25.1 一元二次方程的概念 课件 2026～2027学年人教版九年级数学上册

25.1　一元二次方程的概念 学科：数学（人教版·九年级上册） 第二十五章 一元二次方程 主讲人：____________　　学校：____________ 【封面】第二十五章 一元二次方程　从实际问题中抽象出方程模型，理解概念、一般形式与根。开场用 1 分钟展示本章图片素材，提出“对称在生活中随处可见，它究竟藏着什么几何规律”，点出本课时要解决的问题。 25.1 学习目标 目标一　理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程及其二次项、 一次项、常数项。 目标二　掌握一元二次方程的一般形式 a x 2 + b x + c = 0 ，会将方程化为一般 形式。 目标三　理解一元二次方程的解（根）的含义，会检验一个数是否是方 程的根。 重点：一元二次方程的概念与一般形式，会化为一般形式。 难点：准确判断一元二次方程（注意 a≠0 及“整式”条件）。 【节奏】3次点击：目标一、二 → 目标三 → 重难点。第二击前问“小学学过一元一次方程，今天这个方程哪里不同？”停15秒。 25.1 问题引入 情境一（章前雕像）：全身长5m，腰上AC与腰下BC满足 A C : B C = B C : 5 ，即 B C 2 = 5 A C 。设 B C = x ，得 x 2 = 5 ( 5 - x ) ，整理 x 2 + 5 x - 25 = 0 。① 情境二（无盖方盒）：矩形铁皮100×50cm，四角切去边长 x 的正方形，底 面积 3600 c m 2 ，得 ( 100 - 2 x ) ( 50 - 2 x ) = 3600 ，整理 x 2 - 75 x + 350 = 0 。② 情境三（排球赛）：x 队单循环共赛 ( 1 2 ) x ( x - 1 ) 场，计划28场，得 ( 1 2 ) x ( x - 1 ) = 28 ，整理 x 2 - x - 56 = 0 。③ 追问：以上三个方程与一元一次方程有什么共同点？它们有什么特征？ 【节奏】4次点击：方程① → 方程② → 方程③ → 追问。每列一个方程后停10秒让学生读图。第三击后问“三个方程都只含几个未知数？最高次数是多少？” 25.1 探究：方程的共性 观察方程①②③，找出它们的共同点： 共同点1：都只含有 一个未知数（一元）； 共同点2：含有未知数的式子都是 整式； 共同点3：未知数的最高次数都是 2（二次）。 结论：这类“一元、整式、二次”的方程，就是本章要研究的一元二 次方程。 【节奏】5次点击：观察 → 共同点1 → 共同点2 → 共同点3 → 结论。每点一个共同点停8秒，让学生对照方程①②③。 25.1 一元二次方程的概念 定义　如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式， 未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。 一般形式： a x 2 + b x + c = 0 （a≠0） 其中 a x 2 是二次项，a 是二次项系数； b x 是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项。 为什么 a≠0？若 a = 0 ，则 a x 2 + b x + c = 0 退化为 b x + c = 0 ，不再是二次方程。 【节奏】5次点击：定义 → 一般形式 → 二次项/系数 → 一次项/系数、常数项 → a≠0说明。第二击停15秒让学生齐读定义。 25.1 概念辨析 方程 是否 理由 3 x + 5 = 0 否 未知数最高次数为1 x 2 - 4 = 0 是 一元、整式、二次 x 2 + 1 x = 0 否 含 1 x ，不是整式 2 x 2 - y = 0 否 含两个未知数 ( x - 1 ) ( x + 2 ) = 0 是 化简后为 x 2 + x - 2 = 0 判断口诀：看“一元”（1个未知数）、“整式”（不含分式）、“二次 ”（最高次2且二次项系数非零）。 【节奏】表格整块出现（1击），口诀1击。重点强调“整式”与“a≠0”。 25.1 例题解析 例　将方程 3 x ( x - 1 ) = 5 ( x + 2 ) 化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数 和常数项。 解：去括号，得 3 x 2 - 3 x = 5 x + 10 。 移项，合并同类项，得一般形式 3 x 2 - 8 x - 10 = 0 。 二次项系数为 3，一次项系数为 -8，常数项为 -10。 【节奏】4次点击：题目 → 去括号 → 移项合并 → 系数。强调“移项要变号”“一般形式按降幂排列”“b或c为0时也要写出”。 25.1 练习1　化为一般形式 练习1　把下列方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5 x 2 - 1 = 4 x 　　　(2) 4 x 2 = 81 (3) 4 x ( x + 2 ) = 25 　　(4) ( 3 x - 2 ) ( x + 1 ) = 5 x - 2 参考答案： (1) 5 x 2 - 4 x - 1 = 0 ，a=5,b=-4,c=-1； (2) 4 x 2 - 81 = 0 ，a=4,b=0,c=-81； (3) 4 x 2 + 8 x - 25 = 0 ，a=4,b=8,c=-25； (4) 化简 3 x 2 + x - 2 = 5 x - 2 → 3 x 2 - 4 x = 0 ，a=3,b=-4,c=0。 