专题09 函数的应用（ 12个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题09 函数的应用 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 【知识点02】函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 【知识点03】二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 【知识点04】区间中点 对于区间，其中点 【知识点05】二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 【知识点06】常见函数模型 1、一次函数模型（，为常数） 2、反比例函数模型（） 3、二次函数模型（） 4、指数函数模型（且，） 5、对数函数模型（且，） 6、幂函数模型（，） 7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合 8、对勾函数模型： 【考点题型一】求函数的零点 核心方法：令（注意零点不是点，零点是数） 【例1-1】（26-27高一上·山西朔州·阶段检测）函数的零点是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】令，得， 即，解得. 所以函数的零点是. 【例1-2】（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 【答案】D 【分析】由函数零点的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】令，即，即，解得，， 所以函数的零点是和. 【变式1-1】（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 【变式1-2】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）函数的零点为_______________. 【答案】 【分析】根据零点的定义求解一元二次方程即可． 【详解】令，即，解得． 【变式1-3】（25-26高一上·江苏镇江·期末）函数所有零点的倒数和为________. 【答案】/0.5 【分析】求出函数的零点，进而求出它们的倒数和. 【详解】由，得，解得， 所以所有零点的倒数和为. 故答案为： 【考点题型二】求函数零点个数 【例2-1】（2026高三·全国·专题练习）关于的方程的实根的个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，原方程变为，通过分类讨论方程根的个数即可. 【详解】原方程即为，令，， 当关于的方程没有根时，则原方程没有根，即原方程有零个根； 当关于的方程有一根时，，解得，，即，，则原方程有两个根； 当关于的方程有两个根时，若是方程的一个根，另一个根为，由可得，则原方程三个根， 若不是方程的根，设是方程的两根，由和可得和，则原方程有四个根， 综上所述，原方程的实根的个数可能为，故D正确． 【例2-2】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系可得的解析式，将问题转化为函数与直线交点个数问题，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】，，，，， ，； 函数的零点个数等价于函数与直线的交点个数； 作出与的图象如下图所示， 结合图象可知：当时，与在每个区间上有且仅有一个交点，则当时，与共有个交点； 当时，与没有交点，即当时，与没有交点； 当时，与有且仅有一个交点，即当时，与有且仅有个交点； 当时，，，二者没有交点，即当时，与没有交点； 综上所述：当时，函数的零点个数为个. 【变式2-1】（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为（      ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】将函数零点问题转化为方程 的解的个数问题，对分段函数分定义域分别解方程，再统计所有有效解的总数. 【详解】函数的零点，等价于方程的解的个数， 当时，，令，解得，因为，满足条件； 当时，，令 ，去绝对值得两种情况： ，显然，满足条件； ，显然，满足条件； 综上，方程 共有个解，即函数零点个数为3. 【变式2-2】（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，令，即，即. 在同一直角坐标系中作出两函数与（）的图象，如图， 由图可知两图象只有一个交点. 综上可知，函数的零点个数为. 【变式2-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图象， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根． 【考点题型三】判断函数零点所在区间 核心方法：零点存在性定理 【例3-1】（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知函数则下列区间中存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段讨论，通过零点存在定理和解方程的方法，求出函数零点所在区间. 【详解】当时，， 令，解得， 所以函数在上没有零点，故排除A，B； 当时，，易知函数单调递减， 对于C，只需考虑区间， ，， 所以函数在区间上没有零点，即在区间上没有零点，排除C； 对于D，，，， 所以函数的零点在区间内. 【例3-2】（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 【变式3-1】（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理即可判断. 【详解】由题意，根据幂函数的单调性，可知在内为增函数， 根据指数函数的单调性，可知在内为减函数， 所以函数在内为增函数， 因为，， ，，， 又指数函数为减函数，所以，，， 根据函数的零点存在定理，可得函数的零点在内. 【变式3-2】（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是增函数，是增函数，所以函数是增函数. 又， 所以由零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间为. 【变式3-3】（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 【考点题型四】已知零点个数求参数的取值范围（核心考点） 核心方法：图象法 【例4-1】（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象，并根据图像写出函数的单调递减区间； (2)求函数的解析式； (3)若关于的方程有个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) ，函数的单调递减区间为和 (2) (3) 【分析】（1）先画出时的图象，再根据偶函数的对称性作出的图象； （2）直接利用偶函数的定义可得函数解析式； （3）将方程有个不同的实数解转化为函数与直线有个交点问题，再结合函数图象可得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）因为当时，， 设，则，所以， 又因为是定义在上的偶函数，所以， 即当时，. 综上，函数的解析式为. （3）若方程有个不同的实数解，即函数的图象与直线有个交点， 所以由（1）中图象可知，实数的取值范围为或，如图： 因此． 【例4-2】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知关于的函数. (1)若不等式，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有3个不等实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，建立关于的一元二次不等式，再利用一元二次不等式的解法及对数函数单调性求解. （2）用换元法，结合指数函数图象及一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】（1）函数， 不等式， 则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）函数的定义域为，令， 函数的大致图象如下： 当时，方程有两个不等实根； 当时，方程有一个实根， 而，原方程化为， 整理得，由原方程有3个不等实根， 得关于的方程的两个实根分别在内， 则，解得， 所以的取值范围为. 