5．1 任意角和弧度制（8大培优题型）讲义-2026-2027学年高一上学期数学新教材同步培优讲义（人教A版必修第一册）

5．1 任意角和弧度制 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：任意角的概念 3 知识点二：弧度制 4 03 题型精讲 5 题型一：角的概念与推广 5 题型二：终边相同的角的表示 6 题型三：等分角的象限分析 8 题型四：象限角的判定方法 10 题型五：角度制与弧度制互化 11 题型六：扇形弧长与面积应用 13 题型七：区域角的范围求解 15 题型八：扇形相关最值问题 17 04 课后精练 21 05 培优拓展 28 知识点一：任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 知识点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 知识点诠释： （1）终边相同的前提是：原点，始边均相同； （2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； （3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 知识点二：弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 知识点诠释： （1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定． （2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径． 题型一：角的概念与推广 【典例1-1】将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为钟表的时针1小时（60分钟）顺时针转过的角度是， 所以每分钟时针转过的角度为， 故拨快20分钟时，时针转过的总角度为. 【典例1-2】下列说法中，正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 锐角是大于0°且小于90°的角，一定是第一象限角，②正确； 第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 【变式1-1】（2026·高一·上海·期中）下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【解析】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 【变式1-2】（2026·高一·安徽阜阳·期中）如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从谷雨节气点沿顺时针方向旋转到大寒节气点，旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从谷雨节气点沿顺时针方向旋转到大寒节气点，共经过18个节气点， 所以旋转的角度为. 【变式1-3】（2026·高一·江西赣州·期中）若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分针转一圈60min共，将钟表的分针调快10分钟，为顺时针， 则分针转动的角为． 【方法技巧与总结】 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 题型二：终边相同的角的表示 【典例2-1】（2026·高一·河北衡水·期末）下列与角终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与角终边相同的角为，即， 对于A：，不是的整数倍，故A错误； 对于B：，不是的整数倍，故B错误； 对于C：，不是的整数倍，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 【典例2-2】（2026·高一·辽宁·期中）若角，，则符合条件的角的最大负角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得. 又，所以角符合条件的最大负角为. 故选：B. 【变式2-1】（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与的终边相同的角为. 故选：B 【变式2-2】（2026·高一·河南·阶段检测）表示成（）的形式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 故选：A. 【变式2-3】（2026·高一·江西南昌·期中）终边在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在[0，2π]内终边在直线上的角为和， 则终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝2kπ或2kπ}，k∈Z， 即{α|α＝kπ，k∈Z}， 故选B． 【方法技巧与总结】 在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 （1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法． （2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 题型三：等分角的象限分析 【典例3-1】（2026·高一·江西九江·阶段检测）若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是第二象限角， 则，，可得，， y是第四象限角，则，，解得，， 所以构成的集合为. 【典例3-2】（2026·高一·河南焦作·期末）若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【解析】记，由是第一象限角，则， ， 又是第三象限角，的终边必须落在上述区间内第三象限部分， 即，解得， 构成的集合为（）． 故选：C． 【变式3-1】（2026·高一·上海杨浦·期末）已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【解析】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 【变式3-2】（2026·高一·天津河西·阶段检测）已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【解析】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 【变式3-3】（2026·高一·四川达州·阶段检测）已知为第二象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第一或第三象限 【答案】D 【解析】因为为第二象限角，则， 所以，， ①当为奇数时，设，则， 即，此时为第三象限角； ②当为偶数时，设，则， 此时为第一象限角. 综上所述，为第一或第三象限角. 故选：D. 【方法技巧与总结】 已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意． 题型四：象限角的判定方法 【典例4-1】（2026·高一·湖北黄冈·阶段检测）在平面直角坐标系中，属于（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】由,所以与终边相同，属于第三象限角. 【典例4-2】（2026·高一·四川·阶段检测）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 故选：B 【变式4-1】（2026·高一·湖北随州·阶段检测）若是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 【答案】D 【解析】由题意知，，， 则，所以，． 当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角． 所以是第二或第四象限角. 故选：D. 【变式4-2】（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 【变式4-3】角－863°的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】，则和的终边相同，故角的终边在第三象限. 【方法技巧与总结】 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 题型五：角度制与弧度制互化 【典例5-1】（2026·高一·陕西汉中·期中）已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 【答案】C 【解析】因为时钟比标准时间快了5分钟， 所以校准时要回拨5分钟，也就是分针要逆时针转， 而弧度. 【典例5-2】（2026·高一·广西北海·期末）化为弧度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故化为弧度为. 【变式5-1】（2026·高一·江西九江·期末）已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为一个扇形的圆心角为， 所以这个圆心角的弧度数为. 【变式5-2】（2026·高一·北京海淀·期中）半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 所以圆心角为. 【变式5-3】（2026·高一·广西钦州·阶段检测） 对应的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 【方法技巧与总结】 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 题型六：扇形弧长与面积应用 【典例6-1】（2026·高一·黑龙江绥化·开学考试）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ______ ． 【答案】 【解析】由弧长公式得， 所以它的弧长为. 【典例6-2】（2026·高一·河北·阶段检测）半径为2，圆心角为的扇形的面积为______． 【答案】/ 【解析】， 所以扇形的面积为. 【变式6-1】（2026·高一·湖北随州·阶段检测）我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.根据此规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为弧度，则.类比三角形的面积公式可得扇形的面积公式.已知一个扇形的周长等于，当这个扇形的面积最大时，该扇形的圆心角等于________弧度． 【答案】 【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，可得，其中， 将代入得： ， 当时，面积取得最大值， 此时对应的弧长，弧度. 【变式6-2】（2026·高一·江西抚州·期末）我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周十六步，径八步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长16步，其所在圆的直径是8步，则这块田的面积是_____________平方步. 【答案】32 【解析】因为弧长16步，其所在圆的直径是8步， 所以（平方步）. 【变式6-3】（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【解析】（1）设扇形AOB的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以扇形的周长为． （2）过O作，垂足为D， 由（1）知，，， 则，，． 所以的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． 【方法技巧与总结】 有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 题型七：区域角的范围求解 【典例7-1】写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 【解析】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：或 ； （2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 角的集合为． 【典例7-2】设，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求. 【解析】图中的阴影部分表示终边由逆时针旋转到的所有角， 故， 又， . 【变式7-1】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 【解析】（1）由终边相同角的概念可得： ①， ②， ③； （2）. 【变式7-2】已知如图所示的图形，那么阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？ 【解析】在范围内，阴影部分（包括边界）表示的范围是：， 则满足条件的角为， 故答案为：． 【变式7-3】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 【解析】设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成． ①， ②， 角的集合应当是集合①与②的并集： ． 【方法技巧与总结】 区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 题型八：扇形相关最值问题 【典例8-1】（2026·高三·陕西咸阳·阶段检测）已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【解析】（1）由扇形的弧长计算公式 （2）方法一：，其中为弧度制. ， 其中，结合，解得. 当时，有最大值. 所以的最大值是，此时，. 方法二：， 当且仅当，即时，的最大值是. 此时扇形的圆心角. 【典例8-2】（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【解析】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 【变式8-1】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【解析】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 【变式8-2】（2026·高一·上海闵行·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解析】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 【变式8-3】（2026·高一·江西景德镇·阶段检测）某企业计划制作一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知弧的长度为厘米，弧的长度为厘米，，且该铭牌截面的面积为900平方厘米． (1)若厘米，求的值； (2)求该铭牌截面的周长的最小值． 【解析】（1）设该扇形的圆心角为，因为厘米，， 所以厘米，所以厘米， 所以该铭牌截面的面积为，解得， 所以厘米. （2）设该扇形的圆心角为，因为， 所以， 所以该铭牌截面的面积为，解得. 所以该铭牌截面的周长为， 将代入得， 当且仅当，即厘米，时等号成立， 所以该铭牌截面的周长的最小值为厘米． 【方法技巧与总结】 解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决 1．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为. 2．（2026·高一·黑龙江绥化·开学考试）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索粗细不计与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为定滑轮旋转的弧长等于重物上升的长度， 又，由弧长公式， 所以重物上升了. 3．（2026·高一·陕西汉中·期中）角是（   ） A．第二象限角 B．第一象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】，则其为第二象限角. 4．是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】因为，所以是第四象限角． 5．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】设扇形的半径为，圆心角为，圆心角所对的弧长为， 由题意可得，解得或，所以或. 6．（2026·高一·江西赣州·期末）已知一扇形半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C．2 D．120 【答案】B 【解析】因为换算为弧度是， 根据扇形弧长公式计算得：. 7．（2026·高一·山东日照·阶段检测）半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，根据弧长公式可得： . 8．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设该扇形的圆心角为α，半径为r． 因为扇形的弧长与面积的数值相等， 所以，解得． 9．（2026·高一·贵州遵义·期中）将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 10．（多选题）（2026·高一·江西赣州·阶段检测）如果角是第二象限角，那么角可能是第几象限角？（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABD 【解析】因为角是第二象限角，所以， 所以， 当时，，是第一象限角，A正确； 当时，，是第二象限角，B正确； 当时，，是第四象限角，D正确； 11．（多选题）已知角与角的终边相同，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，，，故D正确， 12．（多选题）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】A选项仅仅表示了在范围内的那一部分第四象限角，并没有包含所有终边相同的角， 缺少了周期，表示不完整，故A错误， B选项包含了轴线角，故B错误， C选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故C正确， D选项以为基础区间，加上周期即表示所有第四象限角，故D正确. 13．（多选题）（2026·高一·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【解析】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； 14．已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【答案】 【解析】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是， 所以角的集合是． 15．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 【答案】5或 【解析】据题意得，解得或. 所以该扇形圆心角的弧度数是或. 16．已知，，则的大小关系为________. 【答案】 【解析】， 所以，故. 17．（2026·高一·上海长宁·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2 cm，则该扇形的面积是________． 【答案】 【解析】依题意，扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2 cm， 所以扇形的面积为. 18．已知为第一象限角，试确定，，分别是第几象限角． 【解析】∵是第一象限角， ∴，， ∴，． ∴是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角． 对于及，有如下两种方法． 方法一：，． ①当，时，，，∴为第一象限角； ②当，时，，，∴为第三象限角． 综上可知，为第一象限角或第三象限角． 同理，，． ①当，时，，，∴为第一象限角； ②当，时，，，∴为第二象限角； ③当，时，，，∴为第三象限角． 综上可知，为第一象限角或第二象限角或第三象限角． 方法二：分别将各个象限二等分、三等分，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向依次循环标上数字1，2，3，4，如图①②所示． ∵为第一象限角， ∴根据图①中数字1所在的位置，确定出为第一象限角或第三象限角； 根据图②中数字1所在的位置，确定出为第一象限角或第二象限角或第三象限角． 19．在范围内，找出与下列各角终边相同的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）， 所以，在范围内，与终边相同的角为. （2）因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为. （3）因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为. （4）因为， 所以，在范围内，与终边相同的角为. 20．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 【解析】（1）由且，可得，故所求的最大负角为. （2）由且，可得，故所求的最小正角为. （3）由且，可得，故所求的角为. 21．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长是6 cm，面积是，求该扇形的圆心角的弧度数. 【解析】（1）由题设，则cm； （2）由题设，可得， 所以cm或cm， 当cm，则，当cm，则，均满足题设， 所以或. 22．（2026·高一·辽宁·阶段检测）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为S. (1)若，求； (2)若该扇形的周长为20，求S的最大值. 【解析】（1）由题意得，解得，所以； （2）由题意知，则， 当且仅当时，等号成立，即S的最大值为. 1．（2026·高一·四川成都·期末）扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接，取的中点为，连接， 由题意可得，，， 设，在 中，，  又，   所以由可得， 即 . 2．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 【答案】A 【解析】根据题意，可算得弧，弧． 所以，所以． 依据题意，可知截面面积， 化简得：． 所以当，． 即当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米． 3．（2026·高一·北京·期中）第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，设扇形所在圆的半径为， 则弦长的一半为，弦的中点到圆心的距离为， 根据勾股定理得，整理得，解得， 设扇形所对的圆心角为，因为弦长为， 在直角中，可得，所以，即 所以扇形的面积为， 三角形的面积为， 因为，所以弓形的面积为. 4．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是________． 【答案】 【解析】根据题意，第一次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是； 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是； 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 所以点三次共走过的路径是． 5．（2026·高一·河南南阳·期中）已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4． (1)若该扇形的弧长为4，求的值． (2)当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值． 【解析】（1）设扇形所在圆的半径为，则弧长， 扇形的面积， 解得，． （2）扇形的面积，即， 则扇形的周长， 当且仅当时，等号成立，此时， 由得， 故当为2时，扇形的周长取最小值，最小值为8． 6．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【解析】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，， ∴，即，得， ∴弧田面积，而， ∴. （2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积， ∴当且仅当时等号成立. ∴当时，该扇形面积最大. 