25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 人教版九年级上册 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 专项练习（约1400字） ## 一、知识梳理 一元二次方程根与系数的关系，也叫**韦达定理**。对于一元二次方程一般形式 \(ax^2+bx+c=0(a eq0)\)，当判别式 \(\Delta=b^2-4ac\ge0\)，方程的两个实数根为\(x_1,x_2\)，则： \[ \boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}},\qquad \boldsymbol{x_1x_2=\dfrac{c}{a}} \] 特别地，当二次项系数 \(a=1\)，方程 \(x^2+px+q=0\)，两根满足： \(x_1+x_2=-p，\ x_1x_2=q\)。 常见代数式变形（考试高频）： 1. \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\) 2. \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\) 3. \(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\) > 易错提醒 1. 使用韦达定理**前提**：方程必须是一元二次方程（\(a eq0\)），且方程有实数根，即\(\boldsymbol{\Delta\ge0}\)； 2. 两根之和是\(-\dfrac{b}{a}\)，负号极易漏掉，是最常错点； 3. 应用前先把方程整理成一般形式，正确识别\(a,b,c\)，系数自带正负； 4. 韦达定理可以不解方程，直接求两根和、两根积，或构造新方程、求参数。 ## 二、基础专项练习 ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程 \(x^2-5x+6=0\) 的两根之和为（） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 2. 已知方程 \(2x^2+3x-4=0\)，两根之积 \(x_1x_2\) 是（） A. \(-\dfrac32\) B. \(\dfrac32\) C. \(-2\) D. 2 3. 若一元二次方程 \(x^2-4x+m=0\) 的两根之和等于两根之积，则\(m\)的值为（） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 4. 已知方程\(x^2-6x+8=0\)两根为\(x_1,x_2\)，则\(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\)（） A. \(\dfrac34\) B. \(-\dfrac34\) C. \(\dfrac43\) D. \(-\dfrac43\) 5. 若方程 \((k-1)x^2-2x+1=0\) 有两个实数根，则\(k\)取值范围（） A. \(k\le2\) B. \(k<2\) C. \(k\le2\)且\(k eq1\) D. \(k<2\)且\(k eq1\) ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 方程 \(x^2+2x-3=0\)，两根之和\(x_1+x_2=\_\_\_\)，两根之积\(x_1x_2=\_\_\_\)。 2. 一元二次方程 \(3x^2-7x=0\)，则\(x_1+x_2=\_\_\_\)，\(x_1x_2=\_\_\_\)。 3. 设方程\(x^2-3x-1=0\)两根为\(x_1,x_2\)，则\(x_1^2+x_2^2=\)________。 4. 若方程\(x^2+mx+6=0\)一个根是2，则另一个根为____，\(m=\)____。 5. 已知方程两根为3和-4，则这个一元二次方程（二次项系数为1）是________。 ### （三）解答题（共60分） 1.（16分）不解方程，直接写出下列方程两根的和与两根的积 (1) \(x^2-4x-7=0\)　　(2) \(2x^2+5x-1=0\) 2.（20分）已知一元二次方程 \(x^2-5x-3=0\) 的两根为\(x_1,x_2\)，求代数式的值 (1) \(x_1^2+x_2^2\)　(2) \((x_1-x_2)^2\) 3.（24分）已知关于\(x\)的方程 \(x^2-(k+2)x+2k=0\) (1) 求证：方程总有实数根； (2) 若方程一个根是3，求另一根和\(k\)的值。 ## 三、参考答案与解析 ### 选择题 1. A 解析：\(a=1,b=-5\)，\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5\)。 2. C 解析：\(a=2,c=-4\)，\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-4}{2}=-2\)。 3. A 解析：\(x_1+x_2=4，x_1x_2=m\)，由题意\(4=m\)，\(m=4\)。 4. A 解析：\(x_1+x_2=6，x_1x_2=8\)，\(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac68=\dfrac34\)。 5. C 解析：一元二次方程\(k-1 eq0\)；\(\Delta=4-4(k-1)\ge0\Rightarrow k\le2\)，即\(k\le2,k eq1\)。 ### 填空题 1. \(-2；-3\) 2. \(\dfrac73；0\) 3. 11 解析：\(x_1+x_2=3,x_1x_2=-1\)，\(x_1^2+x_2^2=3^2-2\times(-1)=11\) 4. \(3；-5\) 解析：两根积\(2\cdot x_2=6\Rightarrow x_2=3\)；两根之和\(2+3=-m\Rightarrow m=-5\) 5. \(x^2+x-12=0\) ### 解答题 1. (1) \(a=1,b=-4,c=-7\)，\(x_1+x_2=4，x_1x_2=-7\) (2) \(a=2,b=5,c=-1\)，\(x_1+x_2=-\dfrac52，x_1x_2=-\dfrac12\) 2. 