25.1 一元二次方程的概念 （第1课时）教学课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.1 一元二次方程的概念 数 学 RJ 9年级上册 本课目标与重难点 1.以一元一次方程为参照，探索并概括一元二次方程概念，提升类比与归纳能力； 2.熟悉一元二次方程的一般形式，能准确指出其中的二次项、一次项与常数项及各自系数； 3.了解一元二次方程的解（根）的含义. 前 言 相等关系 方程 方程 的解 二元一次方程（组） 一元二次方程 一元一次方程 导入新课 问题1：现有一张矩形铁片，长为，宽，四角各裁掉一个大小相同的小正方形，再把四边多出的部分向上折起，便围成一个无盖的方盒；若要使这个方盒的底面面积为，那么原铁片四角要裁掉的小正方形边长是多少？ 探究一：从实例中抽象出概念 讲授新课 解：若四个角裁掉的小正方形边长为，盒底的长是， 宽是．又知盒底的面积是，由此列出方程 　　化简整理之后，得到 由这个方程便可求出四角所裁小正方形的边长. 方程②里含有几个未知数？最高次数又是多少？ 讲授新课 问题2：准备举办一场班级篮球联赛，采用单循环赛制（每两支队伍之间比赛1场）. 依据场地与时间的实际条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，那么主办方该请来多少支球队参加? 解: 设应邀请支球队参加，其中每一支都要同其他支球队各赛1场，那么整个赛程一共要打 场，据此列出方程 化简整理之后，得到 从这个方程就能确定该请多少支球队. 因为甲对乙、乙对甲，说的其实是同一场球，因此总共要打 场 为什么要打 场 方程③里有几个未知数，最高次数又是多少？ 讲授新课 想一想： 方程有哪些一样的地方？ 1.方程里未知数只有一个 2.含未知数的式子全为整式 由此看出 3.而未知数的最高次数是2 一般说来，只含一个未知数、含未知数的式子均为整式、且未知数最高次数是2，我们就把具有上述特征的方程称为一元二次方程. 讲授新课 通常，若一个方程只含一个未知数，各项含未知数的部分都是整式，未知数的最高次数是2，于是称它为一元二次方程. 需要留意：（1）“整式”按未化简时判断，含未知数的式子全为整式； 讲授新课 从上面的例子看，若方程中仅有一个未知数，含未知数的式子全为整式，且最高次数是2，这一类方程叫做一元二次方程. 要点归纳 需要留意： （1）所谓“整式”，须以未化简的形式为准，式中含未知数的部分均为整式； （2）这里“只有一个未知数、最高次数为2”都是整理合并后才说的． 讲授新课 例1：下面哪个是一元二次方程（ ） A. B. C. D. D 式子里含分式，不是整式 里面出现了两个未知数 化简之后是： 化简后最高次数未必就是2 综上所述：只含一个未知数、含未知数的式子为整式、未知数最高次数是2，都称为一元二次方程. 讲授新课 　　通常，所有关于的一元二次方程，整理后总能写成下面的样子： 这里为什么要规定？ 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 探究二：一般形式的由来与结构 可以等于0吗? 讲授新课 例2：把方程 整理成一般形式，再指出它的二次项系数、一次项系数与常数项. 解：先把括号去掉，得 接着移项并把同类项合并，就得到一般形式 由此可知二次项系数是 3，一次项系数则是8，而常数项是10． 讲授新课 认准方程的各项与系数，三处易错处要留心 要点归纳 (1)先整理成一般形式．若二次项系数小于0，习惯上两边同乘1，把二次项系数变成大于0的数． (2)写各项系数的时候，务必连同它前面的符号一起写，别漏了 (3)特例：若一次项根本没出现，则 ；常数项缺席时，则. 讲授新课 填写下表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 随堂小测 讲授新课 　　能让一元二次方程两边______取值相等的那一个未知数值，就是这个方程的_____，方程的根就是对一元二次方程的解的另一种叫法 相等 解 探究三：什么数才算方程的根 下面哪些数能让方程成立 ？ –2，–1，3 ，4 讲授新课 例3：试判断 是否为下列一元二次方程 的根． 　　解：把 依次代入方程左边和右边， 　　 左边算出，右边，， 　　 因而 并不是这个方程的根； 　　 将 同样代入方程左边和右边， 　　 左边得到，右边，， 　　 于是 确是这个方程的根． 怎样检验一个数是不是方程的根 把这个数代进方程的左边和右边各算一次，两边的结果一样，它就是方程的根；结果不一样，它就不是 讲授新课 A 1.下面给出的关于 的这些方程中：① ； ② ; ③ ；④ .四个方程里一元二次方程共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 作业1 习题解析 2.已知恰为某个一元二次方程的一个解,则的值 是(　　) A.3　　　 B.3　　　 C.0　　　 D.0或3 A 作业2 习题解析 3. 把下面每个方程整理成一般形式，再逐一写出它的二次项系数、一次项系数与常数项. （1）； （2）； 解：化成一般形式： 二次项系数是：3 一次项系数是：6 常数项是：1 解：先化一般形式： 其中二次项系数为：4 其中一次项系数为：5 而常数项为：81 作业3 习题解析 作业4 解：设共有x位同学参加了这次聚会, 由题意得 x(x-1)=10， 整理后得x2-x-20=0. 4. 依照下面各题的条件列出方程，再把列出的方程整理成一般形式： （1）一个圆形的面积为2π ，求它的半径； （2）直角三角形中，一条直角边的长度是另一条的2倍，而斜边是5，问短的那条直角边多长. 解：若圆的半径为 . 由题意，得 , 化简可得 . 习题解析 作业4 解：假设有x位同学到场参加了聚会, 依据题意有 x(x-1)=10， 整理即得x2-x-20=0. 4. 依照题意设未知数并列出方程，再化成一般形式： （1）一个圆形的面积为2π ，求它的半径； （2）某直角三角形的两条直角边，一条是另一条的2倍，斜边长5，求较短那条直角边的长度. 解：令较短的那条直角边为另一条直角边就是 . 依题意，得 , 整理之后得 . 习题解析 5.已知关于的一元二次方程其中一个根是0，求的值. 解：把 代进方程后得到： 从而解得 综上所述： 作业5 习题解析 一元二次方程的概念 概念 仅有一个未知数； 式子中含未知数的部分是整式； 未知数出现的最高次数为2. 一般形式 要认清二次项系数、一次项系数与常数项，前提是先把方程整理成一般形式. 解(根） 令一元二次方程两边相等的未知数的值. 课堂小结 课时作业对应用书章节. 课后作业 $