【变式4-1】（26-27高一上·四川达州·阶段检测）已知函数对任意的，，都有，，且当时，． (1)求，的值； (2)求证：是上的减函数； (3)若关于的方程在区间上有2个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)设，则，所以． 由， 所以是上的减函数． (3) 【分析】（1）在中赋值； （2）结合“时”，利用单调性定义证明； （3）由及在上单调递减，把方程化为，再数形结合数根的个数． 【详解】（1）令，得，所以； 令，得，即，所以． （2）略 （3）方程即， 因为在上单调递减，所以，即． 设，， 当时，； 当时，． 如图所示，作出函数图象 要使方程有2个不等实根：时只有一解； 时，左右两支各有一解，共2解； 时，一解为，另一解为，共2解； 时，只有右支一解． 综上，． 【变式4-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数 (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)若，求使方程的实数解个数分别为1，2，3时的相应取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，证明如下： 由于的定义域为，任取， 则 因为，所以，即. 又，， 所以，所以， 所以函数在上单调递减. (2) 方程的实数解个数为1时，的取值范围为：， 方程的实数解个数为2时，的取值范围为：， 方程的实数解个数为3时，的取值范围为：． 【分析】(1) 根据函数单调性定义可证明在上单调递减； (2) 画出函数的图像，结合图像进行求解． 【详解】（1）在上单调递减. 证明略； （2）当时，得， 如图所示： 当时，， 当时，，则， 则方程的实数解个数为1时，的取值范围为：， 方程的实数解个数为2时，的取值范围为：， 方程的实数解个数为3时，的取值范围为：． 【变式4-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求出时函数的解析式即可. （2）将方程在上恰有两个不相等的实数根，看成是与直线在上恰有两个不同的交点，然后根据图像进行求解即可. 【详解】（1）因为当时，. 所以当时，，所以. 由于为定义在上的奇函数，所以， 所以当时，. 所以的解析式为. （2）因为关于的方程在上恰有两个不相等的实数根， 那么即是说与直线在上恰有两个不同的交点. 画出的图像为： 由于直线过定点， 联立直线与方程得， 令判别式为0，即，解得. 当时，方程，解得，符合要求； 当时，方程，解得，不符合要求； 所以当直线与在上相切时，只有一个交点，此时. 为了使与直线在上恰有两个不同的交点，根据图像可得. 【考点题型五】根据零点（根）所在区间求参数 核心方法：零点存在性定理 【例5-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 【例5-2】（25-26高一上·贵州·阶段检测）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，由函数的零点所在区间为， 得，则，解得， 所以a 的取值范围为. 故选：A 【变式5-1】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式5-2】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】若或. 当时，由； 当时，由. 若，此时方程有两个不相等的根. 当这两个根只有1个在区间内时，； 当这两个根都在区间时，，结合，可得. 综上可得，的取值范围是. 【变式5-3】（25-26高一下·云南玉溪·期中）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据零点定义，转化为与在上有交点，求出值域即可得解. 【详解】因为函数在区间上存在零点， 即与在上有交点， 又， 在上单调递增， 故时，则， 设，则， 由可得， 即与在上有交点，则. 故答案为： 【考点题型六】用二分法求函数的零点的近似值 核心方法：二分法 【例6-1】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【分析】根据二分法的性质即可求解. 【详解】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B 【例6-2】（多选）（25-26高一上·浙江温州·期末）设是单调递增函数，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案． 【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 【变式6-1】（24-25高一上·江西吉安·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值在用二分法逐次计算时，可参考数据如下表:那么方程的一个近似解精确到为________． 【答案】 【分析】通过二分法逐步缩小函数正零点所在的区间，计算区间中点的函数值，直至区间长度小于精度 0.1，进而得到方程的近似解. 【详解】显然是定义域在R上的连续函数，根据函数零点(或方程的解)的二分法近似求法原理， 第1次操作：，有零点的区间长度为； 第2次操作：， 有零点的区间长度为； 第3次操作：， 有零点的区间长度为； 第4次操作：， ，有零点的区间长度为， 此时区间的长度小于精确度；则方程满足要求的近似解. 故答案为： 【变式6-2】（2025高一上·全国·专题练习）下列是函数在区间上一些点的函数值． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程的一个近似解为___________（精确度0.1）． 【答案】1.4 【分析】本题是通过列表法给出部分函数值，进一步利用零点存在定理判断方程的解所在区间并求方程的符合条件的近似解. 【详解】，且，且题目要求精确度为。 的一个近似解为． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为______（精确到0.1） 【答案】 【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间， 结合题设要求，可得方程的一个近似解为. 故答案为：. 【考点题型七】指数函数模型 【例7-1】（26-27高一上·全国·期中）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（    ） A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 【答案】C 【分析】先利用函数关系式，结合前5个小时消除了的污染物，求出常数k的值，然后根据污染物的残留含量不得超过，列出方程，即可求出结论． 【详解】由题意可知：前5个小时消除了的污染物， 因为，则， 即，可得，， 由， 可得，即， 即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过， 又因为前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时. 【例7-2】（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知猕猴桃在运输过程中，其保鲜时间y(单位：小时)与温度t(单位：摄氏度)有如下关系：其中c，k为常数，且.已知在时保鲜时间为60小时，在时保鲜时间为40小时，则在时，保鲜时间为（    ） A．63小时 B．64小时 C．65小时 D．66 小时 【答案】B 【详解】由题意可得，所以，即， 所以，所以或（舍去）， 所以，当时，得小时. 【变式7-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半衰期的定义推导参数关系，再代入剩余质量为原质量的条件求解对应时间. 【详解】由半衰期定义，当时，剩余质量， 即，则. 当剩余质量为原质量的时，则， 所以. 由于指数函数为单调函数， 所以，则. 【变式7-2】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）碳的半衰期约为年（即碳大约每过年衰减为原来的一半），经过年后，碳的含量 （为常数），从亿年到亿年，碳含量占比由变为 ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设经过亿年后，碳的含量为，经过亿年后，碳的含量为，由条件确定，，再判断结论. 【详解】设经过亿年后，碳的含量为，经过亿年后，碳的含量为， 由已知 ，， 所以，， 所以. 【变式7-3】（2026·江苏淮安·一模）在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 【答案】C 【详解】由题意可得， 两式相除可得， 所以， 所以， 所以对应地形为浅丘林地. 【考点题型八】对数函数数模型 【例8-1】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒，代入解得，再根据量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，代入求解即可. 【详解】因为当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒， 所以，即，解得. 当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒， 则，解得. 【例8-2】（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得． 【详解】由题意知，当时，，代入， 得， 整理得：，也就有， 将代入， 得， 整理得：， 故，但由于扩增次数必须为整数， 故至少需要27次扩增，即. 【变式8-1】（25-26高二下·辽宁本溪·期末）近年来，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪．根据“齐奥尔科夫斯基公式”，在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：）、发动机喷流相对火箭的速度（单位：）、火箭起飞时的总质量（包含火箭自身质量与燃料质量，单位：吨）和结束时火箭质量（火箭自身质量，单位：吨）满足以下函数模型．已知我国某型新一代运载火箭的发动机喷流速度，该火箭自身的结构质量50吨．若某深空探测任务要求该型号火箭在理想状态下的最大速度至少达到，求火箭起飞时至少携带燃料（    ）吨．（参考数据：） A．400 B．370 C．320 D．300 【答案】C 【详解】由题意，. 因为， 所以火箭起飞时至少携带燃料吨. 【变式8-2】（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【答案】A 【分析】设原强度、新强度,代入分贝公式拆分对数，利用已知和计算,得结果. 【详解】设原来的噪音强度为，对应的等级. 改善后的噪音强度为，对应的等级为. 根据公式，代入得：. 计算：. 将，代入： . 【变式8-3】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为_________． 【答案】 6千米/秒 【分析】根据题意，得到和，结合对数的运算性质，即可求解． 【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， 因为经过秒后的速度千米秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得． 【考点题型九】拟合函数模型的应用题 【例9-1】（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品．该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③． (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：） 【答案】(1) (2)平台成立的第年就能实现该目标 【分析】（1）根据数据可知函数为增函数，且增长速度越来越快，可判断选择模型③，将数据代入即可求出解析式； （2）根据题目列不等式，解得，求的值即可求出答案. 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数需满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，模型③满足两个条件，所以选择模型③， 将数据，代入得， ，解得，所以， 将代入，同样满足函数， 所以函数模型的解析式为. （2）由题意知，1 万人 = 100 百人，，解得， ， 即， 所以平台成立的第年就能实现该目标. 【例9-2】（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③. (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据表中数据，函数为增函数，增长速度越来越快，故选择模型③，代入数据列方程组可得； （2）由，利用对数的运算可得，进而可得. 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将代入，得，解得， 所以函数为. （2）令，则， 则，即， 则平台成立的第6年就能实现该目标. 【变式9-1】（25-26高一上·四川宜宾·期末）某企业新研发了一款产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该产品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： 5 10 15 20 25 30 105 110 115 120 115 110 (1)现提供两种函数模型：①；②，请你根据上表中的数据特征，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该产品的日销售量与时间的函数关系，并求出该函数的解析式； (2)求该产品的日销售总收入（单位：元）的最小值.（注：日销售总收入日销售价格日销售量） 【答案】(1)， (2)元 【分析】（1）根据表格数据，的函数值关于对称，故选择合适，代入值求出参数、的值，即可得解； （2）首先求出的解析式，再分、两种情况讨论，利用基本不等式及函数的单调性求出函数的最小值. 【详解】（1）解：根据表格数据，的函数值关于对称，故选择合适， 又，， 解得，故，验证均满足， 所以. （2）解： ， 当时，， 当且仅当，即时等号成立； 当时，在上单调递减， 故最小值为.   综上所述：当时，有最小值为元. 【变式9-2】（25-26高一上·山东枣庄·期末）2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，， (2)该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 【分析】（1）根据函数的单调性排除②，再利用待定系数法即得； （2）分和两种情况，结合二次函数以及函数单调性分别求耗电量的最小值，即可得结果. 【详解】（1）对于②：因为在定义域内单调递减，不符合题意； 故选①：， 由题意可得：，解得， 所以，. （2）当时，设该车在国道的耗电量为， 则 当且仅当时，等号成立， 当时，设该车在高速的耗电量为， 则， 可知在内单调递增，则； 综上所述：该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 【变式9-3】（25-26高一上·广东清远·期末）据调查，某次全运会特许商品专卖店销售的吉祥物挂饰的情况如下：在过去的一个月内（30天），第天每件挂饰的销售价格为（单位：元），满足为常数），且日销售量（单位：件）与第天的关系部分数据如下表所示： 5 10 15 25 30 960 1110 1260 960 810 已知第16天的销售价为49元/件. (1)求的值，并根据表格数据画出的散点图；（散点图是一种在平面直角坐标系中通过点的分布来展示两个变量之间关系的统计图表） (2)给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请根据上表数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（件）与第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用（2）中的结论，求该吉祥物挂饰的日销售收入（元）在过去一个月内的最小值. 【答案】(1)； 散点图如下： (2) (3) 【分析】（1）代入求，再画散点图即可； （2）根据散点图判断，再利用待定系数法求解析式即可； （3）由，再分、两种情况，结合基本不等式及函数单调性求最值即可． 【详解】（1）解：已知第16天的销售价为49元/件， ，解得， 散点图如下： （2）由散点图可知，整体先增后减，故选②， ，解得， 则； （3），， 当时， 则 ， 当且仅当，即，（）时等号成立； 当时，， 则 ， 因为在上单调递减，在上也单调递减，所以在上单调递减。 所以当时，取得最小值，； ， 日销售收入在过去一个月内的最小值为元． 【考点题型十】零点个数问题（解答题） 【例10-1】（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为__________． 【答案】5 【分析】先令，求出或的值，再转化为函数与和交点的个数问题. 【详解】令，即，解得或， 故求的零点个数，等价于求函数与和交点的个数和. 时，，求导得， 令，得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，又， 可以画出函数的大致图像，如图所示， 可知与和交点共有5个， 即的零点个数为5个. 【例10-2】（2026高三·全国·专题练习）函数，则方程的实根的个数是______________． 【答案】2 【分析】对绝对值函数进行分段处理，由得，利用函数图象交点个数确定方程实根的个数. 【详解】. ，，. 方程的实根的个数等价于函数与图象的交点个数，如图所示： 由图可知，函数与图象有2个交点，即方程有2个实数根. 【变式10-1】（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）函数的零点个数是_________． 【答案】4 【分析】将函数零点转化为两函数和在同一坐标系下的交点个数，即可求得结果. 【详解】令，可得； 画出函数和在同一坐标系下的图象，如下图所示： 易知，当时，， 又因为为偶函数， 显然在轴左侧，因为，所以如上图所示在轴左侧两图象仅有一个交点， 在轴右侧，因为，因此在轴右侧两图象仅有三个交点， 因此两图象共有4个交点， 即函数的零点个数是4个. 【变式10-2】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为________． 【答案】 【分析】将函数的零点个数，转化为在上的图象与函数的图象的交点的个数.结合图象可得. 【详解】因为定义域为，所以的定义域为， 所以的定义域为. 函数的零点个数，即方程在上的实数根的个数， 即方程在上的实数根的个数， 即函数在上的图象与函数的图象的交点的个数. 如图，将定义域为的函数的图象关于原点对称即可得到的图象. 作函数在上的图象，可得该图象与函数的图象有3个交点， 所以函数的零点个数为. 【变式10-3】（25-26高一上·福建宁德·期中）某种股票类理财产品在过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第天每份的交易价格（元）满足，第天的日交易量（万份）的部分数据如下表所示： 第（天） 1 2 5 10 （万份） 20 15 12 11 (1)给出以下两种函数模型：①，②.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量（万份）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； (2)根据（1）的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值． 【答案】(1) 对于函数，根据题意，把点，代入可求得， 此时，点、均不在函数的图象上； 对于函数，根据题意，把点，代入可求得， 此时，点、均在函数的图象上； 所以，． (2)，最小值为元. 【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式再进行选择； （2）根据题意求出分段函数的表达式，然后进行分类讨论出两部分的最小值，比较之后较小的满足题意. 【详解】（1）略 （2）依题意得， 所以， 当时，， 当且仅当时等号成立； 当时，函数单调递减， 此时， 综上所述，当时，该产品在过去一个月内的日交易额最小值为元． 【考点题型十一】零点代数运算问题 【例11-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 【例11-2】（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可. 【详解】如图所示： 由方程即有四个不同解， 即的图象与有四个不同的交点，由图可知， 不妨假设，由图可知， 又由图可知， 故，解得：， 又，结合图象可知，所以， 所以， 设， 任取，且， 则 ， 因为且， 所以且， 所以， 所以在上单调递减， 所以即，即， 所以. 【变式11-1】（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 【答案】13 【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以或， 当时，或， 当时，则或，解得， 所以函数的所有零点之和为． 【变式11-2】（2026·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数的图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 【变式11-3】（25-26高三·全国·一轮复习）设、分别是方程与的根，则______. 【答案】 【分析】根据题意数形结合，分别作出函数，，的图象，利用反函数的对称性求解即可. 【详解】如图，分别作出函数，，的图象， 且函数与、分别相交于点，. 由题意，．而与互为反函数， 直线与直线互相垂直，所以点与关于直线对称. 所以.所以. 故答案为：. 【考点题型十二】函数与方程综合 【例12-1】（26-27高一上·辽宁大连·期中）已知函数，． (1)当时，求的零点； (2)若，求的最小值； (3)当时，若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数零点的定义直接计算； （2）讨论二次函数的对称轴可得最值； （3）由不等式恒成立可转换为，设，则，即可转换为，即，结合对勾函数单调性可得最值解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）当时，，令， 即，解得， 即当时，函数的零点为； （2）由已知， 当，即时，； 当，即时，函数在上单调递增，则此时； 当，即时，函数在上单调递减，则此时； 综上所述； （3）当时，， 则若对，都有恒成立， 即， 即， 设，， 则， 即， 又当，时，由对勾函数性质可知，， 即， 即， 所以. 【例12-2】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）一般地，对于一个函数，我们可以用符号表示，已知函数. (1)若函数在和上各有1个零点，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)已知，不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. (3) 【分析】（1）利用开口向上的二次函数零点分布性质，根据两个区间各有一个零点的条件，列出区间端点的函数值符号不等式组，求解得到m的取值范围； （2）先移项整理为标准含参一元二次不等式，因式分解得到两根，再按二次项系数的正负、两根的大小关系分类讨论，分别写出对应解集； （3）将集合包含关系转化为区间上的恒成立问题，对单独验证后，在上分离参数，利用基本不等式求出右侧函数的最小值，进而得到m的取值范围. 【详解】（1），因为二次函数开口向上， 且函数在和上各有1个零点，根据二次函数零点的分布性质，区间端点的函数值满足 即解得. （2）不等式化为， 当时，解集为； 时，， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （3）. 时恒成立； 时，， 当且仅当，即时取等号， 故，所以，故， 所以实数的取值范围为. 【变式12-1】（26-27高三上·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求函数在上的最值； (2)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小值为，最大值为0 (2) 【分析】（1）当时，，令，可得，进而转化问题为二次函数最值问题，结合开口方向和对称轴求解即可； （2）由，可得，令，，转化问题为函数与在上有交点，进而求解即可. 【详解】（1）当时，. 令，则，，函数开口向上，对称轴为， 则时，； 时，， 则函数在上的最小值为，最大值为0. （2）由，得，即， 令，，则， 因为函数开口向上，对称轴为，且时，， 则时，， 因为关于的方程有解， 所以函数与在上有交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 【变式12-2】（26-27高一上·甘肃庆阳·期中）已知关于 的函数 的两个零点为 和 ． (1)求实数 ， 的值； (2)当 时，求关于 的不等式 的解集； (3)若对任意的实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1)，； (2)当 时解集为 ，当 时解集为 ，当 时解集为 ； (3) 【分析】（1）应用零点结合韦达定理求 、； （2）先应用因式分解再按两根大小分类； （3）先应用参数分离得出 恒成立，最后转化为求函数的最大值得出参数范围． 【详解】（1）由题意 ， 对比已知，得 ，，所以 ，． （2），不等式为 ， 而 ， 当 时抛物线开口向下，两根为 与 ， 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，两根相等，不等式化为 ，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ． （3）因为 ，条件即 ，化简得 ， 因为 时 ，所以 恒成立， 令 ，它在 上单调递减， 所以 ，即 ． 【变式12-3】（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数为上的偶函数，当时. (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)函数有个零点时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)增区间；减区间； (3) 【分析】（1）设，则，所以，根据偶函数的定义即可求出时，的解析式，从而得到整个定义域上的解析式；（2）由分段函数为二次函数，作出图象，结合图象即可求出单调区间；（3）将零点问题转化为两个函数交点问题，再结合图象运算求解. 【详解】（1）设，则，所以， 因为函数为上的偶函数，则，所以， 因此，的解析式为； （2）由（1）知，则其图象如下所示， 由图可知，函数的单调递增区间为；单调递减区间为； （3）令，有，则转化为与有四个交点即可，由数形结合易得. 一、单选题 1．（26-27高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，且，，，得在内有零点； 由且，，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间是. 2．（25-26高二下·云南·学业考试真题）设函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，易知函数在定义域上单调递增， 又因为，， 所以， 根据零点存在性定理可知，的零点所在区间为. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）在量子存储实验中，量子态的保真度随存储时间（单位：微秒）呈指数衰减，满足模型，其中为初始保真度（），为特征时间常数.若保真度不低于初始保真度的，则存储时间与的比值最大为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】依题意，，而，则， 又函数是上的增函数，因此，解得， 所以存储时间与的比值最大为5. 4．（26-27高一上·全国·单元测试）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数在上单调递增，得函数在上单调递增， 由，， 得该近似解所在的区间是. 5．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为，其中为单级火箭的最大理想速度（单位：），为发动机的喷射速度（单位：），、分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量（单位：kg），二者的比值称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但受火箭可能的结构所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，则最大理想速度为：，故D正确. 6．（26-27高三上·河南南阳·期中）已知定义域为的奇函数满足：当时，，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数性质求出的图象，将函数零点问题转化为水平直线与函数图象的交点个数问题，结合二次函数的最值与图象特征确定参数范围. 【详解】由奇函数，得，作出函数的图象如图所示，因为有3个零点，所以直线与函数的图象恰有3个交点， 所以，即实数的取值范围是. 7．（2026·湖北·模拟预测）函数，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，数形结合可得出，，根据得出，再结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，且， 且点与点关于直线对称，所以， 所以，则， 所以， 因为，则，所以， 故，即的取值范围是. 8．（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知函数，关于的方程有1个解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过去绝对值将函数转化为分段函数，分析各分段函数的单调性，画出函数图象，结合图象即可求解. 【详解】函数的定义域为，分情况去绝对值讨论： ①当且时，， 时，单调递减，值域为； 时，单调递减，值域为. ②当且时，， 时，单调递减，值域为； 时，单调递减，值域为. ③ 时，， 画出函数图象如下： 由图可知 当或时，方程有2个解； 当时，方程仅存在1个解， 所以的取值范围是. 二、多选题 9．（26-27高一上·辽宁大连·期中）已知对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（    ） A．方程仅有一个实根 B．在为减函数 C．在上的值域为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，……，画出函数的大致图象，再数形结合逐一判断选项即可. 【详解】当时，；当时，； 当时，；当时，，……， 的范围不同，的解析式也不同，故应分类讨论. 画出函数的大致图象，如图所示： 对于A，当时，， 令，解得，，故成立； 当时，， 令，解得，，故不成立； 结合图象可知，当时，方程无实数根. 综上，方程仅有一个实根，故A正确； 对于B，由图象可知，在上单调递减，故B正确； 对于C，当时，，结合图象， 在上的值域为，故C错误； 对于D，当时，， 当时，的最小值为； 当时，， 当时，的最小值为. 所以当时，的最小值为，故D正确. 10．（26-27高一上·湖北·阶段检测）已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为.则答案为ABC. 三、填空题 11．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：①奖励金额（单位：万元）随着销售额（单位：万元）的增加而增加，且增长速度越来越慢；②销售额为8万元时，奖励金额为1万元，销售额为64万元时，奖励金额为4万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到6万元的奖励，则他的销售额应为_________万元． 【答案】256 【详解】由指对幂函数增长速度可知，应该选取，代入点， ，解得，所以，解得. 12．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，则实数的取值范围是________________________. 【答案】 【详解】的函数图象如图： 因为函数有三个互不相等的零点， 所以与的函数图象有三个交点， 则，故实数的取值范围是 四、解答题 13．（26-27高一上·北京东城·期中）已知函数的图象经过点． (1)求实数的值； (2)解不等式：； (3)求证：方程有解，且所有解之积小于1． 【答案】(1) (2) (3)， 所以有解即方程有解， 在同一个坐标系中，作出函数和的大致图象，如图： 由图知，函数和的图象有且只有两个交点， 且， 当时，由， 得，又，所以. 【分析】（1）由对数的运算可得； （2）整理后设，分和结合对数的运算可得； （3）利用数形结合，取特殊值结合零点存在定理即可证明. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 所以； （2）因为，及， 所以， 整理可得， 设，则不等式变为， 因为，所以，得或， 当时，不等式为，得， 即，得； 当时，不等式为，得 即，得； 综上，不等式的解集为． （3）略 14．（26-27高一上·上海虹口·期中）某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的部分数据如下表所示： 天数（） 1 2 3 4 5 6 … 病毒细胞的个数（） 1 2 4 8 16 32 … (1)若病毒细胞的个数关于天数的变化规律可选用以下两个函数模型之一进行近似刻画：①；②．请结合表格中的数据，选择合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数表达式； (2)若该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过，小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内98%的病毒细胞．则在（1）的条件下，为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（结果精确到天） 【答案】(1) 选择模型① ， 理由：观察表格数据，的值随呈指数倍增：时，，时，，时，， 后一天的病毒数是前一天的倍，符合指数增长的特征； 若选用幂函数模型，代入前两组数据得、，解得， 即，但时，与表格中严重不符，因此幂函数不匹配. 将代入 得； 将代入得，两式相除得，进而得， 验证所有表格点均满足. 最终函数表达式为：； (2) 第一次最迟应在第天注射该种药物 【分析】（1）由参考数据结合指数函数和幂函数的性质进行选择，并验证选择的合理性，再代入数值求解析式； （2）由解析式结合不等关系列不等式化简可得，左右取对数后，结合对数运算性质可求得结果. 【详解】（1）选择模型①，函数表达式为； （2）由题意知：第一次注射药物前病毒细胞个数关于天数的函数关系式为， 为了使小白鼠在试验过程中不死亡，则，， 解得：，又， 第一次最迟应在第天注射该种药物． 15．（26-27高一上·湖北·期中）已知函数满足，函数 (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为、、、，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造方程组，解方程计算即可求解； （2）根据二次函数性质结合端点处函数值大小关系建立不等式组，计算求解即可； （3）根据二次函数性质，作出函数图象，数形结合求得，再由根与系数的关系结合函数单调性计算求解即可. 【详解】（1）由题意可得①， 所以②， 由①②可得，即； （2）由（1）可得， 要使在区间上单调递增，则， 解得，即， 所以实数的取值范围； （3）当时，函数，作出函数图象如下， 当时，函数开口向下，当时，， 当时，函数开口向上，当时，， 结合图象可知，方程有四个不同的实数根，则， 且方程的两实数根为、，方程两实数根为，， 所以， 所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以，即的取值范围为. 16．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】(1)选择模型② ，解析式为 ； (2)约6.5分钟。 【分析】（1）首先由表格数据确定函数的单调性和递减速度，从而判断模型，再利用待定系数法，列方程组求解； （2）根据（1）的结果，解方程. 【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； （2），得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 17．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）长沙是著名的历史文化名城，也是我国新型的工程机械、电子信息和新材料产业基地．现已知某初创高科技企业位于长沙高新区，每月生产某特殊设备最少1台最多8台，每生产台，月收入函数为：（单位千万元），月成本函数为：（单位千万元）． (1)求月收入函数的的最小值，并求出此时的的值； (2)在经济学中，我们将函数的边际函数定义为．求成本函数的边际函数的定义域及最小值； (3)求每月企业利润的最大值．（注：本题中） 【答案】(1)28， (2)； (3) 【分析】（1）用基本不等式求最小值，再结合验证取等条件对应的值； （2）首先根据边际函数定义，代入成本函数的表达式化简得到边际函数的解析式；然后根据原成本函数的定义域，以及需满足定义域要求，确定边际函数的定义域；最后根据边际函数的形式，结合定义域内的正整数，分析其单调性或代入求值得到最小值； （3）因为，所以先代入和的表达式得到的解析式；再根据，可通过代入每个值计算，或分析函数的单调性来求最大值. 【详解】（1）对于月收入函数， 当且仅当时，即时，等号成立， 则月收入函数的的最小值为28千万元，并求出此时的x的值为； （2）， 设，对称轴为,因为，所以， 在范围内是单调递增函数， 在范围内是单调递减函数， 时，取最小值，且最小值为，千万元； （3）∵每月企业利润等于月收入减去月成本函数， 而， 设，根据均在上单调递增，则在上单调递增， 当时，取最小值，且最小值为， 当时，取最大值，且最大值为， 则转化为， 而的对称轴为，在上单调递增， 故时，取最大值， 且最大值为， 故每月企业利润的最大值为千万元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数的应用 （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 【知识点02】函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 【知识点03】二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 【知识点04】区间中点 对于区间，其中点 【知识点05】二分法 1、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点 （3）计算; ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4 【知识点06】常见函数模型 1、一次函数模型（，为常数） 2、反比例函数模型（） 3、二次函数模型（） 4、指数函数模型（且，） 5、对数函数模型（且，） 6、幂函数模型（，） 7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合 8、对勾函数模型： 【考点题型一】求函数的零点 核心方法：令（注意零点不是点，零点是数） 【例1-1】（26-27高一上·山西朔州·阶段检测）函数的零点是（    ） A． B． C． D．2 【例1-2】（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）二次函数的零点为（     ） A．和 B． C． D．和 【变式1-1】（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 【变式1-2】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）函数的零点为_______________. 【变式1-3】（25-26高一上·江苏镇江·期末）函数所有零点的倒数和为________. 【考点题型二】求函数零点个数 【例2-1】（2026高三·全国·专题练习）关于的方程的实根的个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为（      ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2-2】（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2-3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型三】判断函数零点所在区间 核心方法：零点存在性定理 【例3-1】（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知函数则下列区间中存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则在下列区间中含有零点的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】已知零点个数求参数的取值范围（核心考点） 核心方法：图象法 【例4-1】（26-27高一上·宁夏吴忠·期中）若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象，并根据图像写出函数的单调递减区间； (2)求函数的解析式； (3)若关于的方程有个不同的实数解，求实数的取值范围． 【例4-2】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知关于的函数. (1)若不等式，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有3个不等实数根，求实数的取值范围. 【变式4-1】（26-27高一上·四川达州·阶段检测）已知函数对任意的，，都有，，且当时，． (1)求，的值； (2)求证：是上的减函数； (3)若关于的方程在区间上有2个不等实根，求实数的取值范围． 【变式4-2】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数 (1)判断在上的单调性，并用定义证明： (2)若，求使方程的实数解个数分别为1，2，3时的相应取值范围． 【变式4-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； 【考点题型五】根据零点（根）所在区间求参数 核心方法：零点存在性定理 【例5-1】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26高一上·贵州·阶段检测）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 【变式5-3】（25-26高一下·云南玉溪·期中）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是___________. 【考点题型六】用二分法求函数的零点的近似值 核心方法：二分法 【例6-1】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【例6-2】（多选）（25-26高一上·浙江温州·期末）设是单调递增函数，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·江西吉安·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值在用二分法逐次计算时，可参考数据如下表:那么方程的一个近似解精确到为________． 【变式6-2】（2025高一上·全国·专题练习）下列是函数在区间上一些点的函数值． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程的一个近似解为___________（精确度0.1）． 【变式6-3】（25-26高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为______（精确到0.1） 【考点题型七】指数函数模型 【例7-1】（26-27高一上·全国·期中）某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（    ） A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 【例7-2】（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知猕猴桃在运输过程中，其保鲜时间y(单位：小时)与温度t(单位：摄氏度)有如下关系：其中c，k为常数，且.已知在时保鲜时间为60小时，在时保鲜时间为40小时，则在时，保鲜时间为（    ） A．63小时 B．64小时 C．65小时 D．66 小时 【变式7-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）碳的半衰期约为年（即碳大约每过年衰减为原来的一半），经过年后，碳的含量 （为常数），从亿年到亿年，碳含量占比由变为 ，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·江苏淮安·一模）在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 【考点题型八】对数函数数模型 【例8-1】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，则（     ） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【变式8-1】（25-26高二下·辽宁本溪·期末）近年来，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪．根据“齐奥尔科夫斯基公式”，在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：）、发动机喷流相对火箭的速度（单位：）、火箭起飞时的总质量（包含火箭自身质量与燃料质量，单位：吨）和结束时火箭质量（火箭自身质量，单位：吨）满足以下函数模型．已知我国某型新一代运载火箭的发动机喷流速度，该火箭自身的结构质量50吨．若某深空探测任务要求该型号火箭在理想状态下的最大速度至少达到，求火箭起飞时至少携带燃料（    ）吨．（参考数据：） A．400 B．370 C．320 D．300 【变式8-2】（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【变式8-3】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为_________． 【考点题型九】拟合函数模型的应用题 【例9-1】（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品．该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③． (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：） 【例9-2】（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③. (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：，，） 【变式9-1】（25-26高一上·四川宜宾·期末）某企业新研发了一款产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该产品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： 5 10 15 20 25 30 105 110 115 120 115 110 (1)现提供两种函数模型：①；②，请你根据上表中的数据特征，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该产品的日销售量与时间的函数关系，并求出该函数的解析式； (2)求该产品的日销售总收入（单位：元）的最小值.（注：日销售总收入日销售价格日销售量） 【变式9-2】（25-26高一上·山东枣庄·期末）2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【变式9-3】（25-26高一上·广东清远·期末）据调查，某次全运会特许商品专卖店销售的吉祥物挂饰的情况如下：在过去的一个月内（30天），第天每件挂饰的销售价格为（单位：元），满足为常数），且日销售量（单位：件）与第天的关系部分数据如下表所示： 5 10 15 25 30 960 1110 1260 960 810 已知第16天的销售价为49元/件. (1)求的值，并根据表格数据画出的散点图；（散点图是一种在平面直角坐标系中通过点的分布来展示两个变量之间关系的统计图表） (2)给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请根据上表数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（件）与第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用（2）中的结论，求该吉祥物挂饰的日销售收入（元）在过去一个月内的最小值. 【考点题型十】零点个数问题（解答题） 【例10-1】（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为__________． 【例10-2】（2026高三·全国·专题练习）函数，则方程的实根的个数是______________． 【变式10-1】（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）函数的零点个数是_________． 【变式10-2】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）已知定义域为的函数的图象如图所示，则函数的零点个数为________． 【变式10-3】（25-26高一上·福建宁德·期中）某种股票类理财产品在过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第天每份的交易价格（元）满足，第天的日交易量（万份）的部分数据如下表所示： 第（天） 1 2 5 10 （万份） 20 15 12 11 (1)给出以下两种函数模型：①，②.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量（万份）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； (2)根据（1）的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值． 【考点题型十一】零点代数运算问题 【例11-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【例11-2】（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【变式11-1】（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________． 【变式11-2】（2026·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为________． 【变式11-3】（25-26高三·全国·一轮复习）设、分别是方程与的根，则______. 【考点题型十二】函数与方程综合 【例12-1】（26-27高一上·辽宁大连·期中）已知函数，． (1)当时，求的零点； (2)若，求的最小值； (3)当时，若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【例12-2】（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）一般地，对于一个函数，我们可以用符号表示，已知函数. (1)若函数在和上各有1个零点，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)已知，不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 【变式12-1】（26-27高三上·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求函数在上的最值； (2)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【变式12-2】（26-27高一上·甘肃庆阳·期中）已知关于 的函数 的两个零点为 和 ． (1)求实数 ， 的值； (2)当 时，求关于 的不等式 的解集； (3)若对任意的实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 【变式12-3】（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数为上的偶函数，当时. (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)函数有个零点时，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（26-27高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·云南·学业考试真题）设函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）在量子存储实验中，量子态的保真度随存储时间（单位：微秒）呈指数衰减，满足模型，其中为初始保真度（），为特征时间常数.若保真度不低于初始保真度的，则存储时间与的比值最大为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（26-27高一上·全国·单元测试）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为，其中为单级火箭的最大理想速度（单位：），为发动机的喷射速度（单位：），、分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量（单位：kg），二者的比值称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但受火箭可能的结构所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·河南南阳·期中）已知定义域为的奇函数满足：当时，，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北·模拟预测）函数，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·重庆江北·阶段检测）已知函数，关于的方程有1个解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高一上·辽宁大连·期中）已知对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（    ） A．方程仅有一个实根 B．在为减函数 C．在上的值域为 D．当时，的最小值为 10．（26-27高一上·湖北·阶段检测）已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，该方案满足下列两个条件：①奖励金额（单位：万元）随着销售额（单位：万元）的增加而增加，且增长速度越来越慢；②销售额为8万元时，奖励金额为1万元，销售额为64万元时，奖励金额为4万元．从以下函数模型，，中选择最恰当的一个来描述奖励金额与销售额之间的关系，若某业务员要得到6万元的奖励，则他的销售额应为_________万元． 12．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，则实数的取值范围是________________________. 四、解答题 13．（26-27高一上·北京东城·期中）已知函数的图象经过点． (1)求实数的值； (2)解不等式：； (3)求证：方程有解，且所有解之积小于1． 14．（26-27高一上·上海虹口·期中）某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的部分数据如下表所示： 天数（） 1 2 3 4 5 6 … 病毒细胞的个数（） 1 2 4 8 16 32 … (1)若病毒细胞的个数关于天数的变化规律可选用以下两个函数模型之一进行近似刻画：①；②．请结合表格中的数据，选择合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数表达式； (2)若该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过，小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内98%的病毒细胞．则在（1）的条件下，为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（结果精确到天） 15．（26-27高一上·湖北·期中）已知函数满足，函数 (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，方程有四个不同的实数根，从小到大依次记为、、、，求的取值范围． 16．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 17．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）长沙是著名的历史文化名城，也是我国新型的工程机械、电子信息和新材料产业基地．现已知某初创高科技企业位于长沙高新区，每月生产某特殊设备最少1台最多8台，每生产台，月收入函数为：（单位千万元），月成本函数为：（单位千万元）． (1)求月收入函数的的最小值，并求出此时的的值； (2)在经济学中，我们将函数的边际函数定义为．求成本函数的边际函数的定义域及最小值； (3)求每月企业利润的最大值．（注：本题中） 学科网（北京）股份有限公司 $