由方程得：\(x_1+x_2=5，x_1x_2=-3\) (1) \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25-2\times(-3)=31\) (2) \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=25-4\times(-3)=37\) 3. (1) 证明：\(\Delta=[-(k+2)]^2-4\times1\times2k=k^2+4k+4-8k=(k-2)^2\ge0\) \(\therefore\)无论\(k\)取何实数，\(\Delta\ge0\)，方程总有实数根。 (2) 设另一根为\(x_2\)，由韦达定理：\(3+x_2=k+2，3x_2=2k\) 联立解得：\(x_2=2，k=3\)。 答：另一根是2，\(k=3\)。 ## 四、练习小结 根与系数的关系（韦达定理），可以在不解方程的前提下快速求出两根之和、两根之积，常用于代数式求值、求参数、构造一元二次方程。使用定理的两个前提不能忽略：方程是一元二次方程\(a eq0\)，并且方程存在实数根，即判别式\(\Delta\ge0\)。最常见错误是两根之和忘记负号，以及忽略二次项系数不为0的限制条件。代数式变形是本节难点，要熟记平方和、差的平方、倒数和的变形公式。韦达定理承接一元二次方程的四种解法，是中考高频考点，经常结合判别式综合考查。熟练掌握这部分内容，能提升一元二次方程综合题的解题能力，为后续二次函数综合题做好铺垫。（全文1394字） 需要我生成**无答案学生版**，方便直接打印练习吗？ 人教版数学（新教材）九年级上册 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/9 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十五章 一元二次方程 探索一元二次方程的根与系数的关系. 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 学会在合作交流中归纳总结出二次方程的根与系数的关系特点，提高了学生解决问题的能力. 思考：观察求根公式 x=，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 探究新知 因为 x1=，x2=. 所以 x1+x2 = = =﹣ . x1x2 = = = = . 探究新知 由此得出，一元二次方程 +bx +c=0 的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1+x2 =﹣ ，x1x2 = . 使用条件： (1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0； (2)方程有实数根，即△≥0. 探究新知 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 1.已知一元二次方程的两根分别为，，则 的值 是( ) B A.5 B. C.2 D. 返回 举一反三 6 2.[湖北中考] 一元二次方程的两个实数根为， ，下 列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 7 3.设方程的两实数根为，，则 的值 为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 8 上述关系还可以用如下方法得出. 我们知道，如果一元二次方程 +bx +c=0 的左边可以分解因式为，那么方程 +bx +c=0的两个根为 x1和 x2 . 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为x1和 x2， 那么 即 ax²+bx+c=ax²-a(x1+ x2)x+ax1x2. 由此可得 -a(x1+ x2)=b，ax1x2=c. 因此 x1+x2 = ﹣ ，x1x2 = . 探究新知 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 ，的和与积： (1)－6x－15 = 0；(2)+7x－9 = 0(3). 例1 解：(1) ， . (2) ，. (3)方程化为 ， 所以 ，. 探究新知 跟踪训练 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积： (1)3x2-2x-1=0； (2)5x-5=6x2-4. 解：(1)∵a = 3， b = -2，c = -1， ∴ ， . (2) 方程化为 6- 5x + 1 = 0，∴ a = 6， b = -5， c = 1， ∴ ，. 将方程整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式 确定a,b,c的值 根据x1+x2 = ， x1x2 = 求解. ∆≥0 探究新知 4.以2和 为根的一元二次方程可以是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 12 5.［教材例5变式］不解方程，求下列方程两个根， 的和与积： （1） ； 解：， . （2） ； 解：， . （3） ； 解：方程转化为 ， ， . 举一反三 13 （4） . 解：方程转化为 ， ， . 返回 举一反三 14 知识点2 根与系数的关系的应用 6.已知，是关于的方程的两个根，且 ， 则 的值为( ) C A. B.1 C. D.4 返回 举一反三 15 7.若，是方程的两个根，则 的值是 ( ) A A. B.0 C.1 D.2 返回 举一反三 16 8.已知 ， 分别是方程的两个根，则代数式 的值为( ) B A.16 B.18 C.20 D.22 返回 举一反三 17 9. 一元二次方程的两个根分别是, ,其中 , ，写出一个满足此条件的方程： ________________________________. （答案不唯一） 返回 举一反三 18 10.已知关于的一元二次方程的一个根为 ，则另一 个根为___， 的值为____. 2 返回 举一反三 19 11.［教材习题变式］已知， 是一元二次方程 的两个根，不解方程，求下列各式的值： 解：由题意得， . （1） ; [答案] 原式 . （2） ; [答案] 原式 . 举一反三 20 （3） ; [答案] 原式 . （4） . [答案] 原式 . 返回 举一反三 21 12. [河北中考] 若一元二次方程 的两 根之和与两根之积分别为，，则点 在平面直角坐标系中位于 ( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 返回 举一反三 22 一元二次方程 +bx +c=0 (a≠0)的根与系数的关系 x1+x2 =﹣ x1x2 = 课堂小结 谢谢观看 THANKS $