【节奏】题目1击，答案5击各一。先让学生板演，再逐题对答案，强调 b=0 或 c=0 的情形也算一元二次方程。 25.1 练习2　列一元二次方程 练习2　根据下列问题列方程，并化成一般形式： (1) 4个完全相同的正方形面积之和为25，求正方形的边长； (2) 矩形长比宽多2，面积100，求矩形的长； (3) 把长1m木条分两段，使较短一段长与木条全长的积等于较长一段长的平方， 求较短一段长。 参考答案： (1) 设边长x， 4 x 2 = 25 ，即 4 x 2 - 25 = 0 ； (2) 设长x，宽x-2， x ( x - 2 ) = 100 ，即 x 2 - 2 x - 100 = 0 ； (3) 设短段x，长段1-x， x · 1 = ( 1 - x ) 2 ，即 x 2 - 3 x + 1 = 0 。 【节奏】题目4击，答案4击。第(2)题“宽为x-2”要强调；第(3)题“短段×全长=长段²”对应关系易错，停15秒。 25.1 习题25.1（一） 复习巩固 1　将下列方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常 数项： (1) 4 x 2 + 5 x = 81 　　(2) x ( x + 1 2 ) = 0 (3) ( 2 x - 3 ) ( x - 1 ) = 0 　　(4) ( 3 x - 2 ) ( x + 1 ) = x ( 2 x + 1 ) (1) 4 x 2 + 5 x - 81 = 0 　(2) x 2 + ( 1 2 ) x = 0 （或 2 x 2 + x = 0 ） (3) 2 x 2 - 5 x + 3 = 0 　(4) 化简 3 x 2 + x - 2 = 2 x 2 + x → x 2 - 2 = 0 【节奏】题目1击，答案2击。用于课堂检测或作业讲评。 25.1 习题25.1（二） 复习巩固 2　根据下列问题列出一元二次方程并化成一般形式： (1) 圆的面积2π，求半径r； (2) 直角三角形三边相差3，面积9，求较长直角边长x； (3) 直角三角形一直角边是另一直角边的2倍，斜边5，求较短直角边长。 (1) π r 2 = 2 π → π r 2 - 2 π = 0 ； (2) 三边 x , x - 3 , x + 3 ， ( 1 2 ) x ( x - 3 ) = 9 → x 2 - 3 x - 18 = 0 ； (3) 设短边x，长边2x， x 2 + ( 2 x ) 2 = 25 → 5 x 2 - 25 = 0 。 【节奏】题目4击，答案3击。第(2)题“三边相差3”要设出三边；第(3)题用勾股定理。 25.1 习题25.1（三） 复习巩固 3　下列哪些数是方程 x 2 + x - 12 = 0 的根？为什么？ −4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4 检验：把数代入方程，使左右两边相等的即是根。 ( -4 ) 2 + ( -4 ) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0 → x=-4 是根； 3 2 + 3 - 12 = 9 + 3 - 12 = 0 → x=3 是根；其余代入均不为0。 答：方程的根是 -4 和 3。 【节奏】题目2击，答案4击。强调“检验根就是代入看等式是否成立”；也可由因式分解 (x+4)(x-3)=0 心算。 25.1 综合运用 综合运用 4　《田亩比类乘除捷法》：直田积（矩形面积）864步，阔不及长 12步（宽比长少12步），问阔及长各几步。 解：设阔（宽）为 x 步，则长为 x + 12 步。 由面积得 x ( x + 12 ) = 864 ， 整理一般形式 x 2 + 12 x - 864 = 0 。 解得 x = 24 或 x = -36 （舍去），故阔24步、长36步。 【节奏】4击：题 → 设元 → 列方程 → 一般形式；答案1击。体现数学史与方程建模。 25.1 拓广探索 拓广探索 5　如果 2 是方程 x 2 - c = 0 的一个根： (1) 常数 c 是多少？(2) 此方程是否有其他根？若有，求出这个根。 (1)　把 x = 2 代入，得 4 - c = 0 ，故 c = 4 。 (2)　方程为 x 2 - 4 = 0 ，解得 x = 2 或 x = -2 ，另有根 -2。 【节奏】4击。第(2)问引导学生用“代入法求未知系数”和“一元二次方程可能有两 个根”。 25.1 方法归纳 一元二次方程 概念：一元、整式、未知数的最 高次数是2。 一般形式 a x 2 + b x + c = 0 （a≠0）；a、b、c 分 别叫二次项、一次项系数与常数 项。 化一般形式 去括号 → 移项 → 合并，按 x 2 、 x 、 常数项降幂排列。 根（解） 使方程成立的未知数的值；检验 用代入法。 【节奏】4击：四张卡片各一击。 25.1 课堂小结 小结： 1. 一元二次方程：只含____个未知数，含未知数的式子都是____，未知数最高 次数是____。 2. 一般形式：________（a≠0），其中 a 叫____，b 叫____，c 叫____。 3. 将方程化为一般形式步骤：____→____→____。 4. 使方程左右相等的未知数的值叫方程的____（或____）。 作业：必做 习题25.1 复习巩固1、2、3；选做 综合运用4；思考 拓广探索5。 【节奏】小结5击（标题→4空行），填空框出现后停60秒让学生写，再口述答案。作业1击。提示答案：1.一、整式、2；2.ax²+bx+c=0、二次项、一次项、常数项；3.去括号、移项、合并；4.根、解。 $