7．（2026·高一·陕西商洛·期中）已知扇形的圆心角是，半径为. （1）若，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 【解析】（1），. （2）由已知得，，所以， 所以当时，取得最大值25，此时，. 8．（2026·高一·上海嘉定·阶段检测）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限． （1）求，的值． （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的路程． 【解析】（1）由题意可得，与都是的整数倍， 不妨设，， 则，， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限， 所以，即，所以， 因为，所以，所以，， 即，； （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为秒， 则，即，解得， 所以红蚂蚁爬过的角度为， 因为圆的半径为， 所以红蚂蚁爬过的路程为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．1 任意角和弧度制 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：任意角的概念 3 知识点二：弧度制 4 03 题型精讲 5 题型一：角的概念与推广 5 题型二：终边相同的角的表示 5 题型三：等分角的象限分析 6 题型四：象限角的判定方法 7 题型五：角度制与弧度制互化 8 题型六：扇形弧长与面积应用 8 题型七：区域角的范围求解 9 题型八：扇形相关最值问题 12 04 课后精练 14 05 培优拓展 18 知识点一：任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 知识点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 知识点诠释： （1）终边相同的前提是：原点，始边均相同； （2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； （3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 知识点二：弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 知识点诠释： （1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定． （2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径． 题型一：角的概念与推广 【典例1-1】将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过了（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】下列说法中，正确的个数是（　　） ①终边相同的角一定相等；②锐角一定是第一象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2026·高一·上海·期中）下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【变式1-2】（2026·高一·安徽阜阳·期中）如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从谷雨节气点沿顺时针方向旋转到大寒节气点，旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·江西赣州·期中）若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 题型二：终边相同的角的表示 【典例2-1】（2026·高一·河北衡水·期末）下列与角终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高一·辽宁·期中）若角，，则符合条件的角的最大负角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·河南·阶段检测）表示成（）的形式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·江西南昌·期中）终边在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 （1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法． （2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 题型三：等分角的象限分析 【典例3-1】（2026·高一·江西九江·阶段检测）若是第二象限角，是第四象限角，则构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·河南焦作·期末）若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式3-1】（2026·高一·上海杨浦·期末）已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【变式3-2】（2026·高一·天津河西·阶段检测）已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【变式3-3】（2026·高一·四川达州·阶段检测）已知为第二象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第一或第三象限 【方法技巧与总结】 已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意． 题型四：象限角的判定方法 【典例4-1】（2026·高一·湖北黄冈·阶段检测）在平面直角坐标系中，属于（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【典例4-2】（2026·高一·四川·阶段检测）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】（2026·高一·湖北随州·阶段检测）若是第一象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 【变式4-2】（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式4-3】角－863°的终边所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【方法技巧与总结】 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 题型五：角度制与弧度制互化 【典例5-1】（2026·高一·陕西汉中·期中）已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 【典例5-2】（2026·高一·广西北海·期末）化为弧度为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·江西九江·期末）已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·北京海淀·期中）半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·广西钦州·阶段检测） 对应的角度是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 题型六：扇形弧长与面积应用 【典例6-1】（2026·高一·黑龙江绥化·开学考试）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ______ ． 【典例6-2】（2026·高一·河北·阶段检测）半径为2，圆心角为的扇形的面积为______． 【变式6-1】（2026·高一·湖北随州·阶段检测）我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.根据此规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为弧度，则.类比三角形的面积公式可得扇形的面积公式.已知一个扇形的周长等于，当这个扇形的面积最大时，该扇形的圆心角等于________弧度． 【变式6-2】（2026·高一·江西抚州·期末）我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周十六步，径八步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长16步，其所在圆的直径是8步，则这块田的面积是_____________平方步. 【变式6-3】（2026·高一·安徽安庆·阶段检测）如图，已知扇形AOB的面积是，圆心角． (1)求扇形AOB的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【方法技巧与总结】 有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 题型七：区域角的范围求解 【典例7-1】写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 【典例7-2】设，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求. 【变式7-1】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 【变式7-2】已知如图所示的图形，那么阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？ 【变式7-3】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合． 【方法技巧与总结】 区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 题型八：扇形相关最值问题 【典例8-1】（2026·高三·陕西咸阳·阶段检测）已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【典例8-2】（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【变式8-1】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【变式8-2】（2026·高一·上海闵行·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【变式8-3】（2026·高一·江西景德镇·阶段检测）某企业计划制作一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知弧的长度为厘米，弧的长度为厘米，，且该铭牌截面的面积为900平方厘米． (1)若厘米，求的值； (2)求该铭牌截面的周长的最小值． 【方法技巧与总结】 解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决 1．（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·黑龙江绥化·开学考试）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索粗细不计与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·陕西汉中·期中）角是（   ） A．第二象限角 B．第一象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．（2026·高一·广东深圳·阶段检测）已知某扇形的周长是21，面积为27，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（   ） A． B． C． D．或 6．（2026·高一·江西赣州·期末）已知一扇形半径为2，圆心角为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C．2 D．120 7．（2026·高一·山东日照·阶段检测）半径为，圆心角为的扇形的弧长为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·安徽蚌埠·阶段检测）若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026·高一·贵州遵义·期中）将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·江西赣州·阶段检测）如果角是第二象限角，那么角可能是第几象限角？（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（多选题）已知角与角的终边相同，则角可以是（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）以下表示第四象限角的集合．正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2026·高一·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 14．已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 15．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是___________ 16．已知，，则的大小关系为________. 17．（2026·高一·上海长宁·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2 cm，则该扇形的面积是________． 18．已知为第一象限角，试确定，，分别是第几象限角． 19．在范围内，找出与下列各角终边相同的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 21．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长是6 cm，面积是，求该扇形的圆心角的弧度数. 22．（2026·高一·辽宁·阶段检测）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为S. (1)若，求； (2)若该扇形的周长为20，求S的最大值. 1．（2026·高一·四川成都·期末）扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（    ）    A． B． C． D． 2．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成的）．已知，，线段，与，的长度之和为30，圆心角为弧度．则铭牌的截面面积最大值为（   ） A． B． C．75 D． 3．（2026·高一·北京·期中）第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 4．如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是________． 5．（2026·高一·河南南阳·期中）已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4． (1)若该扇形的弧长为4，求的值． (2)当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值． 6．（2026·高一·江苏宿迁·阶段检测）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 7．（2026·高一·陕西商洛·期中）已知扇形的圆心角是，半径为. （1）若，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 8．（2026·高一·上海嘉定·阶段检测）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限． （1）求，的值． （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的路程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $