专题10 三角函数（18个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题10 三角函数（任意角和弧度制，三角函数的概念，诱导公式，图象与性质） （18个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 【知识点02】角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 【知识点03】扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 【知识点04】任意角的三角函数定义 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  【知识点05】同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 【知识点06】正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 【知识点07】正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 【考点题型一】终边相同的角 【例1-1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各角中，与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与终边相同的角为， 当时，， 故下列各角中，与终边相同的角为． 【例1-2】（25-26高一下·湖北荆州·期末）在区间上，与终边相同的角为____________． 【答案】 【详解】与终边相同的角为， 在区间上的角为. 【变式1-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以与终边相同. 【变式1-2】（25-26高一下·北京·期中）下列各角中，与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助终边相同的角的定义计算即可得. 【详解】与角终边相同的角为：， 当时，有，故D正确； 其余选项都不符合，故A、B、C错误. 【变式1-3】（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）已知角与角的终边相同，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，，，故D正确， 【考点题型二】终边在某条直线上的角的集合 【例2-1】如图所示，则终边在图中所示直线的角的集合为______________. 【答案】 【分析】写出终边在已知直线上的二、四象限的各一个角，然后由终边相同角的表示方法写出所有角，最后可合并成一种写法． 【详解】如图，终边在第二象限的角表示为，终边在第四象限的角表示为，， 所以终边在已知直线上的角的集合为． 故答案为： 【点睛】本题考查终边相同角的表示方法，解题时注意角的终边是一条射线，因此当终边在一条直线上时可分类讨论，然后综合出一般结论． 【例2-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可. （2）写出终边在和上角的集合，再取并集即可. 【详解】（1）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为. （2）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为， 化简得， 所以终边在直线上的角为. 【变式2-1】如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)． 【答案】{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}． 【分析】先求得终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合和终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合,再取并集即可. 【详解】因为终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}， 终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合是S＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}． 【变式2-2】写出终边在下图所示的直线上的角的集合．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先求得在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，从而即可得答案； （2）求出终边在直线上的角的集合，然后和终边在直线上的角的集合取并集即可得答案. 【详解】（1）由题图易知，在范围内，终边在直线上的角有两个，即和， 因此，终边在直线上的角的集合为 ； （2）同理可得终边在直线上的角的集合为 ， 终边在直线上的角的集合为 ， 所以终边在直线上和在直线上的角的集合为 . 【考点题型三】区域角的表示 【例3-1】（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 【例3-2】（2026高一·全国·专题练习）已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【答案】 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是， 所以角的集合是． 【变式3-1】如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为____. 【答案】 【分析】方法一：根据终边在上的角的集合、终边在轴非正半轴上的角的集合可得答案；方法二：根据在内，终边落在阴影部分内的角α的集合可得答案. 【详解】方法一　由于终边在上的角的集合为 由于终边在轴非正半轴上的角的集合为， 因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角的集合为； 方法二　在内，终边落在阴影部分内的角α的集合为， 所以所求角α的集合为. 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）（1）用弧度制写出与角终边相同的角的集合； （2）________（换算成角度制）； （3）如图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是________． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据终边相同的角的定义，结合角度制与弧度制互化公式进行求解即可； （2）根据角度制与弧度制互化公式进行求解即可； （3）根据终边相同的角的定义进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以与角终边相同的角的集合； （2）因为， 所以； （3）根据图象可得：终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是. 【变式3-3】（2026高一上·全国·专题练习）已知如图所示的图形，那么阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？ 【答案】 【分析】根据终边相同的角的定义即可求出. 【详解】在范围内，阴影部分（包括边界）表示的范围是：， 则满足条件的角为， 故答案为：． 【考点题型四】确定及的终边所在的象限 【例4-1】（26-27高二·山东·学业考试模拟）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以与终边相同，都位于第三象限； 由题意得， 因此， 即，因此与终边相同，都在第二象限． 【例4-2】（25-26高一上·河南焦作·期末）若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用象限角的概念和运算法则求构成的集合． 【详解】记，由是第一象限角，则， ， 又是第三象限角，的终边必须落在上述区间内第三象限部分， 即，解得， 构成的集合为（）． 故选：C． 【变式4-1】（24-25高一下·江西上饶·阶段检测）已知是第三象限角，那么是（   ） A．第一或第三象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】根据条件得，从而有，再分和，计算即可求解. 【详解】因为是第三象限角，则，所以， 当时，，此时是第二象限角， 当时，，此时是第四象限角， 综上，是第二或第四象限角， 故选：D. 【变式4-2】（多选）（23-24高一下·贵州遵义·阶段检测）若角的终边在第三象限，则的值可能为（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】BC 【分析】由角在第三象限，确定所在象限并确定函数值的符号即可得解. 【详解】由角的终边在第三象限，得，则， 因此是第二象限角或第四象限角， 当是第二象限角时，， 当是第四象限角时，. 故选：BC 【变式4-3】若为第四象限角，且，则为第______象限角. 【答案】四 【分析】由为第四象限角，得到范围，进而得到范围及象限. 【详解】为第四象限角， ，， 则，. 所以为第二、四象限角 又， 则为第四象限角. 故答案为：四 【考点题型五】扇形弧长与面积（含最值）的计算 【例5-1】（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设扇形所在圆的半径为，弧长为，利用扇形的弧长公式，列出方程，求得的值，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 因为扇形的圆心角为，即圆心角为，可得， 将代入上式，可得，解得，则 所以扇形的面积为. 【例5-2】（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【答案】(1) (2)的最大值是，， 【分析】（1）由扇形的弧长计算公式计算弧长即可；（2）由周长为，可得，再由，，求二次函数最大值或直接利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由扇形的弧长计算公式 （2）方法一：，其中为弧度制. ， 其中，结合，解得. 当时，有最大值. 所以的最大值是，此时，. 方法二：， 当且仅当，即时，的最大值是. 此时扇形的圆心角. 【变式5-1】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为. 【变式5-2】（26-27高三上·福建·阶段检测）一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 【变式5-3】（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知扇形面积为，圆心角为弧度，则扇形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式即可求解． 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则， 又圆心角为，且扇形面积为， 又，即，解得， 所以扇形的周长为． 【考点题型六】利用定义求三角函数值 【例6-1】（26-27高三上·河南南阳·期中）已知角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义，直接求解即可． 【详解】由三角函数定义，得． 【例6-2】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）已知角的终边与单位圆的交点为，则（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知： 故选：B 【变式6-1】（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点， 所以 ，因此，. 【变式6-2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知角α的终边与单位圆交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点， 由三角函数定义知. 【变式6-3】（25-26高二下·云南·学业考试真题）设是角终边上一点，则________. 【答案】6 【详解】因为是角终边上一点，所以. 【考点题型七】根据三角函数值求参数 【例7-1】（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）已知角的终边上有一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的定义和二倍角公式求解． 【详解】由题意，，解得． 【例7-2】（25-26高一上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义计算. 【详解】由题意可得，，得. 故答案为：. 【变式7-1】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知角的终边经过点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义列方程求解. 【详解】由三角函数的定义，， 平方化简得，解得（负根舍去）. 故选：D 【变式7-2】（25-26高一上·山东泰安·期末）已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】角的终边过点且， 所以且，解得. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）已知角的终边过点，且，则________，________ 【答案】 【详解】由三角函数的定义，，. ，. ． 【考点题型八】已知,求关于和的齐次式的值 核心方法：商数关系:（，） 【例8-1】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 所以. 【例8-2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）角的终边上一点 (1)求：的值. (2)求：的值； (3)求：的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 (1)    根据三角函数定义得； (2)    根据齐次思想，分式上下同时除以，代入值即得结果； (3)    根据1的代换，化弦为切，代入值即得结果. 【详解】（1）因为角的终边上一点，所以； （2）对分式上下同时除以，所以， 由（1）可知，原式； （3）因为， 所以， 上下同时除以， 原式，由（1）可知， 原式. 【变式8-1】（2026高三·全国·专题练习）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 【变式8-2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且为第二象限角，则的值为______． 【答案】 【详解】因为为第二象限角，所以. 将所求分式的分子、分母同时除以，得. 将代入上式：原式. 【变式8-3】（25-26高一下·江西萍乡·期中）已知，则__________． 【答案】 【详解】. 【考点题型九】利用,与之间的关系求值 核心方法：平方关系 【例9-1】（多选）（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】∵ ， ∴平方得 ， 解得， 故A正确. ∵ ，且, ∴ ， ，即, 则. 又， ∴ ，故B错误. 联立，两式相加得， 即， 两式相减得，即， ∴ ，故C正确. ∵ ， ∴ ，则. 由半角公式可得, 故D错误. 【例9-2】（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知且，则_______． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意知：，且， 平方得， 可得，可得 所以，则， 又由， 所以. 【变式9-1】（26-27高三上·天津东丽·阶段检测），，则________. 【答案】 【详解】已知，将等式两边同时平方，可得：. 由同角三角函数的基本关系，代入上式得： ，解得. 因为，所以，结合，可得，因此. 对平方，得：， 将代入，得：. 结合，开方得：. 【变式9-2】（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知，，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以，则， 由同角三角函数关系可得，， 所以. 【变式9-3】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【答案】 或 / 【分析】根据同角三角函数基本关系即可求解；根据第四象限角的三角函数符号确定的正负，进而求出其值. 【详解】① 由，得 ， 化简得 ， 解得. 又（，若则，不满足已知等式）， 即 ，整理得，解得. ② 因为是第四象限角，故，，因此. 由， 所以. 【考点题型十】五点法作图 【例10-1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)将函数化为形式，填写下表，并画出函数在区间上的图象；（如图） x 0 π 2π (2)求函数的单调减区间． 【答案】(1), 图象如图． (2)单调减区间为 【分析】（1）先化简函数表达式为，填写上图即可； （2）由，得，即可求得函数的单调减区间. 【详解】（1）, 图象如图． （2）由得， 故单调减区间为， 注：也可以． 【例10-2】（24-25高一下·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)求的对称轴与对称中心； (3)当，求函数的值域. 【答案】(1) 0 (2)对称轴为，对称中心为； (3) 【分析】（1）用五点法，列表，描点，连线，作函数在一个周期上的简图； （2）令，可得对称轴，令，可得对称中心； （3）由，得，由三角函数性质可得的值域. 【详解】（1）列表 0 函数图像如图所示 （2）令，得对称轴：， 令，得，所以对称中心为； （3）由，得， 当，即时，； 当，即时，. 所以的值域为. 【变式10-1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知函数. (1)补全下表，在如图的坐标系中作出（五点法）函数一个周期上的简图； 0 (2)写明该函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到； (3)直接写出该函数的单调增区间，图象对称轴方程： (4)设函数，求函数的值域 【答案】(1) 补全表格如下： 0 简图如下： (2)将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的或将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再将横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度 (3)单调增区间为，对称轴方程为 (4) 【分析】（1）借助五点法计算及画图即可得； （2）利用三角函数平移与伸缩变换的性质即可得； （3）结合正弦型函数性质计算即可得； （4）结合三角恒等变换公式将化简后，结合值域计算即可得. 【详解】（1）作图略； （2）将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度， 再将横坐标变为原来的，即可得到该函数的图象； 或将函数的图象纵坐标变为原来的两倍，再将横坐标变为原来的， 再向左平移个单位长度，即可得到该函数的图象； （3）令，解得， 即该函数的单调增区间为； 令，， 即该函数图象的对称轴方程为； （4）， ， 则， 当时，，则， 当时，； 当时， ； 综上可得：函数的值域为. 【变式10-2】（24-25高一上·云南昆明·期末）设函数，满足，函数图象的一个对称中心为. (1)求的最小正周期； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由得，由函数图象的一个对称中心为，可得，进而可得； （2）根据“五点法”画图法作图即可. 【详解】（1）由得，又，所以，故. 函数图象的一个对称中心为，则， 即，又，所以， 而，所以的最小正周期为2. （2）列表： 0 2 0 -2 0 2 画图      【变式10-3】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0    (2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心． 【答案】(1) x 0 0 0 (2) 【分析】（1）首先根据五点法将表格补充完整，然后描点，最终用一条“光滑”的曲线连接起来即可. （2）根据三角函数图形的平移变换、伸缩变换法则求得的表达式，通过整体代换即可求解. 【详解】（1）略 （2）的图象向下平移1个单位得的图象， 横坐标扩大为原来的4倍得，， 再向左平移个单位后，得， 令，得， 所以函数的对称中心为 【考点题型十一】求方程的解个数或函数零点的个数问题 【例11-1】（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为,最小值为 (3) 【分析】（1）由得,直接套用求最小正周期. （2）整体代换:令,先由的范围求出的范围,再把问题转化为求在上的最值,借助正弦函数的单调性与端点函数值比较得到结论. （3）把方程在给定区间上解的个数转化为直线与曲线,,交点个数的问题,依据正弦函数在上递增、在上递减,按与、、的大小关系分类讨论确定参数范围. 【详解】（1）因为,所以, 因此的最小正周期. （2）令.由得. 所以,即,问题转化为求在上的最值. 因为在上单调递增,在上单调递减, 所以当,即时,取得最大值. 又,, 且,所以当,即时,取得最小值. 所以在区间上的最大值为,最小值为. （3）令,当时,,且随的增大而增大. 所以方程在上解的个数,等于方程在上解的个数. 由（2）知,在上单调递增,函数值从增大到; 在上单调递减,函数值从减小到. 当时,方程在上只有一个解,即原方程只有一个实数解,不合题意. 当时,在内恰有一个满足,在内也恰有一个满足,此时原方程有两个不同的实数解. 当时,满足的只能落在内,且只有一个,此时原方程只有一个实数解. 当或时,方程在上无解. 所以实数的取值范围是. 【例11-2】（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦型函数图像求周期，算出，代入点坐标求出，得到解析式； (2)根据平移规则写出，零点转化为方程在区间内有个解。换元后结合正弦函数图像，根据交点个数列不等式求范围. 【详解】（1）由图可知：函数的周期， 又，所以． 又因为，即， 则，即， 由，可知，，所以． （2）依题意可得：， 在区间上有三个零点， 即函数与函数在区间上有三个交点， 令，即与函数在区间上有三个交点， 结合图象可得：， 即有，实数的取值范围为． 【变式11-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，且的图象过点. (1)求的值及函数的单调递增区间; (2)将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象.若函数在上的图象与轴有且仅有3个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，的单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，代入已知点求出参数，再根据正弦函数单调区间列不等式即可得到递增区间； （2）依据三角函数图象平移规则得到新函数，再结合正弦图象与轴交点情况确定的范围即可. 【详解】（1）因为 ， 因为的图象过点，所以， 即，所以，得， 因为，所以取符合条件，所以， 令，则， 故的单调递增区间为. （2）将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位， 得， 因为在上的图象与轴有且仅有3个交点， 即方程在上恰有3个解， 因为 ，则，所以 ， 解得，故的取值范围为. 【变式11-2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由函数最小正周期及所过点可得函数解析式； （2）由函数图像平移变换知识可得表达式，由题可得范围与值域保持一致，据此可得答案. 【详解】（1）函数的最小正周期为，，，解得. 又函数的图象过点，，解得. ，， . （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. 方程在上有解， 的范围与在上的值域保持一致. ，. 由余弦函数的性质，得当时，； 当，即时，， ，，即， 【变式11-3】（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数，． (1)若 的最小正周期为，求的单调递减区间； (2)若方程在 内恰有4个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先用两角和与差公式与二倍角公式把化为一个余弦型函数，由最小正周期求出，再解不等式得单调递减区间； （2）换元，把“区间内恰有 4 个根”转化为区间右端点与的根的位置关系. 【详解】（1）， 所以. 由最小正周期 得，即. 令，解得，. 所以的单调递减区间为，. （2）方程 即. 令. 由， 得 . 在 上， 的根依次为 方程在内恰有4个根，等价于区间含前4个根而不含第 5 个根， 即，解得 . 所以的取值范围是. 【考点题型十二】正（余）弦函数的周期性 【例12-1】（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所有选项的定义域都是， 对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数， 的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图）， B正确； 对于C：，图象为 很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 【例12-2】（多选）（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）下列函数中，以为周期的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用周期函数的定义，结合选项中的函数组成化简，即可逐一判断. 【详解】对于A，因，而，而，故A错误； 对于B，因，则函数的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为偶函数，则，其最小正周期为，故D错误． 故选：BC． 【变式12-1】（25-26高一下·河南南阳·期中）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别看各函数的最小正周期，不符合的排除，再看符合周期要求的，在给定区间上的单调性，满足周期且在该区间单调递增的就是正确选项. 【详解】画出各选项对应的函数图象可知： 的最小正周期为，在区间上单调递减，不符合题意. 的最小正周期为，在区间上单调递增，符合题意. 的最小正周期为，不符合题意. 不是周期函数，不符合题意. 【点睛】 【变式12-2】（2026高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用余弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的最小正周期为. 故选：D. 【变式12-3】（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）函数的最小正周期是______________. 【答案】 【详解】函数的最小正周期是. 【考点题型十三】正（余）弦函数的单调性 【例13-1】已知函数，设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】由 时，，结合函数的单调性列出关于m的不等式，即可求出. 【详解】当时，， 因为在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【例13-2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 【变式13-1】（25-26高二上·云南文山·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期及； (2)求函数的单调递增区间； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据三角函数周期公式即可求函数的最小正周期； （2）根据三角函数单调性即可求函数的单调增区间； 【详解】（1）对于函数，它的最小正周期为；； （2）令，， 求得，，即，． 所以，函数的单调递增区间是． 【变式13-2】（25-26高一上·山东·阶段检测）已知. (1)求函数的最小正周期： (2)求函数在上的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）利用正弦函数求解函数的最小正周期， （2）结合正弦函数的单调区间求解出此函数的单调区间. 【详解】（1）最小正周期为： 令则 由 所以的单调递增区间为， （2）令则 由, 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【变式13-3】（25-26高一下·北京房山·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用周期公式直接代入求解即可； （2）利用整体代换法求单调递减区间即可. 【详解】（1） ； （2）∵函数的单调递减区间为， 令，， 解得：，， ∴函数的单调递减区间为． 【考点题型十四】正余弦函数对称性 【例14-1】（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知，将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像关于对称，则的取值个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象变换可得，根据对称轴可得，，进而分析求解即可. 【详解】将向轴正方向平移个单位，得到， 可知函数的图像关于对称， 则，，解得，， 且，即，解得， 且，则，所以的取值个数为5. 【例14-2】（26-27高三上·云南·阶段检测）函数图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用二倍角余弦公式化简函数解析式，再结合余弦函数对称中心的性质列方程求解即可得 【详解】由二倍角余弦公式，可得， 又因为余弦函数的对称中心的横坐标满足（），此时函数值为. 令，，解得. 因此函数图象的对称中心为（）. 【变式14-1】（2026·青海黄南·模拟预测）已知函数是偶函数，且点为的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先由“偶函数”这一条件，结合正弦函数在对称轴处取得最值的性质，求出符合范围的的值，再将已知的对称中心坐标代入化简后的解析式，建立关于的方程，最后结合取 即可求得的最小值. 【详解】因为函数是偶函数，且， 所以（），解得（）， 因为，所以当时，，符合题意， 此时， 又因为点为的图象的一个对称中心， 所以，即 ，所以， 因此（），解得（）， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 【变式14-2】（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数的解析式，根据余弦型函数的对称性可得出关于的等式，结合可得出的最小值. 【详解】因为， 且点是函数的图象的一个对称中心， 所以，解得， 因为且，故当时，取最小值. 【变式14-3】（多选）（25-26高一下·江西赣州·期中）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 函数的周期，即，所以，则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以或． 【考点题型十五】正余弦函数的值域或最值 【例15-1】（26-27高三上·山东·期中）设函数的图象过点． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值及相应x的值． 【答案】(1)； (2)当时，取得最大值；当时，取得最小值. 【详解】（1）将点代入中， ， 即， 所以或， 所以或， 因为， 所以. （2） ， 所以 ， 已知，则， 所以当时，即，取最大值： ， 当时，即，取最小值： . 【例15-2】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数，，又且图象的相邻的两个对称中心之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)设函数，，求函数的最值及取最值时的值. 【答案】(1) (2)最大值 ，此时 ；最小值 ，此时 . 【分析】（1）利用周期公式可求，再由，结合范围，可求的值， 即可得解函数解析式； （2）化简得，根据余弦函数的单调性即可计算得解 【详解】（1）因为图象的相邻的两个对称中心之间的距离为， 所以，得， 又，得，由，得， 故函数的解析式为：． （2） ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值为1， 当，即时，取得最小值为． 【变式15-1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（，，）的最大值为、最小值为，最小正周期为，且是函数的一个最大值点． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在上的值域． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由函数最值列方程组求出A和B，由周期算出，再结合最大值点的相位条件求出初相，确定函数解析式； （2）用整体代换思想，将代入正弦函数的标准递减区间，解不等式得到原函数的单调递减区间； （3）通过换元将x的范围转化为相位的范围，结合正弦函数在该区间的单调性求出正弦部分的最值，进而得到函数值域． 【详解】（1）由最大值为、最小值为，得， 两式相加、相减得、，由最小正周期，得， 于是； 由 是最大值点得，， 由 取 ，得 ， 故． （2）正弦函数的单调递减区间为， 令，则， 三边同减，得，再同除以2得， 故单调递减区间为． （3）令，当 时，， 函数在单调递减，在单调递增， 最小值在处取得，故最小值为；两端点处，， 故的最大值为， 故在上的值域为． 【变式15-2】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及对称中心坐标； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)，， (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）首先化简函数解析式，进而根据公式可得最小正周期，由整体法可得对称中心坐标； （2）结合整体法及正余弦函数的图象性质可求解. 【详解】（1），   的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； （2）当时，有， 当时，单调递减；当时，单调递增， ∴当，即时，取得最大值，为； 当，即时，取得最小值，为， 综上，在上的最小值为，最大值为. 【变式15-3】（25-26高一下·四川达州·期中）已知函数（，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在上的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入最值点即可求得的值，从而可得函数的解析式； （2）结合余弦函数的单调性并利用整体代换法即可求解单调递减区间，即可求解； （3）当时，，进而利用整体代换法即可求解值域. 【详解】（1）由图可知，，则， 所以，则， 又，则， 即，则，又，则， 所以. （2）令，得， 则函数的单调递减区间为. （3）当时，， 则，即， 则在上的值域为. 【考点题型十六】正切函数的定义域 【例16-1】（25-26高一下·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数定义域的求法可得答案. 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为． 【例16-2】（25-26高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】由题意，，解不等式得出结论. 【详解】由题意，，所以，， 所以，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式16-1】（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为． 【变式16-2】（25-26高一下·北京房山·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助正切函数性质计算即可得. 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 【变式16-3】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是________． 【答案】 【分析】结合正切函数的性质，直接求解定义域即可. 【详解】依题意，，即， 结合正切曲线，可得， 即函数定义域为． 【考点题型十七】正切函数的单调性，奇偶性，对称性 【例17-1】（26-27高三·全国·一轮复习）若函数为奇函数，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义，分两种情况讨论：在函数定义域内和不在定义域内，从而确定的取值． 【详解】解：函数为奇函数，其图象必关于原点对称 对于函数，其图象关于原点对称有两种情况： ① 原点是函数图象的一个对称中心 函数的对称中心为，故 令得 ② 轴是函数图象的一条渐近线 函数的渐近线为，故 令得 综上， 故选：C． 【例17-2】（25-26高一下·上海·期中）函数的严格增区间为________. 【答案】 【详解】设，由正切函数的性质可知， 函数在每个区间上严格递增， 在上严格递增，由复合函数的单调性判断方法， 令， 解不等式得， 即， 所以函数的严格增区间为. 【变式17-1】（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得. 所以函数的图像的对称中心为. 若点是函数的图像的一个对称中心， 则，得. 当时，取得最小值，最小值为. 【变式17-2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则____________. 【答案】 【详解】因为， 所以. 【变式17-3】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）函数的对称中心的坐标为______． 【答案】， 【详解】根据正切函数的对称中心坐标为其中， 所以，，求得，, 所以的对称中心的坐标为，. 【考点题型十八】正切函数的值域或最值 【例18-1】（2026高一·全国·专题练习）函数，的值域为____________ 【答案】 【分析】令，得到，再利用正切函数的性质求解即可. 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 故答案为： 【例18-2】（25-26高一上·全国·课后作业）求函数的值域. 【答案】 【分析】结合复合函数的性质，令，函数变化成，的二次函数问题，从而求得函数的值域； 【详解】因为，所以 令则 当即时， 当即时， 故所求函数的值域为 . 【变式18-1】（25-26高一下·全国·课后作业）函数在上的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 【分析】分析函数在区间上的单调性，即可求得该函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】，．在上为增函数， ，． 即函数在上的最大值为，最小值为. 故答案为：；. 【变式18-2】（25-26高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 【答案】最大值为，最小值为. 【分析】结合分离常数法和基本不等式，然后分类讨论即可求解. 【详解】解：①当时，； ②时，， 由可知， 当且仅当，即时等号成立，∴. ③当时，， 由知，当且仅当,故，即. 综上，的最大值为，最小值为. 【变式18-3】求函数，的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】利用换元法，结合正切函数、二次函数等知识求得正确答案. 【详解】依题意，函数，， 设， 则， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为. 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南·学业考试真题）将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 则， 可得，所以. 3．（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，且为第二象限角，则， 则. 4．（26-27高三上·江苏无锡·期中）若点是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对称中心满足，， 解得．因为，所以当时，． 5．（25-26高二下·云南·学业考试真题）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知，所以最小正周期． 6．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，其图象关于点对称，且对任意均有，在上单调递减，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为图象关于点对称，所以，， 因为对任意均有，可知直线是函数对称轴，得，， 可得，解得， 因为，所以， 函数在上单调递减，所以周期满足，即，即， 因为，所以， 则，，由可得. 7．（2026·广东广州·模拟预测）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用整体法及正弦函数的单调性列不等式求参数范围. 【详解】当时，则， 要使在该区间上单调递增，则区间内的必须包含在正弦函数的某个单调递增区间内， 因为区间的中心为，所以只能对应正弦函数在上的单调递增区间， 因此需满足且，得，又， 所以，即的取值范围是. 8．（2026·广西南宁·一模）函数图象的对称轴方程不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正切函数的对称轴方程可得是函数图象的对称轴方程即可求解. 【详解】令，解得：,当时，，所以是函数图象的对称轴方程， 当时，，所以是函数图象的对称轴方程， 若，解得：，所以函数图象的对称轴方程不可能为 当时，，所以是函数图象的对称轴方程， 二、多选题 9．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若函数，则（   ） A．的最小值为 B． C．在上无最大值 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】本题考查正弦型三角函数的性质，结合正弦函数的值域、函数值计算、最值求解、对称中心判定的相关方法逐一分析选项即可． 【详解】选项A：正弦函数的值域为， 因此的值域为，最小值为，A正确； 选项B：计算得，， 故，B错误； 选项C：当时，，当即时， 取得最大值2，C错误； 选项D：正弦函数的对称中心满足相位为， 令，解得，取得， 此时，故图象关于点对称，D正确． 10．（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知函数，且存在，，使得，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上的值域为 C． D． 【答案】BCD 【分析】先用降幂公式、二倍角公式与辅助角公式把 化为正弦型函数，再逐项判断：A 看最小正周期，B 由 的范围求相位的范围，C、D 利用 的两解关于直线 对称. 【详解】. 对于 A， 的最小正周期 ，A 错误. 对于 B，当 时，. 因为 ，，，所以 在 上的值域为 ，B 正确. 对于 C，令 ，当 时，. 的图象在区间 内关于直线 对称，方程 恰有两解 ，，且 . 又 ，，所以 ，解得 ，C 正确. 对于 D，由 得 ，结合 与 知 . 此时 ，又 ，所以 ，D 正确. 11．（26-27高三上·山东·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原来图象重合，则（    ） A． B．的定义域为 C．在内所有零点之和为 D．在内恰好有4个对称中心 【答案】BCD 【分析】利用正切函数的图像与性质，判断其周期性、定义域、零点以及对称中心. 【详解】已知将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得图象与原来图象重合，所以是函数的一个周期，所以， 即，又因为，所以，错误； 已知，所以，解得，正确； 函数零点为，即，解得， 在区间中，的零点为，所以，正确； 正切函数的对称中心横坐标为，即，解得， 在区间中，的对称中心横坐标为，即对称中心共4个，正确. 三、填空题 12．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）若函数是奇函数，则______． 【答案】 / 【详解】因为是上的奇函数，故，得. 又，则. 所以. 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出的范围，再结合单调性列不等式组求解即可． 【详解】， ， 又函数在区间上单调递减， ， 解得， 即． 14．（25-26高一下·河南新乡·期末）函数的图象的一个对称中心的坐标是________． 【答案】（答案不唯一，符合的点均对） 【详解】令，解得，故的对称中心为. 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数. (1)求在上的单调递增区间； (2)若不等式对恒成立，求实数的最大值； (3)若方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)与； (2)0 (3) 【分析】（1）利用换元法结合整体代入法求解单调区间即可. （2）利用换元法求解出函数的最小值，进而得到参数取值范围，最后求解最值即可. （3）将方程根的问题转化为函数交点问题，进而结合三角函数的性质求解参数范围即可. 【详解】（1）令，当时，， 而由正弦函数性质得的递增区间为， 取，此时，解得， 取，此时，解得； 故在上的单调递增区间为 与. （2）令，当时，， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，可得， 而对恒成立，则，故的最大值为. （3）当时，，已知得， 若方程在上恰有两个不同的实根， 则在上恰有两个不同的实根， 即和在上恰有两个不同的交点， 如图，作出符合题意的图象， 结合图象可得，解得，即， 故实数的取值范围为. 16．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)当时，关于x的方程有两个不同的实根，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图象和正弦函数的图象和性质求解； （2）利用正弦函数的图象和性质求解. 【详解】（1）由图象得，，所以． 又图象在附近单调递增，且，所以． 由图象中右侧第一个最高点的横坐标为，得，故． 所以． （2）当时，． 因函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，． 故方程有两个不同实根当且仅当． 此时两根关于直线对称，所以，且． 因此． 由，正弦函数在此区间上单调递增， 故的最小值为． 当时，、，最小值取得． 17．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知函数（）的图象过点和点. (1)求函数的解析式； (2)当时，求满足的的取值集合； (3)当时，方程恰好有两个不同的实数解、，求实数的取值范围，并求的值. 【答案】(1). (2). (3)，. 【分析】（1）代入点坐标，利用正弦的和角公式展开计算即可； （2）利用三角函数的单调性和值域求解； （3）将问题转化成两个图象的交点求解. 【详解】（1）将点和点代入解析式得：， 将①式化简得：， 将②式代入得：，则， 因为，所以，代入②式得：， 所以. （2），若，则， ，则或，解得： 即：满足的的取值集合为. （3）令，，所以， 恰好有两个不同的实数解、， 即直线和正弦函数在有两个不同的交点，且两个交点的横坐标分别为、， 分别画出和在上的图象如下： 由三角函数的图象得点和点关于直线对称，则， 且，，， 所以 ，解得. 18．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知函数的最小正周期为且， (1)求的解析式． (2)求函数的单调增区间. (3)求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的最小正周期求得，再由，求得的值，从而得到的解析式． （2）根据复合函数的单调性，由，可求得函数的单调增区间. （3）先求得的取值范围，再根据的性质求得函数在区间上的值域. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，且， 所以，解得. 所以. 又因为，即， 且，可得， 所以． （2）因为是增函数，且在上单调递增， 所以当，即时， 函数单调递增. 所以函数的单调增区间为. （3）因为，且，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以，即， 所以函数在区间上的值域为． 19．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知函数. (1)求及的最小正周期； (2)若，求的单调递减区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)，最小正周期为. (2)和. (3)最大值为，最小值为． 【详解】（1），的最小正周期为. （2）（法一）设，因为，所以， 因为，的单调递减区间是和， 令，得， 令，得， 所以，的单调减区间是和. （法二），令， 解得， 因为. 所以，的单调减区间是和. （3）， 因为，则， 由的图像知， 则， 所以在区间上的最大值为，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角函数（任意角和弧度制，三角函数的概念，诱导公式，图象与性质） （18个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 【知识点02】角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 【知识点03】扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 【知识点04】任意角的三角函数定义 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  【知识点05】同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 【知识点06】正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 【知识点07】正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 【考点题型一】终边相同的角 【例1-1】（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各角中，与终边相同的角为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26高一下·湖北荆州·期末）在区间上，与终边相同的角为____________． 【变式1-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）下列与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一下·北京·期中）下列各角中，与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）已知角与角的终边相同，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】终边在某条直线上的角的集合 【例2-1】如图所示，则终边在图中所示直线的角的集合为______________. 【例2-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【变式2-1】如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)． 【变式2-2】写出终边在下图所示的直线上的角的集合．    【考点题型三】区域角的表示 【例3-1】（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C．D． 【例3-2】（2026高一·全国·专题练习）已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【变式3-1】如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为____. 【变式3-2】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）（1）用弧度制写出与角终边相同的角的集合； （2）________（换算成角度制）； （3）如图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是________． 【变式3-3】（2026高一上·全国·专题练习）已知如图所示的图形，那么阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？ 【考点题型四】确定及的终边所在的象限 【例4-1】（26-27高二·山东·学业考试模拟）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4-2】（25-26高一上·河南焦作·期末）若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式4-1】（24-25高一下·江西上饶·阶段检测）已知是第三象限角，那么是（   ） A．第一或第三象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式4-2】（多选）（23-24高一下·贵州遵义·阶段检测）若角的终边在第三象限，则的值可能为（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【变式4-3】若为第四象限角，且，则为第______象限角. 【考点题型五】扇形弧长与面积（含最值）的计算 【例5-1】（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知一圆心角为的扇形的周长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（26-27高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知一扇形的圆心角为，弧长为，周长为，面积为，半径为. (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【变式5-1】（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27高三上·福建·阶段检测）一个扇形的弧长和面积都为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知扇形面积为，圆心角为弧度，则扇形的周长是_______． 【考点题型六】利用定义求三角函数值 【例6-1】（26-27高三上·河南南阳·期中）已知角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）已知角的终边与单位圆的交点为，则（        ） A． B． C． D． 【变式6-1】（26-27高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知角的始边为x轴的非负半轴，终边经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知角α的终边与单位圆交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二下·云南·学业考试真题）设是角终边上一点，则________. 【考点题型七】根据三角函数值求参数 【例7-1】（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）已知角的终边上有一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（25-26高一上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 【变式7-1】（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知角的终边经过点，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·山东泰安·期末）已知角的终边过点且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【变式7-3】（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）已知角的终边过点，且，则________，________ 【考点题型八】已知,求关于和的齐次式的值 核心方法：商数关系:（，） 【例8-1】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【例8-2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）角的终边上一点 (1)求：的值. (2)求：的值； (3)求：的值. 【变式8-1】（2026高三·全国·专题练习）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且为第二象限角，则的值为______． 【变式8-3】（25-26高一下·江西萍乡·期中）已知，则__________． 【考点题型九】利用,与之间的关系求值 核心方法：平方关系 【例9-1】（多选）（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【例9-2】（26-27高三上·天津武清·阶段检测）已知且，则_______． 【变式9-1】（26-27高三上·天津东丽·阶段检测），，则________. 【变式9-2】（26-27高三上·陕西西安·开学考试）已知，，则___________． 【变式9-3】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角满足，则___________；若是第四象限角，则__________． 【考点题型十】五点法作图 【例10-1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)将函数化为形式，填写下表，并画出函数在区间上的图象；（如图） x 0 π 2π (2)求函数的单调减区间． 【例10-2】（24-25高一下·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)求的对称轴与对称中心； (3)当，求函数的值域. 【变式10-1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知函数. (1)补全下表，在如图的坐标系中作出（五点法）函数一个周期上的简图； 0 (2)写明该函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到； (3)直接写出该函数的单调增区间，图象对称轴方程： (4)设函数，求函数的值域 【变式10-2】（24-25高一上·云南昆明·期末）设函数，满足，函数图象的一个对称中心为. (1)求的最小正周期； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图. 【变式10-3】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0    (2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心． 【考点题型十一】求方程的解个数或函数零点的个数问题 【例11-1】（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【例11-2】（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有三个零点，求实数的取值范围． 【变式11-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，且的图象过点. (1)求的值及函数的单调递增区间; (2)将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象.若函数在上的图象与轴有且仅有3个交点，求实数的取值范围. 【变式11-2】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，方程在上有解，求实数的取值范围. 【变式11-3】（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知函数，． (1)若 的最小正周期为，求的单调递减区间； (2)若方程在 内恰有4个实数根，求的取值范围． 【考点题型十二】正（余）弦函数的周期性 【例12-1】（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【例12-2】（多选）（24-25高一下·河南驻马店·阶段检测）下列函数中，以为周期的函数有（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26高一下·河南南阳·期中）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2026高二上·云南·学业考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）函数的最小正周期是______________. 【考点题型十三】正（余）弦函数的单调性 【例13-1】已知函数，设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； 【例13-2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【变式13-1】（25-26高二上·云南文山·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期及； (2)求函数的单调递增区间； 【变式13-2】（25-26高一上·山东·阶段检测）已知. (1)求函数的最小正周期： (2)求函数在上的单调区间. 【变式13-3】（25-26高一下·北京房山·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 【考点题型十四】正余弦函数对称性 【例14-1】（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）已知，将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像关于对称，则的取值个数为（     ） A． B． C． D． 【例14-2】（26-27高三上·云南·阶段检测）函数图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2026·青海黄南·模拟预测）已知函数是偶函数，且点为的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【变式14-2】（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】（多选）（25-26高一下·江西赣州·期中）若函数与函数（，）图象的对称中心完全一致，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十五】正余弦函数的值域或最值 【例15-1】（26-27高三上·山东·期中）设函数的图象过点． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值及相应x的值． 【例15-2】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数，，又且图象的相邻的两个对称中心之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)设函数，，求函数的最值及取最值时的值. 【变式15-1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（，，）的最大值为、最小值为，最小正周期为，且是函数的一个最大值点． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在上的值域． 【变式15-2】（25-26高一下·广西钦州·期末）已知函数. (1)求的最小正周期及对称中心坐标； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【变式15-3】（25-26高一下·四川达州·期中）已知函数（，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)求在上的值域. 【考点题型十六】正切函数的定义域 【例16-1】（25-26高一下·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例16-2】（25-26高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为__________. 【变式16-1】（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】（25-26高一下·北京房山·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式16-3】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的定义域是________． 【考点题型十七】正切函数的单调性，奇偶性，对称性 【例17-1】（26-27高三·全国·一轮复习）若函数为奇函数，则等于（     ） A． B． C． D． 【例17-2】（25-26高一下·上海·期中）函数的严格增区间为________. 【变式17-1】（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则____________. 【变式17-3】（26-27高三上·河北保定·阶段检测）函数的对称中心的坐标为______． 【考点题型十八】正切函数的值域或最值 【例18-1】（2026高一·全国·专题练习）函数，的值域为____________ 【例18-2】（25-26高一上·全国·课后作业）求函数的值域. 【变式18-1】（25-26高一下·全国·课后作业）函数在上的最大值为_____________，最小值为_____________． 【变式18-2】（25-26高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值. 【变式18-3】求函数，的最大值与最小值． 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南·学业考试真题）将化为弧度是（     ）. A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，，求的值（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·江苏无锡·期中）若点是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·云南·学业考试真题）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数，其图象关于点对称，且对任意均有，在上单调递减，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东广州·模拟预测）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·广西南宁·一模）函数图象的对称轴方程不可能为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若函数，则（   ） A．的最小值为 B． C．在上无最大值 D．的图象关于点对称 10．（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知函数，且存在，，使得，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上的值域为 C． D． 11．（26-27高三上·山东·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原来图象重合，则（    ） A． B．的定义域为 C．在内所有零点之和为 D．在内恰好有4个对称中心 三、填空题 12．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）若函数是奇函数，则______． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是______． 14．（25-26高一下·河南新乡·期末）函数的图象的一个对称中心的坐标是________． 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数. (1)求在上的单调递增区间； (2)若不等式对恒成立，求实数的最大值； (3)若方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围. 16．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)当时，关于x的方程有两个不同的实根，且，求的最小值． 17．（26-27高三上·山东·阶段检测）已知函数（）的图象过点和点. (1)求函数的解析式； (2)当时，求满足的的取值集合； (3)当时，方程恰好有两个不同的实数解、，求实数的取值范围，并求的值. 18．（25-26高三上·山东聊城·阶段检测）已知函数的最小正周期为且， (1)求的解析式． (2)求函数的单调增区间. (3)求函数在区间上的值域. 19．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知函数. (1)求及的最小正周期； (2)若，求的单调递减区间； (3)求在区间上的最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $