 10. 常用结论 从两个事件的可加性可以推出任意多个事件的可加性：如果是个两两互斥的事件，那么 自主检测（2026·上海黄浦·二模）某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______． 【答案】 【知识点】组合数的计算、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数可得，结合对立事件概率公式求解. 【详解】设“社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动”为事件A， 则事件为社长与副社长两人均不参加联谊活动， 则，可得， 所以社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为. 知识点5 概率初步（续） 1.条件概率与相关公式、随机变量的分布与特征 条件概率公式 注：(1) 前一个公式适用于古典概率模型，后一个公式适用于所有的情况； (2) 概率的乘法公式：. 全概率公式 所以实际上是条件概率的加权平均，而条件概率的权重为，. 随机变量的分布 (1) 随机变量：以样本空间作为定义域的一个函数称为一个随机变量(random variable)，即对样本空间中任意给定的元素，都有唯一的实数与之对应； (2) 随机变量的分布：随机变量所有可能的取值以及相应的概率； (3) 分布形式：. 随机变量的期望 期望的线性性质 (1) 如果是一个随机变量，是一个实数，那么； (2) 如果、是两个随机变量，那么. 随机变量的方差 (1) 定义：； (2) 性质： ① 如果是一个随机变量，是一个实数，那么； ②如果、分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，那么. 2.常用分布 二项分布 (1) 定义：独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，表示成功次数. 那么的分布为，，该分布称为二项分布； (2) 若服从二项分布，则，. 超几何分布 (1) 定义：从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋子中依次随机且不放回地取个球. 用表示其中白球的个数，则的分布称为超几何分布； (2) 若服从超几何分布，则. 正态分布 (1) 定义 由钟形曲线所刻画的分布称为正态分布. 其中有两个参数： ① 是该分布的期望或均值； ② 是该分布的方差，且总是假设. 定义 设是一个取实数值的随机变量，如果对任何给定的实数与，落在区间上的概率等于三条直线、、与正态密度函数图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积，如图所示），那么服从正态分布(normal distribution)，或更准确地说，服从参数为、的正态分布，记为. (2) 标准正态分布 当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数 称为标准正态分布的密度函数，简记作. 实际上，一般的正态分布的密度函数总是标准正态分布的密度函数的某种平移和伸缩变换，其形状保持钟形不变. 自主检测（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________． 【答案】 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】根据分布列结合期望公式可求期望. 【详解】由题设有. 故答案为：. 知识点6 统计（一）抽样方法与用样本估计总体 （1）简单随机抽样：包括抽签法与随机数表法，从容量为 的总体中抽取容量为 的样本时，每个个体被抽到的可能性都是 ，与第几次抽取无关． （2）分层抽样：当总体由差异明显的几部分组成时，按各部分所占的比例抽样，抽样比 ，第 层应抽取 人；分层抽样时各层抽取的个体数之和等于样本量，各层抽样比相同． （3）频率分布直方图：横轴是数据的分组，纵轴是 ，每个小矩形的面积就是该组的频率，所有小矩形面积之和等于 ；由直方图求频率、频数（频率 × 样本量）与平均数（各组中点值加权）是最常见的考法． （4）数字特征：平均数 ，方差 ；方差（标准差）刻画数据的离散程度，把每个数据都加上 后方差不变，都乘以 后方差变为 ． （5）百分位数：把数据从小到大排列后，第 百分位数是这样一个数，使得至少有 的数据不超过它、也至少有 的数据不小于它；中位数就是第 百分位数． 自主检测某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（    ）人. A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】A 【分析】由已知可求得抽样比为，再求出高三的学生数，即可求出结果. 【详解】设高一学生数为，则高二学生数为，高三学生数为. 所以，该高中共有学生数为，解得. 用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为， 所以，高三年级应该抽取人. 故选：A. 知识点7 统计（二）变量间的相关性与独立性检验 （1）样本相关系数：，； 越接近 ，线性相关程度越强， 为正相关、 为负相关， 说明线性相关程度很弱． （2）一元线性回归：经验回归方程 ，其中，；回归直线一定经过样本中心点 ，这是求参数与检验的常用切入口． （3）残差与离差：残差为观测值减去预测值 ；把 代入方程得到的 是预测值，最小二乘法的目标是使残差平方和最小． （4）独立性检验：列出 列联表，计算 ，与临界值比较： 时有 的把握认为两变量有关， 时有 的把握认为两变量有关；注意结论的表述是“有把握认为有关”，不能写成“两变量相互独立”． 自主检测（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项. 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. 必记结论 （1）两个原理：分类完成用加法，分步完成用乘法；关键是先判断“完成这件事”是分类还是分步． （2）排列组合：，，，；相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法． （3）二项式定理：，通项；令得各项系数和，令与联立可求奇偶项系数和． （4）抽样比：分层抽样中，第层抽取人；频率分布直方图中纵轴是，用小矩形面积求频率，各矩形面积之和为． （5）统计量：相关系数与的公式见知识点 7；回归直线必过样本中心点，方差满足，据此可快速判断数据整体平移、伸缩后的方差． ✅注意：二项式系数与项的系数不是一回事，前者恒为正、只与、有关；求常数项时先由的指数为零解出，再回代通项． ⚠️概念辨析 ①“互斥事件一定是对立事件”是错的：对立要求两者必有一个发生，即 ；互斥只要求不能同时发生，可以存在第三种结果． ②“两个事件独立就一定互斥”是错的：独立指 ，互斥指 ；只有其中一个事件的概率为零时，两者才可能同时成立． ③“分类加法与分步乘法可以随意选用”是错的：各类办法都能独立完成这件事才用加法原理，必须依次完成各步才成事用乘法原理，混用会造成重复或遗漏． ④“相关系数 越大，线性相关程度越强”是错的：要看 的大小，且 只表示正相关、 表示负相关；独立性检验中 越大才说明“有关的把握越大”，不能反过来说成“相互独立”． ⚠️避坑指南 ❌ 分步时“步”没有分全，或分类的标准不统一，导致重复计数与遗漏，做完后应换一种方法验算． ❌ 把通项 当成第 项，或求“各项系数和”时漏掉常数项，含负号与参数 时务必先定 再算系数． ❌ 直方图纵轴看错成“频率”，频率与频数混用；由直方图求平均数时用各组中点值加权，求百分位数前一定要先排序． 考点精讲 考点一：分类加法计数原理与分步乘法计数原理 例1（2025·上海金山·一模）已知正整数，满足，且，则有序数对有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理 【分析】根据题设条件可得，利用枚举法可求有序数对的个数. 【详解】因为， 故， 所以，故即， 因为，故， 若，则，而，故， 若，则，而，故， 若，则，而，故， 若，则，而，此时无正整数解； 若，则，而，故， 若，则，而，此时无正整数解； 若，则，而，此时无正整数解； 若，则，而，此时无正整数解； 故有序数对的个数为4， 故选：B. 例2（2026·上海金山·二模）已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】分析基本事件空间所含基本事件的个数，事件及所含基本事件个数，再由和事件的概率公式求解. 【详解】因为全集是一个六元集合，所以任取的两个子集、，能形成对集合，即基本事件总数为. 中任一元素，满足事件，有以下三种情况，且；所以所含基本事件个数; 中任一元素满足事件，有以下三种情况， 且；所以所含基本事件个数为， 事件表示且同时成立，所以，此时可以是的任意子集，有个，即事件所含基本事件有个， 所以. 解题策略 两个基本原理 （1）先判断“完成这件事”是分类还是分步：各类办法彼此独立且都能单独成事用加法原理，缺任何一步就不成事用乘法原理． （2）元素多、限制多时“先特殊后一般”：优先安排有限制的位置或元素，再处理其余，可避免重复与遗漏． （3）结果较大时用“间接法”检验：先求总的种数，再减去不合要求的种数，与直接计数相互印证． 【变式1】（2026·上海·模拟预测）现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到、两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件： ①系统的特征值之和的绝对值与系统的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）； ②系统中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块． 符合条件的分配方案共有________种． 【答案】55 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理 【分析】根据组合知识，结合分类计数原理求解即可. 【详解】由题意知，8个模块总特征值为：. 设系统的特征值之和为，则系统的特征值之和为， 由条件①知，，解得. 设系统中有个向左模块，结合条件②可得，或. 当时，则系统中有1个向左模块，3个向右模块，方案数：； 当时，则系统中有2个向左模块，4个向右模块，方案数：； 所以总方案数为：. 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数为__________． 【答案】150 【知识点】函数关系的判断、分组分配问题 【详解】将定义域中的五个元素分为三组，每组的元素个数可为1，1，3 或 2，2，1， 当以 1，1，3 分组时，组数为，当2，2，1分组时，组数为， 所以可以组成的函数个数为. 【变式3】（2025·上海·模拟预测）由二项式定理可知，用赋值法，令，得到，借助赋值法，可以计算得到等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】组合数的性质及应用、二项展开式各项的系数和 【分析】对赋值为，，，，得到四个等式，将这四个等式相加求解即可. 【详解】， 令，， 令，， 令（虚数单位，），， 令，， 将，得到 ， 又， ， ， ， 则转化为 ， 即， 即， 即，故选项D正确. 考点二：排列与组合 例3（2026·上海杨浦·模拟预测）将复旦附中顶呱呱七个字打乱，要求“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，构成一个新的七字排列词，则这样的七字排列词的个数为__________． 【答案】72 【知识点】不相邻排列问题 【详解】 要使“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，则排列方式必为这两组字交替排列. 由于“复旦附中”有4个字，“顶呱呱”有3个字，故排列形式必为 A B A B A B A， 其中A为“复旦附中”中的字，B为“顶呱呱”中的字. “复旦附中”四个字的全排列有种；“顶呱呱”三个字的全排列有种. 根据乘法原理，总排列数为. 例4（2025·上海嘉定·二模）在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为______. 【答案】/0.2 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】利用排列数公式分别求出由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数的个数，及其中能被3整除的四位数的个数，再根据古典概型公式即可得解. 【详解】由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数共个， 其中能被3整除的四位数是由1，2，4，5组成的，共， 故由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为. 故答案为：. 解题策略 排列与组合 （1）区分排列与组合看“顺序”：有序用，无序用；“至少”“至多”类问题常转化为分类讨论或间接法． （2）相邻问题用捆绑法：把必须相邻的元素捆成一个整体参与排列，再乘上整体内部的排列数；相邻元素多于两个时要逐个捆绑． （3）不相邻问题用插空法：先排没有限制的元素，再把不相邻的元素插入它们之间及两端的空位中． 【变式1】（2025·上海金山·一模）某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有___________种． 【答案】48 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】用“捆绑法”以及全排列即可求解. 【详解】将每个班的2人捆绑，然后全排列，故总的排法有, 故答案为：48 【变式2】（2025·上海奉贤·一模）从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有______种．（用数字表示答案） 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算 【分析】根据组合数及乘法原理计算求解. 【详解】从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有种． 故答案为：. 【变式3】（2025·上海闵行·一模）某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为________ 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】将甲、乙相邻的排列种数减去甲、乙相邻且甲站在两端的排列种数，即可得到答案. 【详解】先让甲、乙相邻共有种情况，再将甲、乙捆绑与其他三人排列共种情况， 所以甲、乙相邻共种情况. 甲、乙相邻且甲站在两端时：若甲在首位，则乙在第二位，其他三人全排列，有种排法；若甲在末位，则乙在倒数第二位，其他三人全排列，有种排法. 故共有种情况. 所以甲、乙相邻，且甲不站在两端，不同的排法种数为. 故答案为：. 考点三：二项式定理 例5（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________． 【答案】10 【知识点】求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 例6（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 【答案】1 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，进而可求解. 【详解】展开式的通项为，令解得，∴． ∴． 故答案为：1 解题策略 二项式定理 （1）一切从通项出发：，把“常数项”“含的项”“有理项”等条件都翻译成关于的方程． （2）求系数和用赋值法：令得各项系数和，令得常数项，再令与前者联立可求奇数项、偶数项的系数和． （3）分清“二项式系数”与“项的系数”：前者指恒为正，后者含符号与参数，求参数时应先定再代入． 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由题意得的展开式为， 的展开式为， 要使的展开式中存在常数项， 则或， 即是2或3的整数倍， 所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5. 若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为5. 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________． 【答案】1120 【知识点】求二项展开式、求指定项的系数 【分析】先根据项数得出，应用二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】因为的展开式共有9项， 所以， 则展开式中的常数项为． 【变式3】（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为__________． 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】先根据二项展开式的项数特征求出的值，再利用通项公式确定含的项对应的参数，进而计算系数。 【详解】二项式的展开式共有项， 由题意展开式共7项，故，解得， 二项式的展开式通项为， 化简得， 令 ，解得， 所以含的项的系数为. 考点四：随机事件的概率与古典概型 例7（2026·上海静安·二模）袋子里装有四枚围棋子，其中两枚黑色棋子、两枚白色棋子，从中随机取出两枚棋子，那么互斥而不对立的事件是（    ）． A．“至多有一枚白色棋子”与“至多有一枚黑色棋子” B．“至多有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” C．“恰好有一枚白色棋子”与“都是黑色棋子” D．“至多有一枚白色棋子”与“都是白色棋子” 【答案】C 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义判断即可． 【详解】记随机取出两枚棋子，均为黑色棋子为事件，一枚黑色棋子、一枚白色棋子为事件，均为白色棋子为事件. 对于A：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“至多有一枚黑色棋子” 包含事件、事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.A不满足. 对于B：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件都包含事件，能同时发生，不是互斥事件.B不满足. 对于C：“恰好有一枚白色棋子”为事件，“都是黑色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集不是全集（缺少事件），是互斥而不对立事件.C满足. 对于D：“至多有一枚白色棋子”包含事件、事件，“都是白色棋子”为事件. 两个事件不能同时发生，且并集是全集，是对立事件.D不满足. 例8（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可． 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 解题策略 随机事件的概率 （1）古典概型两步走：先数清样本空间的元素个数，再数出所求事件的元素个数，；列举时有序无序要前后统一． （2）互斥用加法，独立用乘法；“至少有一个”优先用对立事件． （3）判断事件的独立性必须回到定义检验，不能凭“看起来无关”下结论． 【变式1】（2026·上海杨浦·二模）事件、相互独立，若，，则A与同时发生的概率为（    ）. A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据独立事件和对立事件概率公式求解即可. 【详解】事件、相互独立，则事件、也相互独立. 事件发生的概率为. 则A与同时发生的概率为. 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）若两个事件既互斥，又独立，，则__________. 【答案】0 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【详解】因为事件，互斥，所以， 而又因为事件，独立，所以， 由可知，， . 【变式3】（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】交换后甲部门红人数的变化取决于从甲选出的员工和从乙选出的员工颜色，分四种情况：甲出红、乙出红；甲出红、乙出蓝；甲出蓝、乙出红；甲出蓝、乙出蓝，由此得分布列，随即可计算期望. 【详解】初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工， 由已知的可能取值为，，. ，，， 所以. 考点五：条件概率与全概率公式 例9（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 【答案】0.85 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案. 【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 故答案为：0.85． 例10（2026·上海杨浦·模拟预测）学生的考试成绩往往与上一门考试的情况有直接联系，某校分析了学生的考试情况，用频率估计概率，得到：学生第一门考好与考差的概率都是，从第二门考试起，若前一门考差，则这一门出现考差、考好的概率分别为，若前一门出现考好，则这一门出现考差、考好的概率分别为，则该校学生某次考试第五门考差的平均概率为__________．（精确到0.001） 【答案】0.474 【知识点】递推法求概率、利用全概率公式求概率 【分析】设第门考差的概率是，则，利用全概率公式求得与的关系，结合等比数列的通项公式求得，令计算即得. 【详解】设“第门考差”， “第门考好”， “第门考差”， ，，，，，， 由全概率公式得 所以，， ，， 所以是等比数列，首项是，公比是， 所以，所以， 所以. 解题策略 条件概率与全概率 （1）条件概率抓住“缩小样本空间”：，已知发生后样本空间变为中的基本事件． （2）全概率公式抓住“完备事件组”：先按原因把样本空间分成互斥的几类，再． （3）连续抽取、多次交换类问题用“状态转移”：设第次后的概率为，建立与的递推关系再求解． 【变式1】（2026·上海长宁·二模）对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、充要条件的证明、计算条件概率、独立事件的判断 【分析】根据条件概率公式、独立事件的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，又，所以， 从而有，所以、互相独立，充分性成立； 当、互相独立时，则，所以，必要性成立. 综上，“”是“、互相独立”的充要条件. 【变式2】（2026·上海·二模）已知和分别表示事件和事件发生的概率，且 ，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、条件概率性质的应用 【分析】事件和独立的定义是，根据每个选项的条件，结合条件概率公式以及概率的基本性质，判断是否能推出. 【详解】选项A，，则，并不能推出，所以事件和不一定独立，A错误. 选项B，，，. ，. . ，即和独立，B选项正确. 选项C，，又，，和不一定独立，C错误. 选项D，，，. 又，，可得，也不能推出和独立，D错误. 【变式3】（2026·上海黄浦·二模）小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． (1)求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； (2)已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； (3)设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 【答案】(1)0.7 (2) (3)；； 【知识点】利用二项分布求分布列、利用全概率公式求概率、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解； （3）分析可知，结合二项分布求分布列、期望和方差. 【详解】（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，， 由全概率公式可得， 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． （2）由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为． （3）由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为， 所以X的数学期望，方差． 考点六：离散型随机变量及其分布【高频考点】 例11（2026·上海·模拟预测）甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． (1)求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)X分布为 ． 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算条件概率 【分析】（1）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4场的概率，然后利用条件概率求解； （2）先确定的取值，并计算相应的概率，列出分布列，根据期望计算公式计算. 【详解】（1）设事件A表示“比赛恰好进行4场”，事件B表示“甲队获胜”． 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为． 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜， 概率为． 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜， 概率为． ∴甲队获胜的概率为． 甲队获胜且比赛恰好进行了4场的概率为． ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为． （2）X的可能取值为3，4，5． ； ； ． ∴X分布为 ． 例12（2026·上海·模拟预测）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（，，），当概率（，，）时，则______． 【答案】13或14 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】根据题意可得，利用二项分布的公式求解即可. 【详解】由题可得每次取到白球的概率为， 参与者从盒子中有放回的随机取m次球，若其中取到白球的个数为，则， 所以， 若概率最大，则有， 所以，解得，又，故或14， 所以或14时，概率的值最大 解题策略 随机变量及其分布 （1）写分布列三步：定取值、算概率、列成表格，最后一定要检验． （2）期望与方差用定义或性质：，；二项分布，． （3）正态分布用对称性：，把所求区间化为关于对称的区间再计算． 【变式1】（2026·上海·模拟预测）已知随机变量服从分布 ，则__________． 【答案】0 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【详解】由题可得：，解得：,所以, 则 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）某企业开发了一款软件，已知下载该软件用户的“提问次数”（单位：千次）服从正态分布，且．现从下载该软件用户中随机抽取1名用户，则“提问次数”在区间的概率为（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【知识点】指定区间的概率 【详解】 则. 【变式3】（2026·上海杨浦·模拟预测）若随机变量，，若，，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【知识点】指定区间的概率、独立重复试验的概率问题、正态曲线的性质 【详解】由题意可得， 又，所以，所以， 解得，所以， 又因为，所以， 又，所以. 考点七：抽样方法与用样本估计总体 例13在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（    ） A．样本容量 B．图中 C．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分 D．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等 【答案】C 【分析】由频率分布直方图区间的概率确定样本总容量，由频率和为1求x，根据频率分布直方图估计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项． 【详解】由频率分布直方图可得：，，，，的频率依次为. 对于A：∵成绩落在内的人数为16，则， 解得，故A错误； 对B：由频率可得，解得，故B错误； 对C：由选项B可得：成绩落在的频率为， 估计全体学生该学科成绩的平均分分，故C正确； 对D：设该学科成绩为A等的最低分数为， ∵，，的频率依次为，即， 可知，则，解得， 虽然，但是估计值，有可能出现没有学生考到分的情况（学生成绩均为正整数）， 这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等，D错误； 故选：C. 例14某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两家商店营业额的极差相同 B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同 C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高 D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差 【答案】C 【分析】对于A，由极差的定义，即最大值减最小值即可判断；对于B，由中位数的定义判断即可（从小到大排列数据）；对于C，直接由茎叶图即可判断；对于D，由方差公式运算即可判断. 【详解】A选项：甲商店营业额的极差为10，乙商店营业额的极差为8，故A错误； B选项：甲商店营业额的中位数为32，乙商店营业额的中位数为30，故B错误； C选项：甲商店营业额超过3000元的天数为3，乙商店营业额超过3000元的天数为2，故从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高，故C正确； D选项：甲商店营业额的平均值为，乙商店营业额的平均值为， 故甲商店营业额的方差， 乙商店营业额的方差，则，故甲商店营业额的方差大于乙商店营业额的方差，故D错误. 故选：C. 解题策略 抽样方法与用样本估计总体 （1）分层抽样先算抽样比，再按各层容量分配名额；题中给出“共抽取多少”“某层抽多少”时，用比例关系列方程最快． （2）频率分布直方图三步走：用小矩形面积求各组频率，用“频率 × 样本量”求频数，用各组中点值加权求平均数；注意纵轴是，不是频率． （3）比较两组数据用“一中心、两离散”：先比平均数（或中位数）看整体水平，再比方差（或极差、数据分布）看稳定性，结论要落到“谁更稳定、谁更集中”． 【变式1】本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图． (1)若数据分布均匀，记随机变量为各区间中点所代表的身高，写出的分布及期望； (2)已知本市身高在区间的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%，现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间，试估计此人是高中生的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，求出，再依据分布列和期望的定义即可求得X的分布列及期望； （2）利用条件概率去求此人是高中生的概率； 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得． 所以的分布列为 所以 （2）设事件为任取一名本市市民的身高位于区间， 事件为任取一名本市市民为高中生，则， 所以． 所以， 于是，此人是高中生的概率为． 【变式2】（2024·上海静安·二模）某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）. (1)求身高不低于170cm的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ① 求从这三个组分别抽取的学生人数； ② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】(1)60人； (2)①30人，20人，10人；② 【分析】（1）先求出,的频率可得结果． （2）①由分层抽样可得各组的人数; ②分别列举各种情况可得概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可知,的频率为 ， 故身高在以上的学生人数为（人． （2）①，，三组的人数分别为，，人． 因此应该从，，三组中每组各抽取（人，（人，（人． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ,，,，,．,，,，,，,，,， ,，,，,，,，,，,，,． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：,，,，,，,， ,，,，,，,，,． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 考点6 估计百分位数 【变式3】（2024·上海·三模）现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为．若该组样本的第百分位数为，第百分位数为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题知该样本第个数为，第个为，且为整数，不是整数，进而得到不等式即可分析求解. 【详解】由题意可得为正整数，不是整数，且该样本第个数为，第个数为， 又这是连续正整数（可重复）组成的样本，所以， 所以，解得， 又为整数，不是整数，所以最小44， 当时，第百分位数为第33个数19，与第34个数20的均值19.5， 第百分位数为第36个数22，符合题意. 故答案为：44. 考点八：变量间的相关性与独立性检验 例15（2025·上海杨浦·二模）植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为 厘米. 【答案】 【分析】根据表中数据求出线性回归方程，再代入即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 例16（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 【答案】(1)列联表见解析，0.35； (2)有； (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）完善列联表，如下： 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. （2）由（1）得， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. （3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 期望. 解题策略 相关性与独立性检验 （1）相关系数只回答“线性相关的强弱与方向”：看的大小定强弱，看的符号定正负，与回归方程中的符号一致． （2）求回归方程先算、，再用公式求，最后由得截距；预测时把代入方程，不要与“离差”“残差”混淆． （3）独立性检验按“列联表—代公式—比临界值—下结论”四步书写，结论格式为“有（或）的把握认为与有关”，不能写成“与相互独立”或“导致”． 【变式1】（2025·上海浦东新·二模）研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（   ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差Q变大 【答案】C 【分析】由已知可得，，求出相关系数，即可判断A，B选项，再利用回归直线方程过样本中心点可判断C选项，D利用残差平方和进行判断即可. 【详解】设变量x，y的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 则， ， ， 则相关系数. 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故A，B错误； 对于C，因为，所以不变， 且线性回归方程过样本中心点，即，均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变，所以拟合误差Q不变，故D错误. 故选：C. 【变式2】（24-25高三下·上海虹口·期中）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. (3)见解析. 【分析】（1）利用古典概率求解即可； （2）计算出的值，即可判断； （3）利用超几何分布求出分布列，然后利用期望和方差的公式求解即可. 【详解】（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范队”成员，则其周平均服务时长超过2小时的概率：. （2）根据题意，可将表格补充完整： 故， 所以有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. （3）由分层抽样可知，这8人中有6个来自“志愿模范队”，2个不是“志愿模范队”成员， 故随机变量可能为 且, 故分布列如下： 所以期望：， 方差：. 【变式3】（2024·上海·三模）设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（    ）. A．越大，则r越大 B．越大，则r越小 C．若r大于零，则一定大于零 D．若r大于零，则一定小于零 【答案】C 【分析】利用与r的含义判断AB，根据r大于零时两变量正相关即可得一定大于零判断CD. 【详解】影响的是回归直线的斜率，r影响是两个变量之间的相关性， 所以与r之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB错误； 若r大于零，则说明两个变量之间成正相关，故一定大于零，故选项C正确，D错误. 故选：C 实战训练 1．（2025·上海宝山·二模）有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有________种. 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理 【分析】利用组合数中允许重复的原则，分四类讨论，再由加法原理和组合数计算即可. 【详解】分四类讨论： ①当时，有6种情况； ②当时， 若，有5种选法； 若，有4种选法； 若，有3种选法； 若，有2种选法； 若，有1种选法； 由加法原理可得共有15种； ③当时， 若，选择有5种选法； 若，选择有4种选法； 若，选择有3种选法； 若，选择有2种选法； 若，选择有1种选法； 由加法原理可得共有15种； ④当时，有种， 综上，共有种. 故答案为：56. 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）设n为正整数，若的展开式中含有常数项，则n的最小值为__________． 【答案】5 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】利用展开式的通项公式来进行求解即可. 【详解】由展开式的通项公式得：， 由展开式中含有常数项可得：， 所以的最小值为，此时，常数项为， 3．（2026·上海徐汇·二模）若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【知识点】根据二项式的第k项求值 【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解. 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 4．（2026·上海徐汇·二模）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用 【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式，以及全概率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，且， 则，可得， 即，可得. 5．（2026·上海·模拟预测）立德中学进行新年联欢，有一个抽奖游戏，箱子中放了100个一样规格的红包，里面分别放入1，2，3，…，99，100元，若依次（不放回）抽两次红包，得到的奖金数额之和为偶数的概率为_________． 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合数的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】利用组合数公式及古典概型概率公式计算即可得. 【详解】抽到的两个红包可能性有种， 由奇数加奇数为偶数，偶数加偶数为偶数， 则其中奖金数额之和为偶数的可能性有种， 故抽到的奖金数额之和为偶数的概率为. 6．（2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 【答案】 【知识点】无穷等比数列各项的和、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，求出甲在第（奇数）次获胜的概率，再由等比数列求和得解. 【详解】由题意，甲抛掷一次获胜的概率为，失败的概率为， 甲胜的概率分为无数种情况：第次掷获胜，第次掷获胜，，第次获胜，， 概率分别为，， 故为以为首项，为公比的等比数列， 故甲获胜的概率. 7．（2026·上海静安·二模）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件， 依题意，，，， 由全概率公式得， 所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是. 8．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的概率公式可求. 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 9．（2026·上海徐汇·二模）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率、正态曲线的性质 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 10．（2026·上海闵行·模拟预测）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则__________． 【答案】 【知识点】求离散型随机变量的均值、数列的极限 【分析】先确定的分布列，再结合错位相减法及无穷数列的和求期望. 【详解】每次投掷，到达终点的概率为，不能到达终点的概率为， ，，，， ， 设①， ②， 则①②得 ， 所以， 所以. 11．（2026·上海·一模）从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 【答案】(1)样本空间；事件对应的集合， (2)是相互独立事件，理由如下： 若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为，， 则事件事件同时发生对应的集合， 则. 所以事件A和事件B是相互独立事件. 【知识点】独立事件的判断、写出样本空间、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据二次函数零点情况可得事件中参数的范围，利用列举法可得解； （2）根据二次函数单调性可确定事件中参数的范围，进而可确定事件对应的集合，再结合古典概型判断事件的独立性. 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”， 所以事件对应的集合为， 则； （2）略 12．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由. 【答案】(1)9； (2)； (3)不相互独立，理由如下： 由题可得，，， 注意到，则事件A与事件B不相互独立. 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、独立事件的判断、计算几个数的平均数 【分析】（1）由题意，计算年龄段占总体比例，据此可得答案. （2）利用年龄区间中点作为该区间年龄平均值，再由各年龄段人数占总体比例可得答案； （3）验证，是否等于可得答案. 【详解】（1）年龄段占总体比例为： ，则抽取人数为：； （2）由题可得人的平均年龄为：； （3）事件A与事件B不相互独立，理由略. 13．（2025·上海崇明·三模）某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为 . 【答案】 【分析】根据样本各层之比等于总体各层之比即可. 【详解】三个年级中抽取的人数比和三个年级学生的人数比一样， 所以高三的学生人数为. 故答案为： 14．（2025·上海·三模）如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为 ． 2 7 8 3 1 3 6 6 8 4 0 5 5 2 4 8 【答案】 【分析】由题意可得数据的个数，根据百分位数的定义，可得答案. 【详解】由题意可知共有个数据，且，则第百分位数